Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH LÝ THUYẾT LOGIC VỊ TỪ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LOGIC VỊ TỪ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN oOo GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ HV: Trương Hoài Phong Mã số: CH1301048 Lớp: Cao học khóa 8 LÝ THUYẾT LOGIC VỊ TỪ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LOGIC VỊ TỪ TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM 2013 MỤC LỤC    3 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU - LỊCH SỬ LOGIC 1.1 Logic là gì? Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí). Logic thường được nhắc đến như là một ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia. Tuy nhiên khi môn học được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý. Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học. Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toán học và luật. Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo. Là một ngành khoa học hình thức, logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai đều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự nghiên cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên. Tầm bao quát của logic do vậy là rất rộng, đi từ các đề tài cốt lõi như là nghiên cứu các lý lẽ ngụy biện và nghịch lý, đến những phân tích chuyên gia về lập luận, chẳng hạn lập luận có xác suất đúng và các lý lẽ có liên quan đến quan hệ nhân quả. Ngày nay, logic còn được sử dụng phổ biến trong lý thuyết lý luận. Qua suốt quá trình lịch sử, đã có nhiều sự quan tâm trong việc phân biệt lập luận tốt và lập luận không tốt, và do đó logic đã được nghiên cứu trong một số dạng ít nhiều là quen thuộc đối với chúng ta. Logic Aristotle chủ yếu quan tâm đến việc dạy lý luận thế nào cho tốt, và ngày nay vẫn được dạy với mục đích đó, trong khi trong logic toán học và triết học phân tích (analytical philosophy) người ta nhấn mạnh vào logic như là một đối tượng nghiên cứu riêng, và do vậy logic được nghiên cứu ở một mức độ trừu tượng hơn. Các quan tâm về các loại logic khác nhau giải thích rằng logic không phải là được nghiên cứu trong chân không. Trong khi logic thường có vẻ tự cung cấp sự thúc đẩy chính 4 nó, môn học này phát triển tốt nhất khi lý do mà chúng ta quan tâm đến logic được đặt ra một cách rõ ràng Một trong những tác phẩm logic sớm nhất còn tồn tại đến ngày nay là của Aristotle. Logic của Aristotle được chấp nhận rộng rãi trong khoa học và toán học và vẫn còn được sử dụng rộng rãi ở phương Tây đến đầu thế kỷ 19. Hệ thống logic của Aristotle phù hợp cho việc giới thiệu suy diễn giả định, và logic quy nạp. Ở Châu Âu, trong cuối thời kỳ trung đại, có nhiều nỗ lực nhằm chứng tỏ những tư tưởng của Aristotle tương thích với niềm tin Cơ Đốc. Trong suốt thời kỳ Trung kỳ Trung cổ, logic trở thành đề tài chính của các nhà triết học, những người muốn tham gia vào những cuộc tranh luận triết học về phân tích logic học. Logic trong triết học Hồi giáo, đặc biệt là logic của Avicennia, chịu ảnh hưởng lớn từ logic của Aristotle. Tại Ấn Độ, những đổi mới trong trường phái triết học, gọi là Nyaya, tiếp diễn từ thời cổ đại đến đầu thế kỷ 18 với trường phái Navya-Nyaya. Đến trước thế kỷ 16, nó đã phát triển những lý thuyết giống với logic hiện đại. 1.2 Logic vị từ: Môn Logic như được nghiên cứu ngày nay rất khác với môn học đã được nghiên cứu trước đây, và sự khác biệt chính là sự phát minh của logic vị từ. Trong khi logic tam đoạn luận của Aristote định ra những dạng thức cho những phần có liên quan với nhau trong mỗi phán đoán, logic vị từ cho phép các câu được phân tích thành chủ đề và các luận cứ theo nhiều cách khác nhau, do vậy cho phép logic vị từ giải quyết được vấn đề tổng quát hóa nhiều lần - vấn đề đã làm bối rối các nhà logic học thời trung cổ. Với logic vị từ, lần đầu tiên, các nhà logic học đã có khả năng đưa ra các phép lượng hóa (quantifiers) đủ tổng quát để diễn tả mọi luận cứ có mặt trong ngôn ngữ tự nhiên. Sự khám phá ra logic vị từ thường được coi là công của Gottlob Frege, người cũng được xem là một trong những sáng lập viên của ngành triết học phân tích, nhưng dạng phát biểu có hệ thống thông dụng nhất ngày nay của logic vị từ là logic bậc nhất (first- order logic) được trình bày trong cuốn sách Các nguyên lý về logic lý thuyết (Grundzüge 5 der theoretischen Logik) của David Hilbert và Wilhelm Ackermann vào năm 1928. Tính tổng quát có tính phân tích của logic vị từ cho phép hình thức hóa toán học và đẩy mạnh nghiên cứu về lý thuyết tập hợp, cho phép sự phát triển của cách tiếp cận của Alfred Tarski đối với lý thuyết mô hình; và không quá lời khi nói rằng nó là nền tảng của logic toán học hiện đại. Hệ thống nguyên thủy của Frege về logic vị từ không phải là bậc nhất mà là bậc hai. Logic bậc hai được bảo vệ mạnh mẽ nhất bởi George Boolos và Stewart Shapiro (trước các phê phán của Willard Van Orman Quine và những người khác). CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT LOGIC VỊ TỪ Trong toán học hay trong chương trình của máy tính, chúng ta thường gặp những câu có chứa các biến như sau: "x>3", "x=y+3", "x+y=z" Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được gán cho những giá trị xác định. Câu "x > 3" có hai bộ phận: bộ phận thứ nhât là biến x đóng vai trò chủ ngữ trong câu; bộ phận thứ hai "lớn hơn 3" đóng vai trò vị ngữ của câu, nó cho biêt tính chât mà chủ ngữ có thể có. Có thể ký hiệu câu "x lớn hơn 3" là P(x) với P là ký hieu vị ngữ "lớn hơn 3" và x là biên. Người ta cũng gọi P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x. Xét trong tập hợp các số thực, một khi biến x được gán giá trị cụ thể thì câu P(x) sẽ có giá trị chân lý. Chẳng hạn P(4) là đúng còn P(2,5) là sai. Hàm mệnh đề cũng có thể xét trong tập các số nguyên, số thực hay số phức, vv…Do đó, chúng ta sẽ xem xét cách tạo ra những mênh đề từ những câu như vậy. 2.1 Khái niệm về vị từ: Một vị từ là một khẳng định P(x, y, …) trong đó có chứa một số biến x, y,…Lấy giá trị trong những tập hợp A, B,… cho trước, sao cho: • Bản thân P(x, y,…) không phải là mệnh đề. • Nếu thay x,y,…bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A,B,… cho trước ta sẽ được một mệnh đề P(x,y,…), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,…) được gọi là các biến tự do của vị từ. Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: “x > 3”, “ x + y = 4 ” rất hay gặp trong toán học và trong các chương trình của máy tính. Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định. 6 Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ. Vi dụ 2: Câu {n là chẵn} là một vị từ. Nhưng khi cho n là một số cụ thể là chẳn hay là lẻ ta được một mệnh đề: n = 2 :{2 là chẵn}: mệnh đề đúng. n = 5 :{5 là chẵn}: mệnh đề sai. Vị từ { n là chẵn} có 2 phần. Phần thứ nhất là biến x là chủ ngữ của câu. Phần thứ hai "là chẵn" cũng được gọi là vị từ, nó cho biết tính chất mà chủ ngữ có thể có. • Ký hiệu: P(n) = {n là chẵn} • Tổng quát, người ta nói P(n) là giá trị của hàm mệnh đề P tại n. Một khi biến n được gán trị thì P(n) là một mệnh đề Ví dụ 3: Cho vị từ P(x) = {x>3}. Xác định chân trị của P(4) và P(2). P(4) = {4>3} : mệnh đề đúng. P(2) = {2>3} : mệnh đề sai. 2.2 Không gian của vị từ: Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc tập hợp E ta được một ảnh P(x)∈{ϕ, 1}. Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ. Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai. 2.3Trọng lượng của vị từ: Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn. Vị từ xuất hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ. Ví dụ 4: Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N. Ta nói P có trong lượng 2. Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n. Nếu gán giá trị xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n- 1). Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề. Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ϕ. 7 Ví dụ 5: Cho vị từ P(x, y, z ) = {x + y = z}. Cho x = ϕ : Q(y,z) = P(ϕ, y, z) = { ϕ + y = z} y = ϕ : R(z) = Q(ϕ, z) = P(ϕ,ϕ, z) = { ϕ + ϕ = z} z = ϕ : T = P(ϕ, ϕ, 1) = { ϕ + ϕ = 1} mệnh đề sai. Câu có dạng P(x1, x2, , xn) được gọi là giá trị của hàm mệnh đề P tại (x1, x2, , xn) và P cũng được gọi là vị từ. 2.4 Phép toán vị từ Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức. Ví dụ 6: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau“ dưới dạng logic vịtừ. - Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau: + "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai). + "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai). • Tổng quát khẳng định trên được viết như sau: Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y) ⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬thích (X, Y) 2.4.1 Hằng: Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ. các hằng được ký hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính. 2.4.2 Biến: Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính. Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa. Vậy có thể dùng vị từ có biến để thể hiện các vị từ tương tự. Ví dụ 7: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y". Quả bóng xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ. X, Y là biến. 8 2.4.3 Các vị từ: Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần. Vị từ và tham số. Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng. Ví dụ 8: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y). Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc. Đối số là các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán. 2.4.4 Hàm: Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số. Ví dụ 9: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc. Hoa và Đông là bạn của nhau. • Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này. Mẹ (Mai) = Hoa Cha (Cúc) = Đông Bạn (Hoa, Đông) • Các hàm được dùng trong vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc) 2.5 Các lượng từ: Trong một vị từ có thể xảy ra các điều sau: vị từ đã cho đúng với mọi phần tử trong không gian xác định của nó; cũng có thể chỉ đúng với một số phần tử nào đó trong không gian xác định của nó, người ta gọi đó là sự lượng hóa hay lượng từ các hàm mệnh đề. 9 2.5.1Lượng từ tồn tại (∃): Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng" là một mệnh đề. Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x). • Ký hiệu: ∃x P(x). 2.5.2 Lượng từ với mọi ( ∀): Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một mệnh đề. Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x). • Ký hiệu: ∀xP(x) 2.5.3Ý nghĩa của lượng từ “ với mọi ” và lượng từ “ tồn tại ” được rút ra trong bảng sau: Mệnh đề Khi nào đúng Khi nào sai ∀xP(x) P(x) là đúng với mọi phần tử x Có ít nhất 1 phần tử x để P(x) ∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để P(x) là đúng P(x) là sai với mọi phần tử x Ví dụ10: Xét trong không gian các số thực, ta có: Cho P(x) := “ x + 1 > x”, khi đó có thể viết: ∀ xP(x) Cho P(x) := “ 2x = x + 1 ”, khi đó có thể viết: ∃xP(x) Ví dụ 11: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn}. Xét chân trị của hai mệnh đề∀x P(x) và ∃x P(x). ∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5. ∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng khi x=10. Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E. Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh đề ∀x P(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng. Nghĩa là ∀x P(x) ⇔ P(e1) ∧ P(e2) ∧ ∧ P(en) là đúng. 10 [...]... b sao cho cho mọi F số nguyên tương ứng a ta có a + b = 5} ∀a∃b P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng a, hiện hữu một số nguyên tưng T ứng b sao cho a + b = 5} ∃a∀b P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng a sao cho cho mọi T số nguyên tương ứng b ta có a + b = 5} ∀b∃a P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng b, hiện hữu một số nguyên tương T ứng a sao cho a + b = 5} định lý: 2.5.4.1 Định lý 1: Cho vị từ P(a,... trong khoa học máy tính, Logic là nội dung trung tâm của khoa học máy tính từ khi ngành này được hình thành: công trình của Alan Turing về Entscheidungs problem theo sau từ công trình của Kurt Gödel về các định lý về sự không toàn vẹn, và khái niệm của các máy tính dành cho mục đích tổng quát bắt nguồn từ công trình này đã có tầm quan trọng mang tính nền tảng đối với các nhà thiết kế máy tính trong những... của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3" Ví dụ 14: Hãy xét phủ định của câu sau đây: "Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2" • Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau: ∀xP(x) • Trong đó P(x) = {x đã học môn Toán rời rạc 2} • Phủ định của câu này là: "Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán. .. trình logic như Prolog tính toán các hệ quả của các tiên đề và luật để trả lời một truy vấn Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu, các luận văn, báo cáo về ứng dụng prolog trong giải quyết các vấn đề của cuộc sống như: Sử dụng Prolog trong chuẩn đoán bệnh, sử dụng prolog trong kinh dịch, sử dụng prolog trong giao thông, sử dụng prolog chuẩn đoán hư hỏng của máy móc, sử dụng prolog trong tư vấn học tập…... thanh toán cho hóa đơn A Bây giờ chúng ta đã có một hóa đơn mà không thể thanh toán Ta đặt: C(x): x là một hóa đơn T(x): x đã được thanh toán trong 30 ngày V(x): x là trống S(x): x có thể thanh toán A: một hóa đơn Vậy ta có: (∀x((C(x) ˄ ¬T(x)) → V(x))) ˄ ¬T(A) →V(A) ∀x((C(x) ˄ V(x) → ¬S(x)) ˄ V(A) → ¬S(A) C(A) ˄ ¬S(A) → ∃x(C(x) ˄ ¬S(x)) 22 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LOGIC VỊ TỪ Ngày nay, cùng với khoa. .. khoa học kỹ thuật, Lôgíc học đang có những bước phát triển mạnh, ngày càng có sự phân ngành và liên ngành rộng rãi Nhiều chuyên ngành mới của Lôgíc học ra đời : Lôgíc kiến thiết, Lôgíc đa trị, Lôgíc mờ, Lôgíc tình thái v.v… Sự phát triển đó đang làm cho Lôgíc học ngày càng thêm phong phú, mở ra những khả năng mới trong việc ứng dụng Lôgíc học vào các ngành khoa học và đời sống Đặc biệt là trong khoa học. .. những năm 1950 và 1960, các nhà nghiên cứu dự đoán rằng khi tri thức của con người có thể được biểu diễn bằng logic và các ký hiệu toán học, sẽ có khả năng tạo ra một máy tính có khả năng lập luận, hay nói cách khác là trí tuệ nhân tạo Điều này hóa ra là khó khăn hơn đã dự đoán do sự phức tạp trong lập luận của con người Trong lập trình logic, một chương trình bao gồm một tập hợp các tiên đề và các luật... cho phù hợp với nhu cầu thiết thực của bản thân Vì vậy, cụ thể: xây dựng chương trình học anh văn cho các đối tượng khác nhau tùy theo mục đích và nhu cầu của các đối tượng học viên Hệ thống tư vấn cho các học viên có các lớp học: toeft, ielts, toeic, chứng chỉ Có 3 tiêu chí: trình độ, kỹ năng và mục đích để cho học viên chọn lớp nào phù hợp với nhu cầu và mục tiêu của học viên Trình độ có 3 cấp độ: giỏi,... 3.5 Ứng dụng của prolog trong chuẩn đoán bệnh của con người: 3.5.1 Giới thiệu: Ứng dụng công nghệ thông tin cho các ngành kinh tế, xã hội đã và đamg ngày càng cần thiết và đem lại hiệu quả cao Đặc biệt là ứng dụng có hiệu quả trong quá trình nghiên cứu khám, chữa bệnh cũng như y học Nhu cầu của con người muốn tự khám những bệnh đơn giản cho mình ngày càng tăng đòi hỏi cần có một công nghệ đáp ứng được... nhất một sinh viên ở lớp này chưahọc Toán rời rạc 2" Đây chính là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đ ề ban đầu được viết như sau: ∃x¬P(x) Ta có : ¬ ∀xP(x) ⇔ ∃x¬P(x) ¬ ∃xP(x) ⇔ ∀x¬P(x) • Phương pháp ứng dụng: Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế những định lượng ∀ bởi ∃, và ∃ bởi ∀ và sau cùng thay thế vị . một nhánh của triết học. Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toán học và luật. Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo. Là một ngành khoa. gian của vị từ. X, Y là biến. 8 2.4.3 Các vị từ: Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần. Vị từ và tham số. Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị. gọi là giá trị của hàm mệnh đề P tại (x1, x2, , xn) và P cũng được gọi là vị từ. 2.4 Phép toán vị từ Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề để