Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận bao quát toàn bộ kiến thức môn học. Bài tập trong đề thi này sẽ giúp các các bạn sinh viên biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó.
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0001 PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn caâu: A, B, C, D ) Câu Tập hợp nghiệm phương trình z = 8e 6−ì 6π { } { A) 2e , e ( −1 + i ), e (−1 − i ) B) ∅ Câu Khẳng định sau sai? } C) 2e , e (1 + i ) iϕ } z A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z C) Cho hai số phức khác z1 = r1 e { D) 2e ,2e (1 + i ),2e (1 − i ) B) Phương trình e = 2015 e −πi vô nghiệm , z2 = r2 e iϕ r =r ⎧ Khi : z1 = z2 ⇔ ⎨ ϕ ϕ 2kπ = ± ⎩ D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z Câu Khẳng định sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm toàn mặt phẳng phức f(z) giải tích toàn mặt phẳng phức B) Hàm f(z) = z + e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức C) ∫ z + e z dz z + 4i = (z − 1) D) = 2π i (6 + 5e ) ∫ z − 2i = 6 z + e z dz (z − 1) = 2π i (6 + 5e ) Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y) v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) liên tục (xo,yo) D) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D Câu Ảnh đường thẳng y = A) đường thẳng u = B) tia argw = -π/2 π qua phép biến hình w = e − z = u +iv C) tia argw = π/2 D) đường thẳng v = Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng f (z ) = +∞ ∑ an (z − a)n n = −∞ Re s[f (z), a] = a −1 -1- B) Haøm f(z)=(z+i) cos = z+i C) f(z) = D) ∑ (−1) n n=0 1 1 ⎡ ⎤ neân thặng dư Re s ⎢( z + i ) cos , −i ⎥ = − n −1 (2n)! ( z + i ) z+i ⎦ ⎣ 23 24 z e z = z + 2z + 2z + + + vaø 3! ∫ z e z dz = z −1 = ∞ z 4! z = điểm bất thường cốt yếu f(z) ⎡ 2z ⎤ 4π z z e dz = 2πi Re s ⎢ z e ,0⎥ = ∫ z −1 = ⎣ ⎦ Câu Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y = e −πp + 27 (2) p −1 e −πp 27 + (3) ( p − 1)( p − 2) p − ⎛ 1 ⎞ 27 ⎟⎟ + Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp ⎜⎜ − ⎝ p − p −1⎠ p − 2 ( t −π ) t −π Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e − e )u (t − π ) + 27e 2t Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u = 3x − y − y , v = xy + x Khẳng định sau đúng? A) u, v hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hịa khơng hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa B) u điều hịa, v khơng điều hịa Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ F ( p) A) L[f(t-a)u(t-a)] = e F(p) B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ T − pt f ( t ) dt C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = e ∫ − − Tp -ap e ⎧ ⎩sin 4t D) Neáu f (t ) = ⎨ < t < π vaø f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π 1 − e− 2πp 2π − pt sin 4tdt ∫e Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) -1 ⎡ ⎤ −2 t C) L ⎢ ⎥ = 2e *sin 2t ( p + 2)( p + 4) ⎣ ⎦ B) L [2 + t + sh3t ] = ⎡ 2 p + + p p p −9 ⎤ p−2 2t D) L ⎣ p − p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t -1 ⎢ PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phaân y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân -2- ⎧ x'+3 y = sin t , với điều kiện x(0) = 0, ⎨ t ⎩ x + y '+2 y = e y(0) = Câu 13 (2 điểm) t a) Tìm ảnh hàm gốc: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu t b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phaân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du -? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP Số báo danh(STT): Phòng thi : ………… BIẾN ĐỔI LAPLACE Ngày thi: 27/12/2014 Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0001 Lưu ý: Sinh viên làm thi Giám thị 1: Giám thị 2: trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Giáo viên chấm thi 1&2 số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải ĐIỂM Sinh viên nộp lại đề thi với làm BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010 PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu: A, B, C, D ) Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u = 3x − y − y , v = xy + x Khẳng định sau đúng? A) u, v hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hòa khơng hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa B) u điều hịa, v khơng điều hịa Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ ⎣0 ⎦ B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) F ( p) p C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp ⎧ D) Neáu f (t ) = ⎨ ⎩sin 4t < t < π vaø f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π T − pt f ( t ) dt ∫e 1 − e− 2πp 2π − pt sin 4tdt ∫e Câu Tập hợp nghiệm phương trình z = 8e 6−ì 6π { } B) ∅ A) 2e , e ( −1 + i ), e (−1 − i ) Câu Khẳng định sau sai? { } C) 2e , e (1 + i ) iϕ } z A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z C) Cho hai số phức khác z1 = r1 e { D) 2e ,2e (1 + i ),2e (1 − i ) B) Phương trình e = 2015 e −πi vô nghiệm , z2 = r2 e iϕ r =r ⎧ Khi : z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ϕ = ϕ1 ± 2kπ D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z Caâu Khẳng định sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm toàn mặt phẳng phức f(z) giải tích toàn mặt phẳng phức B) Hàm f(z) = z + e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức C) ∫ z + 4i = z + e z dz (z − 1) D) = 2π i (6 + 5e ) ∫ z − 2i = 6 z + e z dz (z − 1) = 2π i (6 + 5e ) Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y) v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) B) Nếu hàm v(x,y) không điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D -1- C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) liên tục (xo,yo) D) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hòa miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D π Câu Ảnh đường thẳng y = qua phép biến hình w = e − z = u +iv A) đường thẳng u = B) tia argw = -π/2 C) tia argw = π/2 D) đường thẳng v = Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng f (z ) = +∞ ∑ an (z − a)n n = −∞ Re s[f (z), a] = a −1 = B) Haøm f(z)=(z+i) cos z+i C) f(z) = D) ∑ (−1) n n=0 1 1 ⎡ ⎤ nên thặng dư Re s ⎢( z + i ) cos , −i ⎥ = − n −1 z+i ⎦ (2n)! ( z + i ) ⎣ 23 24 z e z = z + 2z + 2z + + + vaø 3! ∫ z e z dz = z −1 = ∞ z 4! z = điểm bất thường cốt yếu cuûa f(z) ⎡ 2z ⎤ 4π z z e dz π i = Re s ⎢ z e ,0 ⎥ = ∫ z −1 = ⎣ ⎦ Câu Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: e −πp pY-2Y = + 27 (2) p −1 e −πp 27 + (3) ( p − 1)( p − 2) p − ⎛ 1 ⎞ 27 ⎟⎟ + Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp ⎜⎜ − ⎝ p − p −1⎠ p − 2 ( t −π ) t −π Bieán đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e − e )u (t − π ) + 27e 2t Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) ⎡ ⎤ = 2e −2t *sin 2t ⎥ ⎣ ( p + 2)( p + 4) ⎦ C) L -1 ⎢ B) L [2 + t + sh3t ] = ⎡ p−2 ⎤ 2 p + + p p p −9 2t D) L -1 ⎢⎣ p − p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x'+3 y = sin t , với điều kiện x(0) = 0, ⎨ t ⎩ x + y '+2 y = e -2- y(0) = Câu 13 (2 điểm) t a) Tìm ảnh hàm gốc: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu t b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du -? Ghi chuù : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt -3- -4- Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011 PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu: A, B, C, D ) π Câu Ảnh đường thẳng y = qua phép biến hình w = e − z = u +iv A) đường thẳng u = B) tia argw = -π/2 C) tia argw = π/2 D) đường thaúng v = Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? B) L [2 + t + sh3t ] = A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) 2 p + + p p p −9 ⎤ p−2 2t D) L ⎣ p − p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t ⎡ -1 ⎡ ⎤ −2 t C) L ⎢ ⎥ = 2e *sin 2t ( p + 2)( p + 4) ⎣ ⎦ -1 ⎢ Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u = 3x − y − y , v = xy + x Khẳng định sau đúng? A) u, v hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hịa khơng hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa B) u điều hịa, v khơng điều hịa Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ ⎣0 ⎦ B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = ⎧ D) Nếu f (t ) = ⎨ ⎩sin 4t F ( p) p 1 − e− Tp < t < π f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π T − pt f ( t ) dt ∫e 1 − e− 2πp 2π − pt sin 4tdt ∫e Câu Tập hợp nghiệm phương trình z = 8e 6−ì 6π { } B) ∅ A) 2e , e ( −1 + i ), e (−1 − i ) Câu Khẳng định sau sai? { } C) 2e , e (1 + i ) iϕ } z A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z C) Cho hai số phức khác z1 = r1 e { D) 2e ,2e (1 + i ),2e (1 − i ) B) Phương trình e = 2015 e −πi vô nghieäm , z2 = r2 e iϕ ⎧ r =r Khi : z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ϕ = ϕ1 ± 2kπ D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z Câu Khẳng định sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm toàn mặt phẳng phức f(z) giải tích toàn mặt phẳng phức B) Hàm f(z) = z + e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức -1- C) ∫ z + e z dz (z − 1) z + 4i = D) = 2π i (6 + 5e ) ∫ z − 2i = 6 z + e z dz (z − 1) = 2π i (6 + 5e ) Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y) v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) liên tục (xo,yo) D) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có daïng f (z ) = +∞ ∑ an (z − a)n n = −∞ Re s[f (z), a] = a −1 = B) Haøm f(z)=(z+i) cos z+i C) f(z) = D) ∑ (−1) n n=0 1 1 ⎡ ⎤ nên thặng dư Re s ⎢( z + i ) cos , −i ⎥ = − n −1 z+i ⎦ (2n)! ( z + i ) ⎣ 23 24 z e z = z + 2z + 2z + + + vaø 3! ∫ z e z dz = z −1 = ∞ z 4! z = điểm bất thường cốt yếu f(z) ⎡ 2z ⎤ 4π z z e dz π i = Re s ⎢ z e ,0 ⎥ = ∫ z −1 = ⎣ ⎦ Câu 10 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: e −πp pY-2Y = + 27 (2) p −1 e −πp 27 + Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= (3) ( p − 1)( p − 2) p − ⎛ 1 ⎞ 27 ⎟⎟ + − Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp ⎜⎜ ⎝ p − p −1⎠ p − 2 ( t −π ) t −π Bieán đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e − e )u (t − π ) + 27e 2t A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phaân y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x'+3 y = sin t , với điều kiện x(0) = 0, ⎨ t x y ' y e + + = ⎩ Câu 13 (2 điểm) -2- y(0) = t a) Tìm ảnh hàm gốc: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu t b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du -? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP Số báo danh(STT): Phòng thi : ………… BIẾN ĐỔI LAPLACE Ngày thi: 27/12/2014 Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011 Lưu ý: Sinh viên làm thi Giám thị 1: Giám thị 2: trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Giáo viên chấm thi 1&2 số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải ĐIỂM Sinh viên nộp lại đề thi với làm BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: 1001060 Thời gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000 PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu: A, B, C, D ) Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y) v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) liên tục (xo,yo) D) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D Câu Ảnh đường thẳng y = A) đường thẳng u = B) tia argw = -π/2 π qua phép biến hình w = e − z = u +iv laø C) tia argw = π/2 D) đường thẳng v = Câu Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y = e −πp + 27 (2) p −1 e −πp 27 + (3) ( p − 1)( p − 2) p − ⎛ 1 ⎞ 27 ⎟⎟ + Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp ⎜⎜ − ⎝ p − p −1⎠ p − Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e (t −π ) − e t −π )u (t − π ) + 27e 2t Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) -1 ⎡ ⎤ C) L ⎢ = 2e −2t *sin 2t ⎥ ⎣ ( p + 2)( p + 4) ⎦ B) L [2 + t + sh3t ] = 2 p + + p p p −9 ⎤ p−2 2t D) L ⎣ p − p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t ⎡ -1 ⎢ Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u = 3x − y − y , v = xy + x Khẳng định sau đúng? A) u, v hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hòa khơng hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa B) u điều hịa, v khơng điều hịa -1- Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ ⎣0 ⎦ B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) F ( p) p C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp ⎧ D) Neáu f (t ) = ⎨ ⎩sin 4t < t < π vaø f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π T − pt f ( t ) dt ∫e 1 − e− 2πp 2π − pt sin 4tdt ∫e Câu Tập hợp nghiệm phương trình z = 8e 6−ì 6π { } { B) ∅ A) 2e , e (−1 + i ), e (−1 − i ) Câu Khẳng định sau sai? } C) 2e , e (1 + i ) iϕ } z A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z C) Cho hai số phức khác z1 = r1 e { D) 2e ,2e (1 + i ),2e (1 − i ) B) Phương trình e = 2015 e −πi vô nghiệm , z2 = r2 e iϕ r =r ⎧ Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ ⎨ ⎩ϕ = ϕ1 ± 2kπ D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z Câu Khẳng định sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm toàn mặt phẳng phức f(z) giải tích toàn mặt phẳng phức B) Hàm f(z) = z + e z có đạo hàm toàn mặt phẳng phức nên giải tích toàn mặt phẳng phức C) ∫ z + e z dz (z − 1) z + 4i = D) = 2π i (6 + 5e ) ∫ z − 2i = 6 z + e z dz (z − 1) = 2π i (6 + 5e ) Câu 10 Khẳng định sau sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng f (z ) = +∞ ∑ an (z − a)n n = −∞ Re s[f (z), a] = a −1 = B) Haøm f(z)=(z+i) cos z+i C) f(z) = D) ∑ (−1) n n=0 1 1 ⎤ ⎡ nên thặng dư Re s ⎢( z + i ) cos ,−i ⎥ = − n −1 (2n)! ( z + i ) z+i ⎦ ⎣ 23 24 z e z = z + 2z + 2z + + + vaø 3! ∫ z e z dz = z −1 = ∞ z 4! z = điểm bất thường cốt yếu f(z) ⎡ 2z ⎤ 4π z z e dz π i = s Re ⎢ z e ,0 ⎥ = ∫ z −1 = ⎦ ⎣ PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phaân ⎧ x'+3 y = sin t , với điều kiện x(0) = 0, ⎨ t ⎩ x + y '+2 y = e -2- y(0) = Câu 13 (2 điểm) t a) Tìm ảnh hàm goác: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu t b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du -? Ghi chuù : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP Số báo danh(STT): Phòng thi : ………… BIẾN ĐỔI LAPLACE Ngày thi: 27/12/2014 Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000 Lưu ý: Sinh viên làm thi Giám thị 1: Giám thị 2: trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Giáo viên chấm thi 1&2 số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải ĐIỂM Sinh viên nộp lại đề thi với làm BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 27/12/2014) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000 Câu hỏi 10 Trả lời D B C B A Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-001 Câu hỏi D A B C D 10 Trả lời A B C D B Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010 Câu hỏi D C A D B 10 Trả lời A D A B C Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011 Câu hỏi D B D C B 10 B C D D C Trả lời B B A D A BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Câu Điểm Nội dung hỏi Câu 11 1,5đ Đặt Y = Y ( p ) = L [y(t )] Bieán đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất 0.5đ tuyến tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: −3t 2t p Y − py (0) − y ' (0) − 6( pY − y (0) ) + 25Y = L [e − e ] 1 − p+3 p−2 A B C ( p − 3) + D −5 + ⇔Y= = + p−2 p+3 ( p − 2)( p + 3)[( p − 3) + 16] ( p − 3) + 16 ⇔ Y ( p − p + 25) = 0.5đ Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta y (t ) = L −1 [Y ] = L −1 [ A p−3 1 +D +B +C ] p−2 p+3 ( p − 3) + 16 ( p − 3) + 16 ⇔ y (t ) = Ae 2t + Be −3t + Ce 3t cos 4t + De 3t sin 4t + 3e 3t sin 4t Tìm A, B, C , D dựa vào đẳng thức: (*) A B −5 C ( p − 3) + D + = + p−2 p+3 ( p − 2)( p + 3)[( p − 3) + 16] ( p − 3) + 16 −1 −5 −5 A= , B= = = 2 17 52 (2 + 3)[(2 − 3) + 16] ( −3 − 2)[(−3 − 3) + 16] A B − 3C + D Từ (*) cho p = được: + + = 25 × 25 − B D −5 Từ (*) cho p = được: =A+ + 96 0.5ñ Suy C = 35 25 , D= 884 1768 Caâu 12 1.5đ Đặt X = L [x], Y = L [y]; biến đổi Laplace hai vế ta được: ⎧ pX + 3Y = ⎪ ′ L [ x ] + L [ y ] = L [ sin t ] ⎧ ⎪ p +1 ⇔⎨ ⎨ t ⎩L [x ] + L [y ′] + 2L [ y ] = L e ⎪ X + ( p + 2)Y = p −1 ⎩⎪ 0.5ñ [ ] ⎧ − p2 + p − A( p − 1) + B C Dp + E = + + ⎪⎪ X = 2 p + p +1 ( p − 1) ( p + 3)( p + 1) ( p − 1) ⇔⎨ p − p+2 A' ( p − 1) + B' C' D' p + E ' ⎪Y = = + + 2 ⎪⎩ p+3 ( p − 1) ( p + 3)( p + 1) ( p − 1) p2 +1 Biến đổi ngược hai vế ta được: 0.5ñ p 1 1 ⎧ +B +C +D +E ] x = L −1 [ A ⎪ ⎧x = L [X ] p −1 p+3 p +1 p +1 ( p − 1) ⇔ ⎪⎨ ⎨ −1 p 1 1 ⎩ y = L [Y ] ⎪ y = L −1 [ A' + B' + C' + D' + E' ] ⎪⎩ p −1 p+3 p +1 p +1 ( p − 1) t t −3t ⎧ ⇔ ⎨ x = Aet + Btet + Ce −3t + D cos t + E sin t ⎩ y = A' e + B' te + C ' e + D' cos t + E ' sin t ♦ Tìm A, B, C , D, E dựa vào 0.5ñ −1 − p2 + p − A( p − 1) + B C Dp + E + + = 2 p + p +1 ( p − 1) ( p + 3)( p + 1) ( p − 1) − 12 + × − − − (−3) + × − C = , =− = 2 16 (1 + 3)(1 + 1) (−3 − 1) (9 + 1) −7 C ⎧ ⎪ Cho p = : = − A + B + + E ⎪⎪ −7 C 2D + E = A+ B+ + ⎨ Cho p = : 25 5 ⎪ − − A + B E − 2D ⎪Cho p = −2 : = +C + ⎩⎪ B= −3 , C=− 16 −3 −7 , E= D= 10 Thay B = vào hệ sử dụng máy tính casio giải A = 69 , 80 ♦ Tương tự, tìm A' , B ' , C ' , D ' , E ' dựa vào p3 − p + A' ( p − 1) + B' C' D' p + E ' = + + 2 p+3 ( p − 1) ( p + 3)( p + 1) ( p − 1) p2 +1 B' = 13 − + (−3) − (−3) + 11 = , C ' = = 2 (1 + 3)(1 + 1) (−3 − 1)((−3) + 1) 20 2 C' ⎧ ⎪ Cho p = : = − A'+ B'+ + E ' ⎪⎪ C ' D'+ E ' = A'+ B'+ + ⎨ Cho p = : 25 5 ⎪ − − A ' + B ' E '−2 D' ⎪Cho p = −2 : = + C '+ ⎪⎩ 45 11 vào hệ sử dụng máy tính casio giải A' = Thay B ' = , C ' = 20 E' = , D' = , Caâu 13 a)L [f(t)] = e − pπ = e − pπ ⎛ 2p p + ⎜⎜ 2 p +1 ⎝ ( p + 1) ' ⎞ ⎟⎟ + L [ e −2 t cos 5t ] ⎠ p 1− 3p2 p p+2 + 10 + p ( p + 2) + 25 p +1 ( p + 1) 1đ 0.5đ 0.5đ b) p dụng tích chập, phương trình viết lại y (t ) = e 5t + y (t ) * cos t Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính định lý Borel ta Y= 1 p + 2L [y(t)] L [cost] ⇔ Y = +2Y p −5 p −5 p +1 0.5đ Giải phương trình với Y ẩn ta p2 +1 A B ( p − 1) + C Y= = + p−5 ( p − 5)( p − 1) ( p − 1) Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghieäm y (t ) = L −1 [Y ] = L −1 [ A 1 +B +C ] p−5 p −1 ( p − 1) ⇔ y (t ) = Ae 5t + Be t + Cte t Tìm A, B, C dựa vào đẳng thức p2 +1 A B ( p − 1) + C = + p−5 ( p − 5)( p − 1) ( p − 1) 13 −1 −5 A= ,C= , B= 8 0.5ñ ... coi thi không gi? ?i thích đề thi Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt -3 - -4 - -5 - Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP .HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC... coi thi không gi? ?i thích đề thi Ngày 25 tháng 12 năm 2014 Bộ môn duyệt -3 - -4 - -5 - Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP .HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC... LUẬN -6 - 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp .HCM ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN PHÉP BIẾN Đ? ?I LAPLACE BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: 1001060 Th? ?i gian : 75 phút(27/12/2014) Đề thi gồm