Phép biến đổi Z và ứng dụng

Nguyễn Văn Hào, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.Trong quá trình nghiên cứu thực hi

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Lê Thị Huyền My

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Z

và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Lê Thị Huyền My

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Hàm biến phức 4

1.1.1 Hàm liên tục 4

1.1.2 Hàm chỉnh hình 5

1.2 Tích phân phức 8

1.3 Chuỗi lũy thừa 11

1.4 Lý thuyết thặng dư 13

1.4.1 Không điểm và cực điểm 13

1.4.2 Thặng dư và cách tính 15

Chương 2 Phép biến đổi Z 18

2.1 Định nghĩa và ví dụ 18

2.2 Một số tính chất cơ bản 20

2.2.1 Tính chất tuyến tính 20

2.2.2 Tính chất dịch chuyển 21

2.2.3 Tính chất tỉ lệ 22

2.2.4 Phép nhân với n và nT 23

2.2.5 Phép chia 25

2.2.6 Phép biến đổi Z của tích chập 26

2.2.7 Phép biến đổi Z của tích 27

2.2.8 Phép biến đổi Z của đạo hàm riêng 28

2.2.9 Phép biến đổi Z của tích phân 29

2.2.10 Phép biến đổi Z qua giới hạn 29

2.2.11 Định lý Parseval 30

2.2.12 Định lý giá trị ban đầu 30

2.2.13 Định lý giá trị cuối cùng 32

2.3 Phép biến đổi Z ngược 33

2.4 Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier 42 2.4.1 Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace 42

2.4.2 Mối liên hệ với phép biến đổi Fourier 43

Chương 3 Ứng dụng của phép biến đổi Z 45

3.1 Giải phương trình sai phân hữu hạn 45

3.2 Tính tổng chuỗi 50

Kết luận 54

Phụ lục 55

Tài liệu tham khảo 58

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân là một phép tính toán tử được hình thành từnhững năm nửa cuối thế kỷ XIX Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tíchphân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyếtkhai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau

đó được phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier Ýnghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là cung cấp những phươngpháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về phương trình viphân, phương trình sai phân và phương trình tích phân

Hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng không chỉtrong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt làtrong lĩnh vực Vật lý học, đó là phép biến đổi Fourier và phép biến đổiLaplace Bên cạnh đó, phép biến đổi Z cũng góp phần giải quyết nhiềuvấn đề của Toán học Sự xuất hiện đầu tiên của phép biến đổi Z làvào năm 1730 khi De Moivre giới thiệu khái niệm hàm sinh (generatingfunction) trong lý thuyết xác suất, sau đó được Laplace mở rộng năm

1812 Tới năm 1947, Hurewicz giới thiệu phép biến đổi Z trong việc giảiphương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng số Tên gọi “phép biến đổiZ” được đưa ra bởi Ragazzini và Zadeh trong nhóm kiểm soát dữ liệumẫu tại Đại học Columbia năm 1952 Sau này phép biến đổi Z được

phát triển và phổ biến bởi E I Jury.

Phép biến đổi Z là công cụ hữu ích trong việc xử lý các mô hình dữ liệurời rạc Ngày nay, phép biến đổi Z được sử dụng rộng rãi trong các lĩnhvực ứng dụng toán học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển

và kinh tế Các mô hình rời rạc này được giải quyết bởi các phươngtrình sai phân tương tự như các mô hình liên tục được giải quyết bởicác phương trình vi phân Phép biến đổi Z đóng vai trò quan trọng đốivới việc giải phương trình sai phân giống như tầm quan trọng của phépbiến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân

Với những lý do trên, được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hào, tôichọn đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng” để hoàn thành luận văntốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Z và một số ứng dụng của nó trong việcgiải quyết một số bài toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z, phépbiến đổi Z ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Z và một số phépbiến đổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trongviệc giải phương trình sai phân hữu hạn và tính tổng chuỗi

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến địnhhướng của người hướng dẫn

5 Đóng góp của đề tài

- Trình bày một cách có hệ thống về phép biến đổi Z

- Trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Z, góp thêm công cụ đểgiải quyết một số bài toán

(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω mà |z − z0| < δthì

Định nghĩa 1.2 Hàm f (z) được gọi là liên tục đều trên Ω nếu với mọi

ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z, z0 ∈ Ω mà |z − z0| < δ ta có

|f (z) − f (z0)| < ε

Nhận xét 1.1 Từ tính liên tục đều của hàm f suy ra hàm f liên tục.Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ 1.1 Hàm f (z) = 1

z liên tục trên Ω = {z ∈ C : 0 < |z − z0| < 1}nhưng không liên tục đều trên đó

Thật vậy, lấy ε = 1, với mọi δ > 0 tồn tại n ∈ N sao cho n > 1

|z − z0| =

1

n − 12n

< 1

n < δnhưng

|f (z) − f (z0)| =

... data-page="33">

Chứng minh Theo định nghĩa ta có

2.2.9 Phép biến đổi Z tích phân

Giả sử Z {f (nT, a)} = F (z, a) Khi

2.2.10 Phép biến đổi Z qua giới hạn

Giả sử Z {f (nT, a)} = F (z, ... thuộc tham số a

Ta có số tính chất phép biến đổi Z chứa tham số sau

2.2.8 Phép biến đổi Z đạo hàm riêng

Giả sử Z {f (nT, a)} = F (z, a) Khi