Phép biến đổi Z và ứng dụng

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Lê Thị Huyền My Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Lê Thị Huyền My Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Hàm biến phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 5 1.2. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . 13 1.4.2. Thặng dư và cách tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Phép biến đổi Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Một số tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1. Tính chất tuyến tính . . . . . . . . 20 2.2.2. Tính chất dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3. Tính chất tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4. Phép nhân với n và nT . . . . . . . . . . 23 2.2.5. Phép chia . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.6. Phép biến đổi Z của tích chập . . . . . . 26 i 2.2.7. Phép biến đổi Z của tích . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.8. Phép biến đổi Z của đạo hàm riêng. . . . . . 28 2.2.9. Phép biến đổi Z của tích phân. . . . . . . . 29 2.2.10. Phép biến đổi Z qua giới hạn. . . . . . . . 29 2.2.11. Định lý Parseval. . . . . . . . . . . . 30 2.2.12. Định lý giá trị ban đầu. . . . . . . . . . . . . 30 2.2.13. Định lý giá trị cuối cùng . . . . . . . . . . . 32 2.3. Phép biến đổi Z ngược . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier . . 42 2.4.1. Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace. . . . . . . . . 42 2.4.2. Mối liên hệ với phép biến đổi Fourier . . . . 43 Chương 3. Ứng dụng của phép biến đổi Z . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1. Giải phương trình sai phân hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Tính tổng chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân là một phép tính toán tử được hình thành từ những năm nửa cuối thế kỷ XIX. Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier. Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là cung cấp những phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về phương trình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân. Hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt là trong lĩnh vực Vật lý học, đó là phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace. Bên cạnh đó, phép biến đổi Z cũng góp phần giải quyết nhiều vấn đề của Toán học. Sự xuất hiện đầu tiên của phép biến đổi Z là vào năm 1730 khi De Moivre giới thiệu khái niệm hàm sinh (generating function) trong lý thuyết xác suất, sau đó được Laplace mở rộng năm 1812. Tới năm 1947, Hurewicz giới thiệu phép biến đổi Z trong việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số. Tên gọi “phép biến đổi Z” được đưa ra bởi Ragazzini và Zadeh trong nhóm kiểm soát dữ liệu mẫu tại Đại học Columbia năm 1952. Sau này phép biến đổi Z được 1 phát triển và phổ biến bởi E. I. Jury. Phép biến đổi Z là công cụ hữu ích trong việc xử lý các mô hình dữ liệu rời rạc. Ngày nay, phép biến đổi Z được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực ứng dụng toán học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển và kinh tế. Các mô hình rời rạc này được giải quyết bởi các phương trình sai phân tương tự như các mô hình liên tục được giải quyết bởi các phương trình vi phân. Phép biến đổi Z đóng vai trò quan trọng đối với việc giải phương trình sai phân giống như tầm quan trọng của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân. Với những lý do trên, được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào, tôi chọn đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về phép biến đổi Z và một số ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số bài toán. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z, phép biến đổi Z ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Z và một số phép biến đổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải phương trình sai phân hữu hạn và tính tổng chuỗi. 2 4. Phương pháp nghiên cứu Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn. 5. Đóng góp của đề tài - Trình bày một cách có hệ thống về phép biến đổi Z. - Trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Z, góp thêm công cụ để giải quyết một số bài toán. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Hàm biến phức 1.1.1. Hàm liên tục Định nghĩa 1.1. Cho hàm f(z) xác định trên tập mở Ω ⊂ C. Ta nói rằng f(z) liên tục tại điểm z 0 ∈ Ω nếu thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương sau (i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω mà |z − z 0 | < δ thì |f(z) −f (z 0 )| < ε. (ii) Với mọi dãy {z n } ⊂ Ω mà lim n→∞ z n = z 0 thì lim n→∞ f(z n ) = f(z 0 ). Hàm f(z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của Ω. Ta dễ thấy tổng, hiệu, tích và thương của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục. Định nghĩa 1.2. Hàm f(z) được gọi là liên tục đều trên Ω nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z, z  ∈ Ω mà |z − z  | < δ ta có |f(z) −f(z  )| < ε. Nhận xét 1.1. Từ tính liên tục đều của hàm f suy ra hàm f liên tục. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. 4 Ví dụ 1.1. Hàm f(z) = 1 z liên tục trên Ω = {z ∈ C : 0 < |z − z 0 | < 1} nhưng không liên tục đều trên đó. Thật vậy, lấy ε = 1, với mọi δ > 0 tồn tại n ∈ N sao cho n > 1 δ (hay δ > 1 n ). Chọn z = 1 n , z  = 1 2n ta có |z − z  | =     1 n − 1 2n     < 1 n < δ nhưng |f(z) −f(z  )| =     1 z − 1 z      = |n − 2n| = n > 1 = ε. Điều đó, chứng tỏ rằng f(z) không liên tục đều trên Ω. 1.1.2. Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.3. Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f(z) được gọi là chỉnh hình tại điểm z 0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức f(z 0 + h) − f(z 0 ) h ; khi h → 0, (1.1) ở đó 0 = h ∈ C sao cho z 0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi f  (z 0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại điểm z 0 . Như vậy, ta có f  (z 0 ) = lim h→0 f(z 0 + h) − f(z 0 ) h . Hàm f(z) có đạo hàm phức tại điểm z 0 cũng được gọi là khả vi phức hay C - khả vi tại z 0 . Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω. Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên. 5 Ví dụ 1.2. Hàm f(z) = z chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong C và f  (z) = 1. Thật vậy, ta có f  (z 0 ) = lim h→0 f(z 0 + h) − f(z 0 ) h = lim h→0 (z + h) − z h = 1. Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a 0 + a 1 z + ··· + a n z n chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức C và P  (z) = a 1 + 2a 2 z + ···+ na n z n−1 . Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.1 được trình bày sau phần này. Ví dụ 1.3. Hàm f(z) = ¯z là không chỉnh hình. Thật vậy, ta tính thương vi phân của hàm này như sau f(z 0 + h) − f(z 0 ) h = z + h − ¯z h = ¯z + ¯ h − ¯z h = ¯ h h . Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấy ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0. Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z 0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho f(z 0 + h) − f(z 0 ) −a.h = h.ψ(h) (1.2) với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim h→0 ψ(h) = 0. Dĩ nhiên, ta có a = f  (z 0 ). Nhận xét 1.2. Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàm f chỉnh hình trên Ω thì f là liên tục trên đó. Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng tương tự như hàm biến thực. Ta có mệnh đề sau 6 [...]... −n z n+m  ∞ = z m 0 z = z ξ −(n+m+1) dξ  f (nT )  n=0 m ∞ ξ f (nT )ξ −n dξ −(m+1) n=0 0 z F (ξ) dξ ξ m+1 = z m  z 0 Tương tự ta có 25 Z f (nT ) n+m ∞ = n=0 f (nT ) −n z n+m  ∞ = zm z ∞ m  z −(n+m+1) dz  f (nT )  n=0 =z ∞ ∞ z −(m+1) f (nT )z −n dz n=0 z ∞ F (z) dz z m+1 = zm z 2.2.6 Phép biến đổi Z của tích chập Giả sử Z {f (nT )} = F (z) , |z| > R1 và Z {g(nT )} = G (z) , |z| > R2 Khi đó phép. .. (nT )z −n n=0 ∞ n=0 f (nT ) − =z n=0 d −n z dz ∞ d = z dz = z f (nT ).nz −(n+1) =z f (nT )z −n n=0 dF (z) dz ∞ Z {nT f (nT )} = ∞ nT f (nT )z −n f (nT ).nz −(n+1) = Tz n=0 n=0 ∞ f (nT ) − = Tz n=0 d = −T z dz = −T z d −n z dz ∞ f (nT )z −n n=0 dF (z) dz Ví dụ 2.8 Xét hàm f (nT ) = n2 T Theo (2.15) ta có Z n2 T = Z {n.nT } = z d Z {nT } dz Từ kết quả (2.2) của Ví dụ 2.1 ta được d Tz dz (z − 1)2... dz (z − 1)2 T z( z + 1) = (z − 1)3 Z n2 T = z 24 Tương tự, với hàm f (nT ) = (nT )2 , theo (2.16) ta có Z (nT )2 = Z {nT.nT } = −T z d Z {nT } dz d Tz dz (z − 1)2 T 2 z( z + 1) = (z − 1)3 = −T z 2.2.5 Phép chia Giả sử Z {f (nT )} = F (z) Khi đó với m ≥ 0 ta có z Z f (nT ) n+m F (ξ) dξ ξ m+1 (2.17) F (z) dz z m+1 (2.18) = z m 0 hay ∞ Z f (nT ) n+m = zm z Chứng minh Theo định nghĩa ta có Z f (nT ) n+m... khi a = 1 ta có ∞ z −n = Z {1} = n=0 z ; |z| > 1 z 1 (2.4) Ví dụ 2.3 Phép biến đổi Z của hàm f (nT ) = nT.anT như sau ∞ nT Z nT.a ∞ nT −n = nT.a z n=0 aT =T n z n=0 n n ∞ aT = Tz n n+1 z n=0 d = −T z dz = −T z = ∞ n=0 d dz n 1 T 1 − az T aT z (z − aT z ; aT )2 19 |z| > aT (2.5) Ví dụ 2.4 Hàm f (nT ) = Z 1 n!T ! 1 có biến đổi Z n!T ! ∞ = n=0 1 1 1 −n z = exp ; z n!T ! T! z (2.6) Ví dụ 2.5 Với hàm... điểm z0 Khi đó g (z) , thì res f = g (z0 ); z= z0 z − z0 g (z) , thì res f = g (z0 ) (ii) nếu f (z) = z= z0 (z − z0 )2 (i) nếu f (z) = Trong trường hợp hàm f được cho dưới dạng một thương, chúng ta tính thặng dư nhờ định lý dưới đây p (z) , ở đó p (z) và h (z) là các hàm chỉnh h (z) hình trong một lân cận của điểm z0 và h (z) có không điểm bậc k tại z0 Định lý 1.11 Giả sử f (z) = Nếu h (z) = (z − z0 )k q (z) ,... có Z anT cos nT ω = F a−T z , ở đó F (z) = Z {cos nT ω} Từ kết quả (2.7) của Ví dụ 2.5 ta được Z a nT a−T z a−T z − cos T ω cos nT ω = −2T 2 a z − 2a−T z cos T ω + 1 z z − aT cos T ω = 2 ; |z| > aT T z cos T ω + a2T z − 2a 2.2.4 Phép nhân với n và nT Giả sử Z {f (nT )} = F (z) Khi đó Z {nf (nT )} = z dF (z) dz Z {nT f (nT )} = −T z 23 dF (z) dz (2.15) (2.16) Chứng minh Theo định nghĩa ta có ∞ ∞ Z. .. ∞; z z0 (iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f (z) không có giới hạn khi z → z0 Ví dụ 1.6 Hàm số f (z) = sin z nhận điểm z = 0 là điểm bất thường z bỏ được bởi vì sin z = 1 z 0 z lim f (z) = lim z 0 Hàm số f (z) = 1 nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì z 1 = ∞ z 0 z lim f (z) = lim z 0 1 Hàm số f (z) = e z nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì 1 1 lim f (z) = lim e z = lim+ e x = ∞, z 0 z 0... Z {f (nT )} = F (z) Khi đó f (0) = lim F (z) z ∞ 30 (2.26) Đặc biệt, nếu f (0) = 0, thì f (T ) = lim zF (z) z ∞ Chứng minh Ta có ∞ f (nT )z −n F (z) = Z {f (nT )} = n=0 = f (0) + f (T )z −1 + f (2T )z −2 + · · · Cho z → ∞ ta được lim F (z) = f (0) z ∞ Nếu f (0) = 0, thì F (z) = f (T )z −1 + f (2T )z −2 + · · · Từ đó cho z → ∞ ta được lim zF (z) = f (T ) z ∞ Ví dụ 2.10 Cho hàm F (z) = z (z − a) (z. .. m = r, ta được ∞ ∞ Z {f (nT ) ∗ g(nT )} = g(mT )z f (rT )z −r −m r=−m m=0 Với r < 0 thì f (rT ) = 0, nên ta có ∞ Z {f (nT ) ∗ g(nT )} = ∞ g(mT )z m=0 −m f (rT )z −r r=0 = F (z) .G (z) 2.2.7 Phép biến đổi Z của tích Giả sử Z {f (nT )} = F (z) , |z| > R1 và Z {g(nT )} = G (z) , |z| > R2 Khi đó phép biến đổi Z của tích f (nT )g(nT ) được cho bởi Z {f (nT )g(nT )} = 1 2πi F (ω)G z dω ; |z| > R1 R2 , ω ω (2.21)... của phép biến đổi Z chứa tham số như sau 2.2.8 Phép biến đổi Z của đạo hàm riêng Giả sử Z {f (nT, a)} = F (z, a) Khi đó Z ∂ f (nT, a) ∂a 28 = ∂ F (z, a) ∂a (2.22) Chứng minh Theo định nghĩa ta có Z ∂ f (nT, a) ∂a ∞ = n=0 ∞ ∂ = ∂a = ∂ f (nT, a) z −n ∂a f (nT, a )z −n n=0 ∂ F (z, a) ∂a 2.2.9 Phép biến đổi Z của tích phân Giả sử Z {f (nT, a)} = F (z, a) Khi đó a   1  Z f (nT, a)da =   a1 F (z, a)da . học, đó là phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace. Bên cạnh đó, phép biến đổi Z cũng góp phần giải quyết nhiều vấn đề của Toán học. Sự xuất hiện đầu tiên của phép biến đổi Z là vào năm 1730. Hàm số f (z) = sin z z nhận điểm z = 0 là điểm bất thường bỏ được bởi vì lim z 0 f (z) = lim z 0 sin z z = 1. Hàm số f (z) = 1 z nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì lim z 0 f (z) = lim z 0 1 z = ∞. Hàm. Sau này phép biến đổi Z được 1 phát triển và phổ biến bởi E. I. Jury. Phép biến đổi Z là công cụ hữu ích trong việc xử lý các mô hình dữ liệu rời rạc. Ngày nay, phép biến đổi Z được sử dụng rộng