Lý thuyết hàm biến đổi chậm
Hàm ngược của hàm biến đổi chậm
1.2.1 Phép biến đổi Laplace-Stieltjes 1.2.2 Chuỗi luỹ thừa
1.2.3 Chuỗi Fourier 1.2.4 Phép biến đổi Fourier
Chương 2 Ứng dụng hàm biến đổi chậm
2.1 Biến ngẫu nhiên với đuôi biến đổi chậm
2.2 Ứng dụng trong lí thuyết rủi ro
2.3 Hội tụ theo xác suất với ước lượng mô hình hồi quy phi tham số với sai số ngẫu nhiên độc lập đôi một và co xác suất đuôi nặng
CHƯƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM
1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm
1.1.1 Định lí biểu diễn của hàm biến đổi chậm Định nghĩa 1.1.1 Hàm số đo được f(x)xác định trên khoảng mởI của(0;+∞)được gọi là hàm biến phân chính quy ở vô cùng cấpα, kí hiệu f ∈RV ∞ (α), nếu tồn tai giới hạn t→∞lim f(tx) f(x) =x α , ∀x∈(0;+∞) (1.1)
Nếuα =0, tức là t→∞lim f(tx) f(x) =1, ∀x∈(0;+∞), (1.2) thì hàm f được gọi là biến phân chậm tại +∞ hay còn được gọi là hàm biến đổi chậm, ký hiệu f ∈RV ∞ (0)hoặc f ∈SV ∞
Mệnh đề 1.1.1 Cho α 6=0 và f ∈RV ∞ (α) Khi đó tồn tại một hàm biến đổi chậm
Định lý 1.1.2 khẳng định rằng, với hàm biến đổi chậm xác định trên khoảng (0; +∞), tồn tại x₀ và hai hàm số c(x) và η(x) xác định trên [x₀; ∞) sao cho khi x tiến tới vô cùng, giới hạn của c(x) tiến tới c* trong khoảng (0; ∞) và giới hạn của η(x) tiến tới 0 Hơn nữa, đối với mọi x lớn hơn hoặc bằng x₀, các điều kiện này đều được thỏa mãn.
Hàm sốcvàη có thể được theo cách trên sao cho η có đạo hàm mọi cấp.
Hệ quả 1.1.3 Hàm f khả vi liên tục thì biến phân chính quy tại∞ với hệ sốα ∈R khi và chỉ khi x→∞lim x.` 0 (x)
1.1.2 Giới hạn của hàm biến đổi chậm
Mệnh đề 1.1.4 Cho`∈SV ∞ , khi đó với mọiε >0thì x→∞limx ε `(x) =∞, x→∞limx −ε `(x) =0, x→∞lim log`(x) log(x) =0.
Bổ đề 1.1.5 Cho f được xác định trên[a;∞)sao cho tồn tại lim x→∞f(x) vàg là hàm không giảm với
Giới hạn này được gọi là giới hạn Potter. Định lí 1.1.6 (Bất đẳng thức Potter)
Cho f ∈RV ∞ (α), với mọiε>0vàC>1thì tồn tạix 0 sao cho với mọiy≥x≥x 0 ,
Chứng minh Theo Định lí 1.1.2 thì hàm f có thể được biểu diễn thành f(x) =x α c(x)`(x), với
Với mọiε>0, vớix 0 sao cho|c(x)−c| ≤cε và|η(x)| ≤ε khix≥x 0 Do đó, nếu y≥x≥x 0 thì chúng ta có f(y) f(x) = c(y) c(x) y x α e
. và chúng ta lại có f(y) f(x)= c(y) c(x) y x α e
1−ε >1thì chúng ta có điều cần chứng minh.
1.1.3 Tích phân của hàm biến đổi chậm Định nghĩa 1.1.2 Giả sử f vàg là hai đại lượng vô cùng bé khix→∞, khi đó, xét giới hạn x→∞lim f(x) g(x) =k.
(i) Nếu k=1 thì chúng ta nói f và g là hai vô cùng bé tương đương Kí hiệu là f ∼g.
(ii) Nếuk=0thì f là vô cùng bé bậc lớn hơng Kí hiệu là f =O(g).
(iii) Nếuk=±∞thì f là vô cùng bé bậc nhỏ hơng Kí hiệu là f =o(g). Định lí 1.1.7 Cho`∈SV ∞ vàβ >0thì x→∞lim
Z x a t −1 `(t)dt cũng là hàm biến đổi chậm tại vô cùng và x→∞lim
Chứng minh Theo Định lí 1.1.2 vì`là hàm biến đổi chậm nên tồn tại hàmcvàη sao cho
Với mọi ε >0,b sao cho |η(x)| ≤ ε và 1−ε ≤ c(x) c ∗ ≤1+ε khi x≥b Khi đó với t ≥x≥bchúng ta có
Theo Mệnh đề 1.1.4 vớiβ >0 lim x→∞x β `(x) =∞ Do đó 1 x β `(x)
Vớiε đủ nhỏ thì chúng ta có các bất đẳng thức sau
1+ε. Cuối cùng, với mọiε >0đủ nhỏ, chúng ta có lim inf x→∞
Từ đây chúng ta chứng minh được x→∞lim
`(t)t β−1 dt = 1 β. Tương tự chứng minh trên chúng ta có được x→∞lim
Vậy đẳng thức (1.3) được chứng minh Tiếp theo chúng ta chứng minh giới hạn (1.4).
Với mọi ε>0, vớixthoả mãn a x ≤ε thì đặts= t x, khi đó chúng ta có
Hàm số hội tụ đều đến ∞ khi ε → 0+, xác nhận giới hạn (1.4) đã được chứng minh Đặt L(t) = ∫_a^b x`(t)t^(-1) dt, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm L(t) là hàm biến đổi chậm khi t tiến đến vô cùng Với t > 0, điều này sẽ được làm rõ hơn trong phần tiếp theo.
1`(sx)s −1 ds L(x) Trong quá trình hội tụ đều, chúng ta có
`(sx)s −1 ds∼`(x)logt, tức là
L(x) →1 VậyL(t)là hàm biến đổi chậm. Định lí 1.1.8 Nếu f ∈RV ∞ (α) và f bị chặn địa phương trên[x 0 ;∞)thì với mọiβ sao choα+β >0, chúng ta được
∼x δ f(x)− δ α+δx δ f(x) = α α+δx δ f(x). Định lí 1.1.9 Cho f là hàm số dương và khả tích địa phương trên các khoảng của
R x x 0 t σ f(t)dt =σ+ρ+1, thì f là hàm phân chính quy tại vô cùng với hệ sốρ.
R x x 0 t σ f(t)dt =−(σ+ρ+1), thì f là hàm phân chính quy tại vô cùng với hệ sốρ.
Chứng minh Chúng ta sẽ đi chứng minh trường hợp(i)
R x x 0 t σ f(t)dt vàx 1 >x 0 Khi đó, vớix>x 1 và
Từ lim x→∞g(x)−σ−1=ρchúng ta chứng minh được f là hàm biến phân chính quy với hệ sốρ.
Trường hợp(ii)chứng minh hoàn toàn tương tự.
1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm Định lí 1.1.10 Cho F∈RV ∞ (α)và f khả tích đia phương trên[1;∞)sao cho
Nếu f đơn diệu thì x→∞lim x f(x)
Hơn nữa nếuα 6=0thì f ∈RV ∞ (α−1).
Chứng minh Rõ ràng khiF ∈RV ∞ (α)vớiα 6=0thì f ∈RV ∞ (α−1) Do đó để chứng minh định lí trên chúng ta chỉ cần chứng minh giới hạn (1.5).
Giả sử f là hàm không giảm, khi đó với a0, f ∈RV ∞ (α)đơn điệu Khi đó, tồn tại hàmg∈RV ∞
Hơn nữagcó thể được chọn như là nghịch đảo liên tục trái hay liên tục phải của f.
Chứng minh Theo Định lí 1.1.2 và Hệ quả 1.1.3 thì hàm f liên tục thì tương đương với hàmhkhả vi liên tục sao cho x→∞lim xh 0 (x) h(x) =α.
Do đóh 0 dương và khả nghịch trên[x 0 ;∞).
Lấyglà hàm ngược củahvày 0 =h(x 0 ) Khi đó, với mọix≥x 0 thì g◦h(x) =x, và với mọiy≥y 0 thì h◦g(y) =y.
Hơn nữa,glà hàm biến phân chậm với chỉ số 1 α khi yg 0 (y) g(y) = h(g(y)) g(y)h 0 (g(y)) → 1 α.
Vì f ∼gnên f ◦g(y)∼y Ngược lại, khi f ∼hvàglà hàm phân chính quy thì g◦f(x) = g(h(x))f(x) h(x) ∼g(h(x)).
Để chứng minh rằng hàm f thỏa mãn điều kiện (1.6), chúng ta giả sử rằng f là một hàm liên tục phải, vì nó tương đương với nghịch đảo liên tục bên phải của nó Nghịch đảo liên tục bên trái của f được xác định bởi f ← (y) = inf{x | f(x) ≥ y} Từ đó, ta có bất đẳng thức y ≤ f ◦ f ← (y) ≤ y + ∆f(f ← (y)), trong đó ∆f(x) là bước nhảy của hàm f tại điểm x.
1−∆◦ f ← (y) f ◦f ← (y) ≤ y f ◦f ← (y)≤1, khi đó do y f ◦f ← (y) tiến đến1nên f ◦f ← (y)∼y Vậy f ← ∼g.
Hệ quả 1.1.12(Liên hợp De Bruyn) Cho`∈SV ∞ , khi đó tồn tại hàm biến đổi chậm
Ví dụ 1.1.3 Cho a,b∈R với ab>0, xét f(x) =x ab ` a x b
Khi đó nếu f đơn điệu vàglà nghịch đảo liên tục phải hoặc trái của f thì g(x)∼x ab 1 ` # 1 b x 1 a .
Định lí Tauberian
Phép biến đổi Laplace - Stieltjes
1.2.3 Chuỗi Fourier 1.2.4 Phép biến đổi Fourier
Chương 2 Ứng dụng hàm biến đổi chậm
2.1 Biến ngẫu nhiên với đuôi biến đổi chậm
2.2 Ứng dụng trong lí thuyết rủi ro
2.3 Hội tụ theo xác suất với ước lượng mô hình hồi quy phi tham số với sai số ngẫu nhiên độc lập đôi một và co xác suất đuôi nặng
Chuỗi Fourier
Chương 2 Ứng dụng hàm biến đổi chậm
2.1 Biến ngẫu nhiên với đuôi biến đổi chậm
2.2 Ứng dụng trong lí thuyết rủi ro
2.3 Hội tụ theo xác suất với ước lượng mô hình hồi quy phi tham số với sai số ngẫu nhiên độc lập đôi một và co xác suất đuôi nặng
CHƯƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM
1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm
1.1.1 Định lí biểu diễn của hàm biến đổi chậm Định nghĩa 1.1.1 Hàm số đo được f(x)xác định trên khoảng mởI của(0;+∞)được gọi là hàm biến phân chính quy ở vô cùng cấpα, kí hiệu f ∈RV ∞ (α), nếu tồn tai giới hạn t→∞lim f(tx) f(x) =x α , ∀x∈(0;+∞) (1.1)
Nếuα =0, tức là t→∞lim f(tx) f(x) =1, ∀x∈(0;+∞), (1.2) thì hàm f được gọi là biến phân chậm tại +∞ hay còn được gọi là hàm biến đổi chậm, ký hiệu f ∈RV ∞ (0)hoặc f ∈SV ∞
Mệnh đề 1.1.1 Cho α 6=0 và f ∈RV ∞ (α) Khi đó tồn tại một hàm biến đổi chậm
Định lý 1.1.2 nêu rằng, với hàm biến đổi chậm xác định trên khoảng (0;+∞), tồn tại giá trị x₀ và hai hàm số c(x) và η(x) xác định trên [x₀;∞) sao cho khi x tiến đến vô cùng, giới hạn của c(x) tiến đến c* ∈ (0;∞) và giới hạn của η(x) tiến đến 0 Đối với mọi x ≥ x₀, các điều kiện này được thỏa mãn.
Hàm sốcvàη có thể được theo cách trên sao cho η có đạo hàm mọi cấp.
Hệ quả 1.1.3 Hàm f khả vi liên tục thì biến phân chính quy tại∞ với hệ sốα ∈R khi và chỉ khi x→∞lim x.` 0 (x)
1.1.2 Giới hạn của hàm biến đổi chậm
Mệnh đề 1.1.4 Cho`∈SV ∞ , khi đó với mọiε >0thì x→∞limx ε `(x) =∞, x→∞limx −ε `(x) =0, x→∞lim log`(x) log(x) =0.
Bổ đề 1.1.5 Cho f được xác định trên[a;∞)sao cho tồn tại lim x→∞f(x) vàg là hàm không giảm với
Giới hạn này được gọi là giới hạn Potter. Định lí 1.1.6 (Bất đẳng thức Potter)
Cho f ∈RV ∞ (α), với mọiε>0vàC>1thì tồn tạix 0 sao cho với mọiy≥x≥x 0 ,
Chứng minh Theo Định lí 1.1.2 thì hàm f có thể được biểu diễn thành f(x) =x α c(x)`(x), với
Với mọiε>0, vớix 0 sao cho|c(x)−c| ≤cε và|η(x)| ≤ε khix≥x 0 Do đó, nếu y≥x≥x 0 thì chúng ta có f(y) f(x) = c(y) c(x) y x α e
. và chúng ta lại có f(y) f(x)= c(y) c(x) y x α e
1−ε >1thì chúng ta có điều cần chứng minh.
1.1.3 Tích phân của hàm biến đổi chậm Định nghĩa 1.1.2 Giả sử f vàg là hai đại lượng vô cùng bé khix→∞, khi đó, xét giới hạn x→∞lim f(x) g(x) =k.
(i) Nếu k=1 thì chúng ta nói f và g là hai vô cùng bé tương đương Kí hiệu là f ∼g.
(ii) Nếuk=0thì f là vô cùng bé bậc lớn hơng Kí hiệu là f =O(g).
(iii) Nếuk=±∞thì f là vô cùng bé bậc nhỏ hơng Kí hiệu là f =o(g). Định lí 1.1.7 Cho`∈SV ∞ vàβ >0thì x→∞lim
Z x a t −1 `(t)dt cũng là hàm biến đổi chậm tại vô cùng và x→∞lim
Chứng minh Theo Định lí 1.1.2 vì`là hàm biến đổi chậm nên tồn tại hàmcvàη sao cho
Với mọi ε >0,b sao cho |η(x)| ≤ ε và 1−ε ≤ c(x) c ∗ ≤1+ε khi x≥b Khi đó với t ≥x≥bchúng ta có
Theo Mệnh đề 1.1.4 vớiβ >0 lim x→∞x β `(x) =∞ Do đó 1 x β `(x)
Vớiε đủ nhỏ thì chúng ta có các bất đẳng thức sau
1+ε. Cuối cùng, với mọiε >0đủ nhỏ, chúng ta có lim inf x→∞
Từ đây chúng ta chứng minh được x→∞lim
`(t)t β−1 dt = 1 β. Tương tự chứng minh trên chúng ta có được x→∞lim
Vậy đẳng thức (1.3) được chứng minh Tiếp theo chúng ta chứng minh giới hạn (1.4).
Với mọi ε>0, vớixthoả mãn a x ≤ε thì đặts= t x, khi đó chúng ta có
Hàm số trên hội tụ đều về ∞ khi ε → 0+ Do đó, giới hạn (1.4) đã được chứng minh Ta định nghĩa L(t) = ∫_a^b x `(t)t −1 dt và sẽ chứng minh rằng hàm L(t) là hàm biến đổi chậm khi t tiến đến vô cùng Với t > 0, chúng ta sẽ tiếp tục phân tích.
1`(sx)s −1 ds L(x) Trong quá trình hội tụ đều, chúng ta có
`(sx)s −1 ds∼`(x)logt, tức là
L(x) →1 VậyL(t)là hàm biến đổi chậm. Định lí 1.1.8 Nếu f ∈RV ∞ (α) và f bị chặn địa phương trên[x 0 ;∞)thì với mọiβ sao choα+β >0, chúng ta được
∼x δ f(x)− δ α+δx δ f(x) = α α+δx δ f(x). Định lí 1.1.9 Cho f là hàm số dương và khả tích địa phương trên các khoảng của
R x x 0 t σ f(t)dt =σ+ρ+1, thì f là hàm phân chính quy tại vô cùng với hệ sốρ.
R x x 0 t σ f(t)dt =−(σ+ρ+1), thì f là hàm phân chính quy tại vô cùng với hệ sốρ.
Chứng minh Chúng ta sẽ đi chứng minh trường hợp(i)
R x x 0 t σ f(t)dt vàx 1 >x 0 Khi đó, vớix>x 1 và
Từ lim x→∞g(x)−σ−1=ρchúng ta chứng minh được f là hàm biến phân chính quy với hệ sốρ.
Trường hợp(ii)chứng minh hoàn toàn tương tự.
1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm Định lí 1.1.10 Cho F∈RV ∞ (α)và f khả tích đia phương trên[1;∞)sao cho
Nếu f đơn diệu thì x→∞lim x f(x)
Hơn nữa nếuα 6=0thì f ∈RV ∞ (α−1).
Chứng minh Rõ ràng khiF ∈RV ∞ (α)vớiα 6=0thì f ∈RV ∞ (α−1) Do đó để chứng minh định lí trên chúng ta chỉ cần chứng minh giới hạn (1.5).
Giả sử f là hàm không giảm, khi đó với a0, f ∈RV ∞ (α)đơn điệu Khi đó, tồn tại hàmg∈RV ∞
Hơn nữagcó thể được chọn như là nghịch đảo liên tục trái hay liên tục phải của f.
Chứng minh Theo Định lí 1.1.2 và Hệ quả 1.1.3 thì hàm f liên tục thì tương đương với hàmhkhả vi liên tục sao cho x→∞lim xh 0 (x) h(x) =α.
Do đóh 0 dương và khả nghịch trên[x 0 ;∞).
Lấyglà hàm ngược củahvày 0 =h(x 0 ) Khi đó, với mọix≥x 0 thì g◦h(x) =x, và với mọiy≥y 0 thì h◦g(y) =y.
Hơn nữa,glà hàm biến phân chậm với chỉ số 1 α khi yg 0 (y) g(y) = h(g(y)) g(y)h 0 (g(y)) → 1 α.
Vì f ∼gnên f ◦g(y)∼y Ngược lại, khi f ∼hvàglà hàm phân chính quy thì g◦f(x) = g(h(x))f(x) h(x) ∼g(h(x)).
Để chứng minh rằng hàm f thỏa mãn điều kiện (1.6), ta giả sử f là một hàm liên tục phải, vì f tương đương với nghịch đảo liên tục bên phải của nó Nghịch đảo liên tục bên trái của f được xác định bởi f ← (y) = inf{x | f(x) ≥ y} Do đó, ta có y ≤ f ◦ f ← (y) ≤ y + ∆f(f ← (y)), trong đó ∆f(x) là bước nhảy của f tại x.
1−∆◦ f ← (y) f ◦f ← (y) ≤ y f ◦f ← (y)≤1, khi đó do y f ◦f ← (y) tiến đến1nên f ◦f ← (y)∼y Vậy f ← ∼g.
Hệ quả 1.1.12(Liên hợp De Bruyn) Cho`∈SV ∞ , khi đó tồn tại hàm biến đổi chậm
Ví dụ 1.1.3 Cho a,b∈R với ab>0, xét f(x) =x ab ` a x b
Khi đó nếu f đơn điệu vàglà nghịch đảo liên tục phải hoặc trái của f thì g(x)∼x ab 1 ` # 1 b x 1 a
1.2.1 Phép biến đổi Laplace - Stieltjes
Với mọi hàm f bị chặn trênR+, đặt
Phép biến đổi Laplace - Stieltjes của hàm f được định nghĩa qua công thức 0 e −s df(s) Định lý 1.2.1 chỉ ra rằng nếu hàm f liên tục, phải và không giảm trên R+ với điều kiện LF(s) < ∞ khi s > 0, thì f thuộc RV ∞ (α) với α ≥ 0 nếu và chỉ nếu Lf thuộc RV 0 (−α) Khi đó, giới hạn x→∞lim sẽ được xác định.
0 se −st f(tx) f(x)dt. Nếu f ∈RV ∞ (α),thì khix→∞tích phân trên hội tụ đếnse −st t α và s
Do đó để chứng minh định lí chúng ta cần một hàm hội tụ bị chặn.
Vì f không giảm, nên nếut ≤1thì f(tx) f(x) ≤1.
Còn nếut >1, theo Định lí 1.1.7 vớixđủ lớn thì f(tx) f(x) ≤2t α+1
Do đó, với mọit >0vàxđủ lớn thì chúng ta có f(tx) f(x) ≤2(t∨1) α+1
0 e −st (t∨1) α+1 dt 0, áp dụng định lí hội tụ bị chặn thì giới hạn (1.7) đúng Từ đó chúng ta suy ra được
Ngược lại, nếuL f ∈RV 0 (−α)thì x→∞lim
1 x là một biến đổi Laplasce của hàm không giảmgx được định nghĩa bởi gx(y) = f(xy)
Do đó,Lgx hội tụ đếnLgkhix→∞vàgx hội tụ đếngbởi định lí liên tục của biến đổi Laplace.
Hệ quả 1.2.2 Choα ∈(0; 1)vàF là một hàm đồng biến trên[0;∞)sao choF(0) =0 và lim x→+∞F(x) =1 Khi đó1−F ∈RV ∞ (−α)khi và chỉ khi
F(t)¯ dt. Chúng ta có biến đổi tích phân như sau1−LF(t) =tLU(t).
Do đó, theo Định lí 1.2.1 thì1−LF ∈RV 0 (α)khi và chỉ khiU ∈RV ∞ (1−α). Cuối cùng theo định lí hàm mật độ đơn diệu thì điều trên tương đương với
1.2.2 Chuỗi luỹ thừa Định lí 1.2.3 Cho{q n }là một dãy số thực không âm và giả sử chuỗi hàm
∑ j=0 qjz j , hội tụ với mọiz∈[0; 1).
Cho α ≥0 và hàm ` là hàm biến đổi chậm tại vô cùng, khi đó các mệnh đề sau tương đương vơi nhau
Hơn nữa, nếu dãyqj là dãy đơn điệu vàα >0thì hai mệnh đề trên còn tương đương với qn∼ 1 Γ(α)n α−1 `(n) (1.10)
Chứng minh ĐặtU(x) =∑ x 0 qj Khi đó
Do đó, Mệnh đề 1.8 tương đương với
Do hội tụ đều nênu(n)∼U(x)với mọix∈[n;n+1], tức là Mệnh đề 1.8 tương đương với Mệnh đề 1.9.
Cuối cùng nếu qj là dãy không giảm, đặt u(x) =q [x] , khi đó u là hàm không giảm, u(x)∼u(n)với mọix∈[n;n+1]và
Do đó Mệnh đề 1.10 tương đương với Mệnh đề 1.8 và 1.9 với định lí hàm phân phối đơn điệu.
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu khai triển chuỗi Fourier tại 0của các chuỗi hàm lượng giác với các hệ số phân chính quy
∑ j=1 cje i jx , vớicj= j −α `(j),α >0và`là hàm biến đổi chậm.
Trong phần này, chúng ta tập trung vào trường hợp 0 < α < 1 và `≡ 1, áp dụng cho quá trình lấy tổng Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ xem xét hàm biến đổi chậm chấp nhận được Theo định nghĩa 1.2.1, một hàm f được gọi là tựa đơn điệu nếu f ∈ BV loc ([0,∞)) và với mọi δ > 0.
Một hàm f được gọi là gần đơn điệu nếu với mọi δ >0,
(i) Một hàm đơn điệu cũng là một hàm gần đơn điệu.
(ii) Một hàm đơn điệu biến đổi chậm cũng là hàm gần đơn điệu.
(iii) Một hàm biến đổi chậm được chuẩn hoá cũng là một hàm tựa đơn điệu.
Ví dụ 1.2.2 Cho α >0và f ∈RV ∞ (−α)là hàm không tăng. Đặt`(x) =x α f(x)thì`là một hàm biến đổi chậm và gần đơn điệu.
Thêm vào đó d`(t) =αx α−1 `(t)dt+x α df(t)và với mọiδ >0,
Rõ ràng hai tích phân ở vế phải bất đẳng thức đều tương với α α+δx δ f(x), tức thoả mãn đẳng thức (1.12).
Bổ đề 1.2.4 Cho`là hàm tựa đơn điệu vàα >0 Khi đó
Chứng minh Do`bị chặn và là hàm tựa đơn điệu nên chúng ta có
Z ∞ n t −α |d`(t)|, và bây giờ chứng minh tích phân trên làO(n −α `(n)).
Với η >0, đặt u(t) Z t 0 s η |d`(s)| Theo giả thiết, u(t) =O(t η `(t)), biểu thức tích phân được biến đổi như sau
Từ đây chúng ta thấy tích phân này bị chặn.
Chứng minh Trước tiên chúng ta sẽ đi chứng minh các chuỗi này hội tụ hay các chuỗi này bị chặn Với mọix∈(0;π], n
Từ bất đẳng thức (1.15) m+n j=n ∑ j −α sin(jx)
Do đó chuỗi này hội tụ Khim→∞, với bất kìα ∈(0;π],
Chocj là các hệ số củasintrong khai triển Fourier của hàm f lẻ xác định trên[−π;π] được cho bởi f(x) =x α −1 nếux>0. c j =2
Hơn nữa, hàm f có đạo hàm với mọi x∈(0;π), chuỗi Fuorier hội tụ và có tổng đến πf
∑ j=1 c j sin(jx) =πx α −1 Để chứng minh (1.13), chúng ta cần chứng minh
(jπ+x) α−1 sinxdx Khi đó rj là một dãy số dương tăng. Đặtak Z π
(a 2k −2a 2k+1 −a 2k+2 )≥0, và hàm sốx7→x α −1 là hàm lồi nên dãy j −α rj cũng giảm.
2, do đó ta có (1.15) và tổng sau m+n
Vậy chuỗi hàm trong (1.18) bị chặn trong lân cận tại 0 tức (1.18) đã được chứng minh.
Nhận xét 1.2.3 Với α =1vàx∈(0;π]thì
Hơn nữa, phần tổng của chuỗi hàmsinbị chặn đều sup k≥1 sup x∈[0,π] k
0thì hai mệnh đề trên còn tương đương với qn∼ 1 Γ(α)n α−1 `(n) (1.10)
Chứng minh ĐặtU(x) =∑ x 0 qj Khi đó
Do đó, Mệnh đề 1.8 tương đương với
Do hội tụ đều nênu(n)∼U(x)với mọix∈[n;n+1], tức là Mệnh đề 1.8 tương đương với Mệnh đề 1.9.
Cuối cùng nếu qj là dãy không giảm, đặt u(x) =q [x] , khi đó u là hàm không giảm, u(x)∼u(n)với mọix∈[n;n+1]và
Do đó Mệnh đề 1.10 tương đương với Mệnh đề 1.8 và 1.9 với định lí hàm phân phối đơn điệu.
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu khai triển chuỗi Fourier tại 0của các chuỗi hàm lượng giác với các hệ số phân chính quy
∑ j=1 cje i jx , vớicj= j −α `(j),α >0và`là hàm biến đổi chậm.
Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào trường hợp 0 < α < 1 và ` ≡ 1, áp dụng cho quá trình lấy tổng Để thực hiện điều này, chúng ta cần thu hẹp vào hàm biến đổi chậm chấp nhận được Theo định nghĩa 1.2.1, một hàm f được gọi là tựa đơn điệu nếu f thuộc BV loc ([0,∞)) và với mọi δ > 0.
Một hàm f được gọi là gần đơn điệu nếu với mọi δ >0,
(i) Một hàm đơn điệu cũng là một hàm gần đơn điệu.
(ii) Một hàm đơn điệu biến đổi chậm cũng là hàm gần đơn điệu.
(iii) Một hàm biến đổi chậm được chuẩn hoá cũng là một hàm tựa đơn điệu.
Ví dụ 1.2.2 Cho α >0và f ∈RV ∞ (−α)là hàm không tăng. Đặt`(x) =x α f(x)thì`là một hàm biến đổi chậm và gần đơn điệu.
Thêm vào đó d`(t) =αx α−1 `(t)dt+x α df(t)và với mọiδ >0,
Rõ ràng hai tích phân ở vế phải bất đẳng thức đều tương với α α+δx δ f(x), tức thoả mãn đẳng thức (1.12).
Bổ đề 1.2.4 Cho`là hàm tựa đơn điệu vàα >0 Khi đó
Chứng minh Do`bị chặn và là hàm tựa đơn điệu nên chúng ta có
Z ∞ n t −α |d`(t)|, và bây giờ chứng minh tích phân trên làO(n −α `(n)).
Với η >0, đặt u(t) Z t 0 s η |d`(s)| Theo giả thiết, u(t) =O(t η `(t)), biểu thức tích phân được biến đổi như sau
Từ đây chúng ta thấy tích phân này bị chặn.
Chứng minh Trước tiên chúng ta sẽ đi chứng minh các chuỗi này hội tụ hay các chuỗi này bị chặn Với mọix∈(0;π], n
Từ bất đẳng thức (1.15) m+n j=n ∑ j −α sin(jx)
Do đó chuỗi này hội tụ Khim→∞, với bất kìα ∈(0;π],
Chocj là các hệ số củasintrong khai triển Fourier của hàm f lẻ xác định trên[−π;π] được cho bởi f(x) =x α −1 nếux>0. c j =2
Hơn nữa, hàm f có đạo hàm với mọi x∈(0;π), chuỗi Fuorier hội tụ và có tổng đến πf
∑ j=1 c j sin(jx) =πx α −1 Để chứng minh (1.13), chúng ta cần chứng minh
(jπ+x) α−1 sinxdx Khi đó rj là một dãy số dương tăng. Đặtak Z π
(a 2k −2a 2k+1 −a 2k+2 )≥0, và hàm sốx7→x α −1 là hàm lồi nên dãy j −α rj cũng giảm.
2, do đó ta có (1.15) và tổng sau m+n
Vậy chuỗi hàm trong (1.18) bị chặn trong lân cận tại 0 tức (1.18) đã được chứng minh.
Nhận xét 1.2.3 Với α =1vàx∈(0;π]thì
Hơn nữa, phần tổng của chuỗi hàmsinbị chặn đều sup k≥1 sup x∈[0,π] k
0sao cho f x 0
Nếu chúng ta chọna∈(0;δ)thì chúng ta được
|W ni (x)kf(x ni )−f(x)|I(kx ni −xk ≤a) + n
Wmi(x)kf(x ni )−f(x)|I(kx ni −xk>a) +| n
|W mi (x)kf(x mi )− f(x)|I(kx ni −xk>a) + n
|f(x)| →0khin→∞. sau đó choε →0(do (A1) và (A3)).
Vậy chúng ta chứng minh được
2.3.3 Ví dụ và mô phỏng số
Cho ξ₁ và ξ₂ là hai biến ngẫu nhiên phức độc lập, phân bố đều trên đường tròn đơn vị T={z=a+bi:|z|=1} Hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn tắc được ký hiệu là Φ(x) Với n ≥ 1, ta xem xét en = Φ⁻¹(1).
Theo Janson [9] thì{e n ;n≥1}là dãy biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tắc đôi một độc lập Cho1
