Phép biến đổi z và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- PHẠM HƯƠNG LAN PHÉP BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHẠM HƯƠNG LAN PHÉP BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 84.60.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2019 LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Phan Đức Tuấn, người định hướng chọn đề tài, cung cấp tài liệu tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy, giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng giúp đỡ em suốt trình học tập Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến bạn học lớp Tốn Giải tích K34 - Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu lớp Phạm Hương Lan MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CHUỖI HÌNH HỌC 1.2 HÀM BIẾN PHỨC 1.2.1 Hàm liên tục 1.2.2 Hàm chỉnh hình 1.3 TÍCH PHÂN TRONG MIỀN PHỨC 1.4 CHUỖI LŨY THỪA 1.5 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ 1.5.1 Định nghĩa thặng dư 1.5.2 Phương pháp tính thặng dư 10 1.5.3 Định lý lý thuyết thặng dư 11 1.6 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 12 1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 12 1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 13 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI Z 15 2.1 ĐỊNH NGHĨA 15 2.2 MỐI LIÊN HỆ VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 17 2.2.1 Mối liên hệ với phép biến đổi Fourier 17 2.2.2 Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace 17 2.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 18 2.3.1 Tuyến tính 18 2.3.2 Dịch chuyển 19 2.3.3 Phép nhân theo cấp số nhân 20 2.3.4 Đảo thời gian 20 2.3.5 Liên hợp 21 2.3.6 Phép nhân với n 21 2.3.7 Phép chia 22 2.3.8 Tích chập 22 2.3.9 Định lý Parseval 23 2.3.10 Phép biến đổi Z tích 23 2.3.11 Phép biến đổi Z đạo hàm riêng 24 2.3.12 Phép biến đổi Z tích phân 24 2.3.13 Phép biến đổi Z qua giới hạn 24 2.4 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 25 2.5 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z MỘT PHÍA 29 2.5.1 Định lý giá trị ban đầu 32 2.5.2 Định lý giá trị cuối 33 2.6 PHÉP BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 34 2.6.1 Phương pháp tích hợp 34 2.6.2 Phương pháp chuỗi lũy thừa 37 2.6.3 Phương pháp khai triển thành phân thức sơ cấp 38 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 43 3.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI CÁC HỆ SỐ KHƠNG ĐỔI 43 3.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA LOẠI TÍCH CHẬP 3.3 TÍNH TỔNG CHUỖI 46 48 KẾT LUẬN 51 PHỤ LỤC 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Phép biến đổi cơng cụ tốn học quan trọng sử dụng xử lý vấn đề toán học nhiều úng dụng Sự xuất phép biến đổi Z vào năm 1730 [5] De Moivre đưa khái niệm chức tạo sở liệu xác suất, sau Laplace mở rộng năm 1912 Tới năm 1947, Hurewicz giới thiệu phép biến đổi Z việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số khơng đổi Tên gọi “phép biến đổi Z” đưa Ragazzini Zadeh nhóm kiểm sốt liệu mẫu Đại học Columbia năm 1952 Sau phép biến đổi Z phát triển phổ biến E.I.Jury [6] Ngày nay, phép biến đổi Z sử dụng rộng rãi lĩnh vực ứng dụng toán học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển, kinh tế số lĩnh vực khác Phép biến đổi Z đóng vai trị quan trọng việc giải phương trình sai phân giống tầm quan trọng phép biến đổi Laplace việc giải phương trình vi phân Với lý trên, tơi chọn đề tài “Phép biến đổi Z ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Z số ứng dụng việc giải số toán Hy vọng luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên trường Đại học, Cao đẳng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu định nghĩa, tính chất phép biến đổi Z, phép 48 Thu gọn ta z+1 z−1 z + = z−1 z−1 z z = + z −1 z−1 z−1 Lấy biến đổi Z ngược ta Y (z) = y(n) = u(n) + u(n − 1) = 2u(n) − δ(n) 3.3 TÍNH TỔNG CHUỖI Định lý 3.3.1 ([4]) Giả sử Z {f (n)} = F (z) Khi n f (k) = Z −1 (i) k=0 z F (z) , z−1 ∞ f (k) = lim F (z) = F (1), (ii) k=0 z→1 n f (k) Khi Chứng minh Đặt g(n) = k=0 g(n) = f (n) − g(n − 1) Lấy biến đổi Z hai vế phương trình ta G(z) = F (z) + z −1 G(z), suy G(z) = z F (Z) z−1 Do g(n) = Z −1 {G(z)} = Z −1 Vậy n f (k) = Z −1 k=0 z F (z) z−1 z F (z) z−1 Theo Định lý giá trị cuối ta có lim g(n) = lim[(z − 1)G(z)] n→∞ z→1 49 hay n f (k) = lim (z − 1) lim n→∞ z→1 k=0 Vậy z F (z) = F (1) z−1 ∞ f (k) = F (1) k=0 Ví dụ 3.3.1 Sử dụng phép biến đổi Z tính tổng chuỗi ∞ an einx n=0 Đặt f (n) = e inx ix n = (e ) Sử dụng kết (2.2) ta có z F (z) = Z[f (n)] = z − eix Theo tính chất (2.16) ta có z z Z[an f (n)] = F = a z − aeix Sử dụng Định lý (3.3.1) (ii) ta ∞ an einx = − aeix n=0 Ví dụ 3.3.2 Tính tổng chuỗi ∞ an cos nx n=0 Đặt f (n) = cos nx Sử dụng bảng biến đổi Z (Phụ lục) ta có z(z − cos x) F (z) = Z[f (n)] = z − 2z cos x + Theo tính chất (2.16) ta có z − az cos x n Z[a cos nx] = z − 2az cos x + a2 Sử dụng Định lý (3.3.1) (ii) ta ∞ − a cos x an cos nx = − 2a cos x + a2 n=0 Ví dụ 3.3.3 Sử dụng phép biến đổi Z tính tổng chuỗi ∞ xn n n=1 50 Cách ∞ xn Đặt S(x) = n n=1 Khi |x| < ta có ∞ S (x) = n=1 ∞ = n=1 ∞ xn n xn n xn−1 = + x + x2 + x3 + = = n=1 Suy x S(x) − S(0) = 1−x x dt = −log|1 − x| 1−t S (t)dt = 0 Cách [Sử dụng phép biến đổi Z ] Ta có Z[xn ] = z z−x Theo tính chất (2.21) ta xn Z = n ∞ z dz z−x z z ∞ dz z−x = z = log|z − x||∞ z = −log z−x z Sử dụng Định lý (3.3.1) (ii) ta ∞ xn = −log(1 − x) n n=1 51 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, nghiên cứu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn em hồn thành luận văn với số kết sau: Hệ thống lại số kiến thức lý thuyết chuỗi hình học, hàm biến phức, tích phân phức, chuỗi lũy thừa lý thuyết thặng dư Trình bày cách hệ thống phép biến đổi Z : định nghĩa, mối liên hệ phép biến đổi Z với phép biến đổi Laplace phép biến đổi Fourier Một số tính chất phép biến đổi Z ví dụ minh họa Giới thiệu phép biến đổi Z phía phương pháp tìm phép biến đổi Z ngược Trình bày ứng dụng phép biến đổi Z việc giải tốn phương trình sai phân tuyến tính, phương trình sai phân Volterra tính tổng chuỗi qua ví dụ cụ thể Trong q trình làm luận văn dù cố gắng nhiều khơng tránh khỏi thiếu sót định, mong góp ý chân thành q thầy bạn để em tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn Xin chân thành cảm ơn! 52 PHỤ LỤC Bảng biến đổi Z ∞ f (n), n ≥   1, n =  0, n = an n n2 nk f (n)z −n F (z) = Z {f (n)} = n=0 z z−1 z z−a z (z − 1)2 z(z + 1) (z − 1)3 (−1)k Dk z d ,D = z z−1 dz z ,n > ln n z−1 z n(n − k + 1); k = 2, k! (z − 1)k+1 ∂ z nk enα ∂αk z − eα ze−α −nα ne (z − e−α ) z(z + e−α )e−α −nα ne (z − e−α )3 −nα 1−e z − e−α α + ln ,α > n z−1 53 z(z − cos α) − 2z cos α + z sin α sin(nα) z − 2z cos α + z sin ψ + sin(α − ψ) sin(nα + ψ)∂ z − 2z cos α + cos(nα) cos α sin α exp n! z z cos α sin(nα) sin α exp n! z z z an cos nπ z+a nπ 1 π sin tan−1 n 2 z (n − 1)(n − 2) (n − k + 1) n−k a (k − 1)! (z − a)k k(k − 1)(k − 2) (k − n + 1) k 1+ n! z −k (n + 1)(n + 2) (n + k − 1) !; k = 2, 3, 1− )k − z n n α + (−alp) z2 2αn2 α2 z − α2 n α −β z α−β (z − α)(z − β) nαn z(a − 2z) ln − − z (n + 1)(n + 2) a2 z a (−a)n z a z a tan−1 − ln + (n + 1)(2n + 1) a z a z n z z ln m z−1 z−1 m=1 cos(nα) n−1 m! m=0 z2 exp z1 z−1 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Lê Đình Thịnh (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục Tiếng Anh [3] B.Davies (2001), Integral Transforms and their applications, Third edition, Springer [4] Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta, (2007), Integral Transforms and Their Applications, Second edition, Taylor Francis, LLC [5] Asma Belal Fadel, (2015), On Z-transform and Its Applications , AnNajah National University [6] Eliahu Ibrahim Jury (1973), Theory and Application of the Z – Transform Method, Krieger Pub Co, USA ... 2.6.7 Tìm phép biến đổi Z ngược z3 X (z) = , ROC |z| > z − z − 5z − 42 Ta viết Y (z) dạng z2 z2 X (z) = = Y (z) = z z − z − 5z − (z − 3) (z + 1)2 A B C = + + z − z + (z + 1)2 A = (z − 3)Y (z) |z= 3 = 16... Z[ δ(n)] z? ??5 , |z| > = − 5z − 1.1 = z z , |z| > Z[ y(n)] = z? ??5 Vậy phép biến đổi Z tích chập x(n) y(n) z? ??5 z Z[x(n) ∗ y(n)] = X (z) Y (z) = =1 z z−5 Ví dụ 2.4.4 Xác định phép biến đổi Z dãy w(n) =... ∞ x(n)y(n) = n=−∞ 2πi z X (z) Y dz z C z X (z) = z? ?? , |z| > −3 = , |z| < 3? ?z z−3 Vì vậy, ROC X (z) Y (z) < |z| < ∞ −3 z x(n)y(n) = dz z − 3z 2πi n=−∞ C z? ?? −3 dz = 2πi (z − 3) z? ?? C C đường trịn có