Tiểu luận môn Toán cho khoa học máy tính Tìm hiểu bộ lọc KALMAN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Tiểu luận môn TOÁN Tìm hiểu bộ lọc KALMAN GVHD: TS. Dương Tôn Đảm HVTH: Lê Đỗ Minh Nga MSHV: CH1301101 TP HCM, tháng 11 năm 2014 1 Mục lục 1. MỞ ĐẦU Bộ lọc Kalman, được Rudolf (Rudy) E. Kálmán công bố năm 1960, là thuật toán sử dụng chuỗi các giá trị đo lường, bị ảnh hưởng bởi nhiễu hoặc sai số, để ước đoán biến số nhằm tăng độ chính xác so với việc sử dụng duy nhất một giá trị đo 2 lường. Bộ lọc Kalman thực hiện phương pháp truy hồi đối với chuỗi các giá trị đầu vào bị nhiễu, nhằm tối ưu hóa giá trị ước đoán trạng thái của hệ thống. Bộ lọc Kalman được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, phổ biến trong các ứng dụng định hướng, định vị và điều khiển các phương tiện di chuyển. Ngoài ra, bộ lọc Kalman còn được ứng dụng để phân tích dữ liệu trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và kinh tế. Bài thu hoạch này dựa trên những kết quả nghiên cứu của những người đi trước để tổng hợp những vấn đề liên quan tới thuật toán Kalman Nội dung bài thu hoạch gồm hai phần: -Tìm hiểu lọc Kalman -Ứng dụng Kalman trong xử lý ảnh 2. NỘI DUNG 2.1 Tìm hiểu về Lọc Trước tiên, bộ lọc là một quá trình xử lý nhằm loạị bỏ những gì không có giá trị hoặc không quan tâm đến và giữ lại những gì có giá trị sử dụng. Ví dụ trong xử lý ảnh: Bộ lọc làm mượt được sử dụng để làm mờ và giảm nhiễu hoặc được xử dụng trong một số bước tiền xử lý như xóa bỏ một số chi tiết nhỏ trong ảnh hoặc làm liền các khoảng trống nhỏ giữa các đường nét 2.2 Giới thiệu lọc Kalman 2.2.1 Đôi nét Rudolf Emil Kalman Rudolf Emil Kalman sinh năm 1930 tại thủ đô Budapest, Hungary. Năm nay (2013) ông đã 83 tuổi. Ông tốt nghiệp bằng cử nhân và thạc sĩ về kĩ thuật điện tử năm 1953 và 1954. Ông nhận bằng tiến sĩ tại Đại học Columbia năm 1957. Ông đã từng là viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia (Mỹ), Viện Hàn lâm Kỹ thuật Quốc gia (National Academy of Engineering) (Mỹ) và Viện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuật (American Academy of Arts and Sciences) (Mỹ). Ông còn là viện sĩ của các viện hàn lâm ở các nước khác như: Viện Hàn lâm Khoa học Hungary, Pháp, Nga. Ông cũng đã nhận nhiều bằng tiến sĩ danh dự. 2.2.2 Lọc Kalman là gì: 3 Bộ lọc Kalman là một tập hợp các phương trình tóan học mô tả một phương pháp tính tóan truy hồi hiệu qủa cho phép ước đoán trạng thái của một quá trình (process) sao cho trung bình phương sai của độ lệch (giữa giá trị thực và giá trị ước đóan) là nhỏ nhất. Bộ lọc Kalman rất hiệu quả trong việc ước đóan các trạng thái trong quá khứ, hiện tại và tương lai thậm chí ngay cả khi tính chính xác của hệ thống mô phỏng không được khẳng định. Từ một tín hiệu cần đo, khi chúng ta đo, sẽ có những sai số từ cảm biến, ảnh hưởng đến tín hiệu cần đo, môi trường đo có nhiễu Tất cả những thứ này, tổng hợp lại, sẽ cho ta một kết quả đo. 2.3 Những vấn đề trong lọc Kalman 2.3.1 Mô hình tổng quát của ước lượng dùng lọc Kalman 4 Chúng ta có thể ánh xạ các phần trong ví dụ dẫn nhập ở trên vào sơ đồ này như sau: • Mô hình hệ thống: phương trình động học x(k) = x(k − 1) + 70. • Cảm biến: bộ phận định vị gắn trên vật. Giá trị ước lượng tối ưu: x^3. • Lọc Kalman: “hộp đen” tính các hệ số α và β. Một ước lượng thật sự sử dụng lọc Kalman cũng bao gồm các phần trên. Như vậy đến đây chúng ta có được các khái niệm cần thiết để bước vào xây dựng lọc Kalman và lọc Kalman - Bucy (thực chất là tìm và giải các phương trình để tính toán các tham số cho ước lượng tối ưu). 2.3.2 Lọc tối ưu cho trường hợp rời rạc Cho mô hình trạng thái và quan sát như sau: (Trạng thái) xk = Φk−1xk−1 + Bk−1uk−1 + wk−1, (2.1) (Quan sát) zk = Hkxk + rk. (2.2) Trong các phương trình trên Φ, B và H là các ma trận được biết; k là chỉ số thời gian, x được gọi là trạng thái của hệ thống; u là một đầu vào được biết đến của hệ thống; z là đo đầu ra và w, r là các ồn trắng. Biến w được gọi là nhiễu hệ thống và r được gọi là nhiễu đo lường. Vector x chứa tất cả các thông tin về tình trạng hiện tại của hệ thống, nhưng chúng ta không thể đo x trực tiếp. Thay vào đó chúng ta đo lường z, đó là một hàm của x và nó là bị nhiễu do ồn trắng r. Ở đây ta giả sử w, r là không tương quan với x ; wk và rk là các biến ngẫu nhiên độc lập và được giả sử là tuân theo phân phối Gauss với trung bình bằng 0 và ma trận hiệp phương sai lần lượt là Qk và Rk. wk ∼ N(0, Qk), rk ∼ N(0, Rk) Bây giờ, chúng ta sẽ đi thiết lập ước lượng tốt nhất cho x dựa trên mô hình trạng thái và quan sát trên. Giả sử chúng ta có ước lượng tiên nghiệm và hậu nghiệm của giá trị x ở thời điểm k là: x^k(−) và x^k(+). Giá trị tiên nghiệm là giá trị thu được từ hệ thống còn giá trị hậu nghiệm là giá trị thu được sau khi đã kết hợp với giá trị đo đạc (Khi đó sai số của các ước đoán tiên nghiệm và hậu nghiệm là: 5 εk(−) = xk – x^(−), εk(+) = xk – x^k(+). Ma trận hiệp phương sai của hai sai số trên lần lượt được tính theo công thức: Ta biết rằng ước lượng hậu nghiệm có được là từ ước lượng tiên nghiệm kết hợp với quan sát. Khi đó, ta có phương trình quan hệ giữa ước lượng tiên nghiệm và hậu nghiệm như sau: (2.3) trong đó: • x^k(−): giá nghiệm của x; • x^k(+): giá trị hậu nghiệm của x; • và k : các ma trận chưa biết, k gọi là độ lợi của lọc Kalman. Theo quy tắc trực giao, để hiệp phương sai của sai số của ước lượng hậu nghiệm là nhỏ nhất thì ta phải có: Thay (2.1) và (2.3) vào phương trình (2.4) ta nhận được: Tiếp tục thay zk = Hkxk + rk vào ta thu được: 6 Sử dụng các điều kiện sau: Và Biến đổi phương trình trên, ta nhận được: Như vậy ta có: Thay vào (2.3) ta nhận được: Theo quy tắc trực giao ta có: Trừ hai phương trình này ta được: Thay (2.6) vào (2.7) và bỏ qua đối số thời gian ta nhận được: 7 Ta lưu ý rằng giữa tín hiệu và nhiễu không tương quan, từ đó ta có: Hay Ta lại có ta có thể tiếp tục biến đổi như sau: Bây giờ chúng ta đi xem xét từng số hạng trong tổng trên: 1. Số hạng thứ nhất: 2. Số hạng thứ hai, ta lưu ý thêm giữa tín hiệu và nhiễu là không tương quan 3. Ở số hạng thứ ba, ta có thể biến đổi như sau: 8 4. Số hạng thứ tư giống như cách chuyển đổi ở số hạng thứ ba: Khi đó, biểu thức (2.9) có thể viết dưới dạng: Kết hợp (2.8), chúng ta nhận được biểu thức cuối cùng: Như vậy bằng cách sử dụng hiệp phương sai của sai số ước lượng tiên nghiệm kết hợp với quan sát (giá trị đo được) ta có hiệp phương sai của sai số ước lượng hậu nghiệm. Dựa vào phương trình trạng thái, ta dự đoán ước lượng tiên nghiệm của vecto trạng thái tại thời điểm tiếp theo là: và một ước lượng tiên nghiệm của hiệp phương sai của sai số: Sau đó quy trình cập nhật được lặp đi lặp lại. 2.3.3 Thuật toán cho lọc Kalman Như vậy, lọc Kalman gồm hai giai đoạn chuẩn bị và năm giai đoạn chính. Hai giai đoạn chuẩn bị: 9 1. Đối với thời gian đầu ước lượng tiên nghiệm của trạng thái là xb0(−) và hiệp phương sai P0(−) xem như được xác định. 2. Sự đổi mới của vecto trạng thái được thực hiện theo công thức: và ma trận hiệp phương sai của sai số ước lượng được cập nhật thu được là: trong đó: Năm giai đoạn chính của lọc Kalman: 1. Ước lượng tiên nghiệm tại thời điểm k+1 được ngoại suy (dự đoán) bởi công thức: 2. Tiếp theo ma trận hiệp phương sai của sai số của ước lượng tiên nghiệm tại thời điểm k+1 được tính bởi: 3. Ma trận độ lợi được tính bởi: 4. Ma trận hiệp phương sai của sai số của ước lượng hậu nghiệm này được tính như sau: 5. Ước lượng tối ưu (kết hợp vecto đo): 10 [...]... trình thao tác đầu vào nhằm cho ra kết quả mong đợi Kết quả đầu ra có thể là một ảnh tốt hơn hoặc kết luận Ảnh tốt hơn Ảnh Xử lý ảnh Kết luận 2.3.2 Những vấn đề trong ứng dụng bộ lọc Kalman trong xử lý ảnh Bộ lọc Kalman có rất nhiều công dụng, bao gồm cả các ứng dụng trong kiểm soát, chuyển hướng, thị giác máy tính, xử lý ảnh, và tài chính… 2.3.2.1 Ứng dụng trong thị giác máy tính phát hiện đối tượng... 3 Kết luận Bộ lọc Kalman được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật, phổ biến trong các ứng dụng định hướng, định vị và điều khiển các phương tiện di chuyển Ngoài ra, bộ lọc Kalman còn được ứng dụng để phân tích dữ liệu trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu và kinh tế và xử lý ảnh và thị giác máy tính Bài viết chỉ tóm tắt ứng dụng bộ loc Kalman vào xử lý ảnh Tài liệu tham khảo [1] Slide bài giảng môn Toán thầy...2.3 Ứng dụng lọc Kalman trong Xử lý ảnh 2.3.1 Tổng quan xử lý ảnh Xử lý ảnh là một lĩnh vực mang tính khoa học và công nghệ Nó là một ngành khoa học mới mẻso với nhiều ngành khoa học khác nhưng tốc độphát triển của nó rất nhanh, kích thích các trung tâm nghiên cứu, ứng dụng, đặc biệt là máy tính chuyên dụng riêng cho nó Các phương pháp xử lý ảnh bắt đầu từcác ứng... có thể là làm trung tâm vị trí tiên đoán s ± Ds -Cập nhật mô hình: Là các đối tượng ở vị trí tiên đoán? Đúng ->Không có thay đổi mô hình Sai -> Mô hình cần được cập nhật Bộ lọc Kalman là một giải pháp -Bộ lọc kalman: Phương pháp toán học chính xá của việc sử dụng các phép đo không chắc chắn để cập nhật một mô hình Độ đo y [k] Ví dụ các vị trí Trạng thái hệ thống x [k] :Vị trí, vận tốc của đối tượng Ma... ảnh 11 Bộ lọc Kalman được sử dụng để thực hiện hiệu quả hơn của các đối tượng Các bước phát hiện đối tượng: Bước 1: - Khởi tạo (k = 0) Tìm hiểu các vị trí đối tượng và khỏi tạo biến khả năng chịu lỗi (P0 = 1) Bước 2: - Dự đoán (k> 0) dự đoán vị trí tương đối của các đối tượng ^ xk_ được xem là sử dụng làm trung tâm tìm kiếm đối tượng Bước 3: - Sự hiểu chỉnh (k> 0) Phương pháp đo lường mang lại sự hiểu. .. hai, máy tính phát triển nhanh tạo điều kiện cho quá trình xử lý ảnh sô thuận lợi Năm 1964, máy tính đã có khả năng xử lý và nâng cao chất lượng ảnh từ mặt trăng và vệ tinh Ranger 7 của Mỹbao gồm: làm nổi đường biên, lưu ảnh Từnăm 1964 đến nay, các phương tiện xử lý, nâng cao chất lượng, nhận dạng ảnh phát triển không ngừng Các phương pháp tri thức nhân tạo như mạng nơron nhân tạo, các thuật toán xử... 0) Phương pháp đo lường mang lại sự hiểu chỉnh trạng thái để tìm ra ^xk Lợi thế là chịu đựng các bao vây nhỏ Bất cứ khi nào đối tượng bị tắc sẽ bị bỏ qua các hiệu chỉnh đo lường và vẫn tiếp tục dự đoán cho đến khi nhận được đối tượng một lần nữa ở khu vực cục bộ 2.3.2.2 Ứng dụng trong thị giác máy tính dự đoán vị trí tưởng lai của đối tượng Tìm cách đối tượng đang di chuyển trong một chuỗi hình ảnh:... lý ảnh và thị giác máy tính Bài viết chỉ tóm tắt ứng dụng bộ loc Kalman vào xử lý ảnh Tài liệu tham khảo [1] Slide bài giảng môn Toán thầy Dương Tôn Đảm [2] Luận văn LỌC NGẪU NHIÊN KALMAN – BUCY- Nguyễn Thị Lệ Phương [3] Luận văn báo cáo về bộ loc Kalman – nguồn internet 17 ... trong chụp ảnh: Camera tĩnh, vật thể di động Di chuyển máy ảnh, vật thể di động Thu nhận mục tiêu: tìm những mục tiêu mà thay đổi hay có cạnh di chuyển Phát hiện những đối tượng thay đổi và di chuyển: Phương pháp đơn giản nhất để phát hiện sự thay đổi là tính toán sự khác biệt giữa hình ảnh sống và hình nền hay những hình ảnh liền kề trong một chuỗi Tìm ra sự thay đổi: Đối tượng di chuyển nằm phía trên... trong ví trí dự đoán - Ds 14 -Sự xác minh: Là các đối tượng ở vị trí tiên đoán? Làm thế nào để quyết định xem đối tượng được tìm thấy Nơi để tìm đối tượng -Khớp đối tượng: So sánh: Một bitmap nhỏ bắt nguồn từ các đối tượng vs Khu vực nhỏ của hình ảnh có khớp không và đo sự khác biệt -Tìm kiếm khu vực: Sự không chắc chắn của các tham số mô hình Sự giới hạn độ chính xác của độ đo Các giá trị có thể thay đổi . liên quan tới thuật toán Kalman Nội dung bài thu hoạch gồm hai phần: -Tìm hiểu lọc Kalman -Ứng dụng Kalman trong xử lý ảnh 2. NỘI DUNG 2.1 Tìm hiểu về Lọc Trước tiên, bộ lọc là một quá trình. ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Tiểu luận môn TOÁN Tìm hiểu bộ lọc KALMAN GVHD: TS. Dương Tôn Đảm HVTH: Lê Đỗ Minh Nga MSHV:. vào xây dựng lọc Kalman và lọc Kalman - Bucy (thực chất là tìm và giải các phương trình để tính toán các tham số cho ước lượng tối ưu). 2.3.2 Lọc tối ưu cho trường hợp rời rạc Cho mô hình trạng