Cho{Xk}là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối đồng nhất đại diện cho yêu cầu kích cỡ và giả thiết yêu cầu chuyển đến từ quá trình Poisson thuần nhất N với giá trị trung bình (cường độ)λ. Choulà vốn ban đầu của công ty bảo hiểm, và clà tiền phí bảo hiểm. Quá trình rủi ro được định nghĩa bởi
S(t) =u+ct+ N
∑
i=1 Xi.
Xác xuất rủi ro là xác suất màSâm theo biếnt
ψ(u) =P(∃t >0S(t)<0).
NếuE[Xi]<∞thì điều kiện cần và đủ của choψ(u)<1là
c>λE[X1]. (2.14)
Điều kiện này có nghĩa là trên mức trung bình, công ty kiếm được nhiều hơn mất trong mỗi thời kì đơn vị thời gian. Nếu 2.14 xảy ra,tải an toàn được định nghĩa
ρ= c
Đặt F là phân phối của X1 và giả thiết vẫn là E[X1]<∞,H là hàm phân phối được định nghĩa H(u) = 1 E[X1] Z u 0 {1−F(s)}ds.
NếuF¯ là hàm phân chính quy ở vô cùng với hệ sốα >1, theo định lí Karamata,H là hàm phân chính quy với hệ sốα−1và
¯
H(u)∼ uF¯(u)
E[X1] (α−1).
Công thức nổi tiếng Pollaczek-Khinˇcin cho xác suất rủi ro như là một phân phối phức hợp hình học 1−ψ(u) = ρ 1+ρ ∞ ∑ n=0 (1+ρ)−nH∗n(u).
Cho{Yi}là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối đồng nhất với phân phôiH vàK là biến ngẫu nhiên giá trị nguyên với phân phối hình học tham sốρ/(1+ρ), có nghĩa là P(K =k) =ρ(1+ρ)−k−1, k≥0. Dễ thấy rằng ψ(u) =P K ∑ i=1 Yi>u ! .
VìEzK=ρ/(1+ρ−z)với mọiz<1+ρ nên theo Định lí 2.1.10 chúng ta có ψ(u)∼E[K]H¯(u)∼ uF¯(u)
ρE[X1] (α−1).