Phương pháp biến đổi fourier nhanh giải phương trình parabolic tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÙY DUNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÙY DUNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Trang Mở đầu Chương 1.1 Giới thiệu phương pháp Fourier nhanh Biến đổi Fourier 1.1.1 Tích phân Fourier 1.1.2 Biến đổi Fourier ngược 1.1.3 Sự tồn tích phân Fourier 1.1.4 Tính chất biến đổi Fourier 1.1.5 Tích chập 12 1.2 Hàm tuần hoàn hàm xung 14 1.2.1 Hàm tuần hoàn 14 1.2.2 Hàm xung 16 1.2.3 Mẫu dạng sóng 17 1.3 Biến đổi Fourier rời rạc 18 1.4 Biến đổi Fourier nhanh 20 1.4.1 Công thức ma trận 21 1.4.2 FFT với ví dụ trực giác 21 1.4.3 Đồ thị dịng tín hiệu 25 1.4.4 Thuật toán FFT 26 1.4.5 Nhân tử hóa W p 28 Chương Ứng dụng phương pháp Fourier nhanh giải phương trình parabolic tuyến tính 30 2.1 Công thức sai phân hữu hạn 30 2.2 Bài toán giá trị biên ban đầu rời rạc 32 2.3 Ví dụ số minh họa 34 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Giải tích Fourier đươc đặt theo tên nhà toán học đồng thời nhà vật lý học người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier Khi nghiên cứu lan truyền nhiệt vào năm 1800 đưa ý tưởng chuỗi điều hịa mơ tả chuyển động có chu kỳ kể giá trị phức Biến đổi Fourier phương pháp chuyển tập hữu hạn phân bố từ miền ban đầu (ví dụ thời gian, ) thành miền tần số Khái niệm toán học biến đổi Fourier áp dụng cho tập vô hạn số phức liên quan tới tính tích phân Khái niệm biến đổi Fourier liên tục có nhiều ứng dụng vật lý kỹ thuật Tuy nhiên tính tốn số ta cần biến đổi Fourier dạng rời rạc Từ ứng dụng biến đổi Fourier dạng rời rạc khoa học tính tốn dẫn tới đời phương pháp Fourier nhanh (FFT) vào năm 1965 nghiên cứu hai nhà toán học James Cooley John Tukey Biến đổi Fourier nhanh cơng cụ hữu hiệu để tính biến đổi Fourier rời rạc Fourier rời rạc ngược Biến đổi FFT có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác đặc biệt lĩnh vực xử lý tín hiệu số Bên cạnh FFT có ứng dụng khơng nhỏ việc tìm nghiệm số phương trình đạo hàm riêng Luận văn chia làm chương Nội dung Chương trình bày kiến thức liên quan tới biến đổi FFT như: Biến đổi Fourier, hàm tuần hoàn, hàm xung, biến đổi Fourier dạng rời rạc trình bày biến đổi FFT thơng qua ví dụ trực giác Chương trình bày ứng dụng biến đổi FFT việc tìm nghiệm số phương trình truyền nhiệt tuyến tính hai chiều Cũng chương có trình bày vài ví dụ số minh họa cho tính hữu hiệu thuật tốn đề xuất Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh tự đáy lịng mình, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn cô Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy Khoa Tốn - Tin, tận tình giảng dạy tạo điều kiện cho em suốt q trình học tập trường Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11 trường Đại học Khoa học giúp đỡ tơi q trình hoc tập trường Em xin trân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Nguyễn Thùy Dung Chương Giới thiệu phương pháp Fourier nhanh Trong chương trình bày số kiến thức cần thiết liên quan tới phương pháp biến đổi Fourier tích phân Fourier, biến đổi Fourier ngược, biến đổi Fourier ngược rời rạc, mối liên hệ biến đổi Fourier liên tục rời rạc, Nội dung Chương viết dựa vào phần nội dung tài liệu [1, 2] 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Tích phân Fourier Tích phân Fourier xác định biểu thức ∞ h(t)e−i2πf t dt H(f ) = (1.1) −∞ Nếu tích phân tồn cho giá trị tham số f cơng thức (1.1) định nghĩa biến đổi Fourier H(f ) h(t) Thông thường h(t) hàm biến thời gian H(f ) gọi hàm tần số Ta sử dụng ký hiệu t thời gian f tần số luận văn Hơn nữa, chữ thường biểu thị cho hàm thời gian; biến đổi Fourier hàm thời gian biểu thị chữ in hoa Nói chung, biến đổi Fourier đại lượng phức: H(f ) = R(f ) + jI(f ) = |H(f )|eiθ(f ) (1.2) R(f ) phần thực, I(f ) phần ảo biến đổi Fourier; |H(f )| độ lớn phổ Fourier h(t) cho R2 (f ) + I (f ); θ(f ) góc pha biến đổi Fourier cho tan−1 [I(f )/R(f )] Ví dụ 1.1 Cho hàm  1, h(t) = 0, −T ≤ t ≤ T, |t| > T Khi biến đổi Fourier h(t) cho T e−if t = − H(f ) = −T −if T e − eif T dt if sin f T = f Ví dụ 1.2 Để minh họa biến thiên phần tử biến đổi Fourier, ta xét hàm biến thời gian t  βe−αt , h(t) = 0, t > 0, t < Theo cơng thức (1.1) ta có ∞ H(f ) = ∞ βe −αt −jf t e e−(α+jf )t dt =β β −β −(α+jf )t ∞ = e |0 = α + jf α + jf βα fβ = − j α + f2 α2 + f β −1 = ej tan [f /α] α2 + f Khi βα , + f2 fβ I(f ) = , α + f2 β , |H(f )| = α2 + f f θ(f ) = tan−1 α Ta có minh họa hình R(f ) = α2 Hình 1.1: Phần thực, phần ảo, độ lớn góc pha biến đổi Fourier 1.1.2 Biến đổi Fourier ngược Biến đổi Fourier ngược định nghĩa sau ∞ H(f )ei2πf t df h(t) = −∞ (1.3) Phép biến đổi Fourier ngược (1.3) cho phép xác định hàm thời gian từ phép biến đổi Fourier Nếu hàm h(t) H(f ) xác định từ công thức (1.1) (1.3) chúng gọi cặp biến đổi Fourier ta sử dụng ký hiệu để xác định mối quan hệ h(t) ⇔ H(f ) 1.1.3 (1.4) Sự tồn tích phân Fourier Định lý 1.1 Nếu h(t) khả tích theo nghĩa ∞ |h(t)|dt < ∞ (1.5) −∞ biến đổi Fourier H(f ) tồn thỏa mãn biến đổi Fourier ngược (1.3) Chú ý Định lý 1.1 điều kiện đủ điều kiện cần cho tồn biến đổi Fourier Có hàm khơng thỏa mãn Định lý 1.1 có biến đổi thỏa mãn điều kiện (1.3), hàm dạng cho định lý Định lý 1.2 Nếu hàm h(t) = β(t) sin(2πf t + α) (trong f α số bất kỳ), β(t + k) < β(t) với |t| > λ > hàm h(t)/t khả tích tuyệt đối theo nghĩa (1.5) H(f ) tồn thỏa mãn biến đổi Fourier ngược (1.3) 1.1.4 Tính chất biến đổi Fourier Tính chất Tính tuyến tính Nếu x(t) y(t) có biến đổi Fourier tương ứng X(f ) Y (f ) tổng x(t) + y(t) có biến đổi Fourier X(f ) + Y (f ) Chứng minh Thật vậy, ta có ∞ ∞ [x(t) + y(t)]e −∞ −i2πf t dt = ∞ x(t)e −i2πf t −∞ = X(f ) + Y (f ) y(t)e−i2πf t dt dt + −∞ 27 Hình 1.5: Đồ thị tín hiệu FFT, N = 16 28 1.4.5 Nhân tử hóa W p Ta xét nhân tử W p , W a+b = W a W b nên ta có W (2n1 +n0 )(2k1 +k0 ) = W (2n1 +n0 )2k1 W (2n1 +n0 )k0 = [W 4n1 k1 ]W 2n0 k1 W (2n1 +n0 )k0 = W 2n0 k1 W (2n1 +n0 )k0 (1.53) Chú ý đẳng thức có W 4n1 k1 = [W ]n1 k1 = [e−i2π4/4 ]n1 k1 = Phương trình (1.52) viết lại sau 1 x0 (k1 , k0 )W 2n0 k1 W (2n1 +n0 )k0 X(n1 , n0 ) = k0 =0 (1.54) k1 =0 Phương trình (1.54) tảng thuật tốn FFT Chi tiết hơn, ta xét tổng (1.54) Trước tiên ta viết tổng ngoặc dạng x0 (k1 , k0 )W 2n0 k1 x1 (n0 , k0 ) = (1.55) k1 =0 Tính tốn phương trình (1.55) ta nhận x1 (0, 0) = x0 (0, 0) + x0 (1, 0)W x1 (0, 1) = x0 (0, 1) + x0 (1, 1)W x1 (1, 0) = x0 (1, 0) + x0 (1, 0)W (1.56) x1 (1, 1) = x0 (0, 1) + x0 (1, 1)W hay viết lại (1.56) dạng ma trận sau      x (0, 0) W x (0, 0)      x (0, 1) 0 W  x (0, 1)       =    x1 (1, 0) 1 W  x0 (1, 0)      x1 (1, 1) W x0 (0, 1) (1.57) 29 Tương tự, ta viết tổng lại (1.54) sau x1 (k0 , k0 )W (2n1 +n0 )k0 x2 (n0 , n − 1) = (1.58) k1 =0 Ta nhận ma trận    x (0, 0) W0    x (0, 1) 1 W     = x2 (1, 0) 0    x2 (1, 1) 0 0 1   x (0, 0)      x1 (0, 1)    1  W  x1 (1, 0)  W x1 (0, 1) (1.59) Từ phương trình (1.54) (1.58) ta có X(n1 , n0 ) = x2 (n0 , n1 ) (1.60) Kết hợp phương trình (1.55), (1.58) (1.60) ta x0 (k1 , k0 )W 2n0 k1 x1 (n0 , k0 ) = k1 =0 x1 (k0 , k0 )W (2n1 +n0 )k0 x2 (n0 , n − 1) = (1.61) k1 =0 X(n1 , n0 ) = x2 (n0 , n1 ) Đây cơng thức thuật tốn Fourier nhanh trường hợp N = 30 Chương Ứng dụng phương pháp Fourier nhanh giải phương trình parabolic tuyến tính Trong chương ta nghiên cứu ứng dụng phương pháp Fourier nhanh giải phương trình parabolic tuyến tính cấp Nội dung chương chủ yếu tham khảo kiến thức trình bày tài liệu [3] 2.1 Công thức sai phân hữu hạn Xét phương trình truyền nhiệt dạng ∂ 2u ∂ 2u ∂u = κ( + ) ∂t ∂x1 ∂x2 (2.1) κ số, t biến thời gian (x1 , x2 ) không gian véc tơ chiều Phương pháp sai phân hữu hạn tìm nghiệm phương trình (2.1) liên quan tới việc thay đạo hàm riêng sai phân hữu hạn thích hợp Trong nội dung chương ta giả sử phương trình (2.1) xét hình chữ nhật R mặt phẳng x Phương pháp sai phân hữu hạn tạo lưới phủ hình chữ nhật với bước lưới ∆x1 , ∆x2 tương ứng trục x1 x2 Ta giả sử 31 ∆x = ∆x1 = ∆x2 Ký hiệu bước thời gian ∆t, ý bước thời gian không định phải nói chung nhỏ ∆x để đảm bảo u cầu tính ổn định Bài tốn giá trị ban đầu phát biểu sau: Tìm hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x) giá trị biên (tức cạnh hình chữ nhật) cho điều kiện sau u(x, t) = 0, với t ≥ 0, x ∈ ∂R điều kiện Dirichlet ∂u (x, t) = 0, với t ≥ 0, x ∈ ∂R điều kiện Neumann ∂xi hỗn hợp hai điều kiện với điều kiện Dirichlet cạnh hình chữ nhật điều kiện Neumann cạnh khác Ta rời rạc hóa phương trình (2.1) Đặt m = (m1 , m2 ) t = n∆t Đạo hàm theo thời gian phương trình (2.1) xấp xỉ un+1 − unm ∇t un+1 m = m ∆t ∆t unm giá trị nghiệm rời rạc điểm lưới (m, n) với ý n biến thời gian Đạo hàm riêng cấp hai ∂2u ∂x21 xấp xỉ unm1 +1,m2 − 2unm + unm1 −1,m2 δx21 unm = ∆x2 ∆x2 unm1 ,m2 +1 − unm + unm1 ,m2 −1 δx22 unm = ∆x2 ∆x2 Như dạng rời rạc phương trình (2.1) có dạng n n ∇t un+1 m = r[δx1 um + δx2 um ] (2.2) r = κ∆t/(∆x)2 Phương trình (2.2) phương trình sai phân hiện, tức giá trị u bước thời gian n + tính qua giá trị u bước thời gian n Lược đồ sai phân cho phép tính tốn nghiệm giá trị n lớn bước sau đó, lược đồ có hạn chế khơng ổn định trường hợp r lớn Cụ thể, lược đồ (2.2) ổn định 32 0