Hàm biến đổi chậm và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRẦN QUYỀN HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRẦN QUYỀN HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng - 2021 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mở đầu Chương Một số tính chất hàm biến đổi chậm 1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm 1.1.1 Định lí biểu diễn hàm biến đổi chậm 1.1.2 Giới hạn hàm biến đổi chậm 1.1.3 Tích phân hàm biến đổi chậm 1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm 1.1.5 Hàm ngược hàm biến đổi chậm 1.2 Định lí Tauberian 1.2.1 Phép biến đổi Laplace - Stieltjes 1.2.2 Chuỗi luỹ thừa 1.2.3 Chuỗi Fourier 1.2.4 Phép biến dổi fourier 1.2.5 Biến đổi Fourier - Stieltjes Chương Ứng dụng hàm biến đổi chậm 2.1 Biến ngẫu nhiên với đuôi biến đổi chậm 2.1.1 Hàm momen điểm vi phân 2.1.2 Tổng hữu hạn 2.1.3 Tổng có trọng số 2.1.4 Tổng ngẫu nhiên 2.1.5 Tích hai biến ngẫu nhiên 2.2 Ứng dụng lí thuyết rủi ro 2.3 Ước lượng mô hình hồi quy phi tham số 2.3.1 Giới thiệu đánh giá 2.3.2 Kết 8 10 14 15 16 16 18 19 28 30 32 32 32 35 37 39 41 42 43 44 45 2.3.3 Ví dụ mô số 51 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 55 Quyết định giao đề tài (bản sao) 59 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Trần Quyền LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giảng viên - TS Lê Văn Dũng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thể thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Viện Toán học truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng,ngày 08 tháng 08 năm 2021 Người viết luận văn Nguyễn Trần Quyền MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm biến đổi chậm trường hợp riêng hàm phân quy có nhiều ứng dụng xác suất thống kê Một ứng dụng lý thuyết giá trị cực trị Sự liên hệ chúng đề cập nhà toán học Feller (1971), Sidney (1987), Bingham et al (1989), De Haan Ferreira (2006), Hơn nữa, việc nghiên cứu nhớ dài (hay phụ thuộc tầm xa) q trình ngẫu nhiên thơng qua mơ hình hố hàm biến đổi chậm lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Ngoài chúng cịn có ứng dụng định thuỷ học, tài hay mơ hình viễn thơng Hàm biến đổi chậm khơng có liên hệ với lý thuyết cực trị nhớ dài mà nhiều ứng dụng lý thuyết rủi ro hay định lí giới hạn Vì thế, luận văn đề cập đến khái niệm bản, tính chất hàm biến đổi chậm số ứng dụng giải tích ngẫu nhiên Với lí trên, tơi chọn đề tài "Hàm biến đổi chậm số ứng dụng" để thực luận văn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu vấn đề liên quan đến hàm biến đổi chậm ứng dụng xác suất thống kê • Tổng hợp nêu số ứng dụng tiêu biểu hàm biến đổi chậm lĩnh vực xác suất thống kê Đối tượng nghiên cứu • Định nghĩa số tính chất liên quan đến vấn đề giới hạn, tích phân hay mật độ hàm biến đổi chậm • Các định lí Tauberian phép biến đổi Laplace, Fourier chuỗi hàm phép biến đổi chậm • Các ứng dụng hàm biến đổi chậm ngành giải tích ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tìm hiểu tài liệu liên quan đến hàm biến đổi chậm, hàm biến đổi quy • Phân tích, hệ thống tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc nội dung cần thiết đưa vào luận văn • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo giành cho giảng viên đại học, sinh viên ngành toán nhân viên việc lĩnh vực xác suất thống kê, liệu lớn tìm hiểu nội dung Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn dự kiến chia thành hai chương Chương Một số tính chất hàm biến đổi chậm 1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm 1.1.1 Định lý biểu diễn hàm biến đổi chậm 1.1.2 Giới hạn hàm biến đổi chậm 1.1.3 Tích phân hàm biến đổi chậm 1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm 1.1.5 Hàm ngược hàm biến đổi chậm 1.2 Định lý Tauberian 54 Hình Biểu đồ hộp fˆn (x) − f (x) x = 0, Bảng Trung bình (meam) sai số bình phương trung bình (rmse) fˆn (x) n x f (x) mean rmse 0, 0, 03 0, 147 0, 207 200 0, 0, 75 0, 781 0, 113 0, 2, 43 2, 190 0, 263 0, 0, 03 0, 082 0, 113 500 0, 0, 75 0, 753 0, 120 0, 2, 43 2, 350 0, 164 0, 0, 03 0, 047 0, 181 800 0, 0, 75 0, 749 0, 098 0, 2, 43 2, 410 0, 074 0, 0, 03 0, 033 0, 073 1600 0, 0, 75 0, 759 0, 065 0, 2, 43 2, 440 0, 065 55 KẾT LUẬN Trong luận văn này, thực việc sau đây: Hệ thống lại số khái niệm tính chất liên quan đến hàm biến đổi chậm Trình bày số ứng dụng liên quan đến hàm biến đổi chậm Mặc dù cố gắng thời gian khả có hạn nên luận văn có nhiều thiếu sót Rất mong đóng góp q thầy cơ, bạn để luận văn hoàn chỉnh 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hồ Minh Châu, Lê Văn Dũng, Lương Thị Mỹ Hạnh (2018), Luật số lớn tổng ngẫu nhiên có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mơ men cấp r vơ hạn, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, 30(04),1-7 [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Yết Yên (2001),Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Tiếng Anh [3] Bingham N, Goldie C and Teugels J (1989), Regular Variation, Cambridge University Press [4] Chen Zh., Lu C., Shen Y., Wang R and Wang X., 2019, On complete and complete moment convergence for weighted sums of ANA random variables and applications, Journal of Statistical Computation and Simulation DOI: 10.1080 / 00949655.2019.1643346 [5] Dung L.V., Son T.C and Hai Yen N.T., 2018, Weak laws of large numbers for sequences of random variables with infinite rth moments, Acta Mathematica Hungarica, 156,408-423 [6] Georgiev A A et al., 1985, Local properties of function fitting esTìmates with applications to system identificationt In: Grossmann W (ed) Mathematical statistics and applications, volume b, proceedings 4th Pannonian symposium on mathematical statistics, 410, September, 1983, Bad Tatzmannsdorf, Austria Reidel, Dordrecht, 141-151 [7] Georgiev A A., Greblicki W., 1986, Nonparametric function recovering from noisy observations, J Stat Plan Inference, 13(1), 1-14 [8] Georgiev A A., 1988, Consistent nonparametric multiple regression: the fixed design case, J Multivar Anal 25(1), 100-110 [9] Janson S., 1988, Some pairwise independent sequences for which the central limit theorem fails, Stochastics, 23,439-448 57 [10] Măuller H.G., 1987, Weak and universal consistency of moving weighted averages, Period Math Hung, 18(3), 241-250 [11] Philippe Soulier (2009), Some applications of regular variation in probability and statistics, Escuela Venezolana de Matematicas [12] Shen A and Zhang S., 2020, On Complete consistency for the estimator of nonparametric regression model based on asymptotically almost negatively associated errors, Methodology and Computing in Applied Probability DOI: 10.1007/s11009 − 020 − 09813 − X [13] Stone C.J., 1977, Consistent nonparametric regression, Ann Stat 5, 595 − 645 [14] Wang X.J., Zheng L.L., Hu Sh., 2015, Complete consistency for the estimator of nonparametric regression models based on extended negatively dependent errors, Stat: J Theor Appl Stat., 49(2), 396 − 407 [15] Xuan T.D., Quyen N.T., An N.T.T., Dung L.V., Convergence in probability for the estimator of nonparametric regression model based on pairwise independent errors with heavy tails, Tạp chí khoa học công nghệ Đại học Duy Tân 02(45)(2021)1-7 59 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO) ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ SƠ HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Học viên: Nguyễn Trần Quyền STT Biên Hội đồng x Bảng điểm học viên cao học x Lý lịch khoa học học viên x Biên kiểm phiếu x Phiếu ghi nội dung câu hỏi trả lời học viên x Nhận xét x Phiếu chấm điểm x HỌ VÀ TÊN TRÁCH NHIỆM TRONG HỘI ĐỒNG NHẬN XÉT Bản nhận xét Phiếu điểm Chủ tịch HD x X TS Lương Quốc Tuyển TS Hoàng Nhật Quy Thư ký HD X X TS Lê Hải Trung Phản biện X x TS Nguyễn Văn Bồng Phản biện x X TS Nguyễn Đức Hiền Uỷ viên X x TS Lê Văn Dũng Người hướng dẫn X Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 Thư ký Hội đồng TS Hoàng Nhật Quy ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Hàm biến đổi chậm số ứng dụng Ngành: Tốn giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số ngày 28 2038/QĐ-ĐHSP tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Lương Quốc Tuyển Chủ tịch TS Hoàng Nhật Quy Thư ký TS Lê Hải Trung Phản biện TS Nguyễn Văn Bồng Phản biện TS Nguyễn Đức Hiền Ủy viên a Thành viên có mặt: 05 b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Đề nghị Hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN công nhận kết Hội đồng cấp Thạc sĩ cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: - Chỉnh sửa theo góp ý Hội đồng, đặc biệt phản biện c) Các ý kiến khác: Khơng có d) Điểm đánh giá: Bằng số: 9.2 Bằng chữ: Chín điểm hai 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG TS Hoàng Nhật Quy CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS Lương Quốc Tuyển ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc CÂU HỎI VÀ TRẢ LỜI Kèm theo Biên họp Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Của học viên Nguyễn Trần Quyền TS Lê Hải Trung CH1: Cho ví dụ hàm biến đổi châm CH2: Định lý Tauber mục 1.2 trình bảy đâu? Trả lời: CH1: hàm logx CH2: Xin xem xét lại TS Nguyễn Văn Bồng CH1: Ứng dụng hàm biến đổi chậm bất đẳng thức Mackov Trả lời: Dùng phần chung THƯ KÝ HỘI ĐỒNG TS Hoàng Nhật Quy CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN KIỂM PHIẾU CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Cho học viên: Nguyễn Trần Quyền Về đề tài: Hàm biến đổi chậm số ứng dụng Bảo vệ tại: Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Thời gian: 15 30 ngày 28 tháng 11 năm 2021 Tham gia kiểm phiếu gồm: TS Lương Quốc Tuyển Chủ tịch Hội đồng TS Hoàng Nhật Quy Uỷ viên Thư ký Kết kiểm phiếu: - Số phiếu phát ra: 05 - Số phiếu thu về: 05 - Tổng số điểm: 46 - Điểm trung bình: 9.2 Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS HOÀNG NHẬT QUY TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – tự – Hạnh phúc -BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện) Tên đề tài luận văn: Hàm biến đổi chậm số ứng dụng Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: NGUYỄN TRẦN QUYỀN Người nhận xét: TS LÊ HẢI TRUNG Cơ quan cơng tác: Khoa Tốn – Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng NỘI DUNG NHẬN XÉT I/ Tính cấp thiết đề tài: Đề tài “Hàm biến đổi chậm số ứng dụng” thực học viên NGUYỄN TRẦN QUYỀN hướng dẫn TS LÊ VĂN DŨNG tập trung nghiên cứu hàm biến đổi chậm số ứng dụng Có nhiều ứng dụng quan trọng liên quan đến chủ đề này, kể đến Lý thuyết cực trị Về sau nghiên cứu nhớ dài q trình ngẫu nhiên thơng qua mơ hình hố hàm biến đổi chậm lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Ngồi chúng cịn có ứng dụng định tài hay mơ hình viễn thơng…Điều làm nên tính cấp thiết đề tài II.Cơ sở khoa học thực tiễn: Việc thực đề tài tác giả dựa nguồn tài liệu tham khảo phong phú gồm 15 tài liệu tham khảo, 02 tài liệu tiếng Việt, với kiến thức trình bày nghiên cứu cách tương đối đầy đủ kĩ lưỡng phản ánh sở khoa học đề tài Nội dung nghiên cứu bám sát với tên đề tài Các nội dung trình bày luận văn, cụ thể thơng qua ví dụ, phần làm bật vấn đề nghiên cứu III/ Phương pháp nghiên cứu: Phạm vi đề tài nghiên cứu hàm biến đổi chậm ứng dụng việc chứng minh số kết Lý thuyết xác suất thống kê Trong luận văn có sử dụng đến kiến thức Lý thuyết xác suất thống kê, Giải tích biến thực, Đại số… IV/ Kết nghiên cứu: Kết nghiên cứu xác phù hợp với nội dung luận văn Bản tóm tắt phản ánh trung thực luận văn thực Có 01 báo [15] tác giả đăng tạp chí Đại học Duy Tân V/ Hình thức luận văn: Về tổng thể, ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm 02 chương với 54 trang soạn thảo Microsoft Word với 15 đề mục sách tham khảo, 02 tiếng Việt Các nội dung trình bày luận văn bao gồm: Chương 01- Một số tính chất hàm biến đổi chậm, chương tác giả trình bày số kiến thức hàm biến đổi chậm: Lý thuyết hàm biến đổi chậm, Định lý Tauber Chương 02- Ứng dụng hàm biến đổi chậm, trình số ứng dụng hàm biến đổi chậm việc chứng minh số kết Lý thuyết xác suất thống kê Luận văn có bố cục tương đối hợp lý, nội dung vừa phải phù hợp với dung lượng luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích Luận văn có chế đáp ứng u cầu bản, có nhiều lỗi tả Các kiến thức tác giả trình bày cách tương đối đầy đủ phù hợp với tên luận văn Các ví dụ minh họa tác giả đưa vào cách hợp lý, phản ánh rõ ràng ý tưởng mà tác giả muốn thể hiện, kết nhận phản ánh trung thực nội dung nghiên cứu Với việc lựa chọn tên đề tài an tồn, nên luận văn có đột phá mặt khoa học thiếu việc so sánh khác biệt với luận văn khác VI/ Đánh giá chung: Theo luận văn “Hàm biến đổi chậm số ứng dụng” học viên NGUYỄN TRẦN QUYỀN đưa bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ tác giả xứng đáng với học vị Thạc sĩ khoa học Câu hỏi: Cho ví dụ hàm biến đổi chậm? Định lý Tauber tiểu mục 1.2 trình bày đâu? Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 Người phản biện TS LÊ HẢI TRUNG ... Chương Một số tính chất hàm biến đổi chậm 1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm 1.1.1 Định lý biểu diễn hàm biến đổi chậm 1.1.2 Giới hạn hàm biến đổi chậm 1.1.3 Tích phân hàm biến đổi chậm 1.1.4 Hàm phân... Chương Một số tính chất hàm biến đổi chậm 1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm 1.1.1 Định lí biểu diễn hàm biến đổi chậm 1.1.2 Giới hạn hàm biến đổi chậm 1.1.3 Tích phân hàm biến đổi chậm. .. CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM 1.1 1.1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm Định lí biểu diễn hàm biến đổi chậm Định nghĩa 1.1.1 Hàm số đo f (x) xác định khoảng mở I (0; +∞) gọi hàm biến