Do đó dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học xác suất, v.v... Sử dụng toàn
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BÀI THU HOẠCH MÔN HỌCTOÁN CHO MÁY TÍNH
Trang 2TP.HỒ CHÍ MINH – THÁNG 12 NĂM 2013
LỜI MỞ ĐẦU
Hằng ngày,trước khi bắt tay làm một việc nào đó.Chúng ta đều phải tư duy,suy nghĩ.chúng ta so sánh, phán đoán, suy lý, trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về các hiện tượng, sự vật xung quanh Nghĩa là tự nhiên ban cho con người chúng ta bộ não hoạt động
tư duy với các quy luật logic vốn có, khách quan ở tất cả mọi người và mọi dân tộc.Chính quá trình đó là cơ sở tạo ra sự phát triển của logic học Các quy luật của tư duy logic là phổ biến cho toàn nhân loại
Do đó dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học xác suất, v.v Các bộmôn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắc bén giúp tư duy con người ngày càng
đi sâu hơn vào nhận thức các bí mật của thế giới khách quan
Sự ra đời của lôgíc mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát triển của lôgíc học, chuyển từ lôgíc học truyền thống đến lôgíc học hiện đại Sử dụng toàn bộ những khái niệm của lôgíc mệnh đề kết hợp với khảo sát các mệnh đề từ việc phân tích các thành phầncủa mệnh đề, người ta đã xây dựng các hàm vị từ, đồng thời đưa vào sử dụng hai hằng lôgíc quan trọng, lượng từ toàn thể và lượng từ bộ phận
Trang 3Tuy nhiên logic mệnh đề có một số hạn chế Vì vậy lôgíc vị từ ra đời và đã khắc phục những hạn chế của lôgíc mệnh đề như: thiếu việc sử dụng các lượng từ toàn thể và bộ phận, không phân tích kết cấu của các mệnh đề Sự khắc phục này cho phép ta đi sâu vào phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng nói chung, mở ra một khả năng nghiên cứu tính chân lý của các tư tưởng một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn.
Trang 5cấp 1 13
3.9 Dạng chuẩn tắc của công thức
3.11.1 Diễn đạt các câu thông thường
3.11.2 Diễn đạt biểu thức logic thành
Trang 61 Thế nào là logic?
Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển ό (logos), nghĩa nguyên thủy là từ
ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí) Logic thường được nhắc đến như là một ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia Tuy nhiên khi môn học được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý
2.Logic mệnh đề
Bao gồm đại số mệnh đề và hệ toán mệnh đề, gọi chung là phép tính mệnh đề Nhiệm
vụ cơ bản của đại số mệnh đề là xây dựng hệ thống quy tắc
kết cấu các mệnh đề, cũng như thực hiện các phép biến đổi mệnh đề đúng đắn, chính xác,chặt chẽ Nhờ đó, quá trình lập luận lôgic sẽ được chuyển thành các hệ toán lôgic Hệ toán mệnh đề là một hệ thống đóng kín, bao gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên
đề (nếu là hệ toán lôgic tiên đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta
có thể thu được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tuỳ thuộc giá trị chân lí của các tiền đề và việc áp dụng các lập luận lôgic
3.Logic vị từ ?(LVT)
Là sự mở rộng lôgic mệnh đề bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mới vào ngôn ngữ hình thức hoá của phép toán lôgic mệnh đề Kết quả, đại số mệnh đề sẽ chuyển thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ Nếu lôgic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học
chính xác và chặt chẽ đối với các phán đoán thì LVT, hơn thế nữa, còn cho phép thực hiện các phép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm
Do đó, LVT không chỉ chính xác hoá cơ sở lôgic của hệ thống phán đoán, mà còn hoàn thiện cơ sở lôgic của hệ thống khái niệm
Trang 73.1 Khái niệm về vị từ
Một vị từ là một khẳng định P(x,y,) trong đó có chứa một số biến x,y, Lấy giá trị trong những tập hợp A,B, cho trước, sao cho:
• Bản thân P(x,y,) không phải là mệnh đề
• Nếu thay x,y,bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A,B, cho trước ta sẽ được một mệnh đề P(x,y,), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,) được gọi là các biến tự do của vị từ
Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: " x > 3 ", " x + y = 4 " rất hay gặp trong
toán học và trong các chương trình của máy tính Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định
Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều
biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lậpluận của vị từ
Ví dụ 2 : Cho vị từ P(x) = {x>3} Xác định chân trị của P(4) và P(2)
Giải:
P(4) = {4>3} : mệnh đề đúng
P(2) = {2>3} : mệnh đề sai
3.2 Không gian của vị từ
Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc
tập hợp E ta được một ảnh P(x){ϕ, 1} Tập hợp E này được gọi là không
gian của vị từ Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm
cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai
3 3 Trọng lượng của vị từ
Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn Vị từ xuất
hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ
Ví dụ 1 : Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N Ta
nói P có trong lượng 2
Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n Nếu gán giá trị
xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n-1) Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề
Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ϕ
Ví dụ 2: Cho vị từ P(x, y, z ) = {x + y = z}
Cho x = ϕ : Q(y,z) = P(ϕ, y, z) = { ϕ + y = z}
Trang 8Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng
của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức
Ví dụ : Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích
nhau" dưới dạng logic vịtừ
- Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết
như sau:
+ "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam,
Mai)
+ "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là:thích (Đông, Mai)
Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:
Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) NOT thích (X, Y)
(Thích (X, Z) thích (Y, Z) ¬ thích (X, Y)
3.4.1 Hằng:
Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ các hằng được ký
hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính
3.4.2 Biến:
Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc
tính Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa Vậy có thể dùng vị từ có biến
để thể hiện các vị từ tương tự
Ví dụ : Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y" Quả bóng
xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ X, Y là biến
3.4.3 Các vị từ
Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần.Vị từ và tham số Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định vềđối tượng
Trang 9Ví dụ : Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y)
Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là
các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán
3.4.4 Hàm
Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số
Ví dụ : Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc Hoa và Đông là bạn của
3.5.1 Lượng từ tồn tại ()
Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập
hợp rỗng" là một mệnh đề Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x)
là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x)
Ký hiệu:x P(x)
3.5.2 Lượng từ với mọi ()
Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E"
là một mệnh đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x)
Ký hiệu:xP(x)
Ý nghĩa của lượng từ " với mọi " và lượng từ " tồn tại " được rút ra trong
bảng sau:
Trang 10Mệnh đề Khi nào đúng Khi nào sai
Ví dụ: Xét trong không gian các số thực, ta có:
Cho P(x) := " x + 1 > x", khi đó có thể viết: xP(x)
Cho P(x) := " 2x = x + 1 ", khi đó có thể viết:xP(x)
Ví dụ : Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn} Xét chân trị của hai mệnh đềx
P(x) vàx P(x)
Giải:
x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5
x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng
khi x=10
Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh
đềx P(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng
Nghĩa làx P(x) P(e1)⇔ P(e1) P(e2) P(en) là đúng
Tương tựx P(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề
P(e1), P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là
x P(x) P(e1)⇔ P(e1) P(e2) P(en) là đúng
Các định lý
Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2 Khi đó:
a)ab P(a,b) vàba P(a, b) là có cùng chân trị
Nghĩa là:ab P(a,b) ba P(a, b)
Ký hiệu:(a,b) P(a,b)
b)ab P(a,b) vàba P(a, b) là có cùng chân trị
Trang 11Nghĩa là:ab P(a,b) ba P(a, b)
Ký hiệu:(a,b) P(a,b)
c) Nếuab P(a,b) là đúng thìba P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lại chưa đúng
Nghĩa là:ab P(a,b) ba P(a,b)
d) Nếuba P(a,b) là đúng thìab P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược
lại chưa đúng Nghĩa là:ba P(a,b) ab P(a,b)
Định lý 2:
¬(x P(x)) vàx (¬P(x) là có cùng chân trị
¬(x P(x)) vàx (¬P(x) là có cùng chân trị
Giải thích:
Phủ định vớix P(x) nói rằng tập hợp những x làm cho P(x) đúng không là
tất cả tập hợp E Vậy nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x E mà ở chúng P(x) là sai hay nói rằng hiện hữu ít nhất một phần tử x E mà ở
chúng P(x) là đúng
¬x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp
rỗng Nghĩa là, tập hợp những phần tử x mà ở chúng P(x) là sai là tập E
hay không có phần tử nào làm P(x) đúng Ta cóx (¬P(x))
Ví dụ : Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3" là "Tồn tại ít
nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3"
Ví dụ Hãy xét phủ định của câu sau đây :
"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2"
- Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau:xP(x)
Trong đó P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 }
-Phủ định của câu này là : " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp
đều đã học môn Toán rời rạc 2" Điều này có nghĩa là :" Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưahọc Toán rời rạc 2" Đây chính là lượng
từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được viết như sau :
x¬P(x) Ta có :
¬xP(x) ⇔ P(e1)x¬P(x) ¬xP(x) ⇔ P(e1)x¬P(x)
Trang 12• Phương pháp ứng dụng: Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây
dựng bằng liên kết của những biến của vi từ với phương tiện định
lượng, người ta thay thế những định lượng bởi, và bởi và
sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó
Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian
3.6 Công thức tương đương
A tương đương B nếu và chỉ nếu (A B) (B A)
Trang 13+x (A(x)B(x)) x A(x)x B(x) +x (A(x)B(x)) x
A(x)x B(x) +x (A(x) B(x)) x A(x) x B(x)
+xy W(x,y) yx W(x,y) +xy W(x,y)
yx W(x,y)
3.6.2 Các phép tương đương có giới hạn
Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:
+x (C A(x)) C x A(x) +x (A(x) C) x
A(x) C +x (A(x) C) x A(x) C
3.6.3 Một vài điều kiện không tương đương
1 x W(x) x W(x)
2 x A(x)x B(x) x (A(x) B(x))
3 x (A(x) B(x)) x A(x)x B(x)
4 x (A(x) B(x)) (x A(x) x B(x))
5.yx W(x,y) xy W(x,y)
3.7 Công thức chỉnh dạng (well - formed formulas)
Một tên vị từ theo sau bởi một danh sách các biến như: P (x, y), trong
đó P là tên vị từ, và x và y là các biến, được gọi là một công thức nguyên tử
3.7.1 Xây dựng công thức chỉnh dạng ( Wff)
1 True, false và là Wff
Trang 142 Mệnh đề hoặc biến mệnh đề là Wff
3 Nếu A và B là Wff thì ¬A, A B, A B, A B, A B là Wff
4 Nếu A là Wff và x là một biến thìxA vàxA là Wff
+ Wff này là T, nếu miền giá trị là (1, 3, 5), (2, 4, 6) hoặc các số nguyên
dương Nhưng nó không còn là T nếu miền giá trị là ( 1, 3, 5), hay các số
nguyên âm
+ Nếu giả thiết Q(x,y) là "x > y" thìxQ(x,y) có thể nhận giá trị T hay F tùy
thuộc theo biến y
Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau:
- Wff được gọi là thỏa mãn nếu tồn tại một giải thích làm cho nó T
Ví dụ:x P(x) là thỏa mãn
- Wff là hợp lệ nếu nó là đúng với mọi giải thích
Ví dụ :x P(x)x¬P(x) hợp lệ với mọi P và giải thich
Wff là không hợp lệ hoặc không thỏa mãn nếu không tồn tại một
Trang 15+x(P(x) Q(x)) ,xP(x)xQ(x) với mọi P,Q
3.8 Quy tắc suy diễn trong logic vị từ cấp 1
+ Quy tắc suy diễn 1 ( rút gọn)
-Công thức cơ sở: (A˄B)A1
+ Quy tắc suy diễn 2( cộng)
-Công thức cơ sở: A (AB) 1
- + Quy tắc suy diễn 3(khẳng
định )
- Công thức cơ sở: (A ˄ (A B) B 1 :
+ Quy tắc suy diễn 4( phủ định)
-Công thức cơ sở: ((AB)˄) 1
+ Quy tắc suy diễn 5( bắc cầu)
- Công thức cơ sở: ((AB)˄(BC))(AC)1
+ Quy tắc suy diễn 6( tam đoạn luận tuyển)
-Công thức cơ sở: ( ˄(A˅B))B1
+Quy tắc suy diễn 7( mâu thuẫn)
- Công thức cơ sở:
+Quy tắc suy diễn 8( theo từng trường hợp)
-Công thức cơ sở: ((AC)˄(BC))((A˅B)C) 1
+Quy tắc suy diễn 9( đặc biệt hóa phổ dụng)
Nếu mệnh đềxP(x) đúng trên trường M thì khi thay x bởi phần tử a bất kỳ trong M ta được mệnh đề a cũng đúng
- Công thức cơ sở:xP(x)P(a)1
+ Quy tắc suy diễn 10(tổng quát hóa phổ dụng)
Cho mệnh đềxP(x) trên trường M Khi đó, nếu P(a) đúng với mọi
phần tử a trên trường M thì mệnh đềxP(x) cũng đúng trên trường M
-Công thức cơ sở: P(a)xP(x)1
+Quy tắc suy diễn 11
-Công thức cơ sở: ((x)(P(x)Q(x)˄P(a))Q(a)1, aM mà P(a) đúng
+ Quy tắc suy diễn 12
- Công thức cơ sở: (x)(P(x)Q(x))
+ Quy tắc suy diễn 13
Trang 16- Công thức cơ sở:
((x)(P(x) Q(x)) ˄ (x)(Q(x) R(x))
(x) (P(x) R(x)) 1
3.9 Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex
Chuyển về dạng chuẩn Prenex:
2 Chuyển lượng từ ra phía trước
• Chuyển về dạng chuẩn Prenex tuyển:
F = (Q1 x1) (Qn xn) (D1Dk)
Dk là hội của một hoặc nhiều mệnh đề
Ví dụ : F = (x)(z)(y)((¬p(x) q(y)) (q(y) r(z)))
• Chuyển về dạng Prenex hội :
F = (Q1 x1) (Qn xn) (D1 Dk)
Dk là tuyển của một hoặc nhiều mệnh đề
Ví dụ : F = (x)(z)(y)((¬p(x) q(y)) (q(y) r(z)))
• Giải thuật chuyển một công thức về dạng chuẩn Prenex Hội/ Tuyển
- Đổi tên biến
- Xóa toán tử "" dùng A D = ~A B
- Di chuyển ¬ (~) về bên trái của mỗi mệnh đề
- Chuyển các lượng từ ra bên trái của công thức
- Dùng luật phân bố và kết hợp để chuyển về dạng tương ứng ( Hội/
Tuyển)
Ví dụ : Cho W=xA(x)xB(x) C(x)xC(x)
W y A(y)z B(z) C(x)t C(t) (Đổi tên biến)
~ (y A(y)z B(z)) (C(x)t C(t))(Xóa"")
(~y A(y)~z B(z))(C(x)tC(t))(Di chuyển ~) )