Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG

1 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÀI THU HOẠCH MÔN HỌC TOÁN CHO MÁY TÍNH ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG Trang 2 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ TP.HỒ CHÍ MINH – THÁNG 12 NĂM 2013 LỜI MỞ ĐẦU Hằng ngày,trước khi bắt tay làm một việc nào đó.Chúng ta đều phải tư duy,suy nghĩ.chúng ta so sánh, phán đoán, suy lý, trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về các hiện tượng, sự vật xung quanh. Nghĩa là tự nhiên ban cho con người chúng ta bộ não hoạt động tư duy với các quy luật logic vốn có, khách quan ở tất cả mọi người và mọi dân tộc.Chính quá trình đó là cơ sở tạo ra sự phát triển của logic học. Các quy luật của tư duy logic là phổ biến cho toàn nhân loại. Do đó dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học xác suất, v.v Các bộ môn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắc bén giúp tư duy con người ngày càng đi sâu hơn vào nhận thức các bí mật của thế giới khách quan. Sự ra đời của lôgíc mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát triển của lôgíc học, chuyển từ lôgíc học truyền thống đến lôgíc học hiện đại. Sử dụng toàn bộ những khái niệm của lôgíc mệnh đề kết hợp với khảo sát các mệnh đề từ việc phân tích các thành phần của mệnh đề, người ta đã xây dựng các hàm vị từ, đồng thời đưa vào sử dụng hai hằng lôgíc quan trọng, lượng từ toàn thể và lượng từ bộ phận. Trang 3 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ Tuy nhiên logic mệnh đề có một số hạn chế .Vì vậy lôgíc vị từ ra đời và đã khắc phục những hạn chế của lôgíc mệnh đề như: thiếu việc sử dụng các lượng từ toàn thể và bộ phận, không phân tích kết cấu của các mệnh đề. Sự khắc phục này cho phép ta đi sâu vào phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng nói chung, mở ra một khả năng nghiên cứu tính chân lý của các tư tưởng một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn. Trang 4 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ MỤC LỤC Lời mở đầu 1 1. Thế nào là logic ? 2 Logic mệnh đề 3 Logic vị từ 3.1 Khái niệm về vị từ 3.2 Không gian của vị từ 3.3 Trọng lượng của vị từ 3.4 Phép toán vị từ 3.4.1 Hằng 3.4.2 Biến 3.4.3 Các vị từ 3.4.4 Hàm 3.5 Các lượng từ 3.5.1 Lượng từ tồn tại 3.5.2 Lượng từ với mọi 3.6 Công thức tương đương 3.6.1 Các phép tương đương 3.6.2 Các phép tương đương có giới hạn 3.6.3 Một vài điều kiện không tương đương 3.7 Công thức chỉnh dạng (well - formed formulas) 3.7.1 Xây dựng công thức chỉnh dạng 3.7.2 Chuyển từ Wff sang mệnh đề 3.7.3 Sự tương đương 3.8 Quy tắc suy diễn trong logic vị từ Trang 5 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ cấp 1 3.9 Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ-dạng chuẩn Prenex 3.10 Luật suy diễn 3.11 Các ví dụ 3.11.1 Diễn đạt các câu thông thường thành biểu thức logic 3.11.2 Diễn đạt biểu thức logic thành các câu thông thường 4 Ứng dụng1 4.1 Thuật toán các phép tính số nguyên 4.2 Bài toán cộng hai số nguyên ở dạng nhị phân 4.3 Bài toán nhân hai số nhị phân 5 Kết luận 6 Tài liệu tham khảo 　　　 Trang 6 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ 1. Thế nào là logic? Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí). Logic thường được nhắc đến như là một ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia. Tuy nhiên khi môn học được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý. 2.Logic mệnh đề Bao gồm đại số mệnh đề và hệ toán mệnh đề, gọi chung là phép tính mệnh đề. Nhiệm vụ cơ bản của đại số mệnh đề là xây dựng hệ thống quy tắc kết cấu các mệnh đề, cũng như thực hiện các phép biến đổi mệnh đề đúng đắn, chính xác, chặt chẽ. Nhờ đó, quá trình lập luận lôgic sẽ được chuyển thành các hệ toán lôgic. Hệ toán mệnh đề là một hệ thống đóng kín, bao gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên đề (nếu là hệ toán lôgic tiên đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta có thể thu được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tuỳ thuộc giá trị chân lí của các tiền đề và việc áp dụng các lập luận lôgic. 3.Logic vị từ ?(LVT) Là sự mở rộng lôgic mệnh đề bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mới vào ngôn ngữ hình thức hoá của phép toán lôgic mệnh đề. Kết quả, đại số mệnh đề sẽ chuyển thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ. Nếu lôgic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học chính xác và chặt chẽ đối với các phán đoán thì LVT, hơn thế nữa, còn cho phép thực hiện các phép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm. Do đó, LVT không chỉ chính xác hoá cơ sở lôgic của hệ thống phán đoán, mà còn hoàn thiện cơ sở lôgic của hệ thống khái niệm. Trang 7 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ 3.1. Khái niệm về vị từ Một vị từ là một khẳng định P(x,y,…) trong đó có chứa một số biến x,y, …Lấy giá trị trong những tập hợp A,B,… cho trước, sao cho: • Bản thân P(x,y,…) không phải là mệnh đề. • Nếu thay x,y,…bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A,B,… cho trước ta sẽ được một mệnh đề P(x,y,…), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,…) được gọi là các biến tự do của vị từ. Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: " x > 3 ", " x + y = 4 " rất hay gặp trong toán học và trong các chương trình của máy tính. Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định. Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ. Ví dụ 2 : Cho vị từ P(x) = {x>3}. Xác định chân trị của P(4) và P(2). Giải: P(4) = {4>3} : mệnh đề đúng. P(2) = {2>3} : mệnh đề sai. 3.2 Không gian của vị từ Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc tập hợp E ta được một ảnh P(x)∈{ , 1}. Tập hợp E này được gọi là không ϕ gian của vị từ. Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai. 3. 3 Trọng lượng của vị từ Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn. Vị từ xuất hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ. Ví dụ 1 : Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N. Ta nói P có trong lượng 2. Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n. Nếu gán giá trị xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n-1). Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề. Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là . ϕ Ví dụ 2: Cho vị từ P(x, y, z ) = {x + y = z}. Trang 8 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ Cho x = ϕ : Q(y,z) = P(ϕ, y, z) = { ϕ + y = z} y = ϕ : R(z) = Q(ϕ, z) = P(ϕ,ϕ, z) = { ϕ + ϕ = z} z = ϕ : T = P(ϕ, ϕ, 1) = { ϕ + ϕ = 1} mệnh đề sai. Câu có dạng P(x1, x2, , xn) được gọi là giá trị của hàm mệnh đề P tại (x1, x2, , xn) và P cũng được gọi là vị từ. 3.4 Phép toán vị từ Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức. Ví dụ : Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau" dưới dạng logic vịtừ. - Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau: + "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai) + "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là:thích (Đông, Mai). Tổng quát khẳng định trên được viết như sau: Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y) (Thích (X, Z)∧ thích (Y, Z) → ¬ thích (X, Y) 3.4.1 Hằng: Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ. các hằng được ký hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính. 3.4.2 Biến: Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính. Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa. Vậy có thể dùng vị từ có biến để thể hiện các vị từ tương tự. Ví dụ : Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y". Quả bóng xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ. X, Y là biến. 3.4.3 Các vị từ Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần.Vị từ và tham số. Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng. Trang 9 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ Ví dụ : Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y). Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc. Đối số là các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán. 3.4.4 Hàm Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số. Ví dụ : Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc. Hoa và Đông là bạn của nhau. - Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này. Mẹ (Mai) = Hoa Cha (Cúc) = Đông Bạn (Hoa, Đông) - Các hàm được dùng trong vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc) 3.5 Các lượng từ Trong một vị từ có thể xảy ra các điều sau: vị từ đã cho đúng với mọi phần tử trong không gian xác định của nó; cũng có thể chỉ đúng với một số phần tử nào đó trong không gian xác định của nó, người ta gọi đó là sự lượng hóa hay lượng từ các hàm mệnh đề. 3.5.1 Lượng từ tồn tại (∃) Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng" là một mệnh đề. Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x). Ký hiệu:∃x P(x) 3.5.2 Lượng từ với mọi (∀) Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một mệnh đề. Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x).  Ký hiệu:∀xP(x) Ý nghĩa của lượng từ " với mọi " và lượng từ " tồn tại " được rút ra trong bảng sau: Trang 10 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ Mệnh đề Khi nào đúng Khi nào sai ∀xP(x) P(x) là đúng với mọi phần tử Có ít nhất 1 phần tử x để x P(x) sai ∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để P(x) là sai với mọi phần tử x P(x) là đúng Ví dụ: Xét trong không gian các số thực, ta có: Cho P(x) := " x + 1 > x", khi đó có thể viết:∀ xP(x) Cho P(x) := " 2x = x + 1 ", khi đó có thể viết:∃xP(x) Ví dụ : Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn}. Xét chân trị của hai mệnh đề∀x P(x) và∃x P(x). Giải: ∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5. ∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng khi x=10. Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E. Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh đề∀x P(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng. Nghĩa là∀x P(x) P(e1)⇔ ∧ P(e2)∧ ∧ P(en) là đúng. Tương tự∃x P(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng. Nghĩa là ∃x P(x) P(e1)⇔ ∨ P(e2)∨ ∨ P(en) là đúng. Các định lý Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2. Khi đó: a)∀a∀b P(a,b) và∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị. Nghĩa là:∀a∀b P(a,b) ↔∀b∀a P(a, b) Trang [...]... không phải là đỉnh cao của logic học nhưng những điều mà logic vị từ đã cống hiến thực sự là rất to lớn, nó là cơ sở logic chung của tư duy chính xác, đặc biệt là các lĩnh vực như toán học, khoa học thực nghiệm, luật học, kĩ thuật điều khiển từ xa, vv Có thể nói logic vị từ là nền tảng của logic toán học hiện đại 6 Tài liệu tham khảo: [1], Nguyễn Quang Châu, ebook " Logic_ Vị từ ", khoa CNTT ĐHCN Tp.HCM... Bài toán nhân hai số nhị phân: Tương tự, sử dụng qui tắc nhân 2 số nhị phân sau đó cộng kêt quả lại Ví dụ: Tìm tích của a = và b = Giải Ta nhận thấy: a = *1* = a = *0* = a = *1* Sử dụng thuật toán tính tổng hai số nguyên a, b có biểu diễn n bit nhị phân (có thể thêm số 0 vào đầu mỗi toán hạng) ta được : =+ = = ab 5.Kết luận Logic vị từ vẫn còn một số những hạn chế, chưa được ứng dụng nhiều như logic. .. lượng từ trong định lý 2 Ví dụ : Hãy xét phủ định của câu sau đây :"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2" Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau:∀xP(x)Trong đó P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 } Phủ định của câu này là: " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2" Điều này có nghĩa là:" Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưa học Toán. .. nguyên n là chia chẵn cho 3" là "Tồn tại ít nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3" Ví dụ Hãy xét phủ định của câu sau đây : "Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2" - Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau:∀xP(x) Trong đó P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 } -Phủ định của câu này là : " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2" Điều... của lượng từ như sau: Trang 20 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ 4 Ứng dụng: 4.1 Thuật toán các phép tính số nguyên Các thuật toán thực hiện các phép tính với các so nguyên khi dùng khai triển nhị phân là hết sức quan trọng trong bộ xử lý số học của máy tính Như ta đã biết, thực chất các số nguyên được biểu diễn trong máy tính là các xâu bit nhị phân, do vậy chúng ta có thể sử dụng biểu... lượng, người ta thay thế những định lượng∀ bởi∃, và ∃ bởi∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian 1 Mệnh đề∀x (P(x)∧Q(x)) và (∀x (P(x)∧∀x (Q(x)) là có cùng chân trị 2 Nếu mệnh đề∃x (P(x)∧Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃xP(x))∧ (∃xQ(x)) cũng đúng 3 Mệnh đề∃x (P(x)∨Q(x)) và (∃xP(x)∨∃xQ(x)) là có cùng chân trị 4 Nếu mệnh đề∀x... luôn đúng Chú thích:  Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E Ta có: - Tập hợp A⊂E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là đúng - Tập hợp B⊂E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là đúng  Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E Ta có: -Tập hợp A⊂E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là đúng -Tập hợp B⊂E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà... được thanh toán (bằng tiền mặt) cho 30 ngày Hóa đơn A vẫn chưa được thanh toán cho 30 ngày Vì vậy việc kiểm tra này là trống Bạn không thể thanh toán cho một hóa đơn trống Do đó bạn không thể thanh toán cho hóa đơn A Bây giờ chúng ta đã có một hóa đơn mà không thể thanh toán Ta đặt: Trang 17 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ + C(x): x là một hóa đơn + T(x): x đã được thanh toán trong... chưahọc Toán rời rạc 2" Đây chính là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được viết như sau : ∃x¬P(x) Ta có : Trang 11 HV: NGUYỄN THU THỦY GVHD: PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ ¬∀xP(x)⇔∃x¬P(x) ¬∃xP(x)⇔∀x¬P(x)   • Phương pháp ứng dụng: Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay thế những định lượng∀ bởi∃, và ∃... mục đích loại đi những điều chưa rõ ràng và người ta có thể sử dụng các câu suy luận này trong việc lập trình logic và trí tuệ nhân tạo Ví dụ: Biểu diễn câu "Mọi người đều có chính xác một người bạn tốt nhất"thành một biểu thức logic Giải: Giả sử B(x,y) là câu "y là bạn tốt của x" Để dịch câu trong ví dụ cần chú ý B(x,y) muốn nói rằng đối với mỗi cá nhân x có một cá nhân khác là y sao cho y là bạn tốt . PGS.TS.NGUYỄN PHI KHỨ ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÀI THU HOẠCH MÔN HỌC TOÁN CHO MÁY TÍNH ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU VỀ LOGIC VỊ TỪ VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG Trang 2 HV: NGUYỄN. đầu 1 1. Thế nào là logic ? 2 Logic mệnh đề 3 Logic vị từ 3.1 Khái niệm về vị từ 3.2 Không gian của vị từ 3.3 Trọng lượng của vị từ 3.4 Phép toán vị từ 3.4.1 Hằng 3.4.2 Biến 3.4.3 Các vị từ 3.4.4 Hàm 3.5. logic học. Các quy luật của tư duy logic là phổ biến cho toàn nhân loại. Do đó dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học