Tập mở và tập đóng suy rộng trong không gian tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÊN ĐỀ TÀI TẬP MỞ VÀ TẬP ĐĨNG SUY RỘNG TRONG KHƠNG GIAN TÔPÔ GVHD: TS Lương Quốc Tuyển SVTH: Trần Thị Đào Lớp: 13CTUD Khoa: Toán ĐÀ NẴNG, 2017 LỜI CẢM ƠN Trải qua năm học tập rèn luyện trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, em học tập nhiều điều bổ ích, thiết thực sống Được học tập làm việc môi trường lành mạnh, giúp em trưởng thành nhiều tri thức lẫn nhận thức Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm khoa Tốn ln tạo thuận lợi để em hồn thành khóa học Xin cảm ơn thầy khoa Tốn giảng dạy nhiệt tình, ln tiếp lửa truyền cảm hứng cho em đường khó khăn đến Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lương Quốc Tuyển, thầy tận tình dẫn dắt đốc thúc để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Đà Nẵng, ngày 07 tháng 05 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Đào Mục lục CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ 1.2 Không gian Hausdorff 15 1.3 Không gian compắc 15 CHƯƠNG TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG SUY RỘNG 18 2.1 Tập nửa mở tập nửa đóng 18 2.2 Tập mở quy tập đóng quy 29 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Từ khái niệm lý thuyết tôpô đại cương, đường tương tự hóa, khái qt hóa nhà tốn học đề xuất khái niệm, phép toán, kết Năm 1963, N.levine giới thiệu lớp tập mở khơng gian tơpơ, tập nửa mở, tập nửa đóng Dựa kết hướng N Levine nhà toán học mở rộng nghiên cứu theo nhiều chiều hướng khác Năm 1990 P Ayra T Nour dựa khái niệm tập đóng đưa khái niệm tập nửa - đóng suy rộng Năm 1997, A Rani K balachansdran nghiên cứu tính chất tập đóng suy rộng quy Trên sở báo A Rani K Balachansdran (1997) với hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn nghiên cứu đề tài ” Tập mở tập đóng suy rộng khơng gian tơpơ” Mục đích nghiên cứu Trong khóa luận, tơi nghiên cứu vấn đề Tôpô đại cương tập mở tập đóng suy rộng với mục đích sau: (1) Hệ thống lại số kiến thức tôpô đại cương (2) Tìm hiểu chứng minh chi tiết tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy khơng gian tôpô Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tôpô đại cương, tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tập mở tập đóng suy rộng khơng gian tơpơ Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài với quy trình nghiên cứu sau: (1) Tham khảo tài liệu hệ thống lại số kiến thức tôpô đại cương (2) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến ”tập mở tập đóng suy rộng” (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hồn chỉnh khóa luận Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu tập mở tập đóng suy rộng khơng gian tơpơ Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận gồm có chương Ngồi khóa luận cịn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết thúc, Tài liệu tham khảo Chương Cơ sở lý thuyết Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm không gian tôpô Chương Tập mở tập đóng suy rộng Chương dành cho việc trình bày số khái niệm mối quan hệ tập nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa quy; mối quan hệ tập mở quy tập đóng quy, tập trù mật địa phương tính chất tập hợp CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, trình bày vấn đề tơpơ đại cương, định nghĩa, định lý nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết Chương khóa luận 1.1 Một số khái niệm tính chất không gian tôpô Định nghĩa 1.1 Giả sử X tập hợp τ họ tập hợp X Ta nói τ tơpơ X thỏa mãn điều kiện sau (1) ∅ ∈ τ X ∈ τ ; (2) Nếu U1 ∈ τ ,U2 ∈ τ , U1 ∩ U2 ∈ τ ; (3) Nếu { Ui : i ∈ I } ∈ τ , Ui ∈ τ i∈I Khi đó, cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô, phần tử τ gọi tập mở khơng gian X Ví dụ 1.1 (1) Giả sử X tập không rỗng τ = {∅, X} Khi đó, τ tơpơ X gọi tôpô tự nhiên X (2) Giả sử X tập không rỗng Khi đó, họ τ = P (X) tơpơ X gọi tôpô rời rạc X (3) Giả sử X tập vô hạn, đặt τ = {U ⊂ X : X\U hữu hạn } ∪{∅} Khi τ tơpơ X gọi tôpô đối hữu hạn X Chứng minh (3) Giả sử X tập vô hạn, đặt τ = {U ⊂ X : X\U hữu hạn ∪ {∅} Khi đó, τ tơpơ X Thật vậy, theo giả thiết ta suy ∅ ∈ τ X\X = ∅ tập hữu hạn nên X ∈ τ Hơn nữa, giả sử {Ui : i ∈ I} họ gồm phần tử thuộc τ đặt U = Ui Khi đó, U = ∅ ta suy U ∈ τ Giả sử U = ∅ Khi đó, i∈I tồn i ∈ I cho Ui = ∅ Bởi Ui ∈ τ nên X\Ui hữu hạn Mặt khác, Ui ⊂ U nên X\U ⊂ X\Ui Do đó, X\U hữu hạn Bởi vậy, ∪ {Ui : i ∈ I} ∈ τ Cuối cùng, giả sử U1 , U2 thuộc τ Khi đó, U1 ∩ U2 = ∅ ta suy U1 ∩ U2 ∈ τ Giả sử, U1 ∩ U2 = ∅ Khi đó, U1 = ∅ U2 = ∅ Bởi U1 , U2 thuộc τ nên X\U1 X\U2 hữu hạn Mặt khác, X\ (U1 ∩ U2 ) = (X\U1 ) ∪ (X\U2 ) nên X\ (U1 ∩ U2 ) hữu hạn Do vậy, (U1 ∩ U2 ) thuộc τ Định nghĩa 1.2 Giả sử X khơng gian tơpơ x ∈ X Ta nói tập U ⊂ X lân cận x tồn tập mở V cho x ∈ V ⊂ U Nhận xét 1.1 U tập mở ⇔ U lân cận điểm thuộc Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử U ⊂ X U tập mở Khi đó, đặt V = U Do đó, với x ∈ U, x ∈ V ⊂ U Bởi vậy, U lân cận điểm thuộc b) Điều kiện đủ Giả sử U ⊂ X U lân cận điểm x thuộc U Khi đó, tồn tập mở Vx cho x ∈ Vx ⊂ U với x ∈ U Suy {x} ⊂ U= x∈U Vx ⊂ U , x∈U kéo theo U= Vx x∈U Do vậy, U tập mở Định nghĩa 1.3 Cho A tập không gian tôpô (X, τ ) x ∈ X Khi đó, (1) x gọi điểm A A lân cận x (2) x gọi điểm A X\A lân cận x Định nghĩa 1.4 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô F ⊂ X Ta nói F tập hợp đóng X X\F tập hợp mở X Định lý 1.1 Gọi D họ tất tập đóng khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, (1) ∅ ∈ D, X ∈ D; (2) Nếu F1 , F2 ∈ D, F1 ∪ F2 ∈ D; (3) Nếu {Fi : i ∈ I} ∈ D, Fi ∈ D i∈I Chứng minh (1) Suy từ định nghĩa tơpơ định nghĩa tập hợp đóng (2) Giả sử F1 , F2 ∈ D Khi đó, X\F1 X\F2 tập mở Mặt khác, X\ (F1 ∪ F2 ) = (X\F1 ) ∩ (X\F2 ) nên X\ (F1 ∪ F2 ) tập mở Do vậy, F1 ∪ F2 tập đóng (3) Giả sử {Fi : i ∈ I} họ gồm tập đóng X Khi đó, Fi tập đóng nên X\Fi tập mở Mặt khác, với i ∈ I (X\Fi ) = X\ i∈I Fi i∈I nên X\ Fi Fi tập đóng tập mở Do vậy, i∈I i∈I Định nghĩa 1.5 Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi giao họ tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A Kí hiệu cl (A) Nhận xét 1.2 chứa A (1) cl (A) tập đóng tập đóng nhỏ (2) A ⊂ cl (A) (3) A ⊂ X tập đóng cl (A) = A (4) Nếu A ⊂ B cl (A) ⊂ cl (B) Chứng minh (1), (2) Suy từ định nghĩa 1.5 (3) Giả sử A ⊂ X Khi đó, a) Điều kiện cần Bởi cl (A) tập đóng nhỏ chứa A A tập đóng chứa A nên cl (A) ⊂ A Mặt khác, theo (2), ta có A ⊂ cl (A) Do vậy, A = cl (A) b) Điều kiện đủ Hiển nhiên (4) Giả sử A ⊂ B Khi đó, theo (2), ta có B ⊂ cl (B), kéo theo A ⊂ cl (B) Mặt khác, theo (1), ta suy cl (A) tập đóng nhỏ chứa A Do vậy, cl (A) ⊂ cl (B) Định lý 1.2 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ, F tập đóng X x ∈ X Khi đó, x ∈ F tồn lân cận U x cho U ∩ F = ∅ Chứng minh Giả sử F tập đóng khơng gian tơpơ (X, τ ) x ∈ X Khi đó, a) Điều kiện cần Giả sử x ∈ F U lân cận x cho U ∩F = ∅ Khi đó, U ∩ F = ∅ nên x ∈ / F Điều trái với giả thiết x ∈ F Do vậy, U ∩ F = ∅ b) Điều kiện đủ Giả sử x ∈ / F U lân cận x cho U ∩ F = ∅ Khi đó, x ∈ / F nên x ∈ X\F Lại F tập đóng nên X\F tập mở Do đó, theo Nhận xét 1.1, ta suy U = X\F lân cận x Bởi thế, U ∩ F = ∅ Điều mâu thuẫn với giả thiết U ∩ F = ∅ Do vậy, x ∈ F Định lý 1.3 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A, B ⊂ X Khi đó, (1) cl (∅) = ∅; cl (X) = X ; (2) cl (A ∩ B) ⊂ cl (A) ∩ cl (B); (3) cl (A ∪ B) = cl (A) ∪ cl (B); (4) cl (cl (A)) = cl (A) Chứng minh (1) (4) Hiển nhiên (2) Bởi A ∩ B ⊂ A A ∩ B ⊂ B nên theo Nhận xét 1.2, ta suy cl (A ∩ B) ⊂ cl (A) cl (A ∩ B) ⊂ cl (B) Suy cl (A ∩ B) ⊂ cl (A) ∩ cl (B) (3) Bởi A ⊂ A ∪ B B ⊂ A ∪ B nên cl (A) ⊂ cl (A ∪ B) cl (B) ⊂ cl (A ∪ B) Suy cl (A) ∪ cl (B) ⊂ cl (A ∪ B) Mặt khác, A ⊂ cl (A) B ⊂ cl (B) nên A ∪ B ⊂ cl (A) ∪ cl (B) Hơn nữa, cl (A) ∪ cl (B) tập đóng A ∪ B ⊂ cl (A) ∪ cl (B) nên nhờ Nhận xét 1.2(1), ta suy 10 Do vậy, int (cl (A)) ⊂ scl (A) (2) Giả sử A tập X Khi đó, nhờ (1) ta có int (cl (A)) ⊂ scl (A) Suy A ∪ int (cl (A)) ⊂ A ∪ scl (A) Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.3, A ⊂ scl (A) Do đó, A ∪ int (cl (A)) ⊂ scl (A) Mặt khác int (cl (A)) ⊂ A ∪ int (cl (A)) ⊂ cl (A) nên nhờ Hệ 2.1(2), ta suy A ∪ int (cl (A)) tập nửa đóng chứa A Điều chứng tỏ scl (A) ⊂ A ∪ int (cl (A)) Do vậy, scl (A) = A ∪ int (cl (A)) (3) Giả sử A ∈ SO (X, τ ) Khi đó, tồn tập mở U cho U ⊂ A ⊂ cl (U ) Bởi U ⊂ A nên theo Mệnh đề 2.3, ta suy A ⊂ scl (A), kéo theo U ⊂ scl (A) Mặt khác, scl (U ) tập nửa đóng nhỏ chứa U nên scl (U ) ⊂ scl (A) Hơn nữa, A ⊂ cl (U ) nên scl (A) ⊂ scl (cl (U )) Lại cl (U ) tập đóng nên nhờ Nhận xét 2.2, ta có cl (U ) tập nửa đóng Nhờ Hệ 2.1(3), ta suy scl (cl (U )) = cl (U ) Bởi theo Mệnh đề 2.3, U ⊂ scl (U ) Suy 28 U ⊂ scl (U ) ⊂ scl (A) ⊂ scl (cl (U )) = cl (U ) Do đó, áp dụng Định nghĩa 2.1, scl (A) tập nửa mở Cuối cùng, theo Mệnh đề 2.3, scl (A) tập nửa đóng nên ta suy scl (A) ∈ SR (X, τ ) 2.2 Tập mở quy tập đóng quy Định nghĩa 2.6 Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi tập mở quy (regular − open) A = int (cl (A)) Kí hiệu RO (X, τ ) họ tập mở quy (X, τ ) Nhận xét 2.3 Nếu A tập mở quy khơng gian tơpơ (X, τ ), A tập mở Ví dụ 2.4 Cho X = R với tôpô thông thường A = (a; b) với a, b ∈ R Khi đó, A tập mở quy Chứng minh Giả sử X = R với tôpô thông thường A = (a; b) với a, b ∈R Khi đó, cl(A) = [a; b] Do đó, int (cl (A)) = (a; b) = A Do vậy, A tập mở quy Mệnh đề 2.7 Nếu A1 , A2 ∈ RO (X, τ ), A1 ∩ A2 ∈ RO (X, τ ) Chứng minh Giả sử A1 , A2 ∈ RO (X, τ ) Khi đó, A1 = int (cl (A1 )) A2 = int (cl (A2 )) Bởi A1 ∩ A2 ⊂ A1 A1 ∩ A2 ⊂ A2 nên theo Nhận xét 1.2, ta suy 29 cl (A1 ∩ A2 ) ⊂ cl (A1 ) cl (A1 ∩ A2 ) ⊂ cl (A2 ) Suy cl (A1 ∩ A2 ) ⊂ cl (A1 ) ∩ cl (A2 ) Mặt khác, theo Định lí 1.5.(2), ta suy int (cl (A1 ∩ A2 )) ⊂ int (cl (A1 ) ∩ cl (A2 )) = int (cl (A1 )) ∩ int (cl (A2 )) = A1 ∩ A2 Hơn nữa, A1 , A2 tập mở nên A1 ∩ A2 tập mở Suy int (A1 ∩ A2 ) = A1 ∩ A2 A1 ∩ A2 ⊂ cl (A1 ∩ A2 ) Vì thế, A1 ∩ A2 = int (A1 ∩ A2 ) ⊂ int (cl (A1 ∩ A2 )) Do đó, A1 ∩ A2 = int (cl (A1 ∩ A2 )) Điều chứng tỏ A1 ∩ A2 ∈ RO (X, τ ) Định nghĩa 2.7 Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi tập đóng quy (regular − closed) X\A tập mở quy Kí hiệu RC (X, τ ) họ tập đóng quy (X, τ ) Mệnh đề 2.8 Tập A không gian tơpơ (X, τ ) tập đóng quy A = cl (int (A)) Chứng minh Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) a) Điều kiện cần Giả sử A tập đóng quy Khi đó, X\A mở quy Theo Định nghĩa 2.6, ta suy X\A = int (cl (X\A)) Mặt khác, theo Định lí 1.4 ta có 30 int (B) = X\cl (X\B) Thay B cl (X\A), ta int (cl (X\A)) = X\cl (X\cl (X\A)) = X\cl (int (A)) Do đó, X\A = X\cl (int (A)), kéo theo, A = cl (int (A)) b) Điều kiện đủ Giả sử A = cl (int (A)) Khi đó, X\A = X\cl (int (A)) Theo Định lý 1.4, với B ⊂ X , ta có int (B) = X\cl (X\B) Thay B = X\int (A), ta suy int (X\int (A)) = X\cl (X\X\int (A)) = X\cl (int (A)) Do đó, X\A = X\cl (int (A)) = int (X\int (A)) = int (X\ (X\cl (X\A))) = int (cl (X\A)) Bởi thế, X\A tập mở quy Do vậy, A tập đóng quy khơng gian tơpơ (X, τ ) Ví dụ 2.5 Cho X = R với tôpô thông thường A = [a; b] với a, b ∈ R Khi đó, A tập đóng quy Chứng minh Giả sử X = R với tôpô thông thường A = [a; b] với a, b ∈ R Khi đó, 31 int (A) = (a; b) Do đó, cl (int (A)) = [a; b] = A Bởi vậy, A tập đóng quy Nhận xét 2.4 Nếu A tập đóng quy khơng gian tơpơ (X, τ ), A tập đóng Mệnh đề 2.9 Nếu F1 , F2 ∈ RC (X, τ ), F1 ∪ F2 ∈ RC (X, τ ) Chứng minh Giả sử F1 , F2 ∈ RC (X, τ ) Khi đó, theo Mệnh đề 2.8, F1 = cl (int (F1 )) F2 = cl (int (F2 )) Bởi F1 ⊂ F1 ∪ F2 F2 ⊂ F1 ∪ F2 nên int (F1 ) ⊂ int (F1 ∪ F2 ) int (F2 ) ⊂ int (F1 ∪ F2 ), kéo theo int (F1 ) ∪ int (F2 ) ⊂ int (F1 ∪ F2 ) Suy cl (int (F1 ) ∪ int (F2 )) ⊂ cl (int (F1 ∪ F2 )) Do đó, F1 ∪ F2 = cl (int (F1 )) ∪ cl (int (F2 )) = cl (int (F1 ) ∪ int (F2 )) ⊂ cl (int (F1 ∪ F2 )) Mặt khác, F1 ∪ F2 tập đóng nên F1 ∪ F2 = cl (F1 ∪ F2 ) Hơn nữa, int (F1 ∪ F2 ) ⊂ F1 ∪ F2 nên cl (int (F1 ∪ F2 )) ⊂ cl (F1 ∪ F2 ) = F1 ∪ F2 32 Từ ta suy F1 ∪ F2 = cl (int (F1 ∪ F2 )) Điều chứng tỏ F1 ∪ F2 ∈ RC (X, τ ) Mệnh đề 2.10 Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (1) Nếu A ∈ RO (X, τ ) A ∈ SO (X, τ ), cl (A) ∈ RC (X, τ ) (2) Nếu A ∈ RC (X, τ ) A ∈ SC (X, τ ), int (A) ∈ RO (X, τ ) Chứng minh (1) Giả sử A ∈ RO (X, τ ) Khi đó, A = int (cl (A)) Suy cl (A) = cl (int (cl (A))) Do vậy, cl (A) ∈ RC (X, τ ) Bây giờ, giả sử A ∈ SO (X, τ ) Khi đó, nhờ Mệnh đề 2.4(3), ta có A ⊂ cl (int (A)) Suy cl (A) ⊂ cl (cl (int (A))) ⊂ cl (int (A)) Mặt khác, A ⊂ cl (A) nên int (A) ⊂ int (cl (A)), kéo theo cl (int (A)) ⊂ cl (int (cl (A))) Do đó, cl (A) ⊂ cl (int (cl (A))) Hơn nữa, int (cl (A)) ⊂ cl (A) nên cl (int (cl (A))) ⊂ cl (A) Do vậy, 33 cl (A) = cl (int (cl (A))) Vì thế, cl (A) ∈ RC (X, τ ) (2) Giả sử A ∈ RC (X, τ ) Khi đó, nhờ Mệnh đề 2.8, ta suy A = cl (int (A)) Do đó, int (A) = int (cl (int (A))) Vì thế, int (A) ∈ RO (X, τ ) Bây giờ, giả sử A ∈ SC (X, τ ) Khi đó, A tập nửa đóng Theo Hệ 2.1(4), ta có int (cl (A)) ⊂ A Mặt khác, int (A) ⊂ A int (A) tập mở lớn chứa A nên int (cl (A)) ⊂ int (A) cl (int (A)) ⊂ cl (A) Suy int (cl (int (A))) ⊂ int (cl (A)) Do đó, int (cl (int (A))) ⊂ int (cl (A)) ⊂ int (A) Hơn nữa, int (A) ⊂ cl (int (A)) nên int (A) ⊂ int (cl (int (A))) Do vậy, int (A) = int (cl (int (A))) Vì thế, int (A) ∈ RO (X, τ ) 34 Hệ 2.2 Giả sử F tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) F tập đóng quy; (2) Tồn tập mở quy U cho F = cl (U ); (3) Tồn tập mở U cho F = cl (U ); (4) Tồn tập nửa mở U cho F = cl (U ) Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử F tập đóng quy khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, F = cl (int (F )) Đặt U = int (F ), ta suy F = cl (U ) U = int (cl (U )) Do vậy, U tập mở quy thỏa mãn F = cl (U ) (2) ⇒ (3) Suy từ Nhận xét 2.3, tập mở quy tập mở (3) ⇒ (4) Suy từ Nhận xét 2.1, tập mở tập nửa mở (4) ⇒ (1) Giả sử U tập nửa mở X F = cl (U ) Khi đó, U ∈ SO (X, τ ) Nhờ Mệnh đề 2.10(1), ta suy cl (U ) ∈ RC (X, τ ) Do đó, cl (U ) tập đóng quy Mặt khác, F = cl (U ) nên F tập đóng quy Hệ 2.3 Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) A tập mở quy; (2) Tồn tập đóng quy F cho A = int (F ); (3) Tồn tập đóng F cho A = int (F ); (4) Tồn tập nửa đóng F cho A = int (F ) Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử A tập mở quy Khi đó, 35 A = int (cl (A)) Nhờ Mệnh đề 2.10(1), ta suy cl (A) ∈ RC (X, τ ) Bây giờ, ta đặt F = cl (A), F tập đóng quy A = int (F ) (2) ⇒ (3) Suy từ Nhận xét 2.4, tập đóng quy tập đóng (3) ⇒ (4) Suy từ Nhận xét 2.2, tập đóng tập nửa đóng (4) ⇒ (1) Giả sử F tập nửa đóng cho A = int (F ) Khi đó, F ∈ SC (X, τ ) A = int (F ) Hơn nữa, nhờ Mệnh đề 2.10(2), ta suy int (F ) ∈ RO (X, τ ) Do đó, int (F ) = int (cl (int (F ))) Suy A = int (cl (A)) Do vậy, A tập mở quy Định nghĩa 2.8 Tập A không gian tơpơ (X, τ ) gọi nửa mở quy tồn tập mở quy U cho U ⊂ A ⊂ cl (U ) Nhận xét 2.5 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, (1) Mỗi tập mở quy đóng quy (X, τ ) tập nửa mở quy (2) Mỗi tập nửa mở quy (X, τ ) tập nửa mở Chứng minh (1) Giả sử A tập mở quy Khi đó, A ⊂ A ⊂ cl (A) 36 Do vậy, A tập nửa mở quy Tiếp theo, giả sử F tập đóng quy Khi đó, theo Hệ 2.2(2), tồn tập mở quy U cho F = cl (U ) Mặt khác, U ⊂ cl (U ) nên U ⊂ F ⊂ cl (U ) Do vậy, F tập nửa mở quy (2) Giả sử A tập nửa mở quy Khi đó, tồn tập mở quy U cho U ⊂ A ⊂ cl (U ) Mặt khác, theo Nhận xét 2.3, tập mở quy tập mở Do vậy, A tập nửa mở Ví dụ 2.6 Cho X = R với tơpơ thơng thường A = [a; b) Khi đó, A tập nửa mở quy Chứng minh Giả sử X = R với tôpô thông thường A = [a; b) Khi đó, theo Ví dụ 2.4, U = (a; b) tập mở quy cl (U ) = [a; b] Do đó, U ⊂ A ⊂ cl (U ) Bởi vậy, A tập nửa mở quy Định nghĩa 2.9 Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi trù mật địa phương A ⊂ int (cl (A)) Ví dụ 2.7 Giả sử X = {, b, c} τ = {∅, a, X} Khi đó, A = {a, c} tập trù mật địa phương X Nhận xét 2.6 Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, tập A X trù mật địa phương, thỏa mãn tính chất sau: (1) A tập mở quy; (2) A tập mở; 37 (3) A tập trù mật X Chứng minh (1) Giả sử A tập mở quy Khi đó, A = int (cl (A)) Do vậy, A tập trù mật địa phương (2) Giả sử A tập mở Khi đó, A = int (A) Mặt khác, A ⊂ cl (A) nên int (A) ⊂ int (cl (A)) Suy A ⊂ int (cl (A)) Do vậy, A tập trù mật địa phương (3) Giả sử A tập trù mật X Khi đó, cl (A) = X Bởi A ⊂ X X tập mở nên A ⊂ int (X) Do đó, A ⊂ int (cl (A)) Bởi vậy, A tập trù mật địa phương Mệnh đề 2.11 Nếu A tập trù mật địa phương U tập mở không gian tơpơ (X, τ ), A ∩ U tập trù mật địa phương Chứng minh Giả sử A tập trù mật địa phương U tập mở khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, A ⊂ int (cl (A)) int (U ) = U Theo Định lí 1.5(2), ta suy A ∩ U ⊂ int (cl (A)) ∩ U = int (cl (A)) ∩ int (U ) = int (cl (A) ∩ U ) Bây giờ, ta chứng minh 38 cl (A) ∩ U ⊂ cl (A ∩ U ) Thật vậy, giả sử x ∈ cl (A) ∩ U V lân cận x Khi đó, V ∩ U lân cận x Mặt khác, x ∈ cl (A) nên (V ∩ U ) ∩ A = ∅ Do đó, V ∩ (U ∩ A) = ∅, kéo theo x ∈ cl (A ∩ U ) Do đó, cl (A) ∩ U ⊂ cl (A ∩ U ) Vì thế, theo A ∩ U ⊂ int (cl (A)) ∩ U = int (cl (A)) ∩ int (U ) = int (cl (A) ∩ U ) ta suy A ∩ U ⊂ int (cl (A ∩ U )) Do vậy, A ∩ U tập trù mật địa phương Mệnh đề 2.12 Tập A không gian tôpô (X, τ ) trù mật địa phương scl (A) = int (cl (A)) Chứng minh Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, a) Điều kiện cần Giả sử A tập trù mật địa phương Khi đó, A ⊂ int (cl (A)) Mặt khác, theo Mệnh đề 2.6(2), ta có 39 scl (A) = A ∪ int (cl (A)) Bởi A ⊂ int (cl (A)) nên scl (A) = A ∪ int (cl (A)) ⊂ int (cl (A)) Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.6(1), ta có int (cl (A)) ⊂ scl (A) Do vậy, scl (A) = int (cl (A)) b) Điều kiện đủ Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) scl (A) = int (cl (A)) Khi đó, theo Mệnh đề 2.3, ta suy A ⊂ scl (A) Do đó, A ⊂ int (cl (A)) Bởi vậy, A tập trù mật địa phương 40 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, nghiên cứu mối quan hệ tập hợp khơng gian tơpơ suy rộng Khóa luận đạt kết sau: (1) Hệ thống chứng minh chi tiết số kiến thức tơpơ đại cương (2) Tìm hiểu chứng minh chi tiết số tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương Mặc dù có nhiều cố gắng, song khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Mong nhận thơng cảm q thầy cô, bạn bè Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn tận tình bảo nghiêm khắc thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cơ, gia đình, bạn bè giúp đỡ em suốt thời gian học tập 41 Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Ân, 2007, Bài giảng tôpô đại cương, Trường Đại học Vinh [2] J L Kelly, 1973, Tôpô đại cương, Nhà xuất Đại học Trung học chun nghiệp [3] Nguyễn Văn Hồng, 2014, Khơng gian S - đóng đếm khơng gian compắc yếu, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Đà Nẵng [4] An T V and Tuyen L.Q, 2011, On an affirmative answer to S lin’s problem, Topology and its Application,158(13), 1567-1570 [5] N Levine, 1970, Generalized closed sets in topology, Rend, Cirs Math Palermo, 19, 89-96 42 ... τA tôpô A không gian (A, τA ) gọi không gian (X, τ ), τA gọi tôpô cảm sinh tôpô τ X lên tập hợp A 17 CHƯƠNG TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG SUY RỘNG 2.1 Tập nửa mở tập nửa đóng Định nghĩa 2.1 Tập A không gian. .. tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy không gian tôpô Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tôpô đại cương, tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy... 1.2 Không gian Hausdorff 15 1.3 Không gian compắc 15 CHƯƠNG TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG SUY RỘNG 18 2.1 Tập nửa mở tập nửa đóng 18 2.2 Tập mở