Áp dụng phép biến đổi laplace giải bài toán biên ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Hữu Việt ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI BÀI TỐN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Phép biến đổi Laplace 1.1 Phép biến đổi Laplace hàm số thông thường 1.1.1 Định nghĩa hàm gốc 1.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 1.1.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 1.1.4 Biến đổi Laplace đạo hàm hàm gốc 1.1.5 Biến đổi Laplace tích chập 1.1.6 Phép biến đổi Laplace ngược 1.2 Hàm suy rộng 1.2.1 Định nghĩa hàm suy rộng 1.2.2 Các ví dụ 1.2.3 Các phép tính khơng gian hàm suy rộng 1.3 Hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach 1.4 Biến đổi Laplace với hàm suy rộng 1.4.1 Biến đổi Laplace hàm khả vi vơ hạn có giá compact 1.4.2 Biến đổi Laplace không gian hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach 1.4.3 Công thức nghịch đảo 1.4.4 Biến đổi Laplace tích chập hai hàm suy rộng 1.4.5 Điều kiện hàm ảnh 5 12 14 17 18 18 19 20 20 21 21 22 24 25 27 Chương Bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 30 2.1 Đặt toán 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.1 Đặt toán tổng quát 2.1.2 Trường hợp hệ số phương trình khơng phụ thuộc vào t 2.2 Áp dụng biến đổi Laplace giải toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 2.2.1 Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp g = 2.2.2 Trường hợp g = 2.3 Một vài ví dụ 2.3.1 Nghiệm phương trình truyền nhiệt (Ω = Rn ) 2.3.2 Bài toán phân bố nhiệt độ bên kim loại 30 32 34 34 37 38 38 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS - TS Hà Tiến Ngoạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến thầy Thầy khơng hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà thầy cịn thơng cảm tạo điều kiện động viên em suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy giáo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái Nguyên thầy cô giáo Viện Tốn học, Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam dạy bảo em tận tình suốt trình học tập làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang Hà Giang tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2011 Học viên Nguyễn Hữu Việt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Luận văn trình bày tổng quan sở phép biến đổi Laplace hàm số biến t xác định nửa trục dương, có độ tăng cấp mũ hữu hạn phụ thuộc vào tham số vectơ x Trên sở đó, dùng phép biến đổi Laplace cơng cụ để luận văn trình bày việc nghiên cứu tính giải tính nghiệm tốn biên-ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai, hệ số phương trình khơng phụ thuộc vào biến thời gian t Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [5] Bố cục luận văn gồm chương: • Chương Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace hàm số thông thường, nhắc lại khái niệm hàm suy rộng, hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach phép biến đổi Laplace hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach • Chương Luận văn trình bày tốn biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có hệ số khơng phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng biến đổi Laplace để biểu diễn nghiệm toán số ví dụ áp dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép biến đổi Laplace 1.1 1.1.1 Phép biến đổi Laplace hàm số thông thường Định nghĩa hàm gốc Định nghĩa 1.1 Hàm biến thực f (t) gọi hàm gốc thoả mãn ba điều kiện sau : 1) f (t) = với t < Điều đặt thực tế t thường biến thời gian 2) f (t) liên tục khúc miền t ≥ Điều có nghĩa lấy khoảng (a,b) nửa trục thực t ≥ 0, chia thành số hữu hạn khoảng nhỏ, cho khoảng nhỏ f (t) liên tục mút khoảng nhỏ có giới hạn phía 3) f (t) không tăng nhanh hàm mũ t → +∞ Nghĩa tồn M > 0, σ0 > cho |f (t)| ≤ M eσ0 t , ∀t > 0, (1.1) σ0 gọi số tăng f (t) Rõ ràng σ0 số tăng số σ1 > σ0 số tăng Ví dụ 1.1 Hàm bước nhảy đơn vị η (t) = t < t ≥ hàm gốc η(t) liên tục với t ≥ không tăng nhanh hàm mũ với số tăng σ0 = Ví dụ 1.2 Các hàm sơ cấp f (t) = tm , f (t) = sin t, f (t) = cos t liên tục không tăng nhanh hàm mũ chưa phải hàm gốc khơng thoả mãn điều kiện 1) Định nghĩa 1.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tuy nhiên hàm số sau : t < f (t) t ≥ f (t)η(t) = hàm gốc 1.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace (hay cịn gọi tốn tử Laplace) định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 Giả sử f (t) hàm gốc xác định với t > Biến đổi Laplace hàm số f (t) định nghĩa ký hiệu +∞ e−pt f (t) dt F (p) = L{f (t)}(p) = (1.2) Định lý 1.1 Nếu f (t) hàm gốc với số tăng σ0 tồn biến đổi Laplace +∞ e−pt f (t) dt F (p) = L{f (t)}(p) = xác định với số phức p = σ + iτ cho σ > σ0 lim F (p) = Re(p)→∞ Hơn hàm biến phức F (p) giải tích miền Re(p) > σ0 với đạo hàm +∞ (−t)e−pt f (t) dt F (p) = (1.3) Chứng minh Với p = σ + iτ cho σ > σ0 ta có f (t) e−pt +∞ mà M e(σ0 −σ)t , e(σ0 −σ)t dt hội tụ, tích phân +∞ f (t) e−pt dt hội tụ tuyệt đối Vì tồn biến đổi Laplace F (p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn +∞ −pt |f (t) e |F (p)| +∞ |dt = f (t) e −σt −iτ t e +∞ dt = 0 +∞ Me (σ0 −σ)t M e(σ0 −σ)t dt = σ0 − σ M = suy σ→∞ σ − σ0 Ngoài lim +∞ Tích phân |f (t) e−σt |dt lim +∞ M σ0 − σ = F (p) = Re(p)→∞ f (t)e−pt dt hội tụ tích phân +∞ +∞ ∂ f (t)e−pt dt = ∂p f (t)e−pt (−t)dt hội tụ miền {p| Re(p) σ1 } với σ1 > σ (theo Định lý Weierstrass) Suy hàm ảnh F (p) có đạo hàm +∞ ∂ f (t)e−pt dt ∂p F (p) = điểm p thuộc miền Vì F (p) giải tích miền Re(p) > σ0 Nhận xét 1.1 Từ Ví dụ 1.2 suy hàm sơ cấp f (t) = tm , f (t) = sin t, f (t) = cos t có biến đổi Laplace L{f (t)η(t)} Do thay viết đầy đủ L{f (t)η(t)} ta viết tắt L{f (t)} Chẳng hạn ta viết L{sin t} thay cho L{sin tη(t)} Ví dụ 1.3 Biến đổi Laplace hàm f (t) = +∞ F (p) = L{1}(p) = e −pt e−pt dt = −p +∞ = p Ví dụ 1.4 Cho hàm f (t) = t, biến đổi Laplace f (t) +∞ e−pt tdt = F (p) = L{t}(p) = p2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.5 Cho hàm f (t) = tn , biến đổi Laplace f (t) +∞ e−pt tn dt = F (p) = L{tn }(p) = pn+1 Ví dụ 1.6 Hàm f (t) = eαt , α ∈ R có biến đổi Laplace +∞ e−pt eαt dt = F (p) = L{eαt }(p) = p−α Ví dụ 1.7 Hàm sin t có số tăng σ0 = có biến đổi Laplace +∞ e−pt sin tdt F (p) = L{sin t}(p) = Áp dụng cơng thức tích phân phần ta +∞ F (p) = +∞ − cos te−pt pe−pt cos tdt − +∞ = − pe−pt sin t|+∞ − p2 e−pt sin tdt ⇒ (1 + p2 )F (p) = ⇒ F (p) = 1.1.3 1 + p2 Các tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất 1.1 Phép biến đổi Laplace có tính tuyến tính Nếu f (t) g(t) có biến đổi Laplace Af (t)+Bg(t) có biến đổi Laplace (A, B số) L{Af (t) + Bg(t)}(p) = AL{f (t)}(p) + BL{g(t)}(p) (1.4) Chứng minh Gọi F (p), G(p) ảnh f (t) g(t) qua phép biến đổi Laplace Theo định nghĩa +∞ e−pt [Af (t) + Bg(t)]dt L{Af (t) + Bg(t)}(p) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do tính chất tuyến tính tích phân nên ta có +∞ +∞ e−pt [Af (t) + Bg(t)]dt = A +∞ e−pt dt + B e−pt dt = AF (p) + BG(p) Thay vào ta có L{Af (t) + Bg(t)}(p) = AF (p) + BG(p) Ví dụ 1.8 L{6 + sin t}(p) = 6L{1}(p) + 7L{sin t}(p) = + s + s2 Tính chất 1.2 Phép biến đổi Laplace có tính đồng dạng Nếu F (p) = L{f (t)}(p) với số λ > ta có p F ( ) λ λ L{f (λt)}(p) = (1.5) Chứng minh Theo định nghĩa ta có +∞ e−pt f (λt)dt L{f (λt)}(p) = Đổi biến λt = t1 , dt = dt1 ta λ +∞ +∞ p e−pt f (λt)dt = L{f (λt)}(p) = e− λ t1 f (t1 )dt1 = p F ( ) λ λ Ví dụ 1.9 L{sin ωt}(p) = 1 ω = ω (p/ω)2 + p2 + ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 bên Ω phương trình thay phương trình nhiệt khơng ∂u = k∆u + f, ∂t f = f (x, t) hàm Ω biểu diễn hấp thụ sinh nhiệt Do hàm u(x, t) biểu diễn nhiệt độ Ω, xác định nhiệt độ ban đầu u0 nhiệt độ bề mặt g Ta có ∂u = k∆u + f (x, t) Ω, ∂t (2.1) u = u0 (x) Ω t = 0, (2.2) u = g(x, t) Γ với t > (2.3) Ta thấy điều kiện (2.3) điều kiện biên trong toán Dirichlet điều kiện (2.2) tương tự với điều kiện ban đầu toán Cauchy Do toán (2.1)−(2.2)−(2.3) gọi tốn biên-ban đầu hỗn hợp Ta điều kiện biên (2.3) không thiết phải thuộc loại Dirichlet Nó thuộc loại Neumann, thay áp đặt nhiệt độ biên Γ, ta cố định dịng nhiệt qua Γ Khi ta thay điều kiện (2.3) điều kiện ∂u = h(x, t) Γ với t > 0, ∂v ∂ đạo hàm theo pháp tuyến đơn vị điểm x Γ ∂v Ta sử dụng loại điều kiện biên hỗn hợp Tức ta trì nhiệt độ số phần biên cố định dòng nhiệt phần lại Ta viết Γ = Γ0 ∪ Γ1 , Γ0 ∩ Γ1 = Ω, ta có u = g(x, t) Γ0 , ∂u = h(x, t) Γ1 , ∂v Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên với t > http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Tuy nhiên để tính tốn trường hợp phức tạp hơn, ví dụ tính đồng đẳng hướng vật liệu thiếu ta phải thay toán tử −k∆ toán tử vi phân cấp hai eliptic tổng quát sau n ∂ ∂ ij ∂ A = A(x, t, ) = − a (x, t) + i j ∂x ∂x ∂x i,j=1 n bj (x, t) j=1 ∂ + c(x, t), ∂xj (2.4) hệ số aij , bj , c ∈ L∞ (Ω × (0, T )) với i, j = 1, n, với số c0 > 0, với hầu hết (x, t) ∈ Ω × (0, T ) n aij (x)ζi ζ j ≥ c0 |ζ|2 Re (2.5) i,j=1 Ngoài thuận lợi tính tốn ta hạn chế biến thời gian t khoảng (0, T ), với T > Do tốn biên-ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic có dạng tổng qt sau ∂u ∂ + A(x, t, )u = f (x, t) Ω × (0, T ), ∂t ∂x u(x, 0) = u0 (x), Ω, (2.6) (2.7) u(x, t) = g(x, t) Γ × (0, T ) (2.8) 2.1.2 Trường hợp hệ số phương trình khơng phụ thuộc vào t ∂ Giả sử hệ số tốn tử vi phân A(x, t, ) khơng phụ thuộc ∂x vào biến thời gian t Ta có ∂ A = A(x, ) = − ∂x n j,k=1 ∂ jk ∂ a (x) + ∂xk ∂xj n bj (x) j=1 ∂ + c(x), ∂xj (2.9) thoả mãn ajk (1 ≤ j, k ≤ n), bj (1 ≤ j ≤ n), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên c ∈ L∞ (Ω), (2.10) http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 tồn số c0 > cho với x ∈ Ω ζ ∈ Cn ta có n ajk (x)ζi ζ k ≥ c0 |ζ|2 Re (2.11) j,k=1 Khi ta có tốn biên-ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic với hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian t sau ∂ ∂u + A(x, )u = f ∂t ∂x Ω × (0, T ), (2.12) u − g ∈ H01 (Ω) hầu khắp [0, T ], (2.13) u(·, 0) = u0 (2.14) Với điều kiện cho sau f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)), g ∈ L2 (0, T ; H (Ω)), u0 ∈ L2 (Ω), (2.15) dg ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)), dt (2.16) g(·, t) → g(·, 0) L2 (Ω), với t → 0+ (2.17) Các khơng gian hàm nói bên định nghĩa sau ∂v H (Ω) = {v(x) ∈ L2 (Ω); ∈ L2 (Ω), j = 1, n} ∂xj 1 H0 (Ω) = {v(x) ∈ H (Ω); v(x) = ∂Ω} H −1 (Ω) không gian đối ngẫu H01 (Ω) L2 (0, T ; H (Ω)) = {g(x, t); g(·, t) ∈ H (Ω), với hầu hết t ∈ [0, T ]} L2 (0, T ; H −1 (Ω)) = {g(x, t); g(·, t) ∈ H −1 (Ω), với hầu hết t ∈ [0, T ]} Không gian H (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng tính theo công thức n u(x)v(x)dx + (u, v)H (Ω) = Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên uxj (x)vxj (x)dx j=1 Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 2.2 Áp dụng biến đổi Laplace giải toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic Trong phần ta xét toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic trường hợp hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian t 2.2.1 Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp g = Giả sử tốn (2.12)−(2.13)−(2.14) có nghiệm u(x, t) Để biểu diễn nghiệm u(x, t) ta làm sau: Với x ∈ Ω cố định, ta đặt ∞ e−pt u(x, t)dt U (x, p) = L{u(x, ·)}(p) = (2.18) Áp dụng biến đổi Laplace hai vế (2.12), từ tính chất biến đổi Laplace ta có pU − u(x, 0) + A x, ∂ U = F (x, p), ∂x (2.19) F (x, p) = L{f (x, ·)}(p) (2.20) Do với p cố định, hàm U (·, p) ∈ H01 (Ω) nghiệm phương trình sau A x, ∂ ∂x + p U = F (x, p) + u(x, 0) (2.21) Để giải phương trình (2.21) ta cần xác định ánh xạ nghịch đảo p+A Ta liên hợp A với dạng bán song tuyến tính H (Ω) × H (Ω) với tham số phức p ta n ap (U, V ) = p ajk (x) U V dx + Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i,k=1 Ω ∂U ∂V dx ∂xj ∂xk http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 n bj (x) + j=1 Ω ∂U V dx + ∂xj c(x)U V dx (2.22) Ω Từ giả thiết (2.10) (2.11), suy tồn số c1 , số thực σ0 cho với p ∈ C thoả mãn Re(p) > σ0 với U ∈ H (Ω) ta có c1 U H (Ω) ≤ 2Re(ap (U, V )) (2.23) Mặt khác ta có U, V ∈ H01 (Ω) ap (U, V ) = (p + A(x, ∂/∂x))U, V (2.24) Do vậy, theo Định lý Lax-Milgram ta có p + A phép đẳng cấu từ H01 (Ω) vào H −1 (Ω) Ta kí hiệu G(Dx , p) ánh xạ nghịch đảo p + A, với p cố định tốn tử theo biến x G(Dx , p) đẳng cấu từ H −1 (Ω) vào H01 (Ω) Vậy từ phương trình (2.21) ta có U (x, p) = G(Dx , p)(F (x, p) + u0 (x)1p ), (2.25) đó, 1p hàm đồng theo p Mặt khác từ cơng thức (2.23) ta có G(Dx , p) ≤ , c1 (2.26) với ∀p ∈ C cho Re(p) > σ0 Rõ ràng p + A hàm chỉnh hình theo biến p thoả mãn Re(p) > σ0 nhận giá trị L(H01 (Ω); H −1 (Ω)) Do ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.1 Cho O tập mở thuộc mặt phẳng phức, T (p) hàm chỉnh hình nhận giá trị L(E, F ) (trong p ∈ O, E F hai không gian Banach) cho với p ∈ O T (p) đẳng cấu từ E vào F Khi T −1 (p) hàm chỉnh hình nhận giá trị L(F, E) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh T −1 (p) hàm liên tục L(F, E) với p ∈ O Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Lấy điểm p0 thuộc O Vì T (p0 ) đẳng cấu nên tồn số C0 > cho e E ≤ C0 T (p0 )e F, với ∀e ∈ E Do với p ∈ O đủ gần với p0 ta có + C0 T (p) − T (p0 ) e ≤ C0 T (p)e F + e E −1 Suy chuẩn T (p) bị chặn địa phương O Tuy nhiên e E ≤ C0 T (p)e F E T −1 (p) − T −1 (p0 ) = T −1 (p0 ){T (p0 ) − T (p)}T −1 (p), Do với p đủ gần p0 T −1 (p) − T −1 (p0 ) ≤ 2C02 T (p0 ) − T (p) Vậy T −1 (p) hàm liên tục với p ∈ O Mặt khác ta có T (p)T −1 (p) = IF , với IF ánh xạ đồng F Áp dụng toán tử Cauchy-Riemann ∂ cho hai vế đẳng thức ta ∂p T (p) ∂ T −1 (p) = ∂p Nhân T −1 (p) phía trái vào hai vế đẳng thức ta ∂ T −1 (p) = ∂p Suy T −1 (p) hàm chỉnh hình Theo Bổ đề G(Dx , p) hàm chỉnh hình biến p nửa mặt phẳng Re(p) > σ0 nhận giá trị không gian Banach L(H −1 (Ω); H01 (Ω)) Chuẩn G(Dx , p) bị chặn độc lập với p Do theo Định lý 1.11, G(Dx , p) ảnh phép biến đổi Laplace hàm suy rộng G(Dx , t), G(Dx , t) toán tử theo biến x chứa tham số t Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Định lý 2.1 Nghiệm toán (2.12)−(2.13)−(2.14) trường hợp g = cho công thức sau u(x, t) = G(Dx , t) ∗t f (x, t) + G(Dx , t)u0 (x) (2.27) Chứng minh Theo công thức (2.18) (2.25) u(x, t) = L−1 {U (x, p)} = L−1 {G(Dx , p)[F (x, p) + u0 (x)1p ]} Mặt khác theo (1.43) ta có L−1 {G(Dx , p)F (x, p)} = G(Dx , t) ∗t f (x, t) Và theo (1.43), (1.35) (1.41) ta có L−1 {G(Dx , p)[u0 (x)1p ]} = G(Dx , t) ∗ L−1 {u0 (x)1p } = G(Dx , p) ∗ δu0 (x) (t) = G(Dx , p)u0 (x) Vậy u(x, t) = G(Dx , t) ∗t f (x, t) + G(Dx , t)u0 (x) 2.2.2 Trường hợp g = Định lý 2.2 Nghiệm tốn (2.12)−(2.13)−(2.14) cho cơng thức sau u(x, t) = g(x, t) + G(Dx , t)(u0 (x) − g(x, 0)) + G(Dx , t) ∗t f (x, t) −G(Dx , t) ∗t ∂ ∂g + A x, g ∂t ∂x (2.28) Chứng minh Nếu g = ta đặt u(x, t) = u(x, t) − g(x, t) (2.29) Theo cách đặt u(x, t) nghiệm toán ∂ ∂u + A x, u = f, ∂t ∂x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.30) http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 u(x, t) ∈ H01 (Ω), với hầu hết t ∈ [0, T ], u(x, t) = u0 (x), (2.31) (2.32) f (x, t) = f − ∂g ∂ − A x, g, ∂t ∂x u0 (x) = u0 (x) − g(x, 0) (2.33) (2.34) Áp dụng Định lý 2.1 ta có u(x, t) = G(Dx , t) ∗t f (x, t) + G(Dx , t)u0 (x) (2.35) Thay (2.33), (2.34) vào (2.35) ta u(x, t) = G(Dx , t) ∗t f (x, t) − ∂g ∂ + A x, g ∂t ∂x +G(Dx , t)(u0 (x) − g(x, 0)) (2.36) Từ (2.29) (2.36) suy nghiệm toán (2.12)−(2.13)−(2.14) u(x, t) = g(x, t) + G(Dx , t)(u0 (x) − g(x, 0)) + G(Dx , t) ∗t f (x, t) −G(Dx , t) ∗t 2.3 2.3.1 ∂g ∂ + A x, g ∂t ∂x Một vài ví dụ Nghiệm phương trình truyền nhiệt (Ω = Rn ) Đặt toán Cauchy ∂u − ∆u = f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Rn )), ∂t (2.37) u|t=0 = u0 ∈ L2 (Rn ) (2.38) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Trong ta ký hiệu u nghiệm thuộc L2 (0, T ; H (Rn )) Trong trường hợp khơng có điều kiện biên nên ta có u = U Do u = G(Dx , t)u0 + G(Dx , t) ∗ f Rn × (0, T ) (2.39) Để tìm nghiệm u ta cần tính G(Dx , t) Ta có biến đổi Laplace G(Dx , t) G(Dx , p) Mà G(Dx , p) ánh xạ ngược p − ∆ : H (Rn ) → H −1 (Rn ) Bằng biến đổi Fourier ta có G(Dx , p)ϕ(x) = (2π)−n eix.ξ (p + |ξ|2 )−1 ϕ(ξ)dξ, ϕ ∈ Cc∞ (Rn ) (2.40) Trong đó, ϕ biến đổi Fuorier ϕ ϕ(ξ) = e−ix.ξ ϕ(x)dx Áp dụng Công thức nghịch đảo cho biến đổi Laplace ta có G(Dx , t)ϕ(x) = (2π)−n eix.ξ 2πi ept γ0 dp p + |ξ|2 ϕ(ξ)dξ, γ0 đường thẳng đứng Re(p) = σ Ta cần tính dp K(ξ, t) = ept 2πi γ0 p + |ξ|2 (2.41) (2.42) Ta coi K(ξ, t)e−σt biến đổi Fourier ngược hàm (σ + iτ + |ξ|)−1 hàm khả tích γ0 Ta biết K ≡ với t < Do K(ξ, t) = η(t) exp(−|ξ|2 t), η(t) hàm xác định Ví dụ 1.1 Do vậy, theo (2.41),(2.42) (2.43) suy √ −n |x|2 G(Dx , t)ϕ(x) = (2 πt) η(t) exp − 4t (2.43) ∗x ϕ(x) (2.44) Thay toán tử G(Dx , t) vào (2.39), ta nghiệm toán (2.37)−(2.38) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 2.3.2 Bài toán phân bố nhiệt độ bên kim loại Ví dụ liên quan tới tốn biên-ban đầu hỗn hợp biến không gian 1, Ω khoảng hữu hạn (a, b) Nó biểu thị cách cụ thể toán xác định phân bố biến thiên nhiệt độ bên kim loại (hoặc tường nhất) có bề dày hữu hạn kích thước khác nhau, có độ cao chiều rộng vơ hạn, có hai mặt (tương ứng với x = a x = b) truyền nhiệt theo chương trình định sẵn (trong trường hợp hàm g) Bài toán cho sau ∂u ∂ u − = 0, ∂t ∂x2 u(a, t) = ga (t), a < x < b, < t < T, u(b, t) = gb (t), u(x, 0) = u0 (x), < t < T, a < x < b (2.45) (2.46) (2.47) Giả sử u0 ∈ L2 (a, b) hàm ga gb với đạo hàm chúng thuộc L2 (0, T ) Ta chọn hàm g sau g(x, t) = (b − a)−1 {ga (t)(b − x) + gb (t)(x − a)} Ta thay U = u − g đặt F =− ∂g = −(b − a)−1 [ga (t)(b − x) + gb (t)(x − a)] ∂t Ngoài ra, ta đặt U0 = u0 − g(·, 0) ta biến đổi toán dạng sau ∂U ∂ U − = F, ∂t ∂x2 a < x < b, U = x = a, x = b, U = U0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên < t < T, < t < T, t = (2.48) (2.49) (2.50) http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Trong trường hợp ta cần tính G Mà ta có biến đổi Laplace G d2 G(p) lại hàm Green tốn tử p − khoảng (a, b) dx Ta ln giả sử Re(p) ≥ ta có b G(p)ϕ(x) = G(x, x ; p)ϕ(x)dx, ϕ ∈ C ∞ ([a, b]), (2.51) a với G(x, x ; p) = G∞ (x − x ; p) + h(x, x ; p), (2.52) √ √ G∞ (y; p) = √ {H(y)e−y p + H(−y)ey p } p (2.53) Đặt L = b − a ta có √ √ x+x −a h(x, x ; p) = − √ (1 − e−2L p )−1 exp −2 p p x−x √ − exp −2 p L + x−x √ − exp −2 p L − x+x √ +exp −2 p b − Ta kiểm tra G∞ h hàm bị chặn p nửa mặt phẳng Re(p) ≥ σ0 > σ Ta nhớ G∞ (y; p) nghiệm d h(x, x ; p) nghiệm phương trình p − dy p− d dy h = 0, cho với x p ta có h(a, x ; p) + G∞ (a − x ; p) = h(b, x ; p) + G∞ (b − x ; p) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Suy với x p thoả mãn a < x < b, Rep > ∂2 p− ∂x G(x, x ; p) = δ(x − x ), (2.54) G(a, x ; p) = G(b, x ; p) = (2.55) √ Trong lập luận trên, p biểu thị cho nhánh hàm bậc hai lớn với p số thực dương Chú ý G(x, x ; p) biểu diễn chuỗi vô hạn số hạng dạng sau √ c √ e−α p , p α ≥ (2.56) √ Trong ta có p−1/2 e−α p (với α ≥ 0) biến đổi Laplace H(t)(πt)−1/2 exp(−α2 /4t) Từ (2.53) suy G∞ biến đổi Laplace nghiệm phương trình nhiệt −y H(t) G∞ (y, t) = √ exp 4t πt (2.57) Tuy nhiên khai triển biến đổi Laplace ngược hàm h(x, x ; p) phức tạp sau H(t) h(x, x ; t) = √ πt +∞ j=1 x−x exp − jL + t x−x + exp − jL − t 2 x+x − exp − jL + −b t 2 x+x − exp − jL + a − t 2 (2.58) Để suy biểu diễn nghiệm u tốn (2.45)−(2.46)−(2.47) phải thoả mãn điều kiện để áp dụng Định lý 2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Thật vậy, ta thấy công thức a dần tới −∞ b dần tới +∞ Ví dụ, ta xét trường hợp a = b = +∞, ta có G(x, x ; t) = G∞ (x − x , t) − G∞ (x + x , t) (2.59) Ta đưa vào hàm x E1 (x, t) = √ πt y2 exp − 4t x ∈ R, dy, t ≥ (2.60) Áp dụng Định lý 2.1 ta có x u(x, t) = t ∂E1 (y, t)u0 (x − y)dy − ∂y −x ∂E1 (x, t − s)g(s)ds ∂t (2.61) nghiệm toán biên ban đầu hỗn hợp ∂u ∂ u = 2, ∂t ∂x u(x, 0) = u0 (x), ∀x > 0, ∀x > 0; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∀t > 0; u(0, t) = g(t), ∀t > http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Kết luận Luận văn trình bày đạt số kết sau : Trình bày lý thuyết sở biến đổi Laplace hàm số thông thường Trình bày khái niệm hàm suy rộng tăng chậm hàm suy rộng tăng chậm nhận giá trị khơng gian Banach Trình bày biến đổi Laplace hàm suy rộng tăng chậm nhận giá trị khơng gian Banach Trình bày trường hợp tổng quát toán biên-ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai trường hợp hệ số tốn khơng phụ thuộc vào biến thời gian t Trình bày ứng dụng biến đổi Laplace để giải toán biến-ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai trường hợp hệ số tốn khơng phụ thuộc vào biến thời gian Ngồi luận văn cịn nêu hai ví dụ áp dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, Hàm biến phức, NXB Giáo Dục, Hà Nội 1999 [2] Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội, 2010 [4] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [5] Francois Treves, Basic linear partial differential equations, Dover Publication, Inc., Mineola, New York, 2006 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Áp dụng biến đổi Laplace giải toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic Trong phần ta xét tốn biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic trường hợp hệ số không phụ thuộc vào biến. .. hợp hệ số phương trình khơng phụ thuộc vào t 2.2 Áp dụng biến đổi Laplace giải toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 2.2.1 Áp dụng biến đổi Laplace. .. thuộc vào biến thời gian t Trình bày ứng dụng biến đổi Laplace để giải toán biến- ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai trường hợp hệ số tốn khơng phụ thuộc vào biến thời gian