Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng lượng của các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập trên không gian banach có tính chất radermancher loại p

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phần tử ngẫu nhiên 1.2 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên 1.3 Luật số lớn Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập không gian Banach có tính chất Rademacher loại p 12 2.1 Mở đầu biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập 12 2.2 Dãy tập ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên dãy Toeplitz 19 2.3 Những kết Kết luận 23 31 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Luật mạnh số lớn (LMSL) đóng vai trị quan trọng xác suất, thống kê liên quan nhiều lĩnh vực Vào năm 1975, [6] Artstein Vitale dùng định lý nhúng chứng minh luật mạnh số lớn cho tập ngẫu nhiên (random set) độc lập phân phối không gian Euclide n chiều Rn , [9] Hiai mở rộng cho trường hợp không gian Banach khả li X , [16] Taylor Inoue chứng minh LMSL cho trường hợp độc lập không gian Banach, nhiều tác giả khác Gine’, Hanh Zinn [7], Hess [8], Puri Ralescu [14] chứng minh số vấn đề khác cho tập ngẫu nhiên khơng gian Banach Mặt khác, LMSL cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên có vai trị quan trọng lý thuyết xác suất thường xuyên sử dụng thực hành Trong [15] Taylor nêu LMSL cho tổng có trọng lượng phần tử ngẫu nhiên khơng gian tuyến tính Vào năm 1985, [16] Taylor Inoue chứng minh LMSL cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị tập Trong trường hợp tổng quát, thêm hạn chế phân phối hay không gian Banach xét thu số kết mà trường hợp bình thường khơng có Trong [4], Adler chứng minh dạng LMSL cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach X Trên sở kết đạt được, luận văn nêu trình bày số LMSL cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập khơng gian Banach có tính chất Rademacher loại p với khoảng cách Hausdorff dH Nội dung luận văn thể chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất phần tử ngẫu nhiên, kì vọng phần tử ngẫu nhiên, LMSL cho dãy phần tử ngẫu nhiên Chương gồm tiết: Phần tử ngẫu nhiên Tiết chúng tơi trình bày khái niệm phần tử ngẫu nhiên, phần tử ngẫu nhiên độc lập, dạng hội tụ, số tính chất hội tụ h.c.c Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên Trình bày số tính chất kì vọng phần tử ngẫu nhiên, bất đẳng thức Jensen Luật số lớn Trình bày khái niệm LMSL, khái niệm không gian Banach Rademacher loại p, LMSL cho không gian Banach khả li có tính chất Rademacher loại p Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập khơng gian Banach có tính chất Rademacher loại p Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập, khoảng cách Hausdorff dH , khái niệm dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên, LMSL cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập với khoảng cách Hausdorff dH Chương gồm tiết: Mở đầu biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập Tiết chúng tơi trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập, khoảng cách Hausdorff dH , biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập, kỳ vọng biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập, chứng minh Kk (X ) có tính chất Rademacher loại p X có tính chất Rademacher loại p chứng minh bổ đề Kronecker Dãy tập ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên dãy Toeplitz Trong tiết nêu khái niệm số tính chất dãy tập ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên Nêu định nghĩa, ví dụ tính chất dãy Toeplitz Những kết Trong tiết chúng tơi thiết lập LMSL cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình dẫn dắt, giúp đỡ động viên tác giả trình thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Th.S Nguyễn Ngọc Huy, TS Lê Xuân Sơn, học viên Nguyễn Trần Thuận, người cung cấp nhiều tài liệu quý, có tính cập nhật giúp đỡ động viên tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy tổ Xác suất Thống kê Toán ứng dụng - Khoa Toán- Đại học Vinh, đặc biệt PGS TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hòa, PGS TS Trần Xuân Sinh quan tâm giúp đỡ tác giả suốt trình học hoàn thành luận văn Cuối tác giả xin cảm ơn Khoa Đào tạo Sau đại học- Đại học Vinh, trường THPT Anh Sơn I, bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học thực đề tài Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phần tử ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa Cho (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ X không gian Banach khả ly, G σ − đại số F, B (X ) σ − đại số Borel Ta nói ánh xạ X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nhận giá trị X X G /B (X ) đo (nghĩa với B ∈ B ( X ) X −1 (B) ∈ G ) Phần tử ngẫu nhiên F đo được gọi đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên X phần tử ngẫu nhiên G - đo X phần tử ngẫu nhiên 1.1.2 Định nghĩa Giả sử (Xt , t ∈ ∆) họ phần tử ngẫu nhiên xác định không gian (Ω, F, P) nhận giá trị (X , B (X )) Khi đó, họ (Xt , t ∈ ∆) gọi độc lập, với hữu hạn tj ∈ ∆ Aj ∈ B (X ), ≤ j ≤ n, ta có  n  Xt−1 (Aj ) j P j=1 n P Xt−1 (Aj ) j = j=1 1.1.3 Định lý Giả sử X1 , X1 , , Xn phần tử ngẫu nhiên xác định không gian (Ω, F, P) nhận giá trị (X , B (X )) Khi đó, điều kiện cần đủ để X1 , X1 , , Xn độc lập với f1 , f2 , , fn ∈ X ∗ (trong X ∗ = { f : X → R |f phiếm hàm tuyến tính, liên tục}), đại lượng ngẫu nhiên f1 (X1 ) , f2 (X2 ) , , fn (Xn ) độc lập Chứng minh Điều kiện cần Do X1 , X1 , , Xn phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị X , với A ∈ B (R) f1 , f2 , , fn ∈ X ∗ ánh xạ B (X ) /B (R) (xem [2]), nên [fi (Xi )]−1 (A) = Xi−1 fi−1 (A) = Xi−1 (A ), với i = n, A ∈ B (X ) Từ suy điều phải chứng minh Chứng minh điều kiện đủ xem tài liệu tham khảo [2] 1.1.4 Các dạng hội tụ • Giả sử (Xn ) dãy phần tử ngẫu nhiên xác định không gian (Ω, F, P) nhận giá trị (X , B (X )) Khi ta nói Xn hội tụ đến X: – Hầu chắn P lim Xn − X = = n→∞ h.c.c Ký hiệu Xn → X – Theo xác suất với ε > lim P ( Xn − X > ε) = n→∞ P Ký hiệu Xn → X – Theo trung bình cấp p > lim E Xn − X n→∞ p = Lp Ký hiệu Xn → X w – Theo phân phối (hội tụ yếu) PXn −→ PX D Ký hiệu Xn → X • Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) dãy bản: – Hầu chắn (h.c.c) P lim m,n→∞ Xm − Xn = = – Theo xác suất ε > lim P ( Xm − Xn > ε) = m,n→∞ – Theo trung bình cấp p > lim E Xm − Xn m,n→∞ p = h.c.c 1.1.5 Định lý Xn −→ X với ε > lim P n→∞ sup Xm − X > ε = m≥n h.c.c P 1.1.6 Định lý Nếu Xn −→ X Xn −→ X 1.1.7 Định lý Dãy (Xn ) h.c.c dãy (Xn ) hội tụ h.c.c 1.1.8 Bổ đề Giả sử X không gian Banach dãy (xn ) ⊂ X Khi xn+1 − xn < 2n , với n ≥ n0 dãy (xn ) dãy (do hội tụ) 1.1.9 Định lý Nếu dãy (Xn ) theo xác suất tồn dãy phần tử ngẫu nhiên (Xnk ) ⊂ (Xn ) cho (Xnk ) hội tụ h.c.c 1.1.10 Định lý Dãy (Xn ) hội tụ theo xác suất (Xn ) dãy theo xác suất 1.2 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên, phần tử EX ∈ X gọi kỳ vọng X với f ∈ X ∗ , ta có: f (EX) = E(f (X)) Các tính chất kỳ vọng 1.2.2 Định lý Giả sử X,Y phần tử ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) , a ∈ R, α ∈ X Khi tồn EX, EY, Eξ thì: • Tồn E (X + Y ) , E (X + Y ) = EX + EY • Tồn E (aX) , E (aX) = aEX • Tồn E (αξ)và E (αξ) = αEξ • Nếu P (X = α) = EX = α • Nếu ξ, f (X) độc lập với f ∈ X ∗ tồn E (ξX) E (ξX) = Eξ.EX • Với ánh xạ tuyến tính T : X → X (X không gian Banach khả ly) tồn E [T (X)] E [T (X)] = T [E (X)] 1.2.3 Định lý Nếu E X < ∞ tồn EX E X ≥ EX 1.2.4 Định lý (Bất đẳng thức Jensen) Nếu ϕ : X → R hàm lồi liên tục X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên E X < ∞ ϕ (EX) ≤ Eϕ (X) Chứng minh Giả sử X phần tử ngẫu nhiên rời rạc ∞ ∞ X= Aj = Ω; Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) ; Aj ∈ F, aj ∈ X ) aj IAj ( j=1 j=1 Khi ∞ ϕ (X) = ϕ (aj )IAj j=1 n aj IAj , X = lim Xn , Đặt Xn = n→∞ j=1 ∞ n EXn = aj P (Aj ), Eϕ (X) = j=1 j=1 ∞ n P (Aj ) → (khi n → ∞) P (Aj ) = nên cn = Vì ϕ(aj )P (Aj ) j=1 j=1 Ta có  EXn cn ϕ n ≤ j=1 = ϕ P (Aj ) ϕ (aj ) = cn cn cn  n  aj P (Aj ) = ϕ  j=1  n aj j=1 P (Aj )  cn n P (Aj ) ϕ (aj ) → Eϕ (X) (khi n → ∞) j=1 Do lim ϕ n→∞ EXn cn ≤ Eϕ (X) (1.1) Mặt khác lim ϕ n→∞ =ϕ EXn cn =ϕ lim n→∞ lim EXn n→∞ cn n→∞ lim EXn cn = ϕ (EX) (1.2) Từ (1.1)và (1.2)suy ϕ (EX) ≤ Eϕ (X) Định lý chứng minh 1.3 Luật số lớn 1.3.1 Định nghĩa Cho dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} Đặt Sn = X1 + X2 + + Xn , ta nói dãy {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số lớn Sn − ESn h.c.c → 0, n Hoặc tổng quát Sn − an h.c.c → 0, bn n → ∞ n → ∞, {an , n ≥ 1}; {bn , n ≥ 1}là hai dãy hằng, với < bn ↑ ∞ an ∈ X với n ≥ Khi chứng minh định lý giới hạn nói chung luật mạnh số lớn nói riêng, người ta thường sử dụng bổ đề sau 1.3.2 Bổ đề Borel − Cantelli Giả sử {An , n ≥ 1} dãy biến cố Khi ∞ • Nếu P (An ) < ∞, P (lim sup An ) = n=1 ∞ • Nếu P (An ) = ∞ (An , n ≥ 1) độc lập, P (lim sup An ) = 1, n=1 10 ∞ ∞ lim sup An = Am n=1 m=n 1.3.3 Bất đẳng thức Markov Giả sử X phần tử ngẫu nhiên Khi với ε > p > ta có P ( X > ε) ≤ E X εp p 1.3.4 Định nghĩa Giả sử {εi : i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với P {ε1 = 1} = P {ε1 = −1} = Ta thường gọi {εi } dãy Bernoulli chuỗi Rademacher 1.3.5 Định nghĩa Giả sử {εi } chuỗi Rademacher, ≤ p ≤ 2, X gọi không gian Banach Rademacher loại p tồn số C cho với dãy hữu hạn phần tử ngẫu nhiên độc lập {Xj , ≤ j ≤ n} p n E n E [ Xi p ] ≤C εi X i i=1 i=1 Hoffmann −Jorgensen Pisier [10] chứng minh với ≤ p ≤ 2, không gian Banach khả ly không gian Banach Rademacher loại p tồn số < C < ∞ cho: p n E Xi n E [ Xi p ], ≤C i=1 i=1 với dãy hữu hạn {X1 , · · · , Xn } phần tử ngẫu nhiên độc lập E [Xi ] = 0, E [ Xi p ] < ∞, ≤ i ≤ n 1.3.6 Bổ đề Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0, nhận giá trị khơng gian Banach có tính chất Rademacher loại p với ≤ p ≤ p j E max 1≤j≤n Xi i=1 n E Xi p , n ≥ ≤C i=1 Trong C số khơng phụ thuộc vào n Bổ đề xem [5] (1.3) 19 theo bổ đề 2.1.13 (2.4) dẫn đến an dH n Fi , {0} → i=1 Bổ đề chứng minh 2.2 Dãy tập ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên dãy Toeplitz 2.2.1 Định nghĩa Ta gọi dãy tập ngẫu nhiên {Vn : n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên V, tồn số D < ∞, cho với n ≥ ta có: P { Vn K > t} ≤ DP { DV K > t} , t > (2.5) Dĩ nhiên {Vn : n ≥ 1} tập ngẫu nhiên phân phối (2.5) thỏa mãn với V = V1 , D = (2.5) xảy dấu đẳng thức Tiếp theo tìm hiểu bổ đề 2.2.2, 2.2.3, bổ đề chứng minh cụ thể [4] 2.2.2 Bổ đề Giả sử {Vn : n ≥ 1} V tập ngẫu nhiên cho {Vn : n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên V Giả sử {cn : n ≥ 1} dãy số dương cho ∞ max cqj 1≤j≤n j=n = O(n), (q > 0) cqj ∞ P{ V K > Dcn } < ∞ n=1 Vậy với < M < ∞ ta có: ∞ j=1 E cqj Vj q K I{ Vj K ≤M cj } < ∞ 20 2.2.3 Bổ đề Giả sử V0 V tập ngẫu nhiên cho V0 bị chặn ngẫu nhiên V Vậy với x ≥ ta có ∞ E V0 E V0 K I{ Vo K I{ Vo K >x} P { Vo = ≤ D2 E[ V K >x} > t}dt + xP { Vo K x K I{ DV K >x} K > x} ] Chứng minh ∞ E = = = V0 K I{ V0 ∞ x P{ ∞ x P{ ∞ x P{ K >x} P { V0 = V0 K I{ V0 V0 K > t}dt + V0 K > t}dt + xP { V0 K >x} x P{ > t}dt + x P{ V0 K I{ V0 K V0 K >x} > t}dt K I{ V0 K >x} > t}dt > x}dt K > x} K > t}dt + xP { V0 Và ∞ E V0 K I{ V0 Do P { Vn K ∞ x P{ Vo xP { Vo K K >x} P { V0 = x > t} ≤ DP { DV K > t}dt ≤ D K ∞ x P{ > x} ≤ DxP { DV K > x} K > x} > t} , t > nên DV K > t}dt > x} K Từ ta có ∞ E V0 ≤ ≤ ≤ ≤ K I{ Vo K >x} P { Vo = K > t}dt + xP { Vo x ∞ D x P { DV K > t}dt + DxP { DV K ∞ D P { DV K I{ DV K >x} > t}dt ∞ D2 P { V K I{ DV K >x} > Dt }d Dt D2 E V K I{ DV K >x} > x} 2.2.4 Bổ đề Giả sử X không gian Banach thực có tính chất Rademacher loại p (1 < p ≤ 2), {Vn : n ≥ 1} dãy tập ngẫu nhiên độc lập Kkc (X ) Giả thiết {Vn : n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên V Vi E [Vi ] tồn với i ≥ Giả sử {an : n ≥ 1}, {bn : n ≥ 1} số thỏa mãn < bn ↑ ∞, max 1≤j≤n bpj |aj |p ∞ j=n |aj |p = O (n) bpj (2.6) 21 Nếu ∞ P { an V K > Dbn } < ∞ (2.7) n=1  dH  bn n bn aj V j , j=1 Chứng minh Giả sử cn = m sup E dH m>n j=1 aj bj Yj , m ≤ sup E dH m>n j=n+1 m ≤ sup C m>n E[ j=n+1 p Yj K cpj ]  n aj E Vj I{ Vj K ≤D2 cj }  → h.c.c j=1 bn , |an | m j=1 Yn = Vn I{ m j=n+1 K ≤D 2c } n n aj bj E[Yj ] aj bj Yj , Vn − dH j=1 p Thì với n ≥ aj bj Yj , n j=1 p aj bj E[Yj ] aj bj E[Yj ] , (theo (2.3)) → theo bổ đề 2.2.2 n Do tồn S cho E dH j=1 n dH j=1 aj bj Yj , n j=1 aj bj E[Yj ] aj bj Yj , n j=1 p aj bj E[Yj ] −S →0 P → S Chú ý Kkc (X ) nhúng hình nón đóng khơng gian Banach thực khả li đó, Yj xem phần tử không gian Banach Mặt khác hội tụ theo xác suất tương đương với hội tụ hầu chắn cho tổng phần tử ngẫu nhiên độc lập (xem [11]) Nên ta có   n n aj aj dH  Yj , E[Yj ] → S bj bj j=1 j=1 Theo bổ đề 2.1.14 ta có  n 1 dH  aj Yj , bn bn j=1 (h.c.c) n  aj E[Yj ] → (h.c.c) j=1 (2.8) 22 Từ (2.5) (2.7) ta có ∞ ∞ P {Vn = Yn } = n=1 ∞ P { Vn K n=1 ≤D P { Vn K n=1 > D2 cn } > Dcn } < ∞ Theo bổ đề Borel − Cantelli ta có P { lim inf {Vn = Yn }} = 1, nên lim dH (Vn , Yn ) = (h.c.c), kết hợp với bất đẳng thức tam giác n→∞ (2.8) ta có:  dH   ≤ dH  bn n aj Vj , j=1 bn bn n aj V j , j=1 bn  n  n aj E[Yj ] j=1  aj Yj  + dH  j=1 bn n aj Yj , j=1 bn  n aj E[Yj ] j=1 h.c.c → 2.2.5 Định nghĩa Một mảng {ank : n, k = 1, 2, } số thực gọi dãy Toeplitz a lim ank = với k n→∞ ∞ |ank | ≤ C (C số) với n b k=1 2.2.6 Ví dụ ank = n k = 1, 2, , n k > n Đây ví dụ đơn giản thường xuyên sử dụng dãy Toeplitz Bổ đề sau dãy Toeplitz, ta gọi bổ đề Toeplitz (xem [12]) 2.2.7 Bổ đề Toeplitz ([12]) Giả sử {ank : n, k = 1, 2, } dãy Toeplitz {xn : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực n a Nếu xn → 0, ank xk → k=1 23 n b Nếu xn → x, n ank → 1, ank xk → x k=1 k=1 2.2.8 Bổ đề Giả sử V0 V tập ngẫu nhiên cho V0 bị chặn ngẫu nhiên V: tồn số D cho P { Vo K > t} ≤ DP { DV K > t}, t ≥ Khi với p >0 ta có E V0 p K I{ Vo K ≤t} ≤ Dtp P { DV K > t} + Dp+1 E p K I{ DV V K ≤t} , t ≥ (Bổ đề chứng minh [5]) 2.3 Những kết 2.3.1 Định lý Giả sử X khơng gian Banach thực có tính chất Rademacher loại p (1 < p ≤ 2), {Vn : n ≥ 1} dãy tập ngẫu nhiên độc lập Kkc (X ) Giả sử {Vn : n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên V Vi E [Vi ] tồn với i ≥ Giả sử {an : n ≥ 1}, {bn : n ≥ 1} số thỏa mãn < bn ↑ ∞, bpn |an |p bn |an | ∞ j=n n j=1 bn an ↑ |aj |p = O (n) bpj (2.9) |aj | = O (n) bj (2.10) Nếu (2.7) thỏa mãn ta thu LMSL   n n 1 h.c.c dH  aj V j , aj E[Vj ] → bn bn j=1 Chứng minh Đặt cn = bn , |an | j=1 Yn = Vn I{ Vn K ≤D 2c } n Chú ý từ (2.10) đảm bảo cn ≤ Cn, n ≥ với j ≥ 1, kết hợp (2.5) (2.7) ta có ∞ P{ V n=1 K ∞ > CD2 n} ≤ D P{ V n=1 ∞ P{ V ≤D n=1 K K > CDn} > Dcn } < ∞ 24 Từ bổ đề Borel − Cantelli, ta có P {lim sup ( Vj Như Vj K bị chặn h.c.c nghĩa E Vj K > cD2 n)} = < ∞ K Vì điều kiện bổ đề 2.2.4 thỏa mãn, ta có:   n n 1 h.c.c dH  aj V j , aj E[Yj ] → bn bn j=1 j=1 Vì ta cần chứng minh  n 1 dH  aj E[Yj ], bn bn j=1 ≤ = ≤ = bn bn bn bn h.c.c aj E[Vj ] → j=1 dH Thật  n bn n j=1 aj E[Yj ], b1n n aj E[Vj ] j=1 n dH (aj E[Yj ], aj E[Vj ]) j=1 n dH aj E[Yj ], aj E[Yj ] + aj E Vj I{ j=1 n dH {0} , aj E Vj I{ j=1 n |aj | E Vj I{ j=1 Vj K Vj K Vj K ≤D2 cj } >D2 cj } >D2 cj } K ∞ n=1 E cn Vn = D2 ≤ D2 ≤ D3 K I{ ∞ n=1 ∞ cn K n} ≤ D2 n=1 E cn V K I{ V K >Dcn } (theo bổ đề 2.2.3) ∞ E j=n V K I{Dcj < V V K I{Dcj < cj+1 P {Dcj < V j=1 ∞ K ≤Dcj+1 } j+1 E j=1 ∞ Vn >D2 c V K ≤Dcj+1 } K n=1 ≤ Dcj+1 } cn C(j+1) cj+1 (theo(2.10)) 25 = ∞ D3C ∞ P {Dcj < V K j=1 ≤C jP {Dcj < V j=1 ∞ j =C K (do j + ≤ 2j) K ≤ Dcj+1 } P {Dcj < V K ≤ Dcj+1 } n=1 j=n ∞ P{ V =C ≤ Dcj+1 } P {Dcj < V j=1 n=1 ∞ ∞ =C ≤ Dcj+1 }(j + 1) n=1 K > Dcn } < ∞ (theo(2.7)) Từ bổ đề Kronecker ta có bn n |aj | E[ Vj K I{ Vn K >D 2c } j ] → j=1 Từ có  dH  bn n aj V j , j=1 bn n  h.c.c aj E[Vj ] → j=1 Đó điều phải chứng minh 2.3.2 Định lý Giả sử X khơng gian Banach thực có tính chất Rademacher loại p (1 < p ≤ 2), {Vn : n ≥ 1} dãy tập ngẫu nhiên độc lập Kkc (X ) Giả sử {Vn : n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập V Giả sử E [ V K] < ∞, Vi E [Vi ] tồn với i ≥ Giả sử {an : n ≥ 1}, {bn : n ≥ 1} hai dãy số thỏa mãn < bn ↑ ∞, (2.6) n |aj | = O (bn ) j=1 Nếu (2.7) chuỗi hội tụ ta thu LMSL   n n 1 h.c.c dH  aj V j , aj E[Vj ] → bn bn j=1 j=1 (2.11) 26 bn , |an | Chứng minh Đặt cn = Yn = Vn I{ K ≤D Vn 2c } n Từ điều kiện bổ đề 2.2.4 thỏa mãn, ta có:   n n 1 h.c.c aj V j , aj E[Yj ] → dH  bn bn j=1 j=1 Vì ta cần chứng minh  n 1 dH  aj E[Vj ], bn bn j=1 n  h.c.c aj E[Yj ] → j=1 Từ (2.6) ta có cn → ∞ Từ bổ đề 2.2.3, E [ V K] < ∞ định lý hội tụ bị chặn ta có E Vn I{ Vn ≤ D2E Giả sử cnj = aj bn K >D V ≤E 2c } n K K I{ V K >Dcn } Vn K I{ Vn K >D 2c } n → (n → ∞) với j, cnj → (n → ∞) ∞ ∞ |aj | bn cnj = Từ (2.11) ta có j=1 j=1 ≤ C {cnj : n, j = 1, 2, } dãy Toeplitz Từ bổ đề Toeplitz ta có n bn aj E[Vj I{ Vj K >D2 c j=1 bn ≤ ] j} K n |aj | E[Vj I{ Vj K >D 2c j} ] j=1 K → (n → ∞) Từ ta có dH = dH ≤ dH = bn bn n aj E[Vj ], j=1 bn bn n j=1 bn n aj E[Yj ] j=1 aj E[Yj ]+ b1n n aj E[Vj I{ j=1 Vj K ≤D2 cj } ], n aj E[Vj I{ j=1 Vj K ≤D2 cj } ], {0} n aj E[Vj I{ j=1 Vj K → (n → ∞) ≤D2 cj } ] Đó điều phải chứng minh K bn n aj E[Yj ] j=1 27 2.3.3 Định lý Giả sử X khơng gian Banach thực có tính chất Rademacher loại p (1 < p ≤ 2), {Vn : n ≥ 1} dãy tập ngẫu nhiên E [Vi ] với i ≥ độc lập Kkc (X ) Tồn Vi sup E Vn n≥1 p K < ∞ (2.12) Giả sử {an : n ≥ 1}, {bn : n ≥ 1} số thỏa mãn < bn ↑ ∞ an bn = O n−1/p (log n)−1/q với q thỏa mãn 0cn } ] > cn }+ K n=1 ∞ ≤ K I{ Vj ∞ P { Vn = ∞ ], {0} K >cn } n=1 cn cn ∞ cn P { Vn p K] ∞ E[ Vn cn K > t}dt (theo Bổ đề 2.2.3) dt (theo BĐT Markov) ∞ cn dt cn cpn < ∞ Do đó, theo Bổ đề Kronecker  n aj E[Vj I{ dH  bn  Vj K >cj } ], {0}  → j=1 Ta có dH bn ≤ dH bn = dH bn + dH ≤ dH bn n j=1 n j=1 bn n j=1 aj Vj , b1n aj Vj , b1n aj Vj , b1n j=1 aj Vj , b1n j=1 bn aj E[Yj ] + dH j=1 n aj E[Yj ], j=1 bn n aj E[Vj ] j=1 n aj E[Yj ] j=1 aj E[Yj ], n aj E[Vj ] n n j=1 n bn n bn aj E[Yj ] + j=1 n aj E[Yj ] {0} , b1n + dH j=1 n aj E[Vj I{ j=1 Vj K n aj E[Vj I{ j=1 Vj K >cj } ] >cj } ] h.c.c → Đó điều phải chứng minh 2.3.4 Định lý Giả sử X khơng gian Banach thực có tính chất Rademacher loại p (1 < p ≤ 2), {Vn : n ≥ 1} dãy tập ngẫu nhiên độc lập Kkc (X ) Giả sử {Vn : n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên V Giả sử E V p K < ∞, Vi E [Vi ] tồn với i ≥ 1, giả sử {an : n ≥ 1}, {bn : n ≥ 1} số thỏa mãn < bn ↑ ∞, 29 (2.11)và với q cho ≤ q < p thỏa mãn an = O n−1/q bn ta có  dH  n bn aj V j , j=1 bn , |an | Chứng minh Giả sử cn = ∞ j=1 Ta có: p E[ Yn cpn K] ∞ ≤D j=1 np/q P cpn ∞  n h.c.c aj E[Vj ] → j=1 Yn = Vn I{ > n1/q +Dp+1 K Vn ∞ n=1 K ≤n E cpn 1/q } V p K I{ DV 1/q } K ≤n (do 2.2.8) n n−p/q ≤C +C DV bn (2.16) n=1 E p K I{(k−1)1/q < DV V k=1 ∞ =C +C E V k=1 ∞ ≤C +C E = C + CE p K V (theo (2.16), E V 1/q } ∞ p K I{(k−1)1/q < DV K ≤k 1/q } p K I{(k−1)1/q < DV K ≤k 1/q } V k=1 K ≤k p K < ∞) n−p/q n=k < ∞ Bất đẳng thức kéo theo (xem chứng ming Bổ đề 2.2.4)   n n 1 h.c.c dH  aj Yj , E[Yj ] → (2.17) bn bn j=1 Từ (2.5), E V ∞ p K < ∞, bất đẳng thức Markov ta có ∞ P {Vn = Yn } = n=1 ∞ j=1 P Vn n=1 ≤D P n=1 ∞ ≤D n=1 DV E[ DV np/q p K] K K > n1/q > n1/q n K >n 1/q } → (n → ∞) 1/q } ∞ Kết hợp với < bn ↑ ∞, |aj | = O (bn ) ta có j=1 aj bn : j, n ≥ dãy Toeplitz Từ bổ đề Toeplitz ta có bn dH = ≤ bn bn n aj E[Vj I{ j=1 Vj K >j 1/q } ], {0} n aj E[Vj I{ j=1 n Vj K >j 1/q } ] K |aj | E[Vj I{ j=1 Vj K >j 1/q } ] → (n → ∞) K Từ ta có bn dH n j=1 bn ≤ dH bn = dH + b1n aj Vj , b1n n j=1 n j=1 n aj E[Vj ] j=1 n aj Vj , b1n aj E[Yj ] bn + dH j=1 n aj Vj , b1n aj E[Yj ] bn + dH j=1 n aj E [Yj ], j=1 n aj E[Yj ], j=1 bn bn n aj E[Vj ] j=1 n aj E[Yj ] j=1 n aj E[Vj I{ j=1  ≤ dH  bn n aj Vj , j=1 Vj bn K >j 1/q } ] n   aj E[Yj ] + dH {0} , j=1 Đó điều phải chứng minh bn  n aj E[Vj I{ j=1 Vj K >j 1/q } h.c.c ] → 31 kết luận Sau trình làm việc hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn, tác giả đã đạt kết sau: 1.1 Tiếp cận với biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach khả ly (phần tử ngẫu nhiên) Tác giả nắm số kiến thức phần tử ngẫu nhiên, kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên Tìm hiểu số hướng nghiên cứu lĩnh vực 1.2 Tìm hiểu tập ngẫu nhiên, hiệu Hukuhara, dãy Toeplitz, số tính chất khoảng cách Hausdorff dH Kk (X ), tìm hiểu số tính chất tập bị chặn ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên 1.3 Nghiên cứu luật mạnh số lớn không gian Banach khả ly Từ đưa chứng minh chi tiết số kết luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập Đáng ý tác giả tiếp cận trình bày LMSL cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập với khoảng cách Hausdorff dH định lý 2.3.1, định lý 2.3.2, định lý 2.3.3, định lý 2.3.4 Ngồi tác giả cịn chứng minh chi tiết số kết đưa tài liệu tham khảo Các hướng phát triển luận văn: 2.1 Nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện tập ngẫu nhiên 2.2 Nghiên cứu Martingale khơng gian Kk (X ).Từ thiết lập LMSL dãy tập ngẫu nhiên lập thành Martingale 2.3 Nghiên cứu LMSL tập ngẫu nhiên không gian sở không gian martingale dạng p 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình xác suất, Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Quảng, (2007), Phân phối xác suất không gian Banach, Đại Học Vinh [3] Nguyễn Đơng n, (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa Học Tự Nhiên Công Nghệ [4] A Adelr, A Rosalsky and R L Taylor, (1989), Strong laws of large numbers for weighted sums of random elements in normed linear spaces, Internat J Math Math Sci.VOL 12 NO 507-530 [5] A Adelr and A Rosalsky, (1987), Some general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables, Stochastic Anal Appl 1-16 [6] Z Artstein and R A Vitale, (1975), A strong law of large numbers for random compact set, Ann Probab 879-882 [7] E Gine’, G Hahn and J Zinn, (1983), Limit theorems for random sest: an application of probability in Banach spaces results, Leet Notes in Math 990 112 - 135 [8] C Hess, (1979), Théorème ergodique et loi forte des grands nombers pour des ensembles aléatoires, C R Acad Sci Paris Sér A 288 591 - 522 33 [9] F Hiai, (1984), Strong Laws of large number for multivalued random variables Multifunctions and Integrands (G Salinetti ed.), Leeture Notes in Math 1091 Springer Berlin 160-172 [10] J Hoffmann - Jorgensen and G Pisier, (1976), The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces, Ann Probab 587-599 [11] K Itô and M Nisio, (1968), On the convergence of sums of independent banach space valued random variables, Osaka J Math 35-48 bibitema14 S Li, Y Ogure and V Kerinovich, (2002), Limit theorems and Applications of Set-Valued and Fuzzy Sets-Valued Random Variables, Kluwer Academic Publishers [12] M Loève, (1963), Probability Theory, Macmillan New York [13] Li Guan Shoumei Li and Hiroshi Inoue, (2007), Strong laws of large numbers for weighted sums of set valued random variables in rademacher type p Banach spaces, Math Japanicae 67 No [14] M L Puri and D A Ralescu, (1983), Strong law of large numbers for Banach space valued random sets, Ann Probab, 11 222 224 [15] R L Taylor, (1978), Stochastic Convergence of weighted sums of random elements in linear spaces, Lecture Notes in Math 672, Springer-Verlag, Berlin [16] R.L Taylor and H Inoue, (1985), A strong law of large numbers for random sets in Banach spaces, Bull Instit Math Academia Sinica 13 403-409 ... CHƯƠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG LƯỢNG CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ T? ?P TRONG KHÔNG GIAN BANACH CĨ TÍNH CHẤT RADEMACHER LOẠI P 2.1 Mở đầu biến ngẫu nhiên nhận giá trị t? ?p Trong... khơng gian Banach Rademacher loại p, LMSL cho không gian Banach khả li có tính chất Rademacher loại p Chương Luật mạnh số lớn cho tổng có trọng lượng biến ngẫu nhiên nhận giá trị t? ?p không gian Banach. .. niệm biến ngẫu nhiên nhận giá trị t? ?p, khoảng cách Hausdorff dH , biến ngẫu nhiên nhận giá trị t? ?p, kỳ vọng biến ngẫu nhiên nhận giá trị t? ?p, chứng minh Kk (X ) có tính chất Rademacher loại p X có