Phép biến đổi z và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— LÊ THỊ PHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI Z VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, 2023 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— LÊ THỊ PHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI Z VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn khoa học TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng, 2023 MỤC LỤC CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hàm biến phức 1.1.1 Hàm liên tục 1.1.2 Hàm chỉnh hình 1.2 Không điểm cực điểm 1.3 Tích phân phức 13 1.4 Chuỗi lũy thừa 15 1.5 Lý thuyết thặng dư 17 1.6 Phương trình sai phân 20 1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 20 1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 20 1.6.3 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 21 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI Z 25 2.1 Định nghĩa ví dụ 25 2.2 Một số tính chất 27 2.2.1 Tính tuyến tính 27 2.2.2 Tính dịch chuyển 28 2.2.3 Tính chất tỉ lệ 29 2.2.4 Phép chia 30 2.2.5 Phép nhân với nk 31 2.2.6 Tích chập 31 2.2.7 Định lý giá trị ban đầu 32 2.2.8 Định lý giá trị cuối 32 2.3 Phép biến đổi Z ngược 34 2.3.1 Định nghĩa phép biến đổi Z ngược 34 2.3.2 Một số phương pháp tìm phép biến đổi Z ngược 36 CHƯƠNG MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 40 3.1 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số 40 3.2 Giải phương trình sai phân Volterra kiểu tích chập 44 3.3 Tính tổng chuỗi 46 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Phép biến đổi tích phân phép tính tốn hình thành từ năm nửa cuối kỷ XIX Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân bắt nguồn từ nghiên cứu tiếng lý thuyết khai triển hàm số thành chuỗi hàm lượng giác Fourier sau phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier Ý nghĩa quan trọng phép biến đổi tích phân cung cấp tốn tử hiệu lực để giải tốn phương trình vi phân, phương trình sai phân phương trình tích phân Hai phép biến đổi tích phân đánh giá quan trọng khơng Tốn học mà cịn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt lĩnh vực Vật lý học, phép biến đổi Fourier phép biến đổi Laplace Bên cạnh đó, phép biến đổi Z góp phần giải nhiều vấn đề Toán học Sự xuất phép biến đổi Z vào năm 1730 [6] De Moivre giới thiệu khái niệm hàm sinh lý thuyết xác suất, sau Laplace mở rộng vào năm 1812 Tới năm 1947, Hurewiez giới thiệu phép biến đổi Z việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số số Tên gọi “phép biến đổi Z ” đưa Ragazzini Zadeh nhóm kiểm sốt liệu mẫu Đại học Columbia năm 1952 [7] Phép biến đổi Z công cụ hữu ích việc xử lý mơ hình liệu rời rạc Ngày nay, phép biến đổi Z sử dụng rộng rãi lĩnh vực ứng dụng tốn học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển kinh tế Các mơ hình rời rạc giải phương trình sai phân tương tự mơ hình liên tục giải phương trình vi phân Phép biến đổi Z đóng vai trị quan trọng việc giải phương trình sai phân giống tầm quan trọng phép biến đổi Laplace việc giải phương trình vi phân Với lý trên, hướng dẫn TS Lê Hải Trung, chọn đề tài “Phép biến đổi Z vài ứng dụng” để hồn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu phép biến đổi Z vài ứng dụng Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Trình bày số khái niệm chuẩn bị cho việc nghiên cứu phép biến đổi Z - Phép biển đổi Z - Một vài ứng dụng phép biến đổi Z - Nội dung đề tài chia thành chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Phép biển đổi Z Chương 3: Một vài ứng dụng phép biến đổi Z Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu định nghĩa, tính chất phép biến đổi Z vài ứng dụng Phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi Z , phép biến đổi Z ngược, vài ứng dụng việc giải phương trình sai phân Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn có sử dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực: Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyết phương trình vi phân, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn đối tượng có chun ngành liên quan Cấu trúc luận văn z z0 P n Vì chuỗi số n q hội tụ nên từ suy kết luận định lý Hệ 1.4.3 Nếu chuỗi (1.11) phân kỳ điểm z = z1 phân kỳ điểm z mà |z| > |z1 | Chứng minh Thật vậy, chuỗi (1.11) hội tụ điểm z˜, |˜ z | > |z1 | theo định lý Abel, chuỗi hội tụ hình trịn {|z| < |˜ z |} hội tụ điểm z1 Trên sở định lý Abel, ta chứng minh tồn số R ⩾ cho chuỗi (1.11) hội tụ |z| < R phân kỳ |z| > R Hiển nhiên, chuỗi lũy thừa hội tụ điểm z = tồn mặt phằng số R tương ứng ∞ Vấn đề lại xét trường hợp chuỗi 1.11 hội tụ mhững điểm phân kỳ điểm Định lí 1.4.4 (Cauchy - Hadamard) Bán kính hội tụ R chuỗi lũy thừa (1.11) tính theo công thức: 1 , (1.12) R= = ρ limn→∞ |an |1/n ta đặt R = ρ = +∞ R = +∞ ρ = Công thức (1.12) gọi công thức Cauchy - Hadamard Chứng minh Ta lưu ý giới hạn dãy số thực un định nghĩa sau:  lim un = lim n→∞ p→∞  sup un n ⩾p Để chứng minh công thức (1.12) ta sử dụng dấu hiệu  hội tụ  Cauchy 1/n Đặt un = |an | · rn Khi lim lim un = r · lim |an |1/n , chuỗi   P P 1/n 1/n n = r · limn→∞ |an | < 1, n un = n |an | r hội tụ limn→∞ un tức limn→∞ |an |1/n < 1r Từ suy kết luận định lý 17 1.5 Lý thuyết thặng dư Trước phát biểu định nghĩa thặng dư ta chứng minh định lý đơn giản sau đây: Định lí 1.5.1 Giả sử hàm f chỉnh hình vành trịn: V = {z ∈ C : r < |z − a| < R} Khi tích phân: Z I(ρ) = f (z)dz, r < ρ < R, |z−a|=ρ không phụ thuộc vào ρ Chứng minh Thật vậy, giả sử r < ρ1 < ρ2 < R γ (ρ1 ) = {|z − a| = ρ1 }, γ (ρ2 ) = {|z − a| = ρ2 } Từ định lý bất biến Zcủa tích phân theo Z tuyến đồng luân suy rằng: f (z)dz = γ(ρ1 ) f (z)dx γ(ρ2 ) Định lí 1.5.2 Giả sử hàm f (z) chỉnh hình điểm a có điểm bất thường lập đặc tính đơn trị a Giả sử γ đường cong đóng Jordan bao điểm z = a định hướng ngược chiều kim đồng hồ Khi tích phân R 2πi γ f (z)dz gọi thặng dư hàm f (z) điểm a ký hiệu là: Res[f ; a] = 2πi Z f (z)dz γ Hiển nhiên chu tuyến γ thỏa mãn Định lí 1.5.2 tồn Thật vậy, theo điều kiện cho hàm f chỉnh hình U (ρ) = {0 < |z − a| < ρ} Do ta lấy γ đường cong Jordan đóng thuộc U (ρ) khơng qua a bao a, ví dụ đường tròn γr = {|z − a| = r, r < ρ} Định nghĩa 1.5.3 Giả sử hàm f ∈ H{|z| > r} z = ∞ điểm bất thường cô lập hàm f (z) Đại lượng: Z Res[f ; ∞] = f (z)dz, 2πi γ − (0,R) gọi thặng dư hàm f điểm ∞ γ − (0, R) đường tròn γ − (0, R) = {|z| = R} với bán kính đủ lớn định hướng cho lân cận điểm ∞ luôn nằm bên trái 18 Ta đưa định nghĩa hợp sau thặng dư Định nghĩa 1.5.4 Giả sử a ∈ C điểm chỉnh hình điểm bất thường cô lập đơn trị hàm f Giá trị tích phân hàm f theo biên lân cận đủ bé điểm z = a chia cho 2πi gọi thặng dư hàm f điểm a Theo định lý Cauchy: Res[f ; a] = 0, hàm f chỉnh hình điểm a a ∈ C Thặng dư ∞ khác hàm chỉnh hình ∞ Thật vậy, giả sử f (z) = z1 Hiển nhiên điểm z = ∞ không điểm đơn f và: Z 1 Res[f ; ∞] = dz = −1 ̸= 2πi γ − (0,R) z Định lí 1.5.5 (Định lý thặng dư Cauchy) Giả sử D tập hợp mở mặt phẳng phức f hàm chỉnh hình D \ai , tập hợp điểm bất thường cô lập hàm f (z) Giả sử Γ biên có hướng miền B ⊂ D giả thiết Γ không qua điểm bất thuờng f Khi đó: Số điểm bất thường f B hữu hạn Hàm f (z) thỏa mãn hệ thức: Z X Res [f ; ] f (z)dz = 2πi Γ (1.13) ∈B tổng vế phải (1.13) lấy theo điểm bất thường hàm f (z) nằm B Chứng minh Điều khẳng định thứ định lý hoàn toàn hiển nhiên Để chứng minh điều khằng định thứ hai ta cần phân biệt hai trường hợp Trường hợp thứ nhất: Điểm ∞ ∈ / B Vì điểm ∞ khơng thuộc B nên B miền C Giả sử Si hình trịn đóng với tâm điểm ◦ bất thường (∈B ) : Si = {|z − | ⩽ ri , ri > 0} Ta giả thiết ri 19 chọn đủ bé cho: ◦ a) S¯i ⊂B , ∀i; b) Si ∩ Sj = ∅, i ̸= j Giả sử γi biên hình tròn Si tương ứng chạy theo hướng dương Ta ký hiệu: ! ◦ [ ◦ B ∗ = B\ Si , i ◦ S i phần Si Hiển nhiên B ∗ miền Biên ∂B ∗ hiệu biên có hướng Γ B đường tròn γi Vì f ∈ H (B ∗ ) nên: Z XZ f (z)dz = f (z)dz (1.14) Γ i γi Nhưng mặt khác ta có:Z f (z)dz = 2πi Res [f ; ] γi Thế biểu thức vào (1.14) ta thu hệ thức (1.13) Trường hợp thứ hai: Điểm ∞ ∈ B Giả sử U (∞, r) = {z ∈ C : |z| ⩾ r} lân cận điểm ∞ mà hàm f (z) chỉnh hình (có thể trừ điểm z = ∞) giả sử ∂U (∞, r) ∩ Γ = ∅ Ta ký hiệu: e B(r) = B\{|z| > r} e Biên có hướng B(r) tổng biên có hướng Γ B đường tròn e {|z| = r} chạy theo hướng dương Vì miền B(r) khơng chứa điểm ∞ nên từ trường hợp Z suy ra:Z f (z)dz + Γ f (z)dz = 2πi {|z|=r} X Res [f ; ] , (1.15) i tổng vế phải (1.15) lấy theo điểm bất thường f nằm miền Z B trừ điểm ∞ Nhưng theo định nghĩa ta có: f (z)dz = −2πi Res[f ; ∞], {|z|=r} từ (1.15) suy rằng: ( ) Z X f (z)dz = 2πi Res [f ; ] + Res[f ; ∞] Γ i 20 1.6 Phương trình sai phân 1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Định nghĩa 1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp có dạng: axn+1 + bxn = fn , a ̸= 0, b ̸= 0, (1.16) xn+1 − qxn = fn , q ̸= 0, (1.17) fn hàm theo n gọi vế phải phương trình, xn ẩn (i) Nếu a, b, q số, ta nói phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số (ii) Nếu a, b, q phụ thuộc vào n ta nói phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên (iii) Nếu fn ≡ 0, ta gọi phương trình sai phân tuyến tính nhất, fn ̸= ta nói phương trình sai phân tuyến tính khơng Định nghĩa 1.6.2 Nghiệm phương trình (1.16): (i) Hàm số xn = x(n), biến n thỏa mãn (1.16) gọi nghiệm phương trình (1.16) (ii) Hàm số xn = x(n, C) biến n, phụ thuộc tham số C thỏa mãn (1.16) với C , gọi nghiệm tổng quát (1.16), với giá trị ban đầu x0 = α, ta xác định tham số C0 thỏa mãn x0 = x (n, C0 ) = α (iii) Nếu hàm xn = x(n, C) nghiệm tổng quát (1.16) x∗n = x (n, C0 ) gọi nghiệm riêng (1.16) 1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa 1.6.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng: xn+2 − pxn+1 − qxn = fn , (1.18) xn hàm theo đối số nguyên n gọi ẩn, fn hàm số n gọi vế phải (i) Nếu p, q số phương trình (1.18) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số 21 (ii) Nếu p, q hàm số n phương trình (1.18) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ biến thiên (iii) Nếu fn ≡ gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai (iv) Nếu fn ̸= gọi phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp hai Định nghĩa 1.6.4 Nghiệm phương trình (1.18): (i) Hàm xn = x(n) biến n thỏa mãn phương trình (1.18) gọi nghiệm phương trình (1.18) (ii) Hàm x¯n = x (n, C1 , C2 ) phụ thuộc vào hai tham số C1 , C2 thỏa mãn phương trình (1.18) với C1 , C2 gọi nghiệm tổng quát phương trình (1.18) với điều kiện ban đầu x0 = α, x1 = β ta
xác định cặp C10 , C20 thỏa mãn (iii) Nếu x¯n = x (n, C1 , C2 ) nghiệm tổng quát phương trình
(1.18) x∗n = x n, C10 , C20 gọi nghiệm riêng phương trình (1.18) Phương trình (1.18) có phương trình tương ứng là: xn+2 − pxn+1 − qxn = 1.6.3 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp n Lz(t) = z(t + n) + a1 z(t + n − 1) + + an z(t) = 0, (1.19) ∈ R, i = 1, n, an ̸= 0, t ∈ Z+ Nghiệm tổng quát (1.19) viết dạng: n X z(t) = Ci zi (t), (1.20) i=1 zi (t), i = 1, n nghiệm độc lập tuyến tính (1.19), cịn Ci số tùy ý Cũng gống Euler, tìm nghiệm khơng tầm thường (1.19) dạng z(t) = λt , λ ∈ C, λ ̸= Ta có L (λt ) = λt λn + a1 λn−1 + 22 + an ) Đa thức Pn (x) = xn + a1 xn−1 + + an gọi đa thức đặc trưng phương trình (1.19) Nghiệm đa thức đặc trưng gọi số đặc thù Do λt ̸= λ ̸= nên L (λt ) = λ nghiệm phương trình đặc trưng Để ý từ điều kiện an ̸= ta có λ = khơng số đặc thù phương trình (1.19) Để xây dựng nên hệ nghiệm sở (1.19) ta tiến hành xem xét số trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Nếu λ1 , λ2 , , λn nghiệm thực đơn phương trình đặc trưng P (λ) = Chúng ta cần chứng tỏ zi (t) = λti , i = 1, n, nghiệm phương trình (1.19) Ta chứng tỏ nghiệm độc lập tuyến tính Z+ , từ để khẳng định zi (t) = λti , i = 1, n hình thành nên hệ nghiệm sở phương trình cho Tiến hành tính toán định thức Kazorati nghiệm cho ta: z (t) z (t) z (t) n