TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚIMARTINGALE

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NGUYN VN TNH TCH PHN NGU NHIấN I VI MARTINGALE CHUYấN NGNH: Lí THUYT XC SUT V THNG Kấ TON HC M S: 60.46.15 TểM TT LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC : GS.TSKH NG HNG THNG H Ni - 2011 LI NểI U Gii tớch ngu nhiờn ngy úng mt vai trũ ht sc quan trng lý thuyt xỏc sut - thng kờ hin i, nú cú ng dng rng rói tt c cỏc lnh vc khỏc nh cụng ngh thụng tin, cụng ngh vin thụng, kinh t, th trng chng khoỏn, bo him, d bỏo ri ro, nụng nghip.V hin ang c ging dy hu ht cỏc trng i hc v ngoi nc, nú thu hỳt rt nhiu nh khoa hc khụng ngng nghiờn cu v phỏt trin v nú Trong ú tớch phõn ngu nhiờn l mt nhng khỏi nim quan trng ca gii tớch ngu nhiờn T khỏi nim ú ngi ta ó xõy dng nờn mt loi tớch phõn ngu nhiờn i vi Martingale,m rng tớch phõn Ito, chỳng rt cú ý ngha v mt lý thuyt cng nh ng dng Do ú ó c cỏc nh toỏn hc v cỏc nh kinh t nghiờn cu v phỏt trin Phm vi ca lun ny l h thng li mt s kt qu ó cú v tỡm hiu thờm cỏc tớnh cht ca tớch phõn ngu nhiờn, xem xột mt s ng dng ca tớch phõn ngu nhiờn, khỏi quỏt li nhng kin thc c bn ca gii tớch ngu nhiờn v trờn c s ú bc u tỡm hiu v tớch phõn ngu nhiờn i vi Martingale Lun c chia lm chng c th nh sau: Chng 1: Kin thc chun b Chng ny trỡnh by cỏc kin thc c s cn cho cỏc chng tip theo.Trng tõm l: Martingale, martingale liờn tc, martingale liờn tc phi, martingale a phng, martingale liờn tc phi a phng Chng 2: Tớch phõn ngu nhiờn Nghiờn cu cỏc hp v quỏ trỡnh d oỏn c, khong thi gian ngu nhiờn, o trờn cỏc d oỏn c, m rng phộp ly tớch phõn v hm ly tớch phõn a phng Chng 3: Cụng thc Ito Tỡm hiu v bin phõn bc hai v tớnh cht ca bin phõn bc hai, cụng thc Ito v ng dng ca cụng thc Ito Tuy ó cú nhiu c gng nhng thi gian v kh nng cú hn nờn cỏc lun vn cha c trỡnh by sõu sc v khụng th trỏnh cú nhng sai sút cỏch trỡnh by Mong c s ch bo ca thy cụ v s gúp ý xõy dng ca bn bố cng nh ng nghip Em xin chõn thnh cm n! H ni, ngy 10 thỏng nm 2011 Hc viờn Nguyn Vn Tớnh Chng Kin thc chun b 1.1 Khụng gian Lp v tớnh o c Gi s (S, ) l mt khụng gian o c, gm mt hp S khỏc rng v mt - trng cỏc ca S Mt hm X : S Rd gi l - o c nu X (A) vi mi Borel A Rd , õy X kớ hiu l nghch nh = [, ] Ta Mt nh ngha gi nguyờn tng t i vi hm X : S R s dng X cú ngha l " X l - o c " v X b cú ngha X b chn v o c " Nu l mt h ca , mt hm X : S Rd gi l - n gin nu X = nk=1 ck 1k vi ck l hng s Rd , hp k , v n N Mt hm nh vy gi l -o c Ngc li bt k hm - o c l mt gii hn theo tng im ca mt dóy cỏc hm -n gin 1.2 Hm bin phõn b chn v tớch phõn Stieltjes Cho mt hm giỏ tr thc g trờn R+ , bin phõn ca g trờn [0, t] xỏc nh bi: n1 |g|t sup |g(tk+1 ) g(tk )| k=0 l s phõn hoch ca [0, t] bi = t0 < t1 < < tn = t Bin phõn |g|t tng theo t Nu |g|t < , g gi l bin phõn b chn trờn [0, t] Nu iu ny ỳng vi mi t R+ , g gi l cú bin phõn b chn a phng trờn R+ ; v nu suptR+ |g|t < thỡ g l bin phõn b chn trờn R+ Mt hm liờn tc l bin phõn b chn a phng trờn R+ nu v ch nu nú l hiu ca hai hm tng liờn tc Mt hm g cú bin phõn b chn a phng trờn R+ cm sinh mt o cú du trờn - trng B, ú à((a, b]) = g(b) g(a) vi a < b R+ v à({0}) = o l nht xỏc nh bi nhng khong trờn (a, b] cựng vi {0} sinh B Nú l o dng trờn (a, b] nu g tng v khụng cú cỏc nguyờn t nu g liờn tc 1.3 Khụng gian xỏc sut,bin ngu nhiờn,lc Cho(,F, P ) ,l mt khụng gian xỏc sut iu ny cú ngha l (,F) l mt khụng gian o c v P l mt o xỏc sut trờn (,F) ,sao cho mi ca mt P -tp hp cú o khụng F l F Lc l mt h {Ft ,t R+ } ca - trng ca F cho Fs Ft vi mi s < t R+ Nu tho hai iu kin sau ,thỡ {Ft , t R+ } gi l mt lc tiờu chun : (i) Ft = Ft+ s>t ,vi mi t; (ii) F0 cha tt c P- hp cú o khụng F 1.4 iu kin hi t Ta xem li mt vi khỏi nim c bn ca lý thuyt xỏc sut di õy Gi nh rng vi cỏc tớnh cht c bn ca s hi t Lp , theo xỏc sut ,v hi t hu chc chn , cng nh tớnh kh tớch u v hi t theo phõn phi nh ngha 1.4.1 Bin ngu nhiờn Xn c gi l hi t theo xỏc xut ti bin ngu nhiờn X nu vi > bt k lim P [|Xn X| > ] n nh ngha 1.4.2 Dóy bin ngu nhiờn Xn c gi l hi t hu chc chn n bin ngu nhiờn X nu tn ti A cú xỏc sut khụng cho Xn () X() vi /A nh ngha 1.4.3 Dóy bin ngu nhiờn Xn c gi l hi t theo trung bỡnh bc p (0 < p < ) n bin ngu nhiờn X nu E|Xn X|p 0, (n ) 1.5 Quỏ trỡnh ngu nhiờn Cho mt khụng gian xỏc sut (,F, P ) v mt khụng gian trng thỏi o c {E,E} , mt quỏ trỡnh ngu nhiờn l mt h (Xt )t0 cho Xt l mt bin ngu nhiờn cú giỏ tr E cho mi thi im t Chớnh thc hn, mt ỏnh x X:(R+ ì,B+ F) (R, B) , õy B+ l Borel ca khụng gian thi gian R+ 1.5.1 Hai quỏ trỡnh ngu nhiờn quan trng 1.5.1.1 Quỏ trỡnh Poisson Mt quỏ trỡnh N = {Nt , t R+ } l mt quỏ trỡnh Poisson vi tham s > nu nú cú nhng tớnh cht sau õy: (i) N0 = (ii) vi s < t < , Nt Ns l mt bin ngu nhiờn Poisson vi trung bỡnh l (t s) cú ngha l Nt Ns ly giỏ tr N0 cho P (Nt Ns = n) = (t)n et n! vi mi n N0 (iii) vi t0 < t1 < < tl < , {Nt0 ; Ntk Ntk1 , k = 1, , l} l mt h cỏc bin ngu nhiờn c lp 1.5.1.2 Chuyn ng Brown Mt quỏ trỡnh B = {Bt , t R+ } c gi l mt chuyn ng Brown R nu nú cú tớnh cht sau õy: (i) vi s < t < , Bt Bs l mt bin ngu nhiờn phõn phi chun vi trung bỡnh khụng v phng sai t s ; (ii) vi t0 < t1 < < tl < , {Bt0 ; Btk Btk1 , k = 1, , l} l mt hp cỏc bin ngu nhiờn c lp (iii) B l quỏ trỡnh liờn tc,tc l hu ht cỏc qu o ca B l hm liờn tc Mt chuyn ng Brown Rd l mt b d- quỏ trỡnh mt chiu B = {Bt = (Bt1 , Bt2 , , Btd ), t R+ } 1.6 Thi im dng + c gi l mt thi im dng thớch nghi vi Mt hm F-o c : R b lc {Ft } nu { t} Ft vi mi t R+ Nu {Ft } l mt lc tiờu chun Ft = Ft+ , thỡ iu kin trờn l tng ng vi { < t} Ft vi mi t Kt hp vi mt thi im dng l -trng F iu ny bao gm tt c A F tR+ Ft , tha A { 1.7 t} Ft vi mi t R+ K vng cú iu kin v tớnh cht K vng cú iu kin l mt khỏi nim rt quan trng lý thuyt xỏc sut c bit l lý thuyt martingale 1.7.1 Cỏc nh ngha ca k vng cú iu kin nh ngha 1.7.1 Cho mt khụng gian xỏc sut (,F, P ) v cho A F vi P (A) > Xỏc nh Q(B) = P (B|A) = PP(AB) (A) , vi mi B F , Q(B) l mt o xỏc xut trờn (,F) Nu X l mt bin ngu nhiờn ,ta xỏc nh k vng cú iu kin ca X i vi A l E(X|A) = XdQ A nh ngha 1.7.2 Gi s (,F, P ) l khụng gian xỏc sut,G l -i s ca F ,X l bin ngu nhiờn kh tớch K vng cú iu kin ca bin ngu nhiờn X vi G ó cho l bin ngu nhiờn M tha cỏc iu kin sau: (i) M l G- o c (ii) M tha ng thc XdP, A G M dP = A A M cũn c ký hiu l E(X|G) nh ngha 1.7.3 Gi s (,F.P ) l khụng gian xỏc sut X l bin ngu nhiờn bt k cho vi xỏc sut mt min{E(X + |G), E(X |G)} < Khi ú ta núi X cú k vng cú iu kin i vi - trng G, v gi E(X|G) = E(X + |G) E(X |G) l k vng cú iờu kin ca X i vi G 1.7.2 Cỏc tớnh cht ca k vng cú iu kin Sau õy l cỏc tớnh cht c bn ca k vng cú iu kin Cỏc ng thc hay bt dng thc cỏc tớnh cht sau c hiu l ỳng hu chc chn 1.Nu C l hng s thỡ E(C|G) = C 2.Nu X Y thỡ E(X|G) E(Y |G) 3.Nu a, b l cỏc hng s thỡ E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) 4.|E(X|G)| E(|X||G) Nu X v G c lp thỡ E(X|G) = EX 6.E[E(X|G)] = EX 7.Nu G1 G2 thỡ E[E(X|G2 )|G1 ] = E[E(X|G1 )|G2 ] = E(X|G1 ) 8.Nu Y l G - o c v E|Y | < , E|XY | < thỡ E(XY |G) = Y E(X|G) Nu G0 = {, }(- trng tm thng) thỡ E(X|G0 ) = EX 1.8 Martingale nh ngha 1.8.1 Cho X = {Xt , Ft , t 0} l mt quỏ trỡnh kh tớch thỡ X l mt (i) Martingale nu E(Xt |Fs ) = Xs hu chc chn vi mi s t < (ii) Martingale trờn nu E(Xt |Fs ) Xs hu chc chn vi mi s t < (iii) Martingale di nu E(Xt |Fs ) Xs hu chc chn vi mi s t < nh ngha 1.8.2 Mt martingale X = {Xt , Ft , t 0} c cho l mtL2 martingale hay martingale bỡnh phng kh tớch nu E(Xt2 ) < vi mi t nh ngha 1.8.3 Mt quỏ trỡnh X = {Xt , Ft , t 0} c cho l mt Lp b chn nu (supt )t0 E(|Xt |p ) < nh ngha 1.8.4 Mt quỏ trỡnh X = {Xt , Ft , t 0} c cho l kh tớch u nu v ch nu (supt )t0 E(|Xt |1|Xt | N ) N Vi p [1, ), M c gi l mt Lp - martingale nu nú l mt martingale v Mt Lp i vi t Nu suptR+ E(|Mt |p ) < , ta núi M l Lp - b chn Tớnh cht martingale thỡ c bo ton bi Lp - gii hn F0 l hon ton y Mt cỏch chớnh xỏc hn na ta cú iu sau õy nh lý 1.8.5 Cho p [1, ) v M l mt Lp - martingale liờn tc phi Thỡ vi mi t v c cp P ( sup |Ms | c) E(|Mt |p ; sup |Ms | s t c) (1.1) s t Nu p > 1, thỡ vi mi t, sup0 s t |Ms | Lp v || sup |Ms |||p q||Mt ||p (1.2) s t ay 1/p + 1/q = nh lý 1.8.6 (nh lý hi t martingale) Cho p [1, ) v M l mt martingale liờn tc phi v Lp -b chn Khi ú cú mt bin ngu nhiờn M Lp cho limt Mt = M hu chc chn Hn na, nu tha mt hai iu kin sau õy (i) p=1 v {Mt , t R+ } l kh tớch u hoc (ii) p>1 thỡ {Mt , Ft , t [0, ]} l mt Lp -martingale ú F = E(|M |p )= limt E(|Mt |p ) tR+ Ft v Chng Tớch phõn ngu nhiờn i vi L2-Martingale Trong chng ny ta s xỏc nh tớch phõn ngu nhiờn dng [0,t] XdM ú M l mt L2 - martingale liờn tc phi a phng , v X l mt quỏ trỡnh tha chc chn tớnh o c v tớnh kh tớch, gi thit rng h tớch phõn ngu nhiờn { [0,t] XdM, t R+ } l mt L2 - martingale liờn tc phi a phng i vi M v X, tớch phõn cú th c xỏc nh qu o theo cỏc qu o.Chng hn , nu M l mt L2 - martingale liờn tc phi a phng m qu o l bin phõn b chn a phng v X l mt quỏ trỡnh thớch nghi liờn tc thỡ [0,t] Xs ()dMs () l xỏc nh tt, nh l tớch phõn Riemann - Stieltjes vi mi t v , bi gii hn n ca [2n t] Xk2n ()(M(k+1)2n () Mk2n ()) k=0 Vớ d tiờu chun ca qu o ny tớch phõn theo qu o ny t c bi Mt = Nt t ú N l mt quỏ trỡnh Poisson vi tham s > Trong trng hp vi bt k quỏ trỡnh thớch nghi liờn tc ca X ta cú t Xs ()dMs () = [0,t] 1{k k=1 t} Xk () Xs ()ds, ú k l thi gian bc nhy k th ca N , v hu chc chn vi mi t c nh Tng trờn bờn phi c xỏc nh bi cỏc s hng khỏc khụng bi hu chc chn ch cú xỏc nh nhng bc nhy ca N [0, t] Tớch phõn ngu nhiờn c xỏc nh s suy din cú hiu lc c M khụng cú qu o m bin phõn b chn a phng ,vớ d in hỡnh l chuyn ng Brown B R Ngay tớch phõn n gin [0,t] BdB khụng th xỏc nh qu o tớch phõn Stieltjes Bi vỡ hu ht qu o ca mt chuyn ng Brown l bin phõn khụng b chn trờn mt khong thi gian Trong thc t tớch phõn ngu nhiờn xut hin õy , bit nh l tớch phõn Ito M l mt chuyn ng Brown, khụng xỏc nh qu o nhng qua mt phộp ng c gia mt khụng gian ca quỏ trỡnh X ú l bỡnh phng kh tớch v quan h ti o cm sinh bi M v mt khụng gian tớch phõn ngu nhiờn bỡnh phng kh tớch XdM Bõy gi ta bt u chng trỡnh trờn s nh ngha ca -trng 2.1 Cỏc hp v quỏ trỡnh d oỏn c H cỏc hp ca R+ ì bao gm tt c cỏc hp cú dng {0} ì F0 v (s, t] ì F , ú F0 F0 v F Fs vi s < t R+ c gi l lp cỏc hỡnh ch nht d oỏn c v ta kớ hiu bi R Vnh Bun A sinh bi R l h cỏc nh nht ca R+ ì bao hm R v nh vy nu A1 A v A2 A thỡ hp A1 A2 v hiu A1 \A2 A Nú cú th tha rng A bao gm hp rng ỉ v tt c hp hu hn cỏc hỡnh ch nht ri R - trng P ca cỏc ca R+ ì sinh bi R c gi l trng d oỏn c v cỏc hp P c gi l cỏc hp d oỏn c Mt hm X : R+ ì R gi l d oỏn c nu X l P - o c.iu ny c kớ hiu bi X P Nu A l mt hp R , thỡ 1A (t, ) l Ft - o c vi mi t Do ú, 1A l mt quỏ trỡnh thớch nghi v cng nh l 1Ac ú Ac kớ hiu l phn bự ca A Nú cng c to thnh bi t hp tuyn tớnh hu hn iu ú thỡ ỳng i vi A sinh bi R v bi mt lp i s n iu,nú ỳng i vi bt k A P T bt k hm P - o c l gii hn theo tng im ca mt t hp tuyn tớnh hu hn ca hm ch tiờu ca cỏc hp P ú nú l mt quỏ trỡnh d oỏn c 2.2 Khong thi gian ngu nhiờn Cho v l thi im dng, hp [, ] = {(t, ) R+ ì : () t ()} c gi l khong thi gian ngu nhiờn, ba khong thi gian ngu nhiờn khỏc (, ],(, ) v [, ) vi im cui bờn trỏi v im cui bờn phi c xỏc nh tng t.S hng khong thi gian ngu nhiờn s hng ti bt k bn loi khong ny õy v l thi im dng bt k 2.3 o trờn cỏc hp d oỏn c Gi s rng Z = {Zt , t R+ } l mt quỏ trỡnh cú giỏ tr thc thớch nghi vi lc (tiờu chun) {Ft , t R+ }, Zt L1 vi mi t R+ Chỳng ta xỏc nh mt hm hp Z trờn R bi Z ((s, t] ì F ) = E(1F (Zt Zs )) vi F Fs v s < t R+ , (2.1) Z ({0} ì F0 ) = vi F0 F0 Ta m rng Z tr thnh mt hm hp cng tớnh hu hn trờn vnh A sinh bi R xỏc nh bi n Z (A) = Z (Rj ) j=1 i vi bt k A = nj=1 Rj , õy {Rj , j n} l mt hp hu hn ca cỏc hp ri R Giỏ tr trờn Z (A) thỡ cng nh i vi mi phộp biu din ca A, ging nh l hp ri ca cỏc hp R Ta gi Z l dung lng nu Z trờn R v ú trờn A 2.4 nh ngha tớch phõn ngu nhiờn u tiờn ta nh ngha tớch phõn ngu nhiờn XdM õy X l mt R-quỏ trỡnh n gin v ch rng ỏnh x X XdM l mt phộp ng c t khụng gian ca L2 vo L2 Phộp ng c ny l kt qu ca s m rng nh ngha ti tt c X L2 Khi X l mt hm ch tiờu ca hỡnh ch nht d oỏn c , tớch phõn XdM thỡ xỏc nh nh sau Vi s < t R+ v F Fs 1(s,t]ìF dM 1F (Mt Ms ) (2.2) 1{0}ìF0 dM (2.3) v F0 F0 10 Cho E biu th lp tt c cỏc hm X : R+ ì R ú l t hp tuyn tớnh hu hn ca cỏc hm ch tiờu ca hỡnh ch nht d oỏn c Mt hm nh vy c gi l mt R quỏ trỡnh n gin Do ú X E cú th biu din di dng sau: n X= cj 1(sj ,tj )ìFj + c0 1{0}ìF0 (2.4) j=1 nh lý 2.4.1 Cho X E ta cú phộp ng c E XdM (X)2 dàM = (2.5) R+ ì B 2.4.2 Tp hp ca R- quỏ trỡnh n gin E l trự mt khụng gian Hillerrt L2 nh lý 2.4.3 Cho X (P, M ) v vi mi t cho Yt = 1[0,t] XdM Thỡ Y = {Yt , t R+ } l mt L2 - martingale trung bỡnh khụng v cú mt bn ca Y vi tt c qu o liờn tc phi nh lý 2.4.4 Cho X (P, M ) v cho Y biu th quỏ trỡnh tớch phõn ngu nhiờn liờn tc phi { [0,t] XdM, t R+ } Thỡ cú cỏc tớnh cht sau õy (i) Vi s < t R+ , v vi bt k bin phõn Z bFs , ta cú hu chc chn ZXdM = Z (s,t] XdM (2.6) (s,t] (ii) o àY liờn kt vi L2 - martingale liờn tc phi Y cú tớnh trự mt (X)2 vi mi quan h ti àM , i vi bt k A P (X)2 dàM àY (A) = (2.7) A (iii) Vi bt k thi im dng b chn , Y = XdM = 1[0, ] XdM [0, ] 11 hu chc chn (2.8) 2.5 M rng phộp ly tớch phõn v hm ly tớch phõn Vỡ xa hn chỳng ta cú xột n tớch phõn ngu nhiờn 1[0,t] XdM õy phộp ly tớch phõn l mt L2 - martingale liờn tc phi v hm ly tớch phõn (P, M ) Khi mt s m rng cui cựng ta s xỏc nh tớch phõn ngu nhiờn i vi phộp ly tớch phõn v hm ly tớch phõn m ch cú tớnh cht ny mt ý ngha a phng Do ú ta s khụng gii thớch lõu hn rng M l mt L2 - martingale liờn tc phi, thay cho phn cũn li ca chng ny Ta gi s rng M l mt L2 - martingale liờn tc phi a phng Nu {k } l mt dóy a phng húa thay cho M ta dựng M k biu th L2 - martingale liờn tc phi {Mtk M0 , t R+ } vi mi k Tip theo ta xỏc nh lp ca hm ly tớch phõn liờn kt vi M nh ngha : Cho (P, M ) biu th lp ca tt c cỏc quỏ trỡnh X m cú mt dóy a phng húa {k } i vi M cho 1[0,k ] X (P, M k ) vi mi k (2.9) Mt dóy nh vy s c gi l mt dóy a phng hoỏ i vi M v X nh lý 2.5.1 Cho M l mt martingale liờn tc a phng X l mt quỏ t trỡnh thớch nghi liờn tc Thỡ X (P, M ) v { XdM, t R+ } l mt martingale liờn tc a phng 12 Chng Cụng thc Ito Mt kt qu quan trng nht lý thuyt tớch nhõn ngu nhiờn l quy tc i vi s bin i ca bin ngu nhiờn bit cụng thc Ito, vỡ Ito l ngi u tiờn chng minh nú i vi trng hp c bit ca phộp ly tớch phõn vi mi quan h ti chuyn ng Brown Dng ct yu ca cụng thc Ito l phỏt biu sau õy Nu M l mt martingale a phng liờn tc v f l mt hm giỏ tr thc kh vi liờn tc hai ln trờn R, thỡ cụng thc Ito i vi f (Mt ) l: t t f (Ms )dMs + f (Mt ) f (M0 ) = f (Ms )d[M ]s (3.1) 0 Ta so sỏnh iu ny vi lý thuyt c bn ca phộp tớnh tớnh toỏn i vi bin ngu nhiờn thc õy cú mt s hng thờm vo c nõng lờn ly tha quỏ trỡnh bin phõn bc hai Khi f (x) x2 , (3.1) c rỳt gn nh ngha quỏ trỡnh bin phõn bc hai 3.1 Quỏ trỡnh bin phõn bc hai v cỏc tớnh cht i vi phn ny ta s ch xột phộp ly tớch phõn M l martingale a phng liờn tc Bi mnh 1.8.14 Trong phn ny, ta gii thiu quỏ trỡnh bin phõn bc hai ngu nhiờn vi mt martingale a phng liờn tc , quỏ trỡnh ny tr nờn cú vai trũ quan trng s phỏt trin ca cụng thc Ito 13 3.1.1 nh ngha v c trng ca bin phõn bc hai nh ngha: i vi t R+ mt s phõn hoch t ca [0, t] l mt hp c sp hu hn t = {t0 , t1 , , tk } ca [0, t] cho = t0 < t1 < < tk = t Ta biu th nh ca t bi t max{|tj+1 tj |, j = 0, 1, , k 1} Nu {tn , n N} l mt dóy ca s phõn hoch ca [0, t] thỡ vi mi n phn t ca tn s biu th bi tjn , j = 0, 1, , k Kt qu chớnh ca phn ny l nh lý sau õy: nh lý 3.1.1 Cho t R+ v {tn , n N} l mt dóy phõn hoch ca [0, t] cho limn tn = Gi s M l mt martingale a phng liờn tc v vi mi n cho Stn = (Mt(j+1)n Mtjn )2 j m l tng trờn tt c cỏc j cho c hai tjn v t(j+1)n l tn Thỡ (i) Nu M l b chn,{Stn , n N} hi t L2 ti: t 2 [M ]t (Mt ) (M0 ) M dM (3.2) (ii) {Stn , n N} hi t theo xỏc sut ti [M ]t 3.1.2 Tớnh cht ca bin phõn bc hai i vi L2-Martingale nh ngha: Mt quỏ trỡnh U = {Ut , t R+ } s c gi l (i) Tng nu U l thớch nghi v i vi hu ht mi , t Ut () l tng R+ (ii) Kh tớch nu Ut L1 vi mi t nh lý 3.1.2 Cho M l mt L2 -martingale liờn tc ú (i) [M ] = {[M ]t , t R+ } l mt quỏ trỡnh tng kh tớnh liờn tc vi [M ]0 = (ii) { t M dM, t R+ } l mt martingale liờn tc vi trung bỡnh khụng (iii) Vi mi t, dóy {Stn , n N} (iv) Dung lng [M ] ca [M ] xỏc nh chng thỡ cho bi [M ] (A) = E 1A d[M ]s Vi mi A A, v hn na [M ] = àM trờn A 14 (3.3) (v) i vi X (P, M ) v mi t t E (Xs )2 d[M ]s = (3.4) R+ ì 3.1.3 1[0,t] (X)2 dàM nh lý gii hn nh lý sau õy s cn thit i vi chng minh cụng thc Ito phn tip theo nh lý 3.1.3 Cho M l mt martingale a phng liờn tc v cho Y l mt quỏ trỡnh tng ng liờn tc b chn Cho t R+ v {tn , n N} l mt dóy ca s phõn hoch ca [0, t] cho limn tn = vi mi n N cho Ytjn (Mt(j+1)n Mtjn )2 Zn = j Trong ú tng trờn tt c j cho tjn v t(j+1)n c hai tn Thỡ t {Zn , n N} hi t theo xỏc sut ti Ys d[M ]s 3.2 Cụng thc Ito mt chiu nh ngha: Mt quỏ trỡnh V gi l bin phõn b chn a phng nu nú thớch ng i vi hu ht mi , hm t Vt () l bin phõn b chn trờn mi khong thi gian b chn R+ , Xột mt cp (M, V ) õy M l mt martingale a phng liờn tc v V l mt quỏ trỡnh liờn tc m l bin phõn b chn a phng Cụng thc Ito i vi cp ụi ny c phỏt biu di õy Khi M v V l cỏc quỏ trỡnh cú giỏ tr thc ,iu ny thng c gi l cụng thc Ito mt chiu nh lý 3.2.1 Cho M l mt martingale a phng liờn tc v V l quỏ trỡnh liờn tc m bin phõn b chn a phng Cho f l hm giỏ tr thc liờn tc 2f f (x, y), xỏc nh trờn R2 cho o hm riờng f x x2 (x, y) v y (x, y) , tn ti v liờn tc i vi tt c (x, y) R2 Thỡ hu chc chn , ta cú vi mi t 15 t f (Ms , Vs )dMs x f (Mt , Vt ) f (M0 , V0 ) = t f (Ms , Vs )dVs y + (3.5) t + 2f (Ms , Vs )d[M ]s x2 cho rừ rng, ta t vo tham s thi gian s tớch phõn ngu nhiờn t f x (Ms , Vs )dMs M tớch phõn ú c xỏc nh ngu nhiờn khụng theo qu o Mt cỏch vit khỏc bng cỏch dựng vi phõn f (Mt , Vt )dMt x 2f f (Mt , Vt )dVt + (Mt , Vt )d[M ]t + y x2 df (Mt , Vt ) = 3.3 3.3.1 (3.6) ng dng ca cụng thc Ito c trng ca chuyn ng Brown nh lý 3.3.1 Mt quỏ trỡnh M l mt chuyn ng Brown R nu v ch nu nú l mt martingale a phng liờn tc vi bin phõn bc hai [M ] cho: [M ]t = t hu chc chn vi mi t 3.3.2 (3.7) Quỏ trỡnh m p dng tip theo ca cụng thc Itụ, ta chng minh rng vi martingale a phng liờn tc M vi quỏ trỡnh bin phõn A, quỏ trỡnh m Z = {exp(Mt 2 At ), t R+ } l mt martingale a phng liờn tc vi mi R Ngc li kt qu ny cng ó chng minh, mc dự cỏc chng minh khụng s dng cụng thc Itụ Hn na, ta cho iu kin di xỏc nh "a phng" cú th b qua 16 nh lý 3.3.2 Cho M v A l mt quỏ trỡnh thớch ng liờn tc cho A l tng v A0 = i vi mi R, cho Z n l quỏ trỡnh xỏc nh bi Zt = exp Mt At ) Khi ú hai khng nh sau õy l tng ng (i) M l martingale a phng v [M ] = A (ii) Vi mi R, Z l martingale a phng Hn na, nu M l mt L2 -martingale vi [M ] = A v cho Z0 L2 v t E (Zs )2 dAs < vi mi t (3.8) Thỡ Z l mt L2 -martingale Ngc li nu hai iu kin sau õy tha (a) Bin ngu nhiờn At b chn vi mi t, (b) Cú > cho E(exp(0 |Mt |)) < vi mi t v Z l mt martingale vi || 12 thỡ M l mt L2 -martingale vi [M ] = A 3.3.3 Mt h Martingale sinh bi M Tip theo ta m rng kt qu ny ti o hm cú cp cao hn iu ny cung cp cho ta vi mt k thut cho cỏc a thc c sinh M v A l martingale Kớ hiu: Vi mi n N0 cho Hn (x, y) biu th hm a thc ca x v y xỏc nh bi dn Hn (x, y) = n exp x y d =0 Thỡ exp x y = n=0 n Hn (x, y) n! vi mi R nh lý 3.3.3 Cho M v A l quỏ trỡnh thớch nghi liờn tc cho A tng v A0 = Gi s iu kin (a) v (b) ca nh lý 3.3.2 l tha Thỡ vi mi n N0 , Hn (M, A), l mt martingale Túm li ta ó ch rng i vi bt k quỏ trỡnh d oỏn c b chn t1 X m M = { Xs dBs , t R+ },Z = exp(M 12 [M ]) , v Hn (M, [M ]) l 17 L2 -martingale liờn tc vi mi R v n N0 Mt ng dng ca nhng kt qu ny, ta a mt vớ d cho n = lm th no ngi ta cú th cú c gii hn ca M bng cỏch s dng thc t l Hn (M, [M ]) l mt martingale Vi n = ta cú: H4 (Mt , [M ]t ) = (Mt )4 6(Mt )2 [M ]t + 3([M ]t )2 V bng cỏch ly k vng ta c = E{(Mt )4 6E{(Mt )2 [M ]t } + 3E{([M ]t )2 } Vỡ vy E{(Mt )4 } 6E{(Mt )2 [M ]t } E{(Mt )4 }E{([M ]t )2 } õy ta s dng bt ng thc Cauchy - Schwarz c bt ng thc th hai bng cỏch chia c hai v cho E{(Mt )4 } (khi nú khỏc khụng), ta c E{(Mt )4 } 36E{([M ]t )2 } Do ú E t Xs dBs t 36E (Xs ) ds 18 36C t2 (3.9) KT LUN Tớch phõn ngu nhiờn i vi Martingale l mt ti rt rng v khú, nhiờn khuụn kh ca mt lun Thc s chỳng tụi ch trỡnh by c mt s kt qu quan trng ca tớch phõn ngu nhiờn i vi Martingale ú l cỏc hp v quỏ trỡnh d oỏn c, khong thi gian ngu nhiờn, o trờn cỏc hp d oỏn c, martingale liờn tc, martingale liờn tc phi, v t ú xõy dng tớch phõn ngu nhiờn trờn c s ú c bit nghiờn cu tớch phõn ngõu nhiờn trờn L2 - martingale liờn tc phi v liờn tc phi a phng T ú cú th m rng c phộp ly tớch phõn v hm ly tớch phõn cn nhng gỡ Bờn cnh ú lun cũn trỡnh by c im v nờu c cỏc tớnh cht ca bin phõn bc hai Ngoi lun cũn trỡnh by cụng thc Ito mt chiu, v ng dng ca cụng thc Ito c bit na l phộp ly tớch phõn vi mi quan h ti chuyn ng Brown, v quỏ trỡnh m Tuy nhiờn i vi Martingale khụng liờn tc v Lp - martingale liờn tc vi p > thỡ tỡm iu kin , cỏch chng minh , v xõy dng tớch phõn ngu nhiờn i vi chỳng khú khn v phc hn Vi phm vi v thi gian cho phộp tỏc gi khụng i sõu vo ny v õy cng l hng chỳng tụi mun nghiờn cu tip 19 Ti liu tham kho [1] ng Hựng Thng, Quỏ trỡnh ngu nhiờn v tớnh toỏn ngu nhiờn , NXB - i hc Quc gia H Ni ,2006 [2] Billinglsley,P.,Convergence Sons,New York,1968 of Probability Measures,John Wiley and [3] Chung,K.L.,A Course in Probability Theory,2nd ed., New York,1974 [4] Chung,K.L.and Li P,.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion,Springer-Verlag,New York,1982 [5] Chung,K.L.,and Li,P.," Comparison of probability and eigen-value methods for the Schră odinger equation ,to appear in Advances in Applied Mathematics [6] Coddington,E,A,An Introduction to Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall,New Jersey,1961 [7] Dellacherie,C.,and Meyer,P.A., Probabilities and potentiel,,Vol I, NorthHolland,Amsterdam,1978 [8] K.L.Chung.,and R.J.Williams., introduction to stochastic integration, Birkhă auser Boston Basel Stuttgart,1983 [9] Musiela, M and Rutkowski, M (2005).Martingale Methods in Financial Modelling Springer, 2nd edition [10] Rogers, L C G and Williams, D (2000) Diffusions, Markov Processes and Martingales: Volume Two: Ito Calculus Cambridge University Press, 2nd edition 20