Định lý phổ thông trong c đại số và một vài ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— VÕ THỊ MINH TÂM ĐỊNH LÝ PHỔ TRONG C ∗-ĐẠI SỐ VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— VÕ THỊ MINH TÂM ĐỊNH LÝ PHỔ TRONG C ∗-ĐẠI SỐ VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Đại số Banach lý thuyết phổ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Định nghĩa ví dụ đại số Banach 1.3 Phổ giải thức 11 1.4 Không gian đồng cấu phức 13 Chương Định lý phổ vài ứng dụng 22 2.1 C ∗ -đại số Định lý Gelfand - Naimark 22 2.2 Định lý phổ 29 2.3 Một vài ứng dụng Định lý phổ 32 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phổ đại số Banach hướng nghiên cứu quan trọng giải tích hàm, có nhiều ứng dụng giải tích nhiều lĩnh vực khác tốn học Nó cho hiểu rõ cấu trúc đại số mơ tả tường minh cấu trúc không gian ideal cực đại tồn hay không đồng cấu phức đại số Banach Định lý phổ đại số Banach kết quan trọng giải tích hàm Trong [4] người ta trình bày Định lý phổ số ứng dụng đại số L(H) tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian Hilbert H vào Một vấn đề đặt kết tương tự đại số L(H) có cịn cho C ∗ -đại số hay khơng? Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu đại số Banach, lý thuyết phổ giải vấn đề đặt Với mục đích luận văn viết thành hai chương Chương Đại số Banach lý thuyết phổ Chương nhằm trình bày số khái niệm tính chất đại số Banach, phổ đại số Banach đồng cấu phức luận văn Đầu tiên, chúng tơi trình bày khái niệm kết không gian định chuẩn, không gian Banach, khơng gian Hilbert, ánh xạ tuyến tính liên tục, Sau đó, chúng tơi trình bày định nghĩa đại số Banach, đại số con, đưa ví dụ đại số Banach trình bày định nghĩa, tính chất phổ giải thức đại số Banach Phần cuối chương này, trình bày tính chất khơng gian đồng cấu phức phép biến đổi Gelfand Chương Định lý phổ vài ứng dụng Chương trình bày Định lý phổ vài ứng dụng C ∗ -đại số Đầu tiên, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất C ∗ -đại số với Định lý Gelfand - Naimark mà chúng ứng dụng mục sau Tiếp theo, chúng tơi trình bày chứng minh Định lý phổ đại số Banach Sau đó, chúng tơi đưa chứng minh số ứng dụng Định lý phổ C ∗ -đại số, chúng thể Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.4, Định lý 2.3.10, Mệnh đề 2.3.11, Định lý 2.3.12, Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hồng với giúp đỡ, động viên thầy giáo, giáo Tổ Giải tích, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học, bạn bè, gia đình Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc bảo, dìu dắt, động viên thầy cô bạn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG ĐẠI SỐ BANACH VÀ LÝ THUYẾT PHỔ 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục dành cho việc trình bày số khái niệm kết có tài liệu tham khảo mà chúng cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa Giả sử E khơng gian tuyến tính trường K (C R) Hàm : E→R cho x → x gọi chuẩn E thỏa mãn (1) x ≥ 0, x ∈ E x = x = 0, (2) λx = |λ| x , ∀x ∈ E ∀λ ∈ K, (3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E Khơng gian tuyến tính E với chuẩn gọi khơng gian định chuẩn Khi ta viết (E, ) hay đơn giản E Nếu E không gian định chuẩn cơng thức d(x, y) = x−y , x, y ∈ E mêtric E Ta gọi d mêtric sinh chuẩn Không gian mêtric E gọi đầy đủ dãy (dãy Cauchy) {xn } ⊂ E hội tụ 1.1.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E không gian đầy đủ mêtric sinh chuẩn 1.1.3 Định nghĩa Tập F không gian định chuẩn E gọi không gian E F không gian tuyến tính E F ta xét chuẩn cảm sinh chuẩn E 1.1.4 Định lý Giả sử E, F hai không gian định chuẩn f : E→F ánh xạ tuyến tính Khi đó, điều kiện sau tương đương (1) f liên tục, (2) f bị chặn, nghĩa tồn số k cho f (x) ≤ k x , ∀x ∈ E Giả sử E, F hai không gian định chuẩn, ta ký hiệu L(E, F ) = {ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F } L(E, F ) khơng gian tuyến tính với phép cộng hai hàm phép nhân vô hướng với hàm thông thường Đặt f = inf {k : f (x) ≤ k x , x ∈ E} (1) 1.1.5 Mệnh đề Với f ∈ L(E, F ) ta có f = sup x=0 f (x) = sup f (x) = sup f (x) x x ≤1 x =1 công thức (1) xác định chuẩn L(E, F ) 1.1.6 Định lý Nếu E khơng gian định chuẩn, F khơng gian Banach L(E, F ) không gian Banach 1.1.7 Định nghĩa Giả sử E, F hai không gian định chuẩn Ánh xạ f : E→F gọi ánh xạ đẳng cấu f song ánh, tuyến tính, f f −1 liên tục Ánh xạ f gọi đẳng cự f tuyến tính f (x) = x , ∀x ∈ E Hai không gian định chuẩn gọi đẳng cấu (đẳng cự) chúng tồn ánh xạ đẳng cấu (tương ứng đẳng cự) 1.1.8 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn Ta viết E ∗ thay cho L(E, K) gọi E ∗ không gian liên hợp E Ta gọi tôpô yếu tất tôpô E mà chúng f ∈ E ∗ liên tục tôpô yếu E Với x ∈ E, ta xác định hàm x : E ∗ →C với x(f ) = f (x), ∀f ∈ E ∗ Khi x ánh xạ tuyến tính Ta gọi tơpơ yếu tất tôpô E ∗ mà chúng x ∈ E liên tục tôpô yếu∗ ký hiệu σ(E ∗ , E) 1.1.9 Định lý (Alaoglu) Hình cầu đơn vị đóng B ∗ = {f ∈ E ∗ : f ≤ 1} E ∗ Hausdorff compact tôpô yếu∗ σ(E ∗ , E) 1.1.10 Định nghĩa Giả sử E khơng gian tuyến tính trường K (R C) Ánh xạ ϕ : E × E→K (x, y) → ϕ(x, y) gọi tích vơ hướng (1) ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E, ϕ(x, x) = ⇔ x = (2) ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y), x1 , x2 , y ∈ E (3) ϕ(x, y1 + y2 ) = ϕ(x, y1 ) + ϕ(x, y2 ), x, y1 , y2 ∈ E (4) ϕ(αx, y) = αϕ(x, y), ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ E (5) ϕ(x, αy) = αϕ(x, y), α ∈ K, ∀x, y ∈ E (6) ϕ(x, y) = ϕ(y, x), ∀x, y ∈ E Khơng gian tuyến tính E với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Ký hiệu (E, ϕ) hay E Nếu ϕ tích vơ hướng E ta viết (x|y) thay cho ϕ(x, y) 1.1.11 Bổ đề Giả sử E khơng gian tiền Hilbert Khi ta có bất đẳng thức sau gọi bất đẳng thức Cauchy - Schwartz |(x|y)|2 ≤ (x|x).(y|y), ∀x, y ∈ E (x + y|x + y) ≤ (x|x) + (y|y), ∀x, y ∈ E gọi bất đẳng thức Minkowski 1.1.12 Mệnh đề Nếu E khơng gian tiền Hilbert cơng thức x = (x|x), ∀x ∈ E (2) xác định chuẩn E 1.1.13 Nhận xét Không gian tiền Hilbert với chuẩn xác định với công thức (2) không gian định chuẩn chuẩn xác định (2) gọi chuẩn sinh tích vơ hướng 1.1.14 Định nghĩa Nếu khơng gian tiền Hilbert không gian Banach chuẩn sinh tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert 1.1.15 Ví dụ (1) Cơng thức n xj yj , ∀x = (xj )nj=1 , y = (yj )nj=1 ∈ Rn , (x|y) := j=1 tích vơ hướng Rn Với tích vơ hướng Rn không gian Hilbert (2) Công thức n xj yj , ∀x = (xj )nj=1 , y = (yj )nj=1 ∈ Cn , (x|y) := j=1 tích vơ hướng Cn Với tích vơ hướng Cn không gian Hilbert ∞ (3) |xn |2 < ∞} khơng gian Hilbert với tích vơ = {(xn ) ⊆ R : n=1 hướng ∞ xn yn , ∀x = (xn ), y = (yn ) ∈ (x|y) = n=1 Chuẩn sinh tích vơ hướng ∞ |xn x = , ∀x = (xn ) ∈ n=1 1.2 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ VỀ ĐẠI SỐ BANACH 1.2.1 Định nghĩa Một không gian vectơ A trường số C trang bị thêm phép nhân thỏa mãn điều kiện (1) x(yz) = (xy)z với x, y, z ∈ A, (2) (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz, (3) α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y, z ∈ A, ∀x, y ∈ A α ∈ C, gọi đại số phức hay nói gọn đại số Một đại số phức A thỏa mãn thêm điều kiện (4) A không gian Banach với chuẩn thỏa mãn xy ≤ x y , ∀x, y ∈ A gọi đại số Banach Nếu tồn phần tử e đại số Banach A cho xe = ex = x với x ∈ A e = A gọi đại số Banach có đơn vị Trong luận văn này, đại số xét giả thiết đại số Banach có đơn vị ta nói gọn đại số Banach 1.2.3 Nhận xét Phần tử đơn vị đại số Banach Một đại số thỏa mãn điều kiện (1) - (4) nhúng vào đại số Banach Phép nhân đại số Banach liên tục, liên tục trái, liên tục phải 1.2.4 Định nghĩa Giả sử A đại số Không gian B A khép kín phép tốn nhân A gọi đại số A Vì = a−1 a = a∗ a = |a = (a−1 )∗ a−1 = a−1 Từ suy σ(a) ⊆ ∆ σ(a−1 ) ⊆ ∆ = {λ ∈ C : λ ≤ 1} Giả sử λ ∈ σ(a) = a(MA ) Do tồn Φ ∈ MA : a(Φ) = Φ(a) = λ Khi Φ(a−1 ) = a−1 (Φ) ∈ a−1 (MA ) = σ(a−1 )σ∆ Mặt khác = Φ(aa−1 ) = Φ(a).Φ(a−1 ) Từ suy |Φ(a−1 )| = |λ Nếu |λ| < |Φ(a−1 )| > Điều mâu thuẫn với Φ(a−1 ) ∈ ∆ Từ suy |λ| = Do σ(a) = {λ ∈ C : |λ| = 1} Điều kiện đủ Giả sử σ(a) ⊂ U Khi ta có id(λ).(id)∗ (λ) = λ.λ = |λ|2 = 1, ∀λ ∈ σ(a) Do (id).(id)∗ = Từ theo Định lý phổ ta có e = ρ((id).(id)∗ ) = ρ(id).ρ(id∗ ) = a.a∗ 2.3.5 Định lý ([1]) Nếu f ánh xạ tuyến tính liên tục từ khơng gian Hilbert E vào khơng gian Hilbert F điều kiện sau tương đương (a) f unita, (b) f ∗ f = IE , f f ∗ = IF 2.3.6 Hệ ([4]) Nếu T toán tử chuẩn tắc khơng gian Hilbert H T toán tử Unita σ(T ) ⊂ {λ ∈ C : |λ| = 1} Chứng minh Vì L(H) C ∗ -đại số nên từ Định lý 2.3.4 Định lý 2.3.5 suy điều phải chứng minh 34 2.3.7 Chú ý Trong chứng minh điều kiện cần Hệ 2.3.3, Định lý 2.3.4 Hệ 2.3.5 không cần điều kiện a chuẩn tắc (T chuẩn tắc, tương ứng) Ta nhớ lại rằng, toán tử T ∈ L(H) (H không gian Hilbert) gọi toán tử dương (T x, x) ≥ 0, với x ∈ H Bây ta đưa định nghĩa phần tử dương C ∗ -đại số 2.3.8 Định nghĩa ([4]) Giả sử A C ∗ -đại số a ∈ A a gọi dương ký hiệu a > tồn b ∈ A cho a = b∗ b 2.3.9 Nhận xét 1) Nếu tồn b ∈ A cho a = bb∗ a dương a = bb∗ = (b∗ )∗ b∗ , b∗ ∈ A 2) Nếu lấy A = L(H) với H khơng gian Hilbert câu hỏi đặt khái niệm phần tử dương vừa định nghĩa có tương đương với khái niệm tốn tử dương L(H) hay không? Định lý sau cho ta câu trả lời 2.3.10 Định lý ([4]) Giả sử H khơng gian Hilbert T ∈ L(H) Khi T toán tử dương T dương Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử T dương tức tồn S ∈ L(H) cho T = S ∗ S Khi (T x|x) = (S ∗ Sx|x) = (Sx|Sx) ≥ 0, ∀x ∈ H Do T toán tử dương Điều kiện cần Giả sử T toán tử dương, tức (T x|x) ≥ 0, với x ∈ H Khi đó, theo Định lý 2.1.9 ta có σ(T ) ⊂ {(T x|x) : x = 1} ⊂ [0; ∞) 35 Giả sử f : σ(T )→C ánh xạ xác định f (λ) = Ta có f ∈ C(σ(T )), f ∗ = f, √ λ, λ ∈ σ(T ) f ∗ f = id Vì T tốn tử dương nên T tự liên hợp Do T chuẩn tắc Khi đó, theo định lý phổ ta có T = ρ(id) = ρ(f ∗ f ) = ρ(f ∗ ).ρ(f ) = (ρ(f ))∗ ρ(f ) Vậy T > 2.3.11 Mệnh đề ([4]) Giả sử A C ∗ -đại số a ∈ A Khi đó, a > a tự liên hợp Chứng minh Vì a > nên tồn b ∈ A cho a = b∗ b Do a∗ = (b∗ b)∗ = b∗ b = a Vậy a tự liên hợp 2.3.12 Định lý ([4]) Giả sử a phần tử chuẩn tắc C ∗ -đại số A Khi đó, a > σ(a) ⊂ [0; ∞) Chứng minh Giả sử a > Khi tồn b ∈ A cho a = b∗ b a tự liên hợp Do ta có σ(a) = {a(Φ) : Φ ∈ MB } = {Φ(a) : Φ ∈ MB } = {Φ(b∗ b) : Φ ∈ MB } = {b∗ (Φ).b(Φ) : Φ ∈ MB } = {b(Φ).b(Φ) : Φ ∈ MB } = {Φ(b).Φ(b) : Φ ∈ MB } = {|Φ(b)|2 : Φ ∈ MB } ⊂ [0; ∞) Ngược lại, giả sử σ(a) ⊂ [0; ∞) Khi đó, hàm f (λ) = √ λ, λ ∈ σ(a) phần tử C(σ(a)) f = f ∗ , f ∗ f = f = id Vì a chuẩn tắc nên theo Định lý phổ ta có a = ρ(f ∗ f ) = (ρ(f ))∗ ρ(f ) Do a phần tử dương 36 2.3.13 Định lý ([4]) Nếu a phần tử dương C ∗ -đại số có đơn vị tồn b ∈ A = C ∗ (a) cho b > a = b2 Chứng minh Vì a > nên a = a∗ , a chuẩn tắc σ(a) ⊂ [0; ∞) Theo chứng minh Định lý tồn b = ρ(f ) ∈ A cho a = b∗ b, √ f (λ) = λ, λ ∈ σ(a) Vì f = f ∗ nên b = ρ(f ∗ ) = (ρ(f ))∗ = b∗ Do a = b2 Tiếp theo, ta chứng tỏ b > Xét ánh xạ g(λ) = √ λ, λ ∈ σ(a) Vì σ(a) ⊂ [0, ∞) nên g ∈ C(σ(a)) Hơn ta có g = g ∗ g ∗ g = g = f Do b = ρ(f ) = ρ(g ∗ g) = (ρ(g))∗ ρ(g) Như b > Cuối cùng, giả sử tồn x ∈ A, x > cho a = x2 Đặt f1 = ρ−1 (x) Khi đó, từ tính đẳng cấu ρ suy ρ(f12 ) = x2 = b2 = ρ(f ) Kết hợp với tính song ánh ρ ta có f = f12 Do f = ±f1 ta có b = ρ(f ) = ±ρ(f1 ) = ±x Giả sử b = −x Khi đó, a chuẩn tắc nên A đại số giao hốn Do theo Định lý 1.4.11 ta có σ(b) = {b(Φ) : Φ ∈ MA } = {Φ(b) : Φ ∈ MA } = {−Φ(x) : Φ ∈ MA } = {−x(Φ) : Φ ∈ MA } = −σ(x) Vì b > x > nên theo Định lý 2.3.11, σ(b) ⊂ [0, ∞) σ(x) ⊂ [0, ∞) Kết hợp với hệ thức ta có điều mâu thuẫn Vậy b = x ta có điều phải chứng minh 37 KẾT LUẬN Luận văn giải kết sau Hệ thống, trình bày lại khái niệm đại số Banach, không gian ideal cực đại, phép biến đổi Gelfand đại số Banach Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt không chứng minh Bổ đề 1.4.15, Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.8, Định lý 2.1.10, Trình bày chứng minh rõ Định lý phổ toán tử C ∗ -đại số Trình bày chứng minh chi tiết số ứng dụng Định lý phổ toán tử C ∗ -đại số, thể Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.4, Định lý 2.3.10, Mệnh đề 2.3.11, Định lý 2.3.12, 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Sỹ Đồng (2009), Một số tính chất phổ nối đại số Banach giao hoán, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Nxb Giáo dục [4] A D Andrew and W L Green (2002), Spectral Theory of Operators on Hilbert space, School of Mathematics Georgra Institute of Technology Atlanta, GA 30332 - 0160 [5] T W Gamelin (1969), Uniform algebras, Prentice - Hall Enghewood N J 39 ... tính chất phổ giải th? ?c đại số Banach Phần cuối chương này, trình bày tính chất khơng gian đồng c? ??u ph? ?c phép biến đổi Gelfand Chương Định lý phổ vài ứng dụng Chương trình bày Định lý phổ vài ứng. .. phổ đại số Banach Sau đó, chúng tơi đưa chứng minh số ứng dụng Định lý phổ C ∗ -đại số, chúng thể Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.4, Định lý 2.3.10, Mệnh đề 2.3.11, Định lý 2.3.12, Luận văn th? ?c hoàn... không gian ideal c? ? ?c đại tồn hay không đồng c? ??u ph? ?c đại số Banach Định lý phổ đại số Banach kết quan trọng giải tích hàm Trong [4] người ta trình bày Định lý phổ số ứng dụng đại số L(H) tốn tử