Phương trình parabolic ngược thời gian

Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh - Nguyễn văn đức Phơng trình parabolic ngợc thời gian Luận án tiến sĩ toán học Chuyên ngành: Toán giải tích MÃ số: 62 46 01 01 Ngời hớng dẫn khoa học: GS TSKH Đinh Nho Hào PGS TS Đinh Huy Hoàng Vinh -2011 LI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Đinh Nho Hào PGS TS Đinh Huy Hồng Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án chưa cơng bố trước Tác giả Nguyễn Văn Đức MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Mục lục Một số ký hiệu dùng luận án Mở đầu Chương 1: Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số khơng phụ thuộc thời gian 28 1.1 Một số khái niệm bổ đề sở 29 1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian tốn giá trị biên không địa phương trường hợp a=1 31 1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian tốn giá trị biên khơng địa phương trường hợp a>1 41 1.4 Ví dụ số 63 1.5 Kết luận chương 68 Chương Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 69 2.1 Các kết ổn định 69 2.2 Hiệu chỉnh toán 77 2.3 Các ví dụ 91 2.4 Kết luận chương 96 Chương Các kết ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian 97 3.1 Các kết bổ trợ 98 3.2 Phương pháp nhuyễn kết ổn định 100 3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định 110 3.4 Ví dụ số 113 3.5 Kết luận chương 115 Kết luận chung kiến nghị 119 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo 122 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R: đường thẳng thực Rn : không gian Euclid n-chiều C: mặt phẳng phức : phần thực số phức Ω: miền không gian Rn ∂Ω: biên Ω ·, · : tích vô hướng không gian Hilbert H · : chuẩn không gian Hilbert H C([a, b], H): tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị không gian Hilbert H C ((a, b), H): tập tất hàm khả vi liên tục (a, b) nhận giá trị không gian Hilbert H ut : đạo hàm hàm u ∈ C ((a, b), H) Lp (Ω) = {u : Ω → R| u đo Lebesgue, u · p: Lp (Ω) < +∞} chuẩn Lp (R) F [f ](ξ): biến đổi Fourier hàm f định nghĩa F [f ](ξ) = f (ξ) = √ 2π Mν,p (R) (1 p +∞ f (x)e−ixξ dx −∞ ∞) tập hợp hàm nguyên dạng mũ ν giới hạn trục thực thuộc Lp (R) Eν,p (f ): xấp xỉ tốt f phần tử Mν,p , tức Eν,p (f ) = inf g∈Mν,p f −g Lp (R) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất nhiều lĩnh vực khác công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, Đó tốn kiện q trình vật lý khơng đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Trong luận án này, đề cập tới phương trình parabolic ngược thời gian Đó tốn cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lý toán gọi ngược thời gian) 1.2 Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất lý thuyết truyền nhiệt, ta cần xác định nhiệt độ thời điểm khứ qua nhiệt độ đo đạc thời điểm ([31], [56], [67]), toán thường xuyên xuất Địa vật lý ([67]) Trong toán nước ngầm, để xác định việc truyền tải chất gây ô nhiễm vùng nước ngầm người ta dùng phương trình khuếch tán - đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian với đo đạc thời điểm ([15]) Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất khoa học vật liệu ([90]), thủy động học ([15]), xử lý ảnh ([21], [60], [87]) Các toán nghiên cứu nhiều, nhiên cho lớp phương trình đặc biệt; việc đề xuất phương pháp số hữu hiệu để giải gần tốn ln vấn đề thời 1.3 Một cách hình thức tốn mơ tả sau: giả sử Lu(x, t) tốn tử (có thể phi tuyến) elliptic Ở đây, x biến không gian, t biến thời gian Giả sử Qt = ∪s∈[0,t] Ω(s), Ω(s) miền giới nội Rn , t ∈ [0, T ] Ta xét toán biên sau đây: ut = Lu(x, t) + F (x, t, u), (x, t) ∈ QT , u t=0 = u0 (x), x ∈ Ω0 , Bu = g(ξ, t), (ξ, t) ∈ ∪s∈[0,T ] ∂Ω(s) với B toán tử điều kiện biên Đây Bài tốn thuận thời gian Trong thực tế, nhiều giá trị u(x, t) thời điểm t = không biết, mà ta lại biết giá trị t = T ta phải xác định lời giải toán t ∈ [0, T ), đặc biệt giá trị u(x, t) t = 0, tức giá trị ban đầu Đây Bài toán ngược thời gian chủ đề nghiên cứu luận án 1.4 Các toán ngược kể thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard ([67], [99]) Một tốn gọi đặt chỉnh thỏa mãn ba điều kiện a) có nghiệm, b) nghiệm nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo tơpơ đó) theo kiện tốn Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn, ta nói Bài tốn đặt khơng chỉnh Hadamard cho tốn đặt khơng chỉnh khơng có ý nghĩa vật lý Tuy nhiên, nói trên, nhiều tốn thực tiễn khoa học công nghệ dẫn đến tốn đặt khơng chỉnh Chính lý mà từ đầu thập niên 50 kỷ trước, nhiều cơng trình nghiên cứu đề cập tới tốn đặt khơng chỉnh Các nhà tốn học A N Tikhonov, M M Lavrent’ev, F John, C Pucci, V K Ivanov người tiên phong lĩnh vực Kể từ năm 1963, sau Tikhonov ([99]) đưa phương pháp chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh tiếng ơng, tốn đặt khơng chỉnh toán ngược trở thành ngành riêng vật lý tốn khoa học tính tốn Phương trình parabolic ngược thời gian vừa kể khơng nằm trào lưu Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là:"Phương trình parabolic ngược thời gian" Mục đích nghiên cứu 2.1 Một vấn đề nghiên cứu toán đặt khơng chỉnh việc tìm đánh giá ổn định Các đánh giá cho ta biết toán "xấu" đến mức nào, để từ đưa phương pháp số hữu hiệu Ngoài ra, đánh giá ổn định quan trọng việc chứng minh hội tụ đánh giá sai số phương pháp chỉnh giải toán đặt không chỉnh Cho đến nay, đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận chủ yếu cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian điều kiện biên ([8]) Các đánh giá thường nhận cho chuẩn L2 , kết nhận cho chuẩn khác Một mục đích luận án tìm đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số khơng phụ thuộc thời gian chuẩn Lp (p > 1) cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thời gian chuẩn L2 2.2 Mục đích thứ hai luận án chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian tốn giá trị biên không địa phương Để xấp xỉ cách ổn định nghiệm tốn đặt khơng chỉnh, ta phải dùng phương pháp chỉnh hóa Các thuật tốn chỉnh Tikhonov, lặp, phương pháp toán liên hợp ([18], [31], [41], [56], [74], [75]), tỏ hữu hiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Tuy nhiên, phương pháp cịn áp dụng cho phương trình parabolic ngược thời gian tổng quát Trong luận án phát triển luận văn cao học ([1], [2]) việc sử dụng phương pháp chỉnh hóa tốn biên khơng địa phương cho phương trình parabolic Ý tưởng chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian tốn biên khơng địa phương cho phương trình parabolic Vabishchevich ([103]) đề xuất vào năm 1981, sau vào năm 1985 Showalter ([93]) đưa phương pháp tương tự; Clark Oppenheimer ([23]) có số cải tiến cho phương pháp vào năm 1994 Trong luận văn cao học mình, tác giả đưa số đánh giá tốt cho phương pháp tác giả kể ([10], [23]) chứng minh phương pháp thực phương pháp hiệu chỉnh Mục đích mở rộng phương pháp cho phương trình phức tạp hơn, đặc biệt phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 2.3 Mục đích thứ ba luận án nghiên cứu sơ đồ sai phân tiến ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian Trong báo ([29], [30], [37]), dựa phương pháp làm trơn mình, Đinh Nho Hào đề xuất sơ đồ sai phân tiến ổn định (trong chuẩn Lp ) cho số tốn đặt khơng chỉnh Áp dụng phương pháp cho phương trình parabolic ngược thời gian điều khả thi thú vị Tính tốn máy tính dựa theo sơ đồ sai phân tiến có hiệu quả, nên việc nghiên cứu chúng cho tốn đặt khơng chỉnh cần thiết Đối tượng nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu đánh giá ổn định chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian hệ số phụ thuộc thời gian Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian không gian Hilbert (L2 ) không gian Banach (Lp , p > 1) Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp lồi logarithm, phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương phương pháp làm nhuyễn Đinh Nho Hào đề xướng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Làm phong phú thêm kết nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng vào toán truyền nhiệt, đồng hóa số liệu, xử lý ảnh, Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Bài toán đặt không chỉnh Để tiện lợi cho thảo luận sau, mục chúng tơi trình bày khái niệm đánh giá ổn định chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh (xem [3]) Giả sử ta cần giải phương trình Au = f với A tốn tử (tuyến tính phi tuyến) từ khơng gian hàm X vào khơng gian hàm Y đó, cịn f kiện cho thuộc không gian Y Khi tốn đặt khơng chỉnh, khơng phải với kiện f tốn có nghiệm thường nghiệm toán tồn (theo nghĩa đó), lời giải khơng phụ thuộc liên tục (theo metric đó) vào kiện f Do tính khơng ổn định tốn nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lớn lời giải Mục đích lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh đưa phương pháp số hữu hiệu để giải toán cách ổn định Để đạt mục đích trước hết phải nghiên cứu tính ổn định có điều kiện tốn, nghĩa lớp M khơng gian X để lời giải toán thuộc lớp phụ thuộc liên tục vào kiện toán Các đánh giá khơng nói lên tính chất định tính tốn mà cịn giúp ta việc phát triển phương pháp số để giải toán đánh giá sai số phương pháp Để đơn giản, ta giả thiết X Y không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng · X · Y Giả sử rằng, ta chọn tập hợp M biết u ∈ M phụ thuộc liên tục vào f , nghĩa là, tồn hàm ω biến thực, liên tục, với ω(0) = 0, cho u X ω( f Y ) Đánh giá gọi đánh giá ổn định ([14]) trường hợp này, tốn gọi ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa Tikhonov ([56]) (Tikhonov người đưa nhận xét vào năm 1943 ([98])) Tập M thường tập mà lời giải tốn có ý nghĩa vật lý, chẳng hạn tập mà lời giải bị chặn (nhiệt độ vận tốc trình vật lý giới nội, ), tập lồi, tập hàm không âm, tập hàm đơn điệu, Nếu ω(t) = ctα với α > đó, ta cú ỏnh giỏ n nh kiu Hă older v ta có "bài tốn tốt" Nếu ω hàm dạng logarithm ta có đánh giá ổn định kiểu logarithm - "bài tốn xấu" Cịn ta khơng có đánh giá tốc độ tiến tới ω(t) t → ta có "bài tốn xấu" Giả sử với tốn tử A không gian định chuẩn (X, · X) vừa đề cập trên, toán giải phương trình Au = f tốn đặt khơng chỉnh Ngồi ra, giả sử rằng, với vế phải xác f¯, tồn nghiệm nhất; nghĩa tồn u¯ cho A¯ u = f¯ (Y, · Y) Trên thực tế f¯ không biết, mà ta biết phần tử fδ số dương δ cho fδ − f¯ Y δ Yêu cầu đặt xây dựng nghiệm xấp xỉ phương trình – phần tử uδ cho uδ → u¯ δ → Vì tốn đặt khơng chỉnh, khơng thể sử dụng tốn tử ngược A−1 , nghĩa là, chọn uδ = A−1 fδ Bởi tốn tử ngược khơng xác định fδ khơng liên tục Y Do muốn xây dựng nghiệm xấp xỉ uδ , ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hóa Sau đây, chúng tơi nhắc lại khái niệm chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh (xem [27], [41], [67]) Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, bị chặn với α > 0, tác động từ Y vào X gọi chỉnh hóa cho phương trình Au = f (đối với phần tử f¯), điều kiện sau thỏa mãn 1) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử R(f, α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với f ∈ Y : f − f¯ Y δ, δ ∈ (0, δ1 ); 2) Tồn phụ thuộc α = α(f, δ) cho với ε > 0, tồn δ(ε) δ1 thỏa mãn: với f ∈ Y , f − f¯ Y δ kéo theo bất đẳng ... ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số khơng phụ thuộc thời gian chuẩn Lp (p > 1) cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thời gian chuẩn L2... chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian hệ số phụ thuộc thời gian Luận... cập tới phương trình parabolic ngược thời gian Đó tốn cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lý toán gọi ngược thời gian) 1.2 Phương trình parabolic