Cho{Xn;n≥1}là một dãy biến ngẫu nhiên trong không gian xác suất(Ω,F,P), {ani; 1≤i≤n,n≥1}tạo thành một mảng tam giác các số thực. Có nhiều thống kê tuyến tính hữu ích dựa trên tổng có trọng lượng
Sn= n
∑
i=1 aniXi.
Xét một ví dụ mô hình hồi quy tham sốYi=β αi+εi với{εi;i≥1}là dãy các sai số ngẫu nhiên,{αi;i≥1} là dãy số thực cònβ là tham số của tiền lãi. Ước lượng bình phương bé nhấtβˆn củaβ trên một mẫu cỡnthoả mãn
ˆ βn−β = n1 ∑ i=1 αi2 n ∑ i=1 αiεi.
Mục đích ở đây tìm hiều về luật số lớn choSn = n ∑ i=1
aniXi độc lập theo cặp với đuôi nặng{Xn;n≥1}và nghiên cứu về hội tụ theo xác suất với ước lượng hồi quy phi tham số với sai số ngẫu nhiên độc lập có xác suất đuôi nặng.
Xét mô hình hồi quy phi tham số
Yni = f(xni) +εni,1≤i≤n, (2.15) vớixnilà các điểm bất động chọn ra từ một tập compactA⊂Rm, f(x)là một hàm hồi quy xác định trên tậpAvàεilà các sai số ngẫu nhiên. Một ước lượng của f(x)là ước lượng hồi quy có trọng lượng
ˆ fn(x) = n ∑ i=1 Wni(x)Yni, (2.16)
vớiWni=W(x,xn1, ...,xnm)là các hàm có trọng lượng.
Ước lượng trên được đưa ra đầu tiên bởi Stone [13], sau đó Georgiev [6] đã nghiên cứu với trường hợp thiết kế cố định, ngoài ra vấn đề còn được nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác. Ví dụ như Georgiev và Greblicki [7], Georgiev [8], M¨uller [10] nghiên cứu về sai số ngẫu nhiên độc lập. Trong những năm gần đây có nhiều nhà toán học nghiên cứu về sai số ngẫu nhiên phụ thuộc, chẳng hạn như Wang [9] nghiên cứu về sự hội tụ đầy đủ với ước lượng sai số phụ thuộc âm mở rộng, còn Chen [4] đã thiết lập hội tụ đầy đủ và hội tụ mô men đầy đủ cho tổng có trọng lượng của các biến ngẫu nhiên tiệp cận âm liên kết và đưa ra các ứng dụng trong mô hình hồi quy phi tham số, Shen và Zhang [12] thu được kết quả về tính nhất quán đầy đủ và tốc độ hội tụ của ước lượng mô hình hồi qui phi tham số dựa trên sai số ngẫu nhiên âm liên kết hầu như tiệm cận. Trong luận văn này sẽ trình bày các kiến thức về hội tụ của ước lượng (2.16) trong mô hình (2.15) dưới sai số ngẫu nhiên đôi một độc lập có xác suất đuôi nặng.