PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

36 3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và... LỜI MỞ ĐẦULeonard Euler là người đầu tiên đã đưa ra ý tưởng về phép biến đổi tích phân vàocác năm 1763 và 1769,

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời mở đầu ii

1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 1

1.2 Sự hội tụ 2

1.3 Điều kiện hội tụ 3

1.4 Phép biến đổi Laplace ngược 9

1.4.1 Công thức Mellin 9

1.4.2 Điều kiện đủ để tồn tại gốc 11

1.4.3 Tính tích phân Mellin 12

1.4.4 Một số ví dụ 13

2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 15 2.1 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 15

2.1.1 Tính chất tuyến tính 15

2.1.2 Tính chất đồng dạng 17

2.1.3 Các định lý dịch chuyển 18

2.1.4 Hàm Gamma 21

2.1.5 Ảnh của hàm tuần hoàn 23

2.2 Đạo hàm 23

2.3 Tích phân 28

2.3.1 Định lý về tích phân gốc 28

2.3.2 Định lý về tích phân ảnh 30

2.4 Tích chập các hàm 31

2.5 Tích phân Duhamel 36

3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và

3.1 Phương trình vi phân 38

3.1.1 Phương pháp chung 38

3.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng 39

3.1.3 Phương trình vi phân với hệ số là đa thức 42

3.1.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp tích phân Duhamel 43

3.1.5 Hệ phương trình vi phân 45

3.2 Phương trình tích phân 46

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ

TÍCH PHÂN

Nguyễn Thị Bích Hạnh

Hà Nội, 2010

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian làm luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn rất tận tình vàchu đáo của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy đã cho tôi những lời khuyên quýbáu không chỉ về các vấn đề xoay quanh luận văn mà còn về phương pháp học tập vànghiên cứu khoa học Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoaToán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

đã cung cấp cho tôi những tri thức khoa học cũng như những bài học cuộc sống giản

dị trong suốt thời gian học tập tại Khoa

Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp

đã luôn ở bên động viên, khích lệ Đó cũng là động lực rất lớn để tôi hoàn thành bảnluận văn này

Hà Nội, ngày 06 tháng 12 năm 2010

Nguyễn Thị Bích Hạnh

LỜI MỞ ĐẦU

Leonard Euler là người đầu tiên đã đưa ra ý tưởng về phép biến đổi tích phân (vàocác năm 1763 và 1769), ông đã nghiên cứu các phép biến đổi này trong khi sử dụngphép biến đổi Laplace ngược để giải các phương trình vi phân thường tuyến tính bậchai Sau đó, Laplace cùng với Euler giới thiệu về phép biến đổi tích phân trong cuốnsách Théorie analytique des probabilités (1812) Năm 1878, Spitzer là người đã gắn têncủa Laplace với biểu thức mà Euler đã sử dụng

Ứng dụng đầu tiên của phép biến đổi Laplace hiện đại xuất hiện trong tác phẩm củaBateman (1910), người đã biến các phương trình trong các công trình của Rutherfordnghiên cứu về sự phân rã phóng xạ

dP

dt = −λiP,bằng cách đặt

tính toán tử, chủ yếu trong lĩnh vực vật lý Và Bromwich đã đưa ra khái niệm về phépbiến đổi Laplace ngược

với γ thuộc bên phải các đường kỳ dị của κ

Đến ngày nay, ta thấy phép biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựccủa Toán học, Vật lý, Cơ học, Chẳng hạn, trong Toán học, ta có thể sử dụng phépbiến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phươngtrình vi tích phân, (xem [4], [5], [6]) Tư tưởng cơ bản của phép tính toán tử là phépthay các hàm được nghiên cứu (hàm gốc) bởi những hàm khác nào đó (hàm ảnh) theonhững quy tắc nào đó (mà thường là phép biến đổi Laplace)

Luận văn trình bày những kiến thức cô đọng nhất của phép biến đổi Laplace và ứngdụng trong giải phương trình vi phân và tích phân Luận văn được chia thành 3 chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

• Chương 2: Các tính chất của phép biến đổi Laplace

• Chương 3: Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân vàtích phân

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mongnhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Các phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tảcách thức một đại lượng nhất định thay đổi theo thời gian, ví dụ như dòng điện trongmạch điện, sự dao động của lớp màng đang rung, Các phương trình này thường đikèm với các điều kiện mô tả trạng thái ban đầu của hệ

Một kỹ thuật rất mạnh để giải các bài toán này là phép biến đổi Laplace, biến đổiphương trình vi phân ban đầu thành biểu thức đại số sơ cấp Biểu thức đại số này lại

có thể được biến đổi thành nghiệm của bài toán ban đầu Kỹ thuật này được gọi là

"phép biến đổi Laplace" Chương này xây dựng cơ sở lý thuyết và các tính chất cơ bảncủa phép biến đổi Laplace

1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử rằng f là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức của biến(thời gian) t > 0 và s là một tham số thực hoặc phức Biến đổi Laplace của hàm f là

Khi đó, tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ Nếu giới hạn này không tồn tại, tích phânđược gọi là phân kỳ và f không có biến đổi Laplace Ký hiệu L(f ) được gọi là biến đổiLaplace của f và tích phân này là tích phân Riemann thông thường

Tham số s thuộc miền xác định nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt phẳngphức Ta sẽ chọn s thích hợp để đảm bảo tính hội tụ của tích phân (1.1.1) Về mặttoán học và kỹ thuật, miền xác định của s khá quan trọng Tuy nhiên về mặt thực

hành, khi giải các phương trình vi phân, miền xác định của s thường bị bỏ qua Khi s

Nếu s ≤ 0 thì tích phân sẽ phân kỳ và sẽ không có biến đổi Laplace của hàm này Nếu

ta lấy s là một biến phức, tính toán tương tự với <(s) > 0, ta cũng được L(1) = 1

τ 0

s − iω,

do lim

τ →∞|eiωτe−sτ| = lim

τ →∞e−xτ = 0, với điều kiện x = <(s) > 0

Tương tự, L(e−iωt) = 1

với mọi s, vì miền lấy tích phân tăng vô hạn khi τ → ∞

Hai kiểu hội tụ của tích phân Laplace

Hội tụ tuyệt đối: Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

tồn tại.

Nếu L(f (t)) hội tụ tuyệt đối thì

khi τ → ∞, với τ0 > τ Điều này suy ra rằng L(f (t)) hội tụ

Hội tụ đều: Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ đều với s thuộc miền xác định Ω ⊂ Cvới bất kỳ ε > 0, tồn tại số τ0 > 0 sao cho nếu τ > τ0, thì

< ε

với mọi s ∈ Ω

1.3 Điều kiện hội tụ

Chúng ta có thể tính biến đổi Laplace cho một số hàm, nhưng cũng có hàm không

có biến đổi Laplace, ví dụ như hàm et2 Ta sẽ xây dựng một lớp các hàm có biến đổiLaplace

Định nghĩa 1.3.1 Điểm t0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm f nếu hai giớihạn

gián đoạn tại t = 0, nhưng lim

t→0 +f (t) không tồn tại, vì vậy t = 0 không phải là điểmgián đoạn loại 1 của hàm f

Định nghĩa 1.3.2 Hàm f được gọi là liên tục từng mảnh trên [0, ∞) nếu:

(i) lim

t→0 +f (t) = f (0+) tồn tại;

(ii)f liên tục trên mỗi khoảng hữu hạn (0, b), có thể trừ ra một số hữu hạn các điểm

τ1, τ2, , τn trong (0, b) là các điểm gián đoạn loại 1 của hàm f

Một kết quả quan trọng của tính liên tục từng mảnh là trên mỗi khoảng con hàm

f cũng bị chặn, tức là,

|f (t)| ≤ Mi, τi < t < τi+1, i = 1, 2, , n − 1,với các hằng số Mi hữu hạn

Để tích phân hàm liên tục từng mảnh từ 0 đến b, người ta có thể lấy tích phân trênmỗi khoảng con và lấy tổng của các tích phân này, tức là

Đặc điểm thứ hai của lớp các hàm có biến đổi Laplace mà chúng ta cần xem xét

đó là tốc độ tăng của hàm Trong định nghĩa

Định nghĩa 1.3.3 Hàm f được gọi là có bậc mũ α nếu tồn tại hằng số M > 0 và số

α sao cho với t0 ≥ 0,

|f (t)| ≤ M eαt, t ≥ t0

Rõ ràng hàm mũ eat có bậc mũ α = a, trong khi đó tn có bậc mũ α với α > 0 và

n ∈ N bất kỳ Các hàm bị chặn như sin t, cos t, có bậc mũ 0, còn e−t có bậc mũ −1(xem [1])

Chú ý rằng nếu β > α thì từ bậc mũ α suy ra bậc mũ β, vì eαt ≤ eβt, t ≥ 0

Ta thường coi bậc mũ là giá trị nhỏ nhất của α mà |f (t)| ≤ M eαt, M > 0, t ≥ t0 ≥ 0.Định lý 1.3.1 1 Nếu f liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ α, thì biến đổiLaplace L(f ) tồn tại và hội tụ tuyệt đối với <(s) > α

2 F (s) = L(f (t)) là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng phải <(s) > α, trong đó α

là bậc mũ của hàm f

Chứng minh 1 Trước tiên, do f có bậc mũ α nên

Do đó tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ) với <(s) > α

2 Ta ký hiệu nửa mặt phẳng <(s) > α là πα Để chứng minh F (s) là hàm chỉnh hìnhtrong nửa mặt phẳng πα (hay F (s) ∈ H(πα)), ta cần chứng minh rằng hàm F (s) cóđạo hàm tại điểm bất kỳ của πα

Ta lấy điểm tùy ý s = x + iy ∈ πα, <(s) = x > α và xét tỷ số ∆F (s)

Ta cần chứng minh rằng δ → 0 khi ∆s → 0 Thật vậy, ta có

|δ| = |∆s|

= lim

n→∞

2(2n + 1)

|s|2 = ∞,

và chuỗi đã cho phân kỳ với mọi s

Tuy nhiên, L(e−t2) tồn tại vì e−t2 liên tục và bị chặn trên [0, ∞)

Vì vậy khi nào ta có thể thu được biến đổi Laplace của chuỗi vô hạn bằng cách lấybiến đổi từng số hạng?

|an| ≤ Kα

n

n! ,với mọi n đủ lớn và α > 0, K > 0, khi đó

với <(s) > αα0, trong đó α là số dương bất kỳ

Chứng minh Đối với hàm f (αt) ta có

Mặt khác, khi α > 0 thì hàm f (αt) là hàm gốc có bậc mũ αα0 Đổi biến, đặt u = αt ⇒

Định lý vừa chứng minh còn được gọi là định lý tắt dần, thường được sử dụng đểnghiên cứu các hiện tượng vật lý gắn liền với dao động tắt dần (trong trường hợp nàybiến độc lập t được hiểu là thời gian).

Ví dụ 17 Vì L(t) = 1

s2 (<(s) > 0) nên L(teat) = 1

(s − a)2 và nói chung L(tneat) =n!

(s − a)n+1, n = 0, 1, 2, (<(s) > a)

Từ đây ta có một nghịch đảo rất hay sử dụng

L−1

1(s − a)n+1



= 1n!t



= L−1



s + 2(s + 2)2− 3



− L−1



2(s + 2)2− 3

Định lý 2.1.3 (Định lý dịch chuyển thứ hai) Nếu F (s) = L(f (t)), <(s) > α0 và

a > 0 bất kỳ, thì L(ua(t)f (t − a)) = e−asF (s)(a ≥ 0)

Chứng minh Theo định nghĩa ta có

Quá trình được mô tả bởi hàm f (t − a) được bắt đầu chậm hơn một khoảng thờigian a so với quá trình mô tả bởi hàm f (t) Trong vật lý tính chất hình học này củaphép dịch chuyển được gọi là sự trễ của hiện tượng Định lý vừa chứng minh được gọi

Giải Hàm bậc thang f (t) có thể viết dưới dạng

f (t) =E(t − 1) − E(t − 2) + 2E(t − 2) − 2E(t − 3)

+ 3E(t − 3) − 3E(t − 4) + · · · + (n − 1)E[t − (n − 1)]

− (n − 1)E(t − n) + nE(t − n) − · · ·hay f (t) = E(t − 1) + E(t − 2) + · · · + E(t − n) + · · ·

2.1.4 Hàm Gamma

Ta đã biết

L(tn) = n!

s(n+1), n = 1, 2,