Cho N là một biến ngẫu nhiên giá trị nguyên, {Xi;i≥1} là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập không âm và phân phối đồng nhất với đuôi phân chính quy. Đặt
S= N
∑
j=1 Xj.
Đuôi của tổng ngẫu nhiên đã được nghiên cứu rộng rãi. Có hai trường hợp về lãi là số lượng ngẫu nhiên của kỳ hạn là số hạng độc lập hoặc là thời gian dừng lại với lưu tâm về sự lọc của số hạng. Chúng ta chỉ quan tâm đến cỡ của các trường hợp, kết quả khá vét kiệt. Dưa trên các kết quả Taubian cho biến đổi Laplace, chúng ta có thể chứng minh dễ dàng cho trường hợp đuôi của mỗi số hạng là phân chính quy với hệ sốα ∈(0; 1)và đuôi của kì hạn nhẹ hơn đuôi của số hạng.
Định lí 2.1.8. NếuP(X1>x)∈RV∞(α)vàE[N]<∞thì
P(S>x)∼E[N]P(X1>x).
Chứng minh. Choψ là biến đổi Laplace củaX vớiψ(s) =e−sX1 thì biến đổi Laplace ψS củaSđược cho bởi
ψS(t) =Ee−tS=EψN(t) = ∞ ∑ k=0 ψk(t)P(N=k) =1+ ∞ ∑ k=1 n ψk(t)−1oP(N=k).
Vớiε >0, tồn tạit0 sao cho|1−ψ(t)|<ε nếut ≤t0. Với mọik≥1, k(1−ε)k−1{1−ψ(u)} ≤1−ψk(u)≤k{1−ψ(u)}. Lại có {1−ψ(u)} ∞ ∑ k=1 kP(N=k)(1−ε)k−1≤1−ψS(t)≤ {1−ψ(u)}E[N].
Xét hàmH(z) =E[zN] xác định trên[0; 1].
E[N]<∞,H có đạo hàm liên tục trên [0; 1] vàH0(1) =E[N]. Do đó, với mọi η >0, có thể chọnε đủ nhỏ đểH0(1−ε)≥E[N](1−η).
1−η ≤ 1−ψS(t)
E[N]{1−ψ(t)} ≤1.
Do đó 1−ψS(t)∼E[N]{1−ψ(t)}. Khi đuôi bên phải của X1 là phân chính quy hệ sốα ∈(0; 1), chúng ta có hàm `biến đổi chậm ở vô cùng sao cho
P(X1>x)∼x−α`(x),
điều này suy ra1−ψ(t)∼tα`(1/t).
Chúng ta đã chứng minh1−ψS(t)∼E[N]tα`(1/t), từ đó suy ra
P(S>x)∼E[N]x−α`(x) =E[N]P(X1 >x)
Định lí Tauberian cho phép mở rộng các kết quả này với các tất cả các chỉ số không là số tự nhiên của biến phân chính quy khi cung cấp N đủ momen hữu hạn. NếuEzN<∞với một số giá trịz>1thì một chứng minh đơn giản cho mọiα thu được từ bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1.9. Nếu1−F là hàm phân chính quy thì với mọi ε >0, tồn tại hằng sốC
sao choF∗n(x)≤C(1+ε)nF¯(x).
Định lí 2.1.10. NếuP(X1 >x)là hàm phân chính quy ở vô cùng và tồn tại z>1sao choEzN<∞thì
P(S>x)∼E[N]P(X1>x).
Chứng minh. Lấy ε ∈(0;z−1)với E[zN]<∞. Theo bổ đề 2.1.9, tồn tại C sao cho F∗n(x)≤C(1+ε)nF¯(x). Do đó P(S>x) P(X >x)= ∞ ∑ n=1 P(N=n)F ∗n(x) ¯ F(x) .
Với mọin,P(N=n)F∗n(x)/F¯(x)hội tụ đếnnP(N=n)và bị chặn bởi C(1+ε)nP(N=n),
theo giả thiết chuỗi này khả tổng. Vậy theo tính chất so sánh chuỗi hội tụ thì định lí được chứng minh.
Định lí 2.1.11. NếuP(X1 >x)là hàm phân chính quy tại vô cùng với hệ số α >0,
E[N]<∞vàP(N >x) =o(P(X1 >x))thì
P(S>x)∼E[N]P(X1>x).
Định lí 2.1.12. Cho {Xj} là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập không âm và phân phối đồng nhất, K là một biến ngẫu nhiên giá trị tự nhiên, biến độc lập của {Xj}
và đặt S=∑Kk=1Xk. Nếu P(S> x) là phân chính quy với hệ số −α (α >0) và nếu
E h
K1∨α0i<∞ với α0>α thì P(X >x)là phân chính quy với hệ số −α và P(X >
x)∼P(S>x)/E[K].