Áp dụng phép biến đổi Laplace giải bài toán biên - ban đầu hỗn hợp cho phương trình Parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Hữu Việt ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI BÀI TOÁN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Phép biến đổi Laplace 1.1 Phép biến đổi Laplace hàm số thông thường 1.1.1 Định nghĩa hàm gốc 1.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 1.1.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 1.1.4 Biến đổi Laplace đạo hàm hàm gốc 1.1.5 Biến đổi Laplace tích chập 1.1.6 Phép biến đổi Laplace ngược 1.2 Hàm suy rộng 1.2.1 Định nghĩa hàm suy rộng 1.2.2 Các ví dụ 1.2.3 Các phép tính không gian hàm suy rộng 1.3 Hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach 1.4 Biến đổi Laplace với hàm suy rộng 1.4.1 Biến đổi Laplace hàm khả vi vô hạn có giá compact 1.4.2 Biến đổi Laplace không gian hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach 1.4.3 Công thức nghịch đảo 1.4.4 Biến đổi Laplace tích chập hai hàm suy rộng 1.4.5 Điều kiện hàm ảnh 5 12 14 17 18 18 19 20 20 21 21 22 24 25 27 Chương Bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 30 2.1 Đặt toán 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.1 Đặt toán tổng quát 2.1.2 Trường hợp hệ số phương trình không phụ thuộc vào t 2.2 Áp dụng biến đổi Laplace giải toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 2.2.1 Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp g = 2.2.2 Trường hợp g = 2.3 Một vài ví dụ 2.3.1 Nghiệm phương trình truyền nhiệt (Ω = Rn ) 2.3.2 Bài toán phân bố nhiệt độ bên kim loại 30 32 34 34 37 38 38 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS - TS Hà Tiến Ngoạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến thầy Thầy không hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà thầy thông cảm tạo điều kiện động viên em suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái Nguyên thầy cô giáo Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam dạy bảo em tận tình suốt trình học tập làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang Hà Giang tạo điều kiện cho suốt trình học tập làm luận văn Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2011 Học viên Nguyễn Hữu Việt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Luận văn trình bày tổng quan sở phép biến đổi Laplace hàm số biến t xác định nửa trục dương, có độ tăng cấp mũ hữu hạn phụ thuộc vào tham số vectơ x Trên sở đó, dùng phép biến đổi Laplace công cụ để luận văn trình bày việc nghiên cứu tính giải tính nghiệm toán biên-ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai, hệ số phương trình không phụ thuộc vào biến thời gian t Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [5] Bố cục luận văn gồm chương: • Chương Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace hàm số thông thường, nhắc lại khái niệm hàm suy rộng, hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach phép biến đổi Laplace hàm suy rộng nhận giá trị không gian Banach • Chương Luận văn trình bày toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng biến đổi Laplace để biểu diễn nghiệm toán số ví dụ áp dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép biến đổi Laplace 1.1 1.1.1 Phép biến đổi Laplace hàm số thông thường Định nghĩa hàm gốc Định nghĩa 1.1 Hàm biến thực f (t) gọi hàm gốc thoả mãn ba điều kiện sau : 1) f (t) = với t < Điều đặt thực tế t thường biến thời gian 2) f (t) liên tục khúc miền t ≥ Điều có nghĩa lấy khoảng (a,b) nửa trục thực t ≥ 0, chia thành số hữu hạn khoảng nhỏ, cho khoảng nhỏ f (t) liên tục mút khoảng nhỏ có giới hạn phía 3) f (t) không tăng nhanh hàm mũ t → +∞ Nghĩa tồn M > 0, σ0 > cho |f (t)| ≤ M eσ0 t , ∀t > 0, (1.1) σ0 gọi số tăng f (t) Rõ ràng σ0 số tăng số σ1 > σ0 số tăng Ví dụ 1.1 Hàm bước nhảy đơn vị η (t) = t < t ≥ hàm gốc η(t) liên tục với t ≥ không tăng nhanh hàm mũ với số tăng σ0 = Ví dụ 1.2 Các hàm sơ cấp f (t) = tm , f (t) = sin t, f (t) = cos t liên tục không tăng nhanh hàm mũ chưa phải hàm gốc không thoả mãn điều kiện 1) Định nghĩa 1.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tuy nhiên hàm số sau : t < f (t) t ≥ f (t)η(t) = hàm gốc 1.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace (hay gọi toán tử Laplace) định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 Giả sử f (t) hàm gốc xác định với t > Biến đổi Laplace hàm số f (t) định nghĩa ký hiệu +∞ e−pt f (t) dt F (p) = L{f (t)}(p) = (1.2) Định lý 1.1 Nếu f (t) hàm gốc với số tăng σ0 tồn biến đổi Laplace +∞ e−pt f (t) dt F (p) = L{f (t)}(p) = xác định với số phức p = σ + iτ cho σ > σ0 lim F (p) = Re(p)→∞ Hơn hàm biến phức F (p) giải tích miền Re(p) > σ0 với đạo hàm +∞ (−t)e−pt f (t) dt F (p) = (1.3) Chứng minh Với p = σ + iτ cho σ > σ0 ta có f (t) e−pt +∞ mà M e(σ0 −σ)t , e(σ0 −σ)t dt hội tụ, tích phân +∞ f (t) e−pt dt hội tụ tuyệt đối Vì tồn biến đổi Laplace F (p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn +∞ −pt |f (t) e |F (p)| +∞ |dt = f (t) e −σt −iτ t e +∞ dt = 0 +∞ Me (σ0 −σ)t M e(σ0 −σ)t dt = σ0 − σ M = suy σ→∞ σ − σ0 Ngoài lim +∞ Tích phân |f (t) e−σt |dt lim +∞ M σ0 − σ = F (p) = Re(p)→∞ f (t)e−pt dt hội tụ tích phân +∞ +∞ ∂ f (t)e−pt dt = ∂p f (t)e−pt (−t)dt hội tụ miền {p| Re(p) σ1 } với σ1 > σ (theo Định lý Weierstrass) Suy hàm ảnh F (p) có đạo hàm +∞ ∂ f (t)e−pt dt ∂p F (p) = điểm p thuộc miền Vì F (p) giải tích miền Re(p) > σ0 Nhận xét 1.1 Từ Ví dụ 1.2 suy hàm sơ cấp f (t) = tm , f (t) = sin t, f (t) = cos t có biến đổi Laplace L{f (t)η(t)} Do thay viết đầy đủ L{f (t)η(t)} ta viết tắt L{f (t)} Chẳng hạn ta viết L{sin t} thay cho L{sin tη(t)} Ví dụ 1.3 Biến đổi Laplace hàm f (t) = +∞ F (p) = L{1}(p) = e −pt e−pt dt = −p +∞ = p Ví dụ 1.4 Cho hàm f (t) = t, biến đổi Laplace f (t) +∞ e−pt tdt = F (p) = L{t}(p) = p2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.5 Cho hàm f (t) = tn , biến đổi Laplace f (t) +∞ e−pt tn dt = F (p) = L{tn }(p) = pn+1 Ví dụ 1.6 Hàm f (t) = eαt , α ∈ R có biến đổi Laplace +∞ e−pt eαt dt = F (p) = L{eαt }(p) = p−α Ví dụ 1.7 Hàm sin t có số tăng σ0 = có biến đổi Laplace +∞ e−pt sin tdt F (p) = L{sin t}(p) = Áp dụng công thức tích phân phần ta +∞ F (p) = +∞ − cos te−pt pe−pt cos tdt − +∞ = − pe−pt sin t|+∞ − p2 e−pt sin tdt ⇒ (1 + p2 )F (p) = ⇒ F (p) = 1.1.3 1 + p2 Các tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất 1.1 Phép biến đổi Laplace có tính tuyến tính Nếu f (t) g(t) có biến đổi Laplace Af (t)+Bg(t) có biến đổi Laplace (A, B số) L{Af (t) + Bg(t)}(p) = AL{f (t)}(p) + BL{g(t)}(p) (1.4) Chứng minh Gọi F (p), G(p) ảnh f (t) g(t) qua phép biến đổi Laplace Theo định nghĩa +∞ e−pt [Af (t) + Bg(t)]dt L{Af (t) + Bg(t)}(p) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do tính chất tuyến tính tích phân nên ta có +∞ +∞ e−pt [Af (t) + Bg(t)]dt = A +∞ e−pt dt + B e−pt dt = AF (p) + BG(p) Thay vào ta có L{Af (t) + Bg(t)}(p) = AF (p) + BG(p) Ví dụ 1.8 L{6 + sin t}(p) = 6L{1}(p) + 7L{sin t}(p) = + s + s2 Tính chất 1.2 Phép biến đổi Laplace có tính đồng dạng Nếu F (p) = L{f (t)}(p) với số λ > ta có p F ( ) λ λ L{f (λt)}(p) = (1.5) Chứng minh Theo định nghĩa ta có +∞ e−pt f (λt)dt L{f (λt)}(p) = Đổi biến λt = t1 , dt = dt1 ta λ +∞ +∞ p e−pt f (λt)dt = L{f (λt)}(p) = e− λ t1 f (t1 )dt1 = p F ( ) λ λ Ví dụ 1.9 L{sin ωt}(p) = 1 ω = ω (p/ω)2 + p2 + ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... hợp hệ số phương trình không phụ thuộc vào t 2.2 Áp dụng biến đổi Laplace giải toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 2.2.1 Áp dụng biến đổi Laplace. .. văn trình bày toán biên- ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng biến đổi Laplace để biểu diễn nghiệm toán số ví dụ áp. .. biến đổi Laplace công cụ để luận văn trình bày việc nghiên cứu tính giải tính nghiệm toán biên- ban đầu hỗn hợp phương trình parabolic tuyến tính cấp hai, hệ số phương trình không phụ thuộc vào biến