Luật mạnh số lớn cho mảng của tập compact ngẫu nhiên và tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng

LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO MẢNG CỦA TẬP COMPACT NGẪU NHIÊN VÀ TẬP NGẪU NHIÊN MỜ Võ Nam Phong Tháng 12 năm 2009 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức lý thuyết xác suất 1.1.1 Không gian xác suất tổng quát 1.1.2 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối 1.1.3 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.1.4 Luật số lớn 1.2 Một số khái niệm tính chất giả tích hàm 1.2.1 Định nghĩa tính chất 1.2.2 Tập lồi không gian đối ngẫu Luật mạnh số lớn cho mảng tập compact ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng 2.1 Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng 2.1.1 Mở đầu 2.1.2 Kết 2.1.3 Trường hợp không gian Banach 2.2 Tập ngẫu nhiên tập mờ 2.2.1 Tập ngẫu nhiên 2.2.2 Tập mờ 2.3 Luật mạnh số lớn 2.3.1 Các bổ đề 2.3.2 Các định lý 4 11 13 13 14 15 15 15 16 17 18 18 21 24 24 25 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Lời nói đầu Trong năm gần đây, lí thuyết tập ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên mờ nghiên cứu áp dụng rộng rãi lĩnh vực khoa học thông tin, xác suất thống kê Robbins (xem[15, 16]) người đưa khái niệm tập hợp ngẫu nhiên Sau đó, Kendall (xem[7]) Matheron (xem[12]) nghiên cứu tồn diện lý thuyết tập ngẫu nhiên Phương pháp họ sử dụng ảnh hưởng lớn đến phát triển định lý nhiều thập kỷ gần Mặt khác luật số lớn đóng vai trị quan trọng xác suất thống kê Với phát triển lý thuyết ứng dụng tập ngẫu nhiên, số luật mạnh số lớn chứng minh Trong số đó, Artstein Vitale (xem[5]) chứng minh định lý liên quan đến định lí giới hạn tập ngẫu nhiên R, Puri Ralescu (xem[13]) người có luật mạnh số lớn cho tập ngẫu nhiên lồi compact độc lập phân phối không gian Banach thực Một số tác giả thu luật mạnh số lớn nhờ nới lỏng điều kiện Những nghiên cứu chi tiết kết có báo Taylor Inoue (xem[17]) Lý thuyết tập mờ giới thiệu Zadeh (xem[19]) Khái niệm biến ngẫu nhiên mờ đề xướng Kwakernaak (xem[10]) Puri Ralescu (xem[14]) sử dụng khái niệm biến ngẫu nhiên mờ để tổng quát hóa kết tập ngẫu nhiên tới tập ngẫu nhiên mờ Đối với luật số lớn, Kruse (xem[9]) chứng minh luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên mờ độc lập phân phối Inoue (xem[6]) thu luật mạnh số lớn cho tập ngẫu nhiên mờ độc lập tập ngẫu nhiên mờ độc lập phân phối không gian Banach khả ly Gần đây, Luật mạnh số lớn nghiên cứu điều kiện khác Ngoài để biết thêm chi tiết kết định lý giới hạn tập hợp ngẫu nhiên tập hợp ngẫu nhiên mờ, người tham khảo Li cộng (xem[11]) Tuy nhiên, biết, hầu hết tác giả xem xét trường hợp dãy định lý giới hạn liên quan đến mảng tập hợp ngẫu nhiên compact tập ngẫu nhiên mờ biết đến rng rói, ngoi tr Taylor (xem[18]) v Krăatschmer (xem[8]) tác giả nghiên cứu luật yếu số lớn luật mạnh số lớn không gian Euclide Trong luận văn này, nghiên cứu luật mạnh số lớn cho mảng tập compact ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng mà không gian không gian Banach khả ly Luận văn chia làm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức lý thuyết xác suất giải tích hàm Chương Luật mạnh số lớn cho mảng tập compact ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng Chương nội dung luận văn Chương gồn nội dung sau: Trong mục chúng tơi trình bày số kết luật mạnh số lớn biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng Trong mục đưa khái niệm tập compact ngẫu nhiên, tập ngẫu nhiên mờ tính chất chúng Trong mục giới thiệu số bổ đề Sau đưa định lý chứng minh Luận văn thực từ tháng năm 2009 hoàn thành Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đặt vấn đề giúp đỡ trình làm luận văn Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hòa thầy cô giáo tổ Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, thầy khoa Tốn, khoa sau đại học Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, luận văn chắn cịn có thiếu sót mong nhận đóng góp từ thầy, cô giáo bạn Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức lý thuyết xác suất Không gian xác suất tổng quát 1.1.1.1 Đại số σ -đại số Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng Kí hiệu P(Ω) tập hợp gồm tất tập Ω Khi đó, lớp A ⊆ P(Ω) gọi đại số nếu: (i) Ω ∈ A, (ii) A ∈ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A, (iii) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A Lớp F ⊆ P(Ω) gọi σ -đại số điều kiện: đại số thỏa mãn thêm ∞ An ∈ F (iv) An ∈ F, ∀n = 1, 2, suy n=1 Nhận xét Trong điều kiện (i) Ω ∈ A thay ∅ ∈ A Trong điều kiện (ii) A ∈ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A thay A, B ∈ A ⇒ A \ B ∈ A Trong điều kiện (iii) A ∪ B thay A ∩ B Trong điều kiện (iv) ∞ n=1 An thay ∞ n=1 An 1.1.1.2 Độ đo xác suất Giả sử A ⊂ P(Ω) đại số Hàm tập hợp P(·) xác định A gọi độ đo xác suất hữu hạn cộng tính (hay cộng tính hữu hạn) nếu: (i) P(A) ≥ 0, A ∈ A, (ii) P(Ω) = 1, (iii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) A, B ∈ A A ∩ B = ∅ Hàm tập hợp P(·) xác định đại số A gọi độ đo xác suất σ -cộng tính thỏa mãn hai điều kiện (i) (ii) thỏa mãn: ∞ (iv) Nếu Ai ∈ A, i = 1, 2, ; Ai ∩ Aj = ∅, i = j; Ai ∈ A thì: i=1 ∞ P( ∞ Ai ) = i=1 P(Ai ) i=1 Tính chất Từ điều kiện (iii), quy nạp ta suy Ai ∈ A, i = 1, 2, , n Ai ∩ Aj = ∅ với i = j thì: n n P( Ai ) = i=1 Ai i=1 Cũng từ điều kiện (ii) (iii) suy P(A) = − P(A) Rõ ràng tính chất σ -cộng tính độ đo xác suất suy tính chất hữu hạn cộng tính Điều ngược lại nói chung khơng Tuy nhiên, phát biểu sau khẳng định điều kiện cần đủ để độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trở thành σ -cộng tính: Giả sủ P độ đo xác suất hữu hạn cộng tính đại số A Khi đó, bốn điều kiện sau tương đương: 1) P cộng tính đếm (σ -cộng tính); 2) P liên tục trên, tức An ∈ A, n = 1, 2, dãy không giảm (An ⊆ An+1 ) limn→∞ An = ∞ n=1 An ∈ A thì: ∞ P( An ) = lim P(An )” n→∞ n=1 3) P liên tục dưới, tức An ∈ A, n = 1, 2, dãy giảm (An ⊆ An−1 ) limn→∞ An = ∞ n=1 An ∈ A thì: ∞ P( An ) = lim P(An ) n→∞ n=1 4) P liên tục không, tức An ∈ A, An ⊇ An+1 , n = 1, 2, ∞ n=1 An = ∅ thì: lim P(An ) = n→∞ Từ ∅ ∪ ∅ = ∅ từ điều kiện (ii) (iii) ta suy ra: P(∅) = Suy từ A ⊆ B ⇒ B = A ∪ (B \ A), A ∩ (B \ A) = ∅ ⇒ P(B) = P(A) + P(B \ A) nên ta có tính chất đơn điệu P: A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) Suy từ tính chất A ⊆ Ω nên ta có: P(A) ≤ Suy từ A ∪ B = A ∪ (B \ A) P(B \ A) = P(B) − P(A ∩ B) nên ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Tổng quát, phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được: n n P( (−1)k−1 Ak ) = 1≤i1 α tồn y0 , z0 , x = y0 + z0 thỏa y+z=x mãn {u (y0 ) , v (z0 )} > α Ta có: u (y0 ) > α y0 ∈ uα ⇒ z0 ∈ vα ⇒ x ∈ uα + vα v (z0 ) > α Nếu sup {u (y) , v (z)} = α với y+z=x ∀ε > 0, ∃y0 , z0 : y0 + z0 = x cho {u (y0 ) , v (z0 )} > α − ε Ta có: u (y0 ) > α − ε v (z0 ) > α − ε ⇒ y0 ∈ uα z0 ∈ vα ⇒ x ∈ uα + vα Do (u + v)α ⊂ uα + vα Ngược lại, với x ∈ uα + vα ⇒ x = y + z y ∈ uα , z ∈ vα Ta có y ∈ uα u (y) ≥ α z ∈ vα ⇒ v (z) ≥ α ⇒ {u (y) , v (z)} ≥ α ⇒ sup {u (y) , v (z)} ≥ α y+z=x ⇒ (u + v) (x) ≥ α ⇒ x ∈ (u + v)α Do uα + vα ⊂ (u + v)α 23 Vậy (u + v)α = uα + vα Nếu λ = hiển nhiên ta có (λu)α = λuα Với λ = ta có: ∀x ∈ (λu)α ⇒ (λu) (x) ≥ α ⇒ u λ−1 x ≥ α ⇒ λ−1 x ∈ uα ⇒ x ∈ λuα Do (λu)α ⊂ λuα Ngược lại, ∀x ∈ λuα ⇒ λ−1 x ∈ uα ⇒ u λ−1 x ≥ α ⇒ (λu) (x) ≥ α ⇒ x ∈ (λu)α Do λuα ⊂ (λu)α Vậy (λu)α = λuα Đối với tập mờ, ta chọn metric thông thường dr (d∞ ) xem tổng quát hóa metric Hausdorff từ C(S) lên F (S), với  1r  drH (uα , vα )dα ≤ r < ∞, dr (u, v) =  (2.18) d∞ (u, v) = sup dH (uα , vα ), (2.19) α∈(0; 1] với u, v ∈ F (S) 2.2.2.4 Định nghĩa Giả sử u ∈ F (S) Chuẩn u định nghĩa u r = dr (u, 0) u ∞ = d∞ (u, 0) = u0 r Khái niệm tập ngẫu nhiên mờ hình thành từ tập ngẫu nhiên nghiên cứu Puri Ralescu (xem[14]) 2.2.2.5 Định nghĩa Tập ngẫu nhiên mờ hàm X : Ω → F (S) cho α ∈ (0; 1] Xα (ω) = {x ∈ S; X(ω)(x) ≥ α} tập ngẫu nhiên S Tập ngẫu nhiên mờ X gọi bị chặn khả tích biến ngẫu nhiên giá trị thực suppu khả tích Giả sử X tập ngẫu nhiên mờ , kỳ vọng tập ngẫu nhiên mờ X , ký hiệu E[X], phần tử F (S) cho với α ∈ (0; 1] ta có: (E [X])α = cl Xα dP = cl {E(f ); f ∈ SXα }, Ω SXα = f ∈ L1 (Ω, S); f (ω) ∈ Xα (ω) 24 Ta có định nghĩa tương đương sau: E [X] (x) = sup {α ∈ (0; 1] ; x ∈ E [Xα ]} Hơn , (E [coX])α = E [(coX)α ] với α ∈ (0; 1] 2.2.2.6 Định nghĩa Họ tập ngẫu nhiên mờ {Xn ; n ≥ 1} gọi độc lập α ∈ (0; 1] dãy tập ngẫu nhiên {Xn α; n ≥ 1} độc lập Đối với mảng tập hợp ngẫu nhiên hay tập ngẫu nhiên mờ, độc lập theo hàng định nghĩa tương tự cho dòng Lưu ý {Xni ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng véc tơ ngẫu nhiên Rd , {Xni ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} gọi khả tích với ε > tồn a ∈ R cho supn,i E Xni I( Xni > a < ε, IM hàm tiêu tập M Tập {x : x ≤ a} compact Rd Nhưng không gian vô hạn chiều (như C(S) K(S)), tập đóng, bị chặn khơng thiết compact Do đó, để có luật mạnh số lớn cho tập compact ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên mờ không gian Banach, trước hết giới thiệu định nghĩa sau 2.2.2.7 Định nghĩa Họ {Xni ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} tập compact ngẫu nhiên C(S) gọi compact khả tích với ε > tồn tập conpact K C(S) cho supn,i E Xni I(Xni ∈ / K) < ε 2.2.2.8 Định nghĩa Họ {Xni ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} tập ngẫu nhiên mờ F (S) gọi compact khả tích với ε > tồn tập conpact K F (S) cho với α ∈ (0; 1] sup E Xni αI (Xni ∈ / K) < ε n,i 2.3 2.3.1 Luật mạnh số lớn Các bổ đề Để chứng minh kết phần cuối, chúng tơi giới thiệu số bổ đề, sử dụng sau ny R adstrăom (xem[23]) ó ch rng h tập compact lồi không gian Banach nhúng lồi nón khơng gian tuyến tính định chuẩn Nghĩa là, khơng gian metric C(S) nhúng khơng gian Banach khả ly N với đẳng cự g : CC (S) → N Vì vậy, có Bổ đề sau 25 2.3.1.1 Bổ đề (R adstrăom[24] ) Cho X : CC (S) tập compact ngẫu nhiên thỏa mãn E X < ∞ Nếu g : CC (S) → N đẳng c cho bi nh lý nhỳng R adstrăom, thỡ ta có E(go X) = g(EX) 2.3.1.2 Bổ đề (Taylor[27] ) Cho K tập compact C(S) {ani } mảng số không âm thỏa mãn n ani ≤ 1, max ani → n → ∞ 1≤i≤n i=1 n dH n ani bni Ani , i=1 ani bni coAni → n → ∞ i=1 Với mảng {bni } nhận giá trị và mảng {Ani } ⊂ K 2.3.2 Các định lý Trong phần này, nghiên cứu luật mạnh số lớn cho mảng {Xni } tập compact ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên mờ bị chặn khả tích Trong mục 2.1 thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với kì vọng với giả thiết < ∞ mở rộng kết cho mảng độc lập theo hàng, EX11 điều kiện biến ngẫu nhiên phân phối kì vọng thay điều kiện biến ngẫu nhiên bị chặn biến ngẫu nhiên X , nghĩa P (|Xni | ≥ t) ≤ P (|X| ≥ t) với n, i t > EX < ∞ thiết lập kết tương tự cho tập ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng 2.3.2.1 Định lý Cho {Xni ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng tập compact ngẫu nhiên compact khả tích độc lập theo hàng C(S) Giả sử tồn biến ngẫu nhiên X cho P( Xni ≥ t) ≤ P( X ≥ t) với n, i t > EX < ∞ Khi với ε > 0, ∞ P dH n=1 n n i=1 Xni , n n EcoXni ≥ 7ε < ∞ (2.20) i=1 Chứng minh Với ε > 0, theo giả thiết tồn tập compact K C(S) cho ∀n, i:E Xni I (Xni ∈ / K) ≤ ε 26 Với ε > 0, đặt B (k, ε) = {z : z − k < ε} Vì K tập compact nên tồn k1 , , km thuộc K cho: m K ⊆ ∪ B (kj , ε) j=1 Đặt Zni = Zni I(Xni ∈ K), với m Zni = k1 I [Xni ∈ B (k1 , ε)] + kj I Xni ∈ B (kj , ε) ∩ j=2 j−1 ∪ B (kl ; ε) l=1 Vì vậy, Zni tập compact ngẫu nhiên nhận hữu hạn giá trị, dãy {Zni ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} độc lập theo hàng Ta có: dH ≤ dH +dH +dH +dH +dH +dH n n i=1 n n n n n n Xni , n1 n i=1 n n EcoXni i=1 Xni , n1 n Xni I (Xni ∈ K) i=1 Xni I (Xni ∈ K), n1 i=1 n m kj I (Zni = kj ) , i=1 j=1 n m i=1 j=1 n i=1 n i=1 n Zni i=1 n kj P (Zni = kj ) , n1 EcoZni , n1 n m kj P (Zni = kj ) i=1 j=1 n m cokj P (Zni = kj ) i=1 j=1 n EcoXni I (Xni ∈ K) i=1 EcoXni I (Xni ∈ K), n1 n EcoXni i=1 := (I1 ) + (I2 ) + (I3 ) + (I4 ) + (I5 ) + (I6 ) Trong (I3 ) (I4 ) sinh từ kí hiệu Zni = Zni I (Xni ∈ K) = m j=1 kj I (Zni = kj ) EI (Zni = kj ) = P (Zni = kj ) Với I1 ta có: C 27 dH ≤ n n n 1 X , Xni I ni n n i=1 i=1 n ( n i=1 n (Xni ∈ K) Xni I (Xni ∈ / K) − E Xni I (Xni ∈ / K) ) + E Xni I (Xni ∈ / K) i=1 n ≤n ( i=1 Xni I (Xni ∈ / K) − E Xni I (Xni ∈ / K) ) +ε { Xni I (Xni ∈ / K) − E Xni I (Xni ∈ / K) ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng với kì vọng Ta có với n, i P ( Xni I (Xni ∈ / K) − E Xni I (Xni ∈ / K) ≥ t) ≤ P ( Xni I (Xni ∈ / K) + ε ≥ t) ≤ P (|X| + ε ≥ t) Theo định lý 2.1.2.1 ta có: ∞ P ((I1 ) ≥ 2ε) < ∞ n=1 Với (I2 ), cách xây dựng dãy Zni , ta có: dH n n Xni I (Xni ∈ K) , n i=1 n Zni i=1 ≤ n n dH (Xni I (Xni∈K ) , Zni ) < ε i=1 Với (I3 ) ta có: m (I3 ) ≤ n kj j=1 n [I (Zni = ki ) − P (Zni = kj )] i=1 Chú ý [I (Zni = ki ) − P (Zni = kj )] biến ngẫu nhiên bị chặn Đặt δ = ε/ m j=1 kj ∞ Lại theo định lí 2.1.2.1 ta có: ∞ m P ((I3 ) > ε) ≤ n=1 P j=1 n=1 n n [I (Zni = ki ) − P (Zni = kj )] ≥ δ i=1 Với (I4 ), từ bổ đề 2.3.1.2 với n đủ lớn ta có: m (I4 ) ≤ n dH j=1 n i=1 kj P (Zni = kj ) , n n cokj P (Zni = kj ) i=1 Với (I5 ), cách xây dựng Zni ta có: (I5 ) ≤ ≤ n n n n dH (EcoZni , coXni I (Xni ∈ K)) i=1 EdH (Zni , Xni I (Xni ∈ K)) < ε i=1 < ε < ∞ 28 Với (I6 ), ta có: (I6 ) ≤ n n i=1 dH (EcoXni I (Xni ∈ / K) , 0) ≤ n n E Xni I (Xni ∈ / K) ≤ ε i=1 Kết hợp lí luận ta có: ∞ P n dH n=1 n i=1 Xni , n n EcoXni ≥ 7ε < ∞ i=1 2.3.2.2 Định lý Cho {Xni ; ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng tập ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng F (S) compact khả tích thỏa mãn với ε > tồn phân hoạch = α0 < < αm = [0; 1] cho + max EdH Xni αk−1 , Xni αk < ε, ∀n, i (2.21) 1≤k≤m Giả sử tồn biến ngẫu nhiên X với EX < ∞ cho với n, i P( Xni d∞ ( n ∞ n ≥ t) ≤ P(|X| ≥ t) Xni , n i=1 (2.22) n EXni ) → i=1 Chứng minh Chọn phân hoạch = α0 < < αm = [0; 1] cho với n, i ta có + max EdH Xni αk−1 , Xni αk < ε/2 1≤k≤m Vì ta có sup αk−1