PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

Mục lục Lời cảm ơn i Lời mở đầu ii Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 1.2 Sự hội tụ 1.3 Điều kiện hội tụ 1.4 Phép biến đổi Laplace ngược 1.4.1 Công thức Mellin 1.4.2 Điều kiện đủ để tồn gốc 11 1.4.3 Tính tích phân Mellin 12 1.4.4 Một số ví dụ 13 Các tính chất phép biến đổi Laplace 2.1 15 Các tính chất phép biến đổi Laplace 15 2.1.1 Tính chất tuyến tính 15 2.1.2 Tính chất đồng dạng 17 2.1.3 Các định lý dịch chuyển 18 2.1.4 Hàm Gamma 21 2.1.5 Ảnh hàm tuần hoàn 23 2.2 Đạo hàm 23 2.3 Tích phân 28 2.3.1 Định lý tích phân gốc 28 2.3.2 Định lý tích phân ảnh 30 2.4 Tích chập hàm 31 2.5 Tích phân Duhamel 36 Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân tích phân 38 3.1 Phương trình vi phân 38 3.1.1 Phương pháp chung 38 3.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số 39 3.1.3 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 42 3.1.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính phương pháp tích phân Duhamel 43 Hệ phương trình vi phân 45 Phương trình tích phân 46 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 3.1.5 3.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Nguyễn Thị Bích Hạnh Hà Nội, 2010 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian làm luận văn, nhận hướng dẫn tận tình chu đáo PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy cho lời khuyên quý báu không vấn đề xoay quanh luận văn mà phương pháp học tập nghiên cứu khoa học Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội cung cấp cho tri thức khoa học học sống giản dị suốt thời gian học tập Khoa Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp bên động viên, khích lệ Đó động lực lớn để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 06 tháng 12 năm 2010 Nguyễn Thị Bích Hạnh i LỜI MỞ ĐẦU Leonard Euler người đưa ý tưởng phép biến đổi tích phân (vào năm 1763 1769), ông nghiên cứu phép biến đổi sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để giải phương trình vi phân thường tuyến tính bậc hai Sau đó, Laplace với Euler giới thiệu phép biến đổi tích phân sách Théorie analytique des probabilités (1812) Năm 1878, Spitzer người gắn tên Laplace với biểu thức mà Euler sử dụng b esx Φ(s)ds y= a Biểu thức coi phương trình vi phân thay y hàm chưa biết biến x Vào nửa cuối kỷ 19, phép biến đổi Laplace mở rộng thành dạng phức Poincare Pincherle, mở rộng cho trường hợp hai biến Picard, Abel nhiều người khác tiếp tục nghiên cứu Ứng dụng phép biến đổi Laplace đại xuất tác phẩm Bateman (1910), người biến phương trình công trình Rutherford nghiên cứu phân rã phóng xạ dP = −λi P, dt cách đặt ∞ e−xt P (t)dt p(x) = thu phương trình biến đổi Năm 1920, viết hàm theta, Bernstein sử dụng biểu thức ∞ e−su Φ(u)du f (s) = gọi biến đổi Laplace Vào năm 1920 1930, Doetsch ứng dụng biến đổi Laplace vào phương trình vi phân, tích phân phương trình vi - tích phân Nói phép biến đổi Laplace, ta không nhắc đến công trình nghiên cứu Oliver Heaviside, người đưa loạt vấn đề liên quan đến phép ii tính toán tử, chủ yếu lĩnh vực vật lý Và Bromwich đưa khái niệm phép biến đổi Laplace ngược γ+i∞ X(t) = 2πi ets κ(s)ds γ−i∞ với γ thuộc bên phải đường kỳ dị κ Đến ngày nay, ta thấy phép biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng lĩnh vực Toán học, Vật lý, Cơ học, Chẳng hạn, Toán học, ta sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân, (xem [4], [5], [6]) Tư tưởng phép tính toán tử phép thay hàm nghiên cứu (hàm gốc) hàm khác (hàm ảnh) theo quy tắc (mà thường phép biến đổi Laplace) Luận văn trình bày kiến thức cô đọng phép biến đổi Laplace ứng dụng giải phương trình vi phân tích phân Luận văn chia thành chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Các tính chất phép biến đổi Laplace • Chương 3: Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân tích phân Mặc dù cố gắng song luận văn chắn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn iii Chương Kiến thức chuẩn bị Các phương trình vi phân thường phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả cách thức đại lượng định thay đổi theo thời gian, ví dụ dòng điện mạch điện, dao động lớp màng rung, Các phương trình thường kèm với điều kiện mô tả trạng thái ban đầu hệ Một kỹ thuật mạnh để giải toán phép biến đổi Laplace, biến đổi phương trình vi phân ban đầu thành biểu thức đại số sơ cấp Biểu thức đại số lại biến đổi thành nghiệm toán ban đầu Kỹ thuật gọi "phép biến đổi Laplace" Chương xây dựng sở lý thuyết tính chất phép biến đổi Laplace 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f hàm nhận giá trị thực phức biến (thời gian) t > s tham số thực phức Biến đổi Laplace hàm f ∞ τ −st F (s) = L(f (t)) = e e−st f (t)dt f (t)dt = lim τ →∞ (1.1.1) giới hạn tồn (là số hữu hạn) Khi đó, tích phân (1.1.1) gọi hội tụ Nếu giới hạn không tồn tại, tích phân gọi phân kỳ f biến đổi Laplace Ký hiệu L(f ) gọi biến đổi Laplace f tích phân tích phân Riemann thông thường Tham số s thuộc miền xác định đường thẳng thực mặt phẳng phức Ta chọn s thích hợp để đảm bảo tính hội tụ tích phân (1.1.1) Về mặt toán học kỹ thuật, miền xác định s quan trọng Tuy nhiên mặt thực hành, giải phương trình vi phân, miền xác định s thường bị bỏ qua Khi s số phức, ta sử dụng ký hiệu s = x + iy Ký hiệu L biến đổi Laplace tác động lên hàm f = f (t) sinh hàm mới, F (s) = L(f (t)) Ví dụ Nếu f (t) ≡ với t ≥ 0, ∞ e−st 1dt = L(f (t)) = s (1.1.2) với điều kiện s > (nếu s số thực) Do ta có (s > 0) (1.1.3) s Nếu s ≤ tích phân phân kỳ biến đổi Laplace hàm Nếu ta lấy s biến phức, tính toán tương tự với (s) > 0, ta L(1) = s Ví dụ Tính L(eiωt ), L(e−iωt ) L(1) = Giải Ta có ∞ iωt L(e −st iωt )= e e e(iω−s)t dt = lim τ →∞ iω − s τ = , s − iω lim |eiωτ e−sτ | = lim e−xτ = 0, với điều kiện x = (s) > τ →∞ τ →∞ Tương tự, L(e−iωt ) = s + iω 1.2 Sự hội tụ Mặc dù toán tử Laplace áp dụng cho nhiều hàm có hàm tích phân (1.1.1) không hội tụ Ví dụ Đối với hàm f (t) = et , τ τ t2 −st e−st e dt = lim lim τ →∞ et τ →∞ dt = ∞ với s, miền lấy tích phân tăng vô hạn τ → ∞ Hai kiểu hội tụ tích phân Laplace Hội tụ tuyệt đối: Tích phân (1.1.1) gọi hội tụ tuyệt đối τ |e−st f (t)|dt lim τ →∞ tồn Nếu L(f (t)) hội tụ tuyệt đối τ τ −st e |e−st f (t)|dt → f (t)dt ≤ τ τ τ → ∞, với τ > τ Điều suy L(f (t)) hội tụ Hội tụ đều: Tích phân (1.1.1) gọi hội tụ với s thuộc miền xác định Ω ⊂ C với ε > 0, tồn số τ0 > cho τ > τ0 , ∞ e−st f (t)dt < ε τ với s ∈ Ω 1.3 Điều kiện hội tụ Chúng ta tính biến đổi Laplace cho số hàm, có hàm biến đổi Laplace, ví dụ hàm et Ta xây dựng lớp hàm có biến đổi Laplace Định nghĩa 1.3.1 Điểm t0 gọi điểm gián đoạn loại hàm f hai giới hạn lim− f (t) = f (t− ) t→t0 lim+ f (t) = f (t+ 0) t→t0 + tồn (là số hữu hạn) f (t− ) = f (t0 ) không liên tục t = 3, t = t−3 điểm gián đoạn loại lim− f (t) lim+ f (t) không tồn Ví dụ Hàm f (t) = t→3 t→3 Ví dụ Hàm f (t) =  e− t2 0 t > 0, t < có điểm gián đoạn loại t = liên tục hầu khắp nơi Ví dụ Hàm f (t) =  cos t 0 t > 0, t < gián đoạn t = 0, lim+ f (t) không tồn tại, t = điểm t→0 gián đoạn loại hàm f Định nghĩa 1.3.2 Hàm f gọi liên tục mảnh [0, ∞) nếu: (i) lim+ f (t) = f (0+ ) tồn tại; t→0 (ii)f liên tục khoảng hữu hạn (0, b), trừ số hữu hạn điểm τ1 , τ2 , , τn (0, b) điểm gián đoạn loại hàm f Một kết quan trọng tính liên tục mảnh khoảng hàm f bị chặn, tức là, |f (t)| ≤ Mi , τi < t < τi+1 , i = 1, 2, , n − 1, với số Mi hữu hạn Để tích phân hàm liên tục mảnh từ đến b, người ta lấy tích phân khoảng lấy tổng tích phân này, tức τ1 b f (t)dt = τ2 f (t)dt + · · · + f (t)dt + b τ1 f (t)dt τn f vừa liên tục bị chặn khoảng nên khoảng xác định tích phân Riemann Đặc điểm thứ hai lớp hàm có biến đổi Laplace mà cần xem xét tốc độ tăng hàm Trong định nghĩa ∞ e−st f (t)dt, L(f (t)) = ta lấy s > (hoặc (s) > 0) tích phân hội tụ miễn f không tăng nhanh Định nghĩa 1.3.3 Hàm f gọi có bậc mũ α tồn số M > số α cho với t0 ≥ 0, |f (t)| ≤ M eαt , t ≥ t0 Rõ ràng hàm mũ eat có bậc mũ α = a, tn có bậc mũ α với α > n ∈ N Các hàm bị chặn sin t, cos t, có bậc mũ 0, e−t có bậc mũ −1 (xem [1]) Chú ý β > α từ bậc mũ α suy bậc mũ β, eαt ≤ eβt , t ≥ Ta thường coi bậc mũ giá trị nhỏ α mà |f (t)| ≤ M eαt , M > 0, t ≥ t0 ≥ Định lý 1.3.1 Nếu f liên tục mảnh [0, ∞) có bậc mũ α, biến đổi Laplace L(f ) tồn hội tụ tuyệt (s) > α F (s) = L(f (t)) hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng phải bậc mũ hàm f (s) > α, α Đặt t = τ + u du = dt, ta có ∞ ∞ e−st f (τ )g(t − τ )dt dτ L(f (t)).L(g(t)) = τ Vì g(t) hàm gốc nên g(t − τ ) = với t < τ , ta viết lại (2.4.3) sau ∞ ∞ e−st f (τ )g(t − τ )dtdτ L(f (t)).L(g(t)) = 0 Do giả thiết f, g, tích phân f g hội tụ tuyệt đối ∞ ∞ |e−st f (τ )g(t − τ )|dtdτ 0 hội tụ, ta thay đổi thứ tự lấy tích phân, ∞ ∞ e−st f (τ )g(t − τ )dtdτ L(f (t)).L(g(t)) = 0 ∞ t e−st f (τ )g(t − τ )dτ dt = ∞ t −st = f (τ )g(t − τ )dτ dt e 0 = L[(f ∗ g)(t)] Ví dụ 31 L(eat ∗ ebt ) = L(eat ).L(ebt ) = (s − a)(s − b) Hơn L−1 (s − a)(s − b) = eat ∗ ebt t eaτ eb(t−τ ) dτ = = 35 eat − ebt , a−b a = b (2.4.3) Ví dụ 32 Tìm L−1 − 1) s2 (s Ta viết 1 = , − 1) s s−1 s2 (s 1 , L(et ) = s s−1 Theo định lý tích chập ta có L(t) = 1 = L(t ∗ et ), s s−1 L−1 s2 (s − 1) = t ∗ et = et − t − ω ω2 ω = L(sin ωt ∗ sin ωt), Ví dụ 33 (i) = 2 2 (s + ω ) (s + ω ) (s + ω ) L−1 ω2 (s2 + ω )2 = sin ωt ∗ sin ωt t sin ωτ sin ω(t − τ )dτ = (sin ωt − ωt cos ωt) 2ω = Tương tự, (ii) L−1 (s2 s + ω )2 = cos ωt ∗ sin ωt ω t = ω cos ωτ sin ω(t − τ )dτ = t sin ωt 2ω 2.5 Tích phân Duhamel Giả sử ta cần tìm gốc hàm sF (s)G(s) với F (s) = L(f (t)), G(s) = L(g(u)) Theo định lý tích chập, tích ảnh F (s)G(s) ảnh hàm t (f ∗ g)(t) = f (τ )g(t − τ )dτ 36 Mà theo công thức đạo hàm gốc t d L dt f (τ )g(t − τ )dτ = sF (s)G(s) Định lý 2.5.1 (Định lý Duhamel) Nếu lim+ f (t) = f (0) F (s) = L(f (t)), G(s) = t→0 L(g(u)) t sF (s)G(s) = L f (0)g(u) + f (τ )g(t − τ )dτ (2.5.1) Công thức (2.5.1) gọi công thức (hay tích phân) Duhamel Chứng minh Tích sF (s) G(s) biểu diễn dạng sF (s)G(s) = f (0)G(s) + [sF (s) − f (0)]G(s) (2.5.2) Số hạng thứ vế phải (2.5.2) tích số xác định f (0) với ảnh hàm g(u) Do L(f (0)g(u)) = f (0)G(u) (2.5.3) Số hạng thứ hai xem tích hai ảnh: sF (s) − f (0) G(s) Theo định lý đạo hàm gốc ta có L(f (t)) = sF (s) − f (0) Vì L(g(u)) = G(s) nên theo định lý tích chập ta t f (τ )g(t − τ )dτ [sF (s) − f (0)]G(s) = L (2.5.4) Từ (2.5.2)-(2.5.4) thu t sF (s)G(s) = L f (0)g(u) + f (τ )g(t − τ )dτ Ví dụ 34 Tìm gốc theo ảnh F (s) = s (s − a)(s − b) Giải Ta có L(e−at ) = 1 ; L(e−bt ) = s+a s+b Do theo công thức tích phân Duhamel ta có hàm gốc ảnh s t e −bt (−ae−aτ )e−b(t−τ ) dτ = e−bt − ae−bt + 37 1 s−a s−b e(b−a)t − be−bt − ae−at = b−a b−a Chương Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân tích phân 3.1 Phương trình vi phân 3.1.1 Phương pháp chung Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp n, với hệ số dạng an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a0 y = f (t), (3.1.1) a0 , a1 , , an số thực, f (t) hàm t; hàm nghiệm y(t) đạo hàm đến cấp n giả thiết gốc Từ định lý đạo hàm (2.2.3), ta sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân Phương pháp chung: Các bước giải phương trình vi phân phương pháp biến đổi Laplace: • Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình Phương trình kết gọi phương trình biến đổi; • Biến đổi phương trình L(y) = F (s), F (s) biểu thức đại số theo biến s; • Áp dụng biến đổi Laplace ngược để thu nghiệm y = L−1 (F (s)) 38 3.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y + a0 y = f (t), (3.1.2) với điều kiện ban đầu y(0) = y0 , y (0) = y1 , · · · , y (n−1) (0) = yn−1 (3.1.3) Giả sử an = 0, hàm f (t), nghiệm y(t) đạo hàm đến cấp n gốc Ký hiệu L(y(t)) = Y (s), L(f (t)) = F (s) Về mặt kỹ thuật, hàm f (t) coi hàm đầu vào, hàm kích hàm lực, y = y(t) kết Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình (3.1.2) điều kiện ban đầu (3.1.3), ta (an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 )Y (s) = = F (s) + y0 (an sn−1 + an−1 sn−2 + · · · + a1 ) + y1 (an sn−2 + an−1 sn−3 + · · · + a2 ) + · · · + an yn−1 P (s)Y (s) = F (s) + Q(s), P (s), Q(s) đa thức biết Giải phương trình ta nghiệm Y (s) = F (s) + Q(s) P (s) Lấy biến đổi Laplace ngược hàm ảnh Y (s) ta nghiệm y(t) phương trình (3.1.2) Ví dụ 35 Xét Bài toán giá trị ban đầu y + y = 1, y(0) = y (0) = Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L(y ) + L(y) = L(1) ⇒ s2 L(y) − sy(0) − y (0) + L(y) = , s suy L(y) = 1 s = − + 1) s s +1 s(s2 Lấy biến đổi ngược suy y = − cos t 39 Ví dụ 36 Giải phương trình vi phân y + y = et + t + 1, y(0) = y (0) = y (0) = Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L(y ) + L(y ) = L(et ) + L(t) + L(1), hay [s3 L(y) − s2 y(0) − sy (0) − y (0)] + [s2 L(y) − sy(0) − y (0)] = 1 + 2+ s−1 s s Từ điều kiện ban đầu suy s3 L(y) + s2 L(y) = hay L(y) = − 2s2 − 2s2 − ⇒ L(y) = s2 (s − 1) s4 (s + 1)(s − 1) 1 1 + 4− + Thực phép biến đổi Laplace ngược s s 2(s + 1) 2(s − 1) ta 1 y = −t + t3 − e−t + et 2 Một đặc điểm quan trọng phép biến đổi Laplace hàm f (t) không liên tục Ví dụ 37 Giải phương trình y + y = Eua (t), y(0) = 0, y (0) = Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ta s2 L(y) − sy(0) − y (0) + L(y) = Ee−as s Ee−as + s2 + s(s2 + 1) 1 s = +E − e−as s +1 s s +1 L(y) = Lấy biến đổi ngược hai vế ta y = sin t + Eua (t)(1 − cos(t − a)); hay viết y dạng sau  sin t 0≤t α) dsn với y(t) liên tục mảnh [0, ∞) có bậc mũ α Do đó, với n = 1, L(ty(t)) = −F (s) Giả sử y (t) thỏa mãn điều kiện định lý đạo hàm hàm ảnh Khi d L(y (t)) ds d = − (sF (s) − y(0)) ds = −sF (s) − F (s) L(ty (t)) = − Tương tự, với y (t), d L(y (t)) ds d = − (s2 F (s) − sy(0) − y (0)) ds = −s2 F (s) − 2sF (s) + y(0) L(ty (t)) = − Các công thức với L(ty(t)), L(ty (t)), L(ty (t)) dùng để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số đa thức (bậc một) 42 Ví dụ 40 Giải phương trình vi phân y + ty − 2y = 4, y(0) = 1, y (0) = Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình, ta s2 F (s) + s − (sF (s) + F (s)) − 2F (s) = , s hay − s F (s) = − + s s F (s) + Thừa số tích phân µ(s) = e ( 3s −s)ds s2 = s3 e− Do đó, s2 F (s)s3 e− =− − s2 − s2 + s e s e , s2 s2 F (s)s3 e− = −4 Thay u = − s2 se− ds + s2 s3 e− ds s2 vào hai tích phân ta s2 F (s)s3 e− = eu du + s2 = 4e− + ueu du s2 −s2 − s2 e − e− 2 +C s2 s2 = 2e− − s2 e− + C Do C s2 − + e2 s3 s s3 Vì F (s) → s → ∞ nên suy C = y(t) = t2 − Đây nghiệm F (s) = phương trình 3.1.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính phương pháp tích phân Duhamel Ta sử dụng công thức tích phân Duhamel để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số (3.1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(0) = y (0) = · · · = y (n−1) (0) = cách xét phương trình vi phân bổ trợ an w(n) + an−1 w(n−1) + · · · + a1 w + a0 w = 43 (3.1.5) Giả sử nghiệm riêng w(t) (3.1.5) với điều kiện ban đầu w(0) = w (0) = · · · = w(n−1) (0) = (3.1.6) Giả sử W (s) = L(w(t)) Khi đó, lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình (3.1.5) ta an sn W (s) + an−1 sn−1 W (s) + · · · + a1 sW (s) + a0 W (s) = s suy W (s) = s(an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 ) (3.1.7) Ta ký hiệu nghiệm riêng cần tìm (3.1.2) y(t) L(y(t)) = Y (s); đặt L(f (t)) = F (s) Lấy biến đổi Laplace hai vế (3.1.2) ta an sn Y (s) + an−1 sn−1 Y (s) + · · · + a1 sY (s) + a0 Y (s) = F (s), hay Y (s) = F (s) an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 Do Y (s) = sF (s)W (s) Theo công thức tích phân Duhamel ý điều kiện w(0) = 0, ta có t f (τ )w (t − τ )dτ y(t) = hay t w(τ )f (t − τ )dτ y(t) = Ví dụ 41 Giải phương trình y − y = e2t với y(0) = y (0) = Giải Trước tiên, ta giải phương trình vi phân bổ trợ w − w = với w (0) = w(0) = Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ta W (s) = 1 1 = − + + s(s2 − 1) s 2()s − 2(s + 1) 1 1 suy w(t) = −1 + et + e−t ⇒ w (t) = et − e−t Vậy 2 2 t t 1 1 [ eτ − e−τ ]e2(t−τ ) = e2t − et + e−t 2 w (τ )f (t − τ )dτ = y(t) = 0 44 3.1.5 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân giải phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace Ví dụ 42 Giải hệ phương trình vi phân  x + y = et , x + y = e−t , x(0) = x , y(0) = y 0 Giải Giả sử L(x(t)) = X(s), L(y(t)) = Y (s) Khi L(x (t)) = sX(s) − x0 , L(y (t)) = sY (s) − y0 Ta thu hệ phương trình   sX(s) − x0 + Y (s) = s−1  X(s) + sY (s) − y0 = s+1 Giải hệ ta thu    X(s) = s s2 + x − y + 0 s2 − s2 − (s2 − 1)2 − x 2s s   y0 + − Y (s) = s −1 s − (s − 1)2 Do  x(t) = x0 coth t − y0 sinh t + t coth t y(t) = y coth t + (1 − x ) sinh t − t sinh t 0 Ví dụ 43 Giải hệ phương trình  y + z + y + z y + z =1 = et , y(0) = −1, z(0) = Giải Từ hệ phương trình cho, ta có   sL(y) + + sL(z) − + L(y) + L(z) = s  sL(y) + + L(z) = s−1 Từ hệ ta giải −s2 + s + 1 L(y) = = − + s(s − 1) s s − (s − 1)2 Lấy biến đổi Laplace ngược thu y = − 2et + tet , 45 z = 2et − tet 3.2 Phương trình tích phân Các phương trình có dạng t f (t) = g(t) + k(t, τ )f (τ )dτ t g(t) = k(t, τ )f (τ )dτ gọi phương trình tích phân, f (t) hàm chưa biết Khi nhân k(t, τ ) có dạng k(t, τ ) = k(t − τ ), tích phân có dạng tích chập Trong trường hợp này, thực phép biến đổi Laplace ta tìm nghiệm phương trình Xét dạng đầu tiên, g, k hàm biết, theo định lý tích chập, ta có L(f ) = L(g) + L(k).L(f ) ⇒ L(f ) = L(g) − L(k) Từ biểu thức ta tìm biểu thức f nhờ phép biến đổi Laplace ngược vế phải hàm theo biến s Ví dụ 44 Giải phương trình tích phân t x(t) = e −t sin(t − τ )x(τ )dτ + Giải Áp dụng biến đổi Laplace cho hai vế phương trình ta L(x(t)) = L(e−t ) + L(sin t).L(x(t)) suy L(e−t ) − L(sin t) s2 + 1 = = + 2− s (s + 1) s+1 s s L(x(t)) = Do x(t) = 2e−t + t − 46 Ví dụ 45 Xét toán cổ điển từ kỷ 19 Một vật nhỏ trượt xuống đường cong ma sát với điều kiện thời gian rơi xuống (do lực hấp dẫn) không phụ thuộc vào điểm xuất phát Một đường cong gọi tautochrone Việc phân tích tượng vật lý dẫn tới phương trình tích phân (Abel) y f (u)du √ , y−u T0 = √ 2g (3.2.1) ds dy y = u, s = s(y) chiều dài đường cong Khi tích phân (3.2.1) tích chập hai hàm f (y) √ y Lấy biến đổi Laplace hai vế (3.2.1) ta √ T0 2g s 1 ⇒ L(f (y)) = L(T0 ) = √ L(f (y))L √ π y 2g s T0 số (thời gian), g số hấp dẫn, f (u) biểu diễn Do đó, 2g π L(f (y)) = s T0 = c0 s2 Lấy biến đổi ngược thu c f (y) = √ y (3.2.2) Vì ds f (y) = = dy 1+ dx dy , ta đến phương trình vi phân 1+ dx dy = c2 y Khi x= c2 − y dy y Đặt y = c2 sin2 ( ϕ2 ) c2 x = (ϕ + sin ϕ), c2 y = (1 − cos ϕ) 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace số ứng dụng giải phương trình vi phân tích phân Trong chương 1, tác giả mở đầu với việc đưa định nghĩa phép biến đổi Laplace; điều kiện để hàm có biến đổi Laplace; công thức Mellin để tính biến đổi Laplace ngược hàm Tiếp theo, chương 2, tác giả trình bày chi tiết tính chất phép biến đổi Laplace kèm theo nhiều ví dụ minh họa Cuối cùng, tác giả nêu số phương trình vi phân tích phân giải nhờ phép biến đổi Laplace Các chứng minh luận văn tác giả trình bày chi tiết, sử dụng từ ngữ diễn giải nhiều nên dễ hiểu dễ hình dung 48 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thủy Thanh, Hàm biến phức với phép biến đổi Laplace, NXB ĐHQGHN, 2010 [2] Joel L Schiff, The Laplace Transform: Theory and Application, Spinger - Verlag, 1999 [3] Protter, M H and Morrey, C B, A First Course in Real Analysis, Spinger Verlag [4] Watson, E J., Laplace Transforms, Van Nostrand Reinhold Co [5] Widder, D V., The Laplace Transform, Princeton University Press [6] Zill, D J., A First Course in Differential Equations with Applications, 4th ed, PWS - Kert 49 [...]... (1.4.10) và (1.4.11) thu được f (t) = −t + et e−t − = −t + sinh t 2 2 14 (1.4.11) Chương 2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace Có rất nhiều bài toán khác nhau bao gồm phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân có thể giải được nhờ phép biến đổi Laplace Trong chương này ta sẽ nghiên cứu hàm Gamma; hàm tuần hoàn; đạo hàm, tích phân của hàm ảnh và hàm... ≥ T (1.3.5) t0 với mọi s mà đều trong miền 1.4 (s) ≥ x0 > α Đây chính là điều kiện cần để tích phân Laplace hội tụ (s) ≥ x0 > α Phép biến đổi Laplace ngược Để ứng dụng biến đổi Laplace vào các bài toán vật lý, ta cần phải nghiên cứu biến đổi Laplace ngược Nếu L(f (t)) = F (s) thì phép biến đổi Laplace ngược được ký hiệu bởi L−1 (F (s)) = f (t), t ≥ 0, mà ánh xạ ảnh Laplace của một hàm trở về hàm ban... αt Giải Từ công thức L(sin αt) = s2 α + α2 và áp dụng( 2.2.7) ta thu được F (s) = − 2sα (s2 + α2 )2 F (s) = L((−t) sin αt) Suy ra − (s2 2sα = L((−t) sin αt) + α2 )2 Tương tự, xuất phát từ hệ thức L(cos αt) = s2 s + α2 và áp dụng( 2.2.7) ta thu được s2 − α 2 (s2 + α2 )2 L(t cos αt) = 2.3 2.3.1 Tích phân Định lý về tích phân gốc Trong một số phương trình vi phân nhất định, ta cần phải tính biến đổi Laplace. .. 0 2 và biến đổi Laplace L(sin(et )) tồn tại theo định lý (1.3.1) Ta có một hàm liên tục, không có bậc mũ nhưng vẫn có biến đổi Laplace Định lý 1.3.2 (Điều kiện cần) Nếu f liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ α, thì F (s) = L(f (t)) → 0 khi (s) → ∞ Chứng minh Theo (1.3.1) ta có ∞ e−st f (t)dt ≤ M , x−α ( (s) = x > α), 0 cho x → ∞ thu được điều cần chứng minh Nhận xét: Ta thấy nếu biến đổi Laplace. .. thì biến đổi Laplace ngược L−1 (F (s)) = f (t) 11 được xác định một cách duy nhất Vì rất nhiều hàm mà chúng ta quan tâm là nghiệm của các phương trình vi phân và do đó liên tục, giả thiết trên hoàn toàn được xác định 1.4.3 Tính tích phân Mellin Trước hết, ta nhắc lại Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư và Bổ đề Jordan Định lý 1.4.4 (Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư) Giả sử hàm f (z) chỉnh hình trong. .. nói chung không thể thu được biến đổi Laplace n=0 của chuỗi bằng cách lấy biến đổi Laplace của từng số hạng 16 Ví dụ 15 ∞ f (t) = e −t2 (−1)n t2n , n! = n=0 −∞ < t < ∞ Lấy biến đổi Laplace từng số hạng ta thu được ∞ n=0 (−1)n L(t2n ) = n! = ∞ (−1)n (2n)! n! s2n+1 n=0 ∞ 1 s (−1)n (2n) (n + 2)(n + 1) s2n n=0 Mà lim n→∞ un+1 2(2n + 1) = lim = ∞, n→∞ un |s|2 và chuỗi đã cho phân kỳ với mọi s 2 2 Tuy nhiên,... hàm f (t) = | sin ωt| Giải Hàm | sin ωt| là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = π Do đó ω πs 1 ω 1 + e− ω L(f (t)) = F (s) = π πs 1 s2 + ω 2 1 + e− ω 1 − e− ω s 2.2 = ω πs coth s2 + ω 2 2ω Đạo hàm Để giải các phương trình vi phân, ta cần phải biết được biến đổi Laplace của đạo hàm f của hàm f 23 Định lý 2.2.1 (Định lý về đạo hàm gốc) Giả sử rằng f liên tục trên (0, ∞) và có bậc mũ α và hàm f liên tục từng... Giả sử f liên tục trên [0, ∞) và có bậc mũ thì hàm f cũng liên tục và có cùng bậc mũ với f Thật vậy, giả sử rằng |f (t)| ≤ M eαt , t ≥ t0 , α = 0 Khi đó, theo định lý cơ bản của tích phân suy ra t f (τ )dτ + f (t0 ) f (t) = t0 và t eατ dτ + |f (t0 )| ≤ |f (t)| ≤ M M αt e + |f (t0 )| ≤ Ceαt , α t ≥ t0 t0 Để giải các phương trình vi phân, ta cần biết được L(f (t)), Áp dụng công thức (2.2.2) với f ... (s)est ; ak ] F (s)e ds = x−i∞ trong đó t > 0 và s = ak , (1.4.5) k=1 k = 1, n là những điểm bất thường cô lập của thác triển giải tích của hàm F (s) vào nửa mặt phẳng 12 (s) ≤ α0 Chứng minh Ta dựng đường tròn với tâm tại điểm (x, 0) và bán kính R sao cho mọi điểm bất thường cô lập a1 , a2 , , an của hàm đã được thác triển giải tích vào nửa mặt phẳng (s) ≤ α0 là nằm trong nửa hình tròn bên trái đường... (s0 ), tức là biến đổi Laplace cũng tồn tại trong nửa mặt phẳng phải Theo định lý (1.3.1), các hàm liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ thì thuộc lớp L Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đã đúng 2 2 Ví dụ 9 Xét hàm f (t) = 2tet cos(et ) Hàm này liên tục trên [0, ∞) nhưng không có bậc mũ Tuy nhiên, biến đổi Laplace của f (t), ∞ 2 2 e−st 2tet cos(et )dt, L(f (t)) = 0 tồn tại do tích phân từng phần