Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM

Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận bao quát toàn bộ kiến thức môn học. Bài tập trong đề thi này sẽ giúp các các bạn sinh viên biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó.

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Khẳng định sau sai? z A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z C) Cho hai số phức khác z1 = r1 e iϕ B) Phương trình e = 2016 e −3πi vô nghiệm , z2 = r2 e iϕ ⎧ r =r Khi : z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ϕ = ϕ1 ± 2kπ D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z + 3i − i + e z laø: − 2i 3x C) u ( x, y ) = e cos y , v( x, y ) = e x sin y Câu Phần thực phần ảo hàm phức f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) = A) u ( x, y ) = −1 + e x cos y , v( x, y ) = e x sin y B) u ( x, y) = + e x cos y , v( x, y ) = e x sin y D) u ( x, y ) = −1 + e x cos y , v( x, y ) = −e x sin y Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện Cauchy – Riemann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D B) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) khơng khả vi miền D D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Riemann (xo,yo) Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y ) = 3x − y − y + , v = xy + x + Khẳng định sau đúng? A) u, v hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hịa khơng hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa B) u điều hịa, v khơng điều hịa Câu Khẳng định sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm toàn mặt phẳng phức f(z) giải tích toàn mặt phẳng phức B) Hàm f(z) = z + e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức C) 8z + e5z ∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5e z + 6i D) ) =2 ∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5e z − 2i =6 Câu Ảnh đường thẳng y = -x qua phép biến hình w = A) đường thẳng u = v C) đường thẳng u = -v Câu Khẳng định sau sai? 8z + e 5z = u +iv 3z B) nửa đường thẳng u = v, với v > D) nửa đường thẳng u = -v, với v < -1- ) A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng f (z ) = +∞ Re s[f (z), a] = a −1 ∑ an (z − a)n n = −∞ 23 24 + + vaø z = laø điểm bất thường cốt yếu f(z) 3! z 4! ⎡ 2z ⎤ 4π z C) ∫ z e dz = = 2πi Re s ⎢ z e ,0⎥ = z − i =5 ⎣ ⎦ ∞ 1 1 ⎡ ⎤ = ∑ (−1) n nên thặng dư Re s ⎢( z + i) cos D) Haøm f(z)=(z+i) cos ,−i ⎥ = − n −1 (2n)! ( z + i ) z+i ⎦ z+i ⎣ n=0 B) f(z) = z e z = z + z + z + Câu Cho phương trình vi phaân: y’+6y = u(t-5) e (t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= pY+6Y = e −5 p +14 p−2 e −5 p 14 + ( p − 2)( p + 6) p+6 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai (2) (3) 14 −5 p ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ + − e ⎜⎜ ⎝ p − p + 6⎠ p +6 ( t −5) ( e − e −6 (t −5 )u (t − 5) +14 e −6t C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ⎡ t 5u ⎤ p−5 e ch6udu ⎥ = ⎢ ∫ B) L ⎣0 ⎦ p ( p − 5) − 36 ( C) Neáu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = 1 − e− Tp < t < π ⎧0 vaø f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = ⎩sin 9t π < t < 2π D) Neáu f (t ) = ⎨ T ∫e ) − pt f (t ) dt 1 − e−πp 2π − pt sin 9tdt ∫e π t Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e −7 t +10 ∫ y (u ) cos 3(t − u ) du ta làm sau: ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e −7 t +10y(t)*cos3t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ 2e −7 t ] +10 L [y(t)*cos3t] ♦ Aùp duïng công thức Borel ta Y= ♦ p 2 + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = +10Y p+7 p+7 p +9 2( p + 9) Giaûi phương trình với Y ẩn ta được: Y = ( p − 1)( p − 9)( p + 7) -2- ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= A B C + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p + ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 9t + Ce −7t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm lập z = i Tính tích phân I = f ( z ) = ( z − i ) sin z −i quanh điểm bất thường cô ⎛ ⎞ + e z ⎟dz ⎜ ( z + i ) sin z −i ⎠ z − 3i = ⎝ ∫ Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t với điều kiện y(0) = y’(0) = Tính lim y (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t → +∞ đủ lớn Câu 13 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phân L di (t ) + R i (t ) = Eo , i(0) = dt với E o , R, L số dương p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) Tính lim i (t ) dựa vào kết xác định t → +∞ giá trị (gần đúng) i (t ) sau khoảng thời gian t đủ lớn ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 13 tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 Giám thị Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0010-0014-0001-2016-314116-0010 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Cho phương trình vi phân: y’+6y = u(t-5) e ( t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] e −5 p pY+6Y = +14 p−2 ♦ Bieán đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: (2) e −5 p 14 ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= + ( p − 2)( p + 6) p+6 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (3) 14 −5 p ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ + e ⎜⎜ − ⎝ p − p + 6⎠ p +6 ( ) ( t −5) e − e −6 (t −5 u (t − 5) +14 e −6t C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡ t 5u ⎤ p−5 e ch6udu ⎥ = ⎢ ∫ B) L ⎣0 ⎦ p ( p − 5) − 36 ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp < t < π ⎧0 f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = ⎩sin 9t π < t < 2π D) Nếu f (t ) = ⎨ Câu Khẳng định sau sai? iϕ ∫e − pt f (t ) dt 1 − e−πp 2π − pt sin 9tdt ∫e π z A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z C) Cho hai số phức khác z1 = r1 e T ) B) Phương trình e = 2016 e −3πi vô nghieäm , z2 = r2 e iϕ ⎧ r =r Khi : z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ϕ = ϕ1 ± 2kπ D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z + 3i − i + e z laø: − 2i 3x C) u ( x, y ) = e cos y , v( x, y ) = e x sin y Câu Phần thực phần ảo hàm phức f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) = A) u ( x, y ) = −1 + e x cos y , v( x, y ) = e x sin y B) u ( x, y ) = + e x cos y , v( x, y ) = e x sin y D) u ( x, y ) = −1 + e x cos y , v( x, y ) = −e x sin y Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện Cauchy – Riemann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D -1- B) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) khơng khả vi miền D D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Riemann (xo,yo) Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y ) = 3x − y − y + , v = xy + x + Khẳng định sau đúng? A) u, v hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hịa khơng hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa B) u điều hịa, v khơng điều hịa Câu Khẳng định sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm toàn mặt phẳng phức f(z) giải tích toàn mặt phẳng phức B) Haøm f(z) = z + e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức C) 8z + e5z ∫ (z − 1) z + 6i =2 D) dz = 2π i(8 + 5e ) 8z + e 5z ∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5e z − 2i ) =6 Câu Ảnh đường thẳng y = -x qua phép biến hình w = = u +iv 3z A) đường thẳng u = v B) nửa đường thẳng u = v, với v > C) đường thẳng u = -v D) nửa đường thẳng u = -v, với v < Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng f (z ) = +∞ ∑ an (z − a)n n = −∞ Re s[f (z), a] = a −1 23 24 + + z = điểm bất thường cốt yếu f(z) 3! z 4! ⎡ 2z ⎤ 4π z C) ∫ z e dz = = 2πi Re s ⎢ z e ,0⎥ = z − i =5 ⎣ ⎦ ∞ 1 1 ⎡ ⎤ = ∑ (−1) n nên thặng dư Re s ⎢( z + i) cos ,−i ⎥ = − D) Haøm f(z)=(z+i) cos n −1 (2n)! ( z + i ) z+i z+i ⎦ ⎣ n=0 t Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e −7 t +10 ∫ y (u ) cos 3(t − u ) du ta làm sau: ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e −7 t +10y(t)*cos3t B) f(z) = z e z = z + z + z + ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ 2e −7 t ] +10 L [y(t)*cos3t] ♦ p dụng công thức Borel ta Y= p 2 + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = +10Y p+7 p+7 p +9 ♦ Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = 2( p + 9) ( p − 1)( p − 9)( p + 7) -2- ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= A B C + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p + ♦ Bieán đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 9t + Ce −7t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm lập z = i Tính tích phân I = f ( z ) = ( z − i ) sin z −i quanh điểm bất thường cô ⎛ ⎞ + e z ⎟dz ⎜ ( z + i ) sin z −i ⎠ z − 3i = ⎝ ∫ Caâu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t với điều kiện y(0) = y’(0) = Tính lim y (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t → +∞ đủ lớn Câu 13 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phân L di (t ) + R i (t ) = Eo , i(0) = dt với E o , R, L số dương p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) Tính lim i (t ) dựa vào kết xác định t → +∞ giá trị (gần đúng) i (t ) sau khoảng thời gian t đủ lớn ? Ghi chuù : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 13 tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0011-0014-0001-2016-314116-0011 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ôû trang 6) Câu Ảnh đường thẳng y = -x qua phép biến hình w = = u +iv 3z A) đường thẳng u = v B) nửa đường thẳng u = v, với v > C) đường thẳng u = -v D) nửa đường thẳng u = -v, với v < Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng f (z ) = +∞ ∑ an (z − a)n n = −∞ ez = Re s[f (z), a] = a −1 23 24 + + z = điểm bất thường cốt yếu f(z) 3! z 4! ⎡ 2z ⎤ 4π z C) ∫ z e dz = = 2πi Re s ⎢ z e ,0⎥ = z − i =5 ⎣ ⎦ ∞ 1 1 ⎡ ⎤ ,−i ⎥ = − = ∑ (−1) n nên thặng dư Re s ⎢( z + i) cos D) Haøm f(z)=(z+i) cos n −1 (2n)! ( z + i ) z+i z +i ⎦ ⎣ n=0 B) f(z) = z z + 2z + 2z + Caâu Cho phương trình vi phân: y’+6y = u(t-5) e ( t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: e −5 p pY+6Y = +14 p−2 (2) e −5 p 14 ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= + ( p − 2)( p + 6) p+6 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quaû sai (3) 14 −5 p ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ + e ⎜⎜ − ⎝ p − p + 6⎠ p + ( ) ( t −5) e − e −6 (t −5 u (t − 5) +14 e −6t C) Caùch làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ⎡ t 5u ⎤ p−5 e ch udu ⎢ ⎥= B) L ∫ ⎣0 ⎦ p ( p − 5) − 36 ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp -1- T ∫e ) − pt f (t ) dt < t < π ⎧0 D) Neáu f (t ) = ⎨ f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = ⎩sin 9t π < t < 2π Câu Khẳng định sau sai? iϕ 2π − pt sin 9tdt ∫e π z A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z C) Cho hai số phức khác z1 = r1 e 1 − e−πp B) Phương trình e = 2016 e −3πi vô nghieäm , z2 = r2 e iϕ ⎧ r =r Khi : z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ϕ = ϕ1 ± 2kπ D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z + 3i − i + e z laø: − 2i C) u ( x, y ) = e x cos y , v( x, y ) = e x sin y Câu Phần thực phần ảo hàm phức f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) = A) u ( x, y ) = −1 + e x cos y , v( x, y ) = e x sin y B) u ( x, y) = + e x cos y , v( x, y ) = e x sin y D) u ( x, y ) = −1 + e x cos y , v( x, y ) = −e x sin y Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện Cauchy – Riemann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D B) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) khơng khả vi miền D D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Riemann (xo,yo) Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y ) = 3x − y − y + , v = xy + x + Khẳng định sau đúng? A) u, v hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hịa khơng hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa B) u điều hịa, v khơng điều hịa Câu Khẳng định sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm toàn mặt phẳng phức f(z) giải tích toàn mặt phẳng phức B) Hàm f(z) = z + e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức C) 8z + e5z ∫ (z − 1) z + 6i =2 D) dz = 2π i(8 + 5e ) 8z + e 5z ∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5e z − 2i =6 t Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e +10 ∫ y (u ) cos 3(t − u ) du ta laøm sau: −7 t ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e −7 t +10y(t)*cos3t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ 2e −7 t ] +10 L [y(t)*cos3t] ♦ p dụng công thức Borel ta Y= p 2 + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = +10Y p+7 p+7 p +9 ♦ Giaûi phương trình với Y ẩn ta được: Y = 2( p + 9) ( p − 1)( p − 9)( p + 7) -2- ) ♦ Phaân tích thành phân thức đơn giản: Y= A B C + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p + ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghieäm : y(t) = Ae t + Be 9t + Ce −7t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm lập z = i Tính tích phân I = f ( z ) = ( z − i ) sin z −i quanh điểm bất thường cô ⎛ ⎞ + e z ⎟dz ⎜ ( z + i ) sin z −i ⎠ z − 3i = ⎝ ∫ Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t với điều kiện y(0) = y’(0) = Tính lim y (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t → +∞ đủ lớn Câu 13 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phân L di (t ) + R i (t ) = Eo , i(0) = dt với E o , R, L số dương p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) Tính lim i (t ) dựa vào kết xác định t → +∞ giá trị (gần đúng) i (t ) sau khoảng thời gian t đủ lớn ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 13 tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0011-0014-0001-2016-314116-0011 Giám thị Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0100-0014-0001-2016-314116-0100 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y ) = 3x − y − y + , v = xy + x + Khẳng định sau đúng? A) u, v hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hịa khơng hàm điều hòa liên hợp D) v điều hòa, u khơng điều hịa B) u điều hịa, v khơng điều hịa Câu Khẳng định sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm toàn mặt phẳng phức f(z) giải tích toàn mặt phẳng phức B) Hàm f(z) = z + e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức C) 8z + e5z ∫ (z − 1) z + 6i =2 D) dz = 2π i(8 + 5e ) ∫ (z − 1)2 dz = 2π i(8 + 5e z − 2i ) =6 Câu Ảnh đường thẳng y = -x qua phép biến hình w = A) đường thẳng u = v C) đường thẳng u = -v 8z + e 5z = u +iv 3z B) nửa đường thẳng u = v, với v > D) nửa đường thẳng u = -v, với v < Câu Cho phương trình vi phaân: y’+6y = u(t-5) e ( t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY+6Y = e −5 p +14 p−2 (2) e −5 p 14 ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= + ( p − 2)( p + 6) p+6 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai (3) 14 −5 p ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ + − e ⎜⎜ ⎝ p − p + 6⎠ p + ( ) ( t −5) e − e −6 (t −5 u (t − 5) +14 e −6t C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ⎤ ⎡ t 5u p−5 e ch6udu ⎥ = ⎢ ∫ B) L ⎦ p ( p − 5) − 36 ⎣0 ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp -1- T ∫e ) − pt f (t ) dt < t < π ⎧0 D) Nếu f (t ) = ⎨ f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = ⎩sin 9t π < t < 2π Câu Khẳng định sau sai? iϕ 2π − pt sin 9tdt ∫e π z A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z C) Cho hai số phức khác z1 = r1 e 1 − e−πp B) Phương trình e = 2016 e −3πi vô nghiệm , z2 = r2 e iϕ ⎧ r =r Khi : z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ϕ = ϕ1 ± 2kπ D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z + 3i − i + e z laø: − 2i C) u ( x, y ) = e x cos y , v( x, y ) = e x sin y Câu Phần thực phần ảo hàm phức f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) = A) u ( x, y ) = −1 + e x cos y , v( x, y ) = e x sin y B) u ( x, y) = + e x cos y , v( x, y ) = e x sin y D) u ( x, y ) = −1 + e x cos y , v( x, y ) = −e x sin y Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng f (z ) = +∞ ∑ an (z − a)n n = −∞ Re s[f (z), a] = a −1 23 24 + + vaø z = điểm bất thường cốt yếu f(z) 3! z 4! 2 ⎡ ⎤ 4π C) ∫ z e z dz = = 2πi Re s ⎢ z e z ,0⎥ = z − i =5 ⎣ ⎦ ∞ 1 1 ⎡ ⎤ ,−i ⎥ = − = ∑ (−1) n nên thặng dư Re s ⎢( z + i) cos D) Haøm f(z)=(z+i) cos n −1 z+i ⎦ (2n)! ( z + i ) z+i ⎣ n=0 B) f(z) = z e z = z + z + z + Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện Cauchy – Riemann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D B) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) khơng khả vi miền D D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Riemann (xo,yo) t Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e −7 t +10 ∫ y (u ) cos 3(t − u ) du ta laøm sau: ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e −7 t +10y(t)*cos3t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ 2e −7 t ] +10 L [y(t)*cos3t] ♦ p dụng công thức Borel ta Y= p 2 + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = +10Y p+7 p+7 p +9 ♦ Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = 2( p + 9) ( p − 1)( p − 9)( p + 7) -2- ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= A B C + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p + ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 9t + Ce −7t A) Caùch làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm lập z = i Tính tích phân I = f ( z ) = ( z − i ) sin z −i quanh điểm bất thường coâ ⎛ ⎞ + e z ⎟dz ⎜ ( z + i ) sin z −i ⎠ z − 3i = ⎝ ∫ Caâu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t với điều kiện y(0) = y’(0) = Tính lim y (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t → +∞ đủ lớn Câu 13 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phân L di (t ) + R i (t ) = Eo , i(0) = dt với E o , R, L số dương p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) Tính lim i (t ) dựa vào kết xác định t → +∞ giá trị (gần đúng) i (t ) sau khoảng thời gian t đủ lớn ? Ghi chuù : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy 13 tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0100-0014-0001-2016-314116-0100 Giám thị Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 14/1/2016) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 Câu hỏi 10 Trả lời B A C A C C C A D B Mã đề: 0010-0014-0001-2016-314116-0010 Câu hỏi 10 Trả lời A D B A C A C C C B Mã đề: 0011-0014-0001-2016-314116-0011 Câu hỏi 10 A C A C B Trả lời C C A D B Mã đề: 0100-0014-0001-2016-314116-0100 Câu hỏi 10 Trả lời A C C A D B A C C B BAØI LAØM PHẦN TỰ LUẬN Nội dung Câu hỏi Câu 11 sin = z −i ( ∞ ∑ (−1) n =0 n n +1 ) z −i = (2n + 1)! Điểm điểm (−1) n ∑ n +1 n = ( 2n + 1)! ( z − i ) ∞ ∞ ∞ (−1) n (−1) n f ( z ) = ( z − i) sin = ( z − i) ∑ =∑ n +1 n −1 z −i n = ( 2n + 1)! ( z − i ) n = ( 2n + 1)! ( z − i ) 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 5z I = ∫ ⎜ ( z + i ) sin + e z ⎟dz = ∫ ⎜ ( z + i ) sin ⎟dz + ∫ e dz z −i z −i⎠ ⎠ z − 3i = ⎝ z − 3i = ⎝ z − 3i = -1- 0,75ñ ∫e 5z dz = ( hàm e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức ) 0,25đ z − 3i = ⎞ ⎛ 2 , i] ⎜ ( z + i ) sin ⎟dz = 2πi Re s[( z + i ) sin z i z − i − ⎝ ⎠ z − 3i = ∫ ( z + i ) = ( z − i + 2i ) = ( z − i ) + 4i ( z − i ) − Suy ∞ ∞ (−1) n 4i (−1) n − 4(−1) n + + ∑ ∑ ∑ n −1 2n n +1 n = ( 2n + 1)! ( z − i ) n = ( 2n + 1)! ( z − i ) n = ( 2n + 1)!( z − i ) −1 25 −4=− , i] = Nên Re s[( z + i ) sin z −i 3! ⎞ 25πi 25 ⎛ ⎜ ( z + i ) sin ⎟dz = 2πi (− ) +0 = − ∫ z −i⎠ z − 3i = ⎝ ( z + i ) sin = z −i ∞ Câu12 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1,5đ Đặt Y = Y ( p ) = L [y(t )] Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: [ p Y − py (0) − y ' (0) + 6( pY − y (0) ) + 20Y = L 50 + e ⇔ Y ( p + p + 20) = ⇔Y= −6 t ] 0,5ñ 50 + p p+6 C ( p + 3) + D 11 51 p + 300 A B = + + p p+6 p ( p + 6)[( p + 3) + 11] ( p + 3) + 11 0,5đ Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta y (t ) = L −1 [Y ] = L −1 [ A p+3 1 11 +D ] +B +C p p+6 ( p + 3) + 11 ( p + 3) + 11 ⇔ y (t ) = A + Be −6t + Ce −3t cos 11t + De −3t sin 11t 0,5ñ lim y (t ) = lim A + B lim e −6t + lim [ e −3t (C cos 11t + D sin 11t )] = A t → +∞ t → +∞ t → +∞ t → +∞ Sau khoảng thời gian t đủ lớn y (t ) ≈ A = (tính A bên dưới) Tìm A, B, C , D dựa vào đẳng thức: C ( p + 3) + D 11 51 p + 300 A B = + + p p+6 p ( p + 6)[( p + 3) + 11] ( p + 3) + 11 A= 51 × (−6) + 300 51 × + 300 = , B= = 2 (0 + 6)[(0 + 3) + 11] − 6[( −6 + 3) + 11] 20 -2- 0,5ñ Cho p = −3 : − 147 A B D = + + 99 − 3 11 Cho p = −2 : − A B C + D 11 99 = + + 48 − 12 Suy C = − 51 147 11 , D=− 20 220 Caâu 13 1,5ñ di(t ) + R i (t ) = Eo , i(0) = dt với E o , R, L số dương L ⎡ di ⎤ Đặt I = I(p) = L [i(t )] ⇒ L ⎢ ⎥ = L [i' (t )] = pI-i(0) = pI ⎣ dt ⎦ L.i' (t ) + Ri = Eo Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta E E LIp +RI = o ⇔ I (Lp +R) = o p p ⎛ ⎞ ⎜ Eo Eo ⎟⎟ ⎜ − ⇔I= ⇔ I= R R ⎜p p(Lp + R) p + ⎟⎟ ⎜ ⎝ L⎠ R ⎛ − t⎞ E ⎟ ⎜ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta : i(t) = L -1 [ I ] = o ⎜1 − e L ⎟ R ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ R ⎛ − t⎞ Eo ⎜ L ⎟ = Eo e − lim i (t ) = lim ⎟⎟ R t → +∞ t → +∞ R ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ Sau khoảng thời gian t đủ lớn i(t ) ≈ 0.5ñ 0.5ñ Eo R 0.5đ *** HẾT*** -3- ... Toán -3 - -4 - -5 - Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP .HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 201 5-2 016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN Đ? ?I LAPLACE. .. Toán -3 - -4 - -5 - Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP .HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 201 5-2 016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN Đ? ?I LAPLACE. .. Toán -3 - -4 - -5 - Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP .HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 201 5-2 016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN Đ? ?I LAPLACE