Biến đổi laplace và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.NCVC NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Mục lục Mở đầu 1 Định nghĩa biến đổi Laplace tính chất 1.1 Định nghĩa hình thức biến đổi Laplace ví dụ 1.1.1 Định nghĩa hình thức 1.1.2 Các ví dụ 1.2 Điều kiện tồn biến đổi Laplace 1.3 Các tính chất đơn giản biến đổi Laplace 1.4 Tích chập Laplace 1.5 Đạo hàm biến đổi Laplace biến đổi Laplace tích phân Volterra 1.5.1 Đạo hàm biến đổi Laplace 1.5.2 Biến đổi Laplace tích phân Volterra 1.6 Biến đổi Laplace ngược 1.6.1 Công thức Mellin 1.6.2 Phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược dựa vào công thức biết 1.6.3 Phương pháp vận dụng tích chập 1.6.4 Tích phân theo chu tuyến kín thặng dư tìm biến dổi Laplace ngược 1.6.5 Định lý khai triển Heaviside 1.7 Định lý Tauberian bổ đề Watson 1.7.1 Định lý Tauberian 1.7.2 Bổ đề Watson 3 3 Ứng dụng biến đổi Laplace phương trình vi phân 2.1 Dẫn luận 2.2 Phương trình vi phân thường số vấn đề liên quan 2.2.1 Phương trình vi phân thường 2.2.2 Dao động điều hòa 10 10 12 13 13 17 18 18 21 23 23 26 29 29 30 30 33 2.3 2.4 Phương trình sai phân phương trình vi-sai phân 2.3.1 Dẫn luận 2.3.2 Phương trình sai phân 2.3.3 Phương trình vi phân có chậm Phương trình đạo hàm riêng 2.4.1 Phương trình cấp 2.4.2 Phương trình truyền nhiệt 2.4.3 Phương trình dao động Ứng dụng biến đổi Laplace phương trình tích phân 3.1 Tổng chuỗi vô hạn 3.2 Tính tích phân suy rộng 3.3 Phương trình tích phân Volterra 44 44 48 49 51 51 53 57 chuỗi, tích phân 60 60 62 64 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Mở đầu Cùng với biến đổi tích phân khác, biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin, v.v , biến đổi Laplace biến đổi tích phân quan trọng Giải tích tốn học cơng cụ hữu hiệu giải nhiều tốn phương trình vi phân, phương trình tích phân, v.v Vì thế, tìm hiểu học tập biến đổi Laplace việc cần thiết Tôi chọn đề tài "Biến đổi Laplace số ứng dụng" làm đề tài luận văn với mong muốn học tập tìm hiểu sâu lĩnh vực Đã có số luận văn khóa luận đề tài này, chẳng hạn tài liệu từ 1)-3) [4] Tuy nhiên, nhiều vấn đề quan trọng hay lý thuyết ứng dụng biến đổi Laplace mà tài liệu trước chưa đề cập, là: Định lý Tauberian Bổ đề Watson, phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược, phương trình sai phân vi phân có chậm, áp dụng biên đổi Laplace tìm tổng chuỗi tính tích phân suy rộng, phương trình tích phân Abel, v.v Mục đích luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi Laplace số ứng dụng phương trình vi phân, phương trình tích phân số vấn đề liên quan khác Luận văn có bố cục: Mở đầu, ba chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương trình bày sở lý thuyết biến đổi Laplace, sâu biến đổi Laplace ngược, Định lý Tauberian Bổ đề Watson Đặc biệt, đưa nhiều ví dụ có độ khó khác tìm biến đổi Laplace biến đổi Laplace ngược Chương trình bày ứng dụng biến đổi Laplace phương trình vi phân thường, phương trình sai phân phương trình vi phân có chậm, phương trình đạo hàm riêng Đã chọn lựa nhiều ví dụ áp dụng có nguồn gốc từ Cơ học Vật lý, đao động điều hòa, dao động điện điều hòa, truyền nhiệt, v.v Chương trình bày số ứng dụng biến đổi Laplace toán tìm tổng chuỗi vơ hạn, tính tốn đánh giá tích phân, giải phương trình tích phân Volterra dạng chập, đặc biệt phương trình tích phân Abel nửa trục Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình Thầy-Tiến sỹ, NCVC Nguyễn Văn Ngọc, Trường Đại học Thăng Long Chính Thầy giúp em có thêm động lực để học tập, nghiên cứu hồn thiện khóa luận Bên cạnh đó, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Quý Thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp K7Y chúng em, Ban Giám Hiệu, Phịng đào tạo, Khoa Tốn-Trường Đại học khoa học-Đại học Thái Nguyên nhiệt tình giúp đỡ em suốt trình học tập Trường, trình làm luận văn sau Thật thiếu sót em không nhắc đến quan tâm, giúp đỡ thành viên lớp K7Y em; Thầy BGH, đồng nghiệp, Tổ Tốn Hội đồng Giáo dục Nhà Trường THPT Hưng Yên, nơi em cơng tác Và cịn nữa, tinh thần ủng hộ, quan tâm, động viên, khích lệ, tạo điều kiện hết lịng gia đình giúp em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới tất người Về thân, em cố gắng không ngừng việc trau dồi cầu thị để khóa luận thêm hồn thiện đón nhận quan tâm, góp ý Quý Thầy cô bạn bè đồng nghiệp Em xin trân trọng cảm ơn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Học viên Vũ Thị Thu Hà Chương Định nghĩa biến đổi Laplace tính chất Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace thuận Laplace ngược, tính chất biến đổi Laplace, đặc biệt dịch chuyển tích chập Ngồi phần lý thuyết, chương cịn đưa nhiều ví dụ minh họa Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [5], [6] 1.1 1.1.1 Định nghĩa hình thức biến đổi Laplace ví dụ Định nghĩa hình thức Biến đổi Laplace f (t) cách hình thức định nghĩa công thức: ∞ L{f (t)} = f (s) = e−st f (t)dt Res > (1.1) Ở e−st hạt nhân biến đổi s biến số biến đổi số phức Dưới điều kiện rộng rãi f (t), biến đổi Laplace f (s) hàm giải tích theo s nửa mặt phẳng, Re > a, a số thực dương Sử dụng cơng thức (1.1), tính toán biến đổi Laplace số hàm cấp thấp đơn giản 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.1 Nếu f (t) = eat , a số thực ∞ L{eat } = f (s) = e−(s−a)t dt = , Res > a s−a (1.2) Ví dụ 1.2 Nếu f (t) = sin at, a số thực ∞ L{sin at} = ∞ [e−t(s−ia) − e−t(s+ia) ]dt 2i 1 a = − = 2i s − ia s + ia s + a2 e−st sin atdt = (1.3) Tương tự, ta có: L{cos at} = s s + a2 (1.4) Ví dụ 1.3 Nếu f (t) = sinh at cosh at, a số thực ∞ a − a2 ∞ s L{cosh at} = e−st cosh atdt = s − a2 L{sinh at} = e−st sinh atdt = s2 (1.5) (1.6) Ví dụ 1.4 Nếu f (t) = tn , n số nguyên dương f (s) = L{tn } = n! sn+1 (1.7) Trở lại công thức (1.2) với a = 0, lấy đạo hàm theo s hai vế, cách hình thức, ta có: ∞ te−st dt = s2 (1.8) Điều có nghĩa L{t} = s2 (1.9) Đạo hàm theo s hai vế (1.8) ta được: ∞ L{t } = t2 e−st dt = 2 s3 (1.10) Tương tự vậy, với a = 0, lấy đạo hàm theo s hai vế (1.2) n lần, ta công thức: ∞ L{t } = tn e−st dt = n n! sn+1 (1.11) Ví dụ 1.5 Nếu a > −1 số thực L{ta } = Γ(a + 1) , (s > 0) sa+1 (1.12) Chúng ta có ∞ L{ta } = ta e−st dt Lúc này, đặt st = x, = ∞ xa e−x dx = sa+1 Γ(a + 1) sa+1 Ở Γ(a) hàm Gamma định nghĩa tích phân ∞ xa−1 e−x dx, a > Γ(a) = (1.13) Hàm Gamma có tính chất: Γ(a + 1) = aΓ(a) (1.14) Rõ ràng, kết (1.12) phần mở rộng (1.11) Sau trường hợp đặc biệt trước a số nguyên dương Đặc biệt a = − , kết (1.12) cho: Γ( ) L{ √ } = √2 = s t √ π , khiΓ( ) = π s (1.15) Tương tự, √ Γ( ) √ π L{ t} = 3/2 = , s3/2 s (1.16) đây: √ 1 π Γ( ) = Γ( + 1) = Γ( ) = 2 2 1.2 Điều kiện tồn biến đổi Laplace Một hàm f (t) gọi hàm cấp mũ a > (0 ≤ t < ∞), tồn số dương K , cho t > T , |f (t)| ≤ Keat , (1.17) viết điều cách tượng trưng sau: f (t) = O(eat ), t → ∞ (1.18) Hay tương đương: lim e−bt |f (t)| ≤ K lim e−(b−a)t = 0, b > a t→∞ t→∞ (1.19) Đơn giản hơn, hàm f (t) gọi cấp mũ t → ∞ khơng tăng nhanh Keat t → ∞ Định lý 1.1 Nếu hàm f (t) liên tục liên tục khúc khoảng thời gian xác định (0; T ) hàm cấp mũ eat , biến đổi Laplace f (t) tồn với s, theo điều kiện phần thực Res > a Chứng minh Chúng ta có ∞ ∞ −ct f (s) = e ∞ (1.20) e−t(c−a) dt = ≤K e−ct |f (t)|dt f (t)dt ≤ K , c = Res > a c−a Chứng minh hoàn thành Lưu ý điều kiện nêu Định lý 1.1 điều kiện đủ mà điều kiện cần Cũng theo (1.20), lim |f (s)| = ⇒ lim f (s) = s→∞ s→∞ Kết xem tính chất giới hạn biến đổi Laplace Tuy nhiên f (s) = s s2 không biến đổi Laplace hàm liên tục (hay hàm liên tục phần) nào, f (s) không tiến tới s → ∞ Hơn nữa, hàm f (t) = at2 , a > khơng thể có biến đổi Laplace hàm liên tục khơng cấp mũ 1.3 Các tính chất đơn giản biến đổi Laplace Tính chất dịch chuyển Định lý 1.2 (Định lý thứ chuyển dịch Heaviside) Nếu L{f (t)} = f (s) L{e−at f (t)} = f (s + a), a số thực Chứng minh Theo định nghĩa, có ∞ L{e −at e−(s+a)t f (t)dt = f (s + a) f (t)} = (1.21) x = hạn chế chuyển động cho dịch chuyển u(0, t) = Af (t), t ≥ 0, A số Bài toán lời giải phương trình sóng chiều utt = c2 uxx , ≤ x < ∞, t > 0, (2.169) với điều kiện biên ban đầu: u(x, t) = Af (t) x = 0, t ≥ 0, (2.170) u(x, t) → x → ∞, t ≥ 0, ∂u u(x, t) = t = 0, với < x < ∞ ∂t (2.171) (2.172) Lời giải Áp dụng biến đổi Laplace cho hàm u(x, t) biến t cho: d2 u s − u = 0, với ≤ x < ∞, dx2 c2 u(x, s) = Af (s) x = 0, u(x, s) → x → ∞ Lời giải hệ thống vi phân u(x, s) = Af exp − xs c (2.173) Phép toán ngược cho lời giải sau x x u(x, t) = Af (t − )H(t − ) c c (2.174) Nói cách khác lời giải là: u(x, t) = x x Af (t − ), t > c xc 0, t< c (2.175) lời giải đại diện cho sóng lan truyền với vận tốc c đặc tính x = ct Ví dụ 2.21 (Phương trình sóng khơng đồng nhất) Giải phương trình sau πx u − u = k sin , < x < a, t > 0, tt xx c2 a u(x, 0) = = ut (x, 0), < x < a, (2.177) u(0, t) = = u(a, t), t > 0, (2.178) (2.176) c, k a số Lời giải Ứng dụng biến đổi Laplace cho d2 u s πx k − u = − sin , dx2 c2 s a u(0, s) = = u(a, s) 58 (2.179) (2.180) Lời giải tổng quát phương trình (2.179) πx sx sx a + B exp − + u(x, s) = A exp c c π c2 a2 s s + a k sin (2.181) Theo (2.180), A = B = 0, đó, lời giải (2.181) trở thành u(x, s) = k π c2 sin πx a − s s , π c2 s + a (2.182) đó, phép tốn ngược, cho ta lời giải, u(x, t) = k − cos (πc)2 59 πct a sin πx a (2.183) Chương Ứng dụng biến đổi Laplace chuỗi, tích phân phương trình tích phân Chương trình bày số ứng dụng biến đổi Laplace tốn tìm tổng chuỗi vơ hạn, tính tốn đánh giá tích phân, giải phương trình tích phân Volterra dạng chập, đặc biệt phương trình tích phân Abel nửa trục Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [5], [6] [7] 3.1 Tổng chuỗi vô hạn Với trợ giúp biến đổi Laplace, Wheelon (1954) lần phát triển phương pháp trực tiếp cho tốn tổng chuỗi vơ hạn hình thức đóng Phương pháp ơng chủ yếu dựa hoạt động chứa tổng kết hai mặt biến đổi Laplace biến đổi biến s, mà coi số giả tổng n Tiếp theo trao đổi tổng tích phân dẫn đến tổng mong muốn giống tích phân loạt hình học cấp số nhân, mà tóm gọn hình thức khép kín Sau đó, thảo luận thủ tục số chi tiết Nếu f (s) = L{f (x)}, ∞ ∞ an f (n) = n=1 ∞ f (x)e−nx dx an (3.1) n=1 Trong nhiều trường hợp, tráo đổi trật tự tổng tích phân cho (3.1) cho ∞ ∞ an f (n) = n=1 f (t)b(t)dt, 60 (3.2) ∞ b(t) = an exp(−nt) (3.3) n=1 Bây giờ, ta giả sử f (t) = p−1 t exp(−xt) cho f (n) = (n + x)−p Do đó, Γ(p) (3.2) trở thành ∞ ∞ an f (n) = n=1 n=1 an = p (n + x) Γ(p) ∞ b(t)tp−1 exp(−xt)dt (3.4) Điều cho thấy chuỗi nói chung thể số hạng tích phân Tiếp theo chúng tơi minh họa phương pháp ví dụ đơn giản Ví dụ 3.1 Chứng minh tổng chuỗi ∞ n=1 π2 = n2 (3.5) Lời giải Đặt x = 0, p = 2, an = 1, ∀n, tìm thấy, từ (3.3) (3.4), ∞ b(t) = exp(−nt) = n=1 et −1 (3.6) ∞ n=1 = n2 ∞ tdt π2 = ζ(2) = et − (3.7) Trong đó, kết tiêu chuẩn sau sử dụng: ∞ tp−1 Γ(p) dt = p ζ(p), at e −1 a (3.8) ζ(p) hàm zeta Riemann xác định phía công thức (3.10) Tương tự vậy, ∞ n=1 1 = n Γ(3) ∞ t2 dt = ζ(3) et − (3.9) Tổng quát hơn, thu từ (3.8) ∞ n=1 p−1 dt 1 ∞t = ∞ = ζ(p) np Γ(p) et − 61 (3.10) Ví dụ 3.2 Chứng minh ∞ exp(−an) = −log(1 − e−a ) n n=1 (3.11) Lời giải Chúng ta đặt x = 0, p = 1, an = exp(−an) cho ∞ b(t) = exp[−n(t + a)] = n=1 ea+t − , (3.12) kết (3.4) cho ∞ n=1 exp(−an) = n ∞ ∞ = dt , −1 ea+t exp(−t) = x, dx = − log(1 − e−a ) a e −x Ví dụ 3.3 Chứng minh ∞ (n2 n=1 1 = (πx coth πx − 1) +x ) 2x (3.13) Lời giải Chúng ta thiết lập f (t) = 1 sin xt, f (n) = , x n + x2 Rõ ràng ∞ exp(−nt) = b(t) = n=1 Vì ∞ n=1 3.2 an = 1, ∀n 1 = (n2 + x2 ) x ∞ et −1 sin xt dt = (πx coth πx − 1) et − 2x2 Tính tích phân suy rộng Biến đổi Laplace sử dụng để đánh giá cách dễ dàng tích phân xác định biết có chứa tham số Mặc dù phương pháp đánh giá khơng q nghiêm ngặt, đơn giản dễ hiểu Phương pháp dựa thừa nhận việc giao hoán thứ tự tích phân, b L b Lf (t, x)dx, f (t, x)dx = a (3.14) a mơ tả tốt cách xem xét số tích phân quan trọng 62 Ví dụ 3.4 Tính tích phân suy rộng sau ∞ sin tx dx x(a2 + x2 ) f (t) = (3.15) Lời giải Chúng ta áp dụng biến đổi Laplace cho (3.15) biến t giao hoán thứ tự tích phân, điều cho phép dẫn đến hội tụ đều, để thu ∞ f (s) = ∞ dx x(a + x2 ) = s − a2 ∞ dx (a2 + x2 )(x2 1 − dx = 2 +s x +s s − a2 a2 π π = = s(s + a) ∞ e−st sin txdt = + s2 ) , 1 π − , a s 1 − s s+a Sử dụng phép toán tử ngược cho giá trị tích phân thu được, ta có: f (t) = π (1 − e−at ) 2a (3.16) Ví dụ 3.5 Tính tích phân suy rộng sau ∞ f (t) = sin2 tx dx x2 (3.17) Một thủ tục tương tự tích phân với sin2 tx = − cos(2tx) cho f (s) = = s ∞ x2 ∞ y2 s − dx = s 4x + s s dy y = tan−1 +s s s ∞ ∞ dx , + s2 4x2 =± π 2s2 theo thường hợps > < Thực phép toán biến đổi ngược cho kết quả: f (t) = πt sgnt (3.18) Ví dụ 3.6 Chứng minh rằng: ∞ x sin xt π dx = e−at , (a, t > 0) 2 x +a Giả sử ∞ f (t) = (3.19) x sin xt dx x + a2 Lấy biến đổi Laplace ẩn t cho: ∞ f (s) = = x2 dx = (x2 + a2 )(x2 + s2 ) π a 1− 2s s+a = ∞ dx a2 − x + s s − a2 π 2s+a 63 ∞ x2 1 − dx, +a x + s2 Thực toán tử biến đổi ngược, thu f (t) = 3.3 π −at e Phương trình tích phân Volterra Định nghĩa 3.1 Một phương trình mà hàm chưa biết xảy dạng tích phân gọi phương trình tích phân Một phương trình có dạng b f (t) = h(t) + λ k(t, τ )f (τ )dτ , (3.20) a f hàm chưa biết, h(t), k(t, τ ); cận tích phân a b biết; λ số, gọi phương trình tích phân tuyến tính loại thứ hai phương trình tích phân tuyến tính Volterra Các hàm k(t, τ ) gọi hạt nhân phương trình Một phương trình gọi đồng không đồng theo h(t) = theo h(t) = Nếu hạt nhân phương trình có dạng k(t, τ )=g(t − τ ), phương trình gọi phương trình tích phân dạng chập Trong phần này, phải làm để phương pháp biến đổi Laplace áp dụng thành cơng cho việc giải phương trình tích phân dạng chập Phương pháp đơn giản dễ hiểu, minh họa ví dụ Ví dụ 3.7 Giải phương trình tích phân dạng chập có dạng t g(t − τ )f (τ )dτ f (t) = h(t) + λ (3.21) Lời giải Chúng ta áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình để thu t f (s) = h(s) + λL g(t − τ )f (τ )dτ Bằng định lí chập, f (s) = h(s) + λf (s)g(s) Hoặc f (s) = h(s) − λg(s) 64 (3.22) Thực phép toán biến đổi Laplace ngược cho lời giải thức sau: h(s) − λg(s) f (t) = L−1 (3.23) Trong nhiều trường hợp đơn giản, phía tay phải thực theo phép toán ngược cách sử dụng phân số phần lí thuyết dư lượng Do đó, lời giải dễ dàng tìm thấy Ví dụ 3.8 Giải phương trình tích phân sau: t f (t) = a + λ (3.24) f (τ )dτ Lời giải Chúng ta lấy biến đổi Laplace (3.24) để tìm f (s) = a s−λ Bằng cách áp dụng tốn tử ngược, ta có kết sau: (3.25) f (t) = a exp(λt) Ví dụ 3.9 Giải phương trình vi tích phân t f (τ ) sin(t − τ )dτ , f (t) = a sin t + f (0) = 0 Lời giải Lấy biến đổi Laplace, thu f (s) = s2 a + 2L{f (t)}L{sin t} +1 Hoặc f (s) = a {sf (s) − f (0)} + s2 + s2 + Do đó, điều kiện ban đầu f (s) = a (s − 1)2 Thực phép toán ngược kết lời giải, ta f (t) = at exp(t) (3.26) Ví dụ 3.10 Giải phương trình tích phân t f (t) = atn − e−bt − c f (τ )ec(t−τ ) dτ 65 (3.27) Lời giải Lấy biến đổi Laplace, thu được: an! c − f (s) − n+1 s s+b s−c f (s) = Vì thế, có f (s) = s−c s an! an! (ac)n! s + b − c − b = n+1 − n+2 − , − n+1 s s+b s s s s+b an! (ac)n! c + b − , − n+2 − + n+1 s s s b s s+b an! c c (ac)n! = n+1 − n+2 − + + − 1+ , s s s b s b s+b c an! (ac)n! c − 1+ = n+1 − n+2 + s s bs b s+b = Thực phép toán ngược kết lời giải, ta f (t) = atn − n!ac n+1 c t + − (n + 1)! b 1+ c −bt e b Ví dụ 3.11 (Phương trình đổi thống kê) Hàm ngẫu nhiên X(t) thời gian t đại diện cho số lần vài kiện xảy thời điểm thời gian t, thường gọi trình đếm Một biến ngẫu nhiên Xn mà ghi lại thời gian giả định cho X để có giá trị n từ n − gọi thời gian liên đến Nếu biến ngẫu nhiên X1 , X2 , X3 độc lập phân phối giống nhau, sau q trình đếm X(t) gọi q trình đổi Chúng ta ý đến hàm phân phối xác suất thông thường F (t) hàm mật độ f (t) cho F (t) = f (t) Các hàm đổi xác định số lần dự kiến lần kiện tính tốn xảy theo thời gian t kí hiệu r(t) cho ∞ r(t) = E{X(t)} = E{X(t)|X1 = x}f (x)dx (3.28) Ở đây, E{X(t)|X1 = x} giá trị kì vọng có điều kiện X(t), theo điều kiện X1 = x có giá trị E{X(t)|X1 = x} = [1 + r(t − x)]H(t − x) Do (3.29) t {1 + r(t − x)}f (x)dx r(t) = Hoặc t r(t − x)f (x)dx r(t) = F (t) + 66 (3.30) Lời giải Đây gọi phương trình đổi thống kê tốn học Chúng ta giải phương trình cách biến đổi Laplace với t, phương trình biến đổi Laplace là: r(s) = F (s) + r(s)f (s) Hoặc F (s) − f (s) r(s) = (3.31) Thực phép toán biến đổi Laplace ngược lời giải thức phương trình đổi F (s) − f (s) r(t) = L−t (3.32) Ví dụ 3.12 Nếu hạt nhân tách được, phương trình tích phân kỳ dị thường biến đổi thành phương trình đạo hàm riêng hệ tuyến tính phương trình đạo hàm riêng Xét phương trình tích phân kỳ dị Volterra x e−3(x−t) φ(t)dt x φ(x) = e + −∞ Nếu ta nhân vào phương trình e3x lấy đạo hàm, ta thu phương trình tuyến tính cấp φ (x) + φ(x) = 4ex sau thực phép rút gọn Nghiệm phương phương vi phân tùy thuộc vào điều kiện ban đầu φ (0) + φ(0) = Sau giải phương trình này, ta thu nghiệm φ(x) = (φ(0) − 2)e−x + 2ex Ví dụ 3.13 Phương trình tích phân kỳ dị Volterra loại hai +∞ k(x − t)φ(t)dt, φ(x) = f (x) + x mà có hạt nhân tích chập hạt nhân sai phân, giải với biến đổi Laplace, nghiệm khơng Cơng thức biến đổi cần thiết +∞ K(x − t)φ(t)dt L x 67 = K(−s)Φ(s), (3.33) +∞ k(−x)esx dx Φ(s) = L{φ(x)} K(−s) = Để giải thích trình này, xét phương trình tích phân +∞ −x φ(x) = 3e ex−t φ(t)dt +2 x Vì k(x) = ex , K(−s) = 1/(1 − s) Sau biến đổi phương trình tích phân, rút gọn, ta tìm Φ(s) = − , s + (s + 1)2 từ ta kết luận φ(x) = 3e−x − 6xe−x Tuy nhiên, nghiệm không Giả sử tồn tai hai nghiệm phân biệt, cụ thể φ1 (x) φ2 (x) Nếu ta đặt δ(x) = φ1 (x) − φ2 (x), δ(x) phải thỏa mãn phương trình +∞ ex−t δ(t)dt δ(x) = x Sau biến đổi phương trình tích phân thành phương trình vi phân, ta thu δ (x) + δ(x) = Do đó, δ(x) = ce−x , c số tùy ý Suy nghiệm tổng qt phương trình tích phân có dạng φ(x) = φ(0)e−x − 6xe−x Nếu phương trình tích phân biến đổi thành phương trình vi phân theo trình tóm tắt ví dụ trước nghiệm tổng quát thu cách trực tiếp Ví dụ 3.14 Xét phương trình tích phân x sin (x − t) Φ(t)dt = x sin x, (3.34) với K(x, t) = sin(x − t) Nếu phương pháp biến đổi Laplace miêu tả mục trước áp dụng phương trình ta s2 s , L {Φ (x)} = +1 (s2 + 1) L {Φ (x)} = Từ đây, ta kết luận φ(x) = cos x 68 s2 s +1 Nhận xét 3.1 Nếu ta lấy đạo hàm theo x hai vế phương trình tích phân (3.34) ta phương trình Volterra loại sau: x 1 cos(x − t)Φ (t) dt = x cos x + sinx 2 (3.35) Bây lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.35) ta phương trình Volterra loại hai x sin (x − t) Φ(t)dt = cos x − x sin x Φ (x) − (3.36) Các phương trình (3.35), (3.36) có nghiệm Φ(x) = cos x phương trình (3.36) tìm cách sử dụng biến đổi Laplace Ví dụ 3.15 ( Phương trình tích phân Abel nửa trục) Phương trình Abel phương trình tích phân dạng Volterra với nhân có kỳ dị yếu lũy thừa Xét phương trình tích phân Abel loại nửa trục x f (x) = φ(t)dt, (x − t)α < x < ∞, (3.37) < α < Chúng ta giải phương trình (3.37) phương pháp biến đổi Laplace Nếu F (s) = L{f (x)} Φ(x) = L{φ(x)}, ta có phương trình biến đổi F (s) = Γ(1 − α) Φ(s), s1−α mà xếp lại dạng Φ(s) s−α Γ(α) sin(απ) Γ(α) = F (s) = F (s) s Γ(1 − α)Γ(α) π sα Đảo ngược lại, ta thu x L φ(t)dt = sin(απ) L{xα−1 }L{f (x)}, π = sin(απ) L π x f (t)dt , (x − t)1−α từ ta kết luận sin(απ) d φ(x) = π dx x f (t)dt (x − t)1−α Ví dụ 3.16 Xét phương trình tích phân Volterra x ex−t Φ (t) dt = sinx 69 Từ ex−t hạch chập, ta áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình Sau số bước đơn giản ta tìm L {Φ (x)} = s−1 = L {cos x − sinx} s2 + Từ đây, ta kết luận Φ (x) = cos x − sinx nghiệm phương trình Mặt khác tích phân x ex−t Φ (t) dt = cos x khơng có nghiệm liên tục đoạn có dạng [0, b] với b bất kì, từ cos x = Tuy nhiên ta sử dụng biến đổi Laplace cho phương trình này, ta L {Φ (x)} = − s2 s − = L {δ (x) − cos x − sinx} +1 s +1 Từ ta kết luận Φ (x) = δ (x) − cos x − sinx nghiệm phương trình, δ (x) hàm δ -Dirac 70 Kết luận Luận văn đề cập vấn đề sau đây: Trình bày sở lý thuyết biến đổi Laplace, định nghĩa biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược, tích chập tính chất khác biên đổi Laplace, đặc biệt Định lý Tauberian Bổ đề Watson Đưa nhiều ví dụ đa dạng tìm biến đổi Laplace hàm Trình bày phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược, phương pháp tách phân thức, phương pháp vận dụng tích chập, phương pháp thặng dư (phương pháp tích phân chu tuyến), v.v Xét ứng dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, tính tổng vơ hạn, tính tích phân suy rộng, dáng điệu tiệm cận, v.v Những ứng dụng minh họa nhiều ví dụ đa dạng 71 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục [2] Cao Thị Thùy (2006), Biến đổi Laplace số ứng dụng, Luận văn Thạc sỹ, Đại học Vinh [3] Trần Trung Thành (2008), Phép biến đổi Laplace ứng dụng, Luận văn Thạc sỹ, Đại học sư phạm Hà Nội [4] Nguyễn Thị Bích Hạnh (2010), Phép biến đổi Laplace ứng dụng giải phương trình vi phân tích phân, Luận văn Thạc sỹ, Trường Đại học KHTN, ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [5] Debnath L and Batta D (2007), Integral Transforms and their Applications, by Taylor and Francis Group [6] Schiff J L (1999), The Laplace Transform: Theory and Applications, Springer-Velag [7] Zemyan S M (2012), The Classical Theory of Integral Equations, A Concise Treatment, Birkhauser 72 ... thuyết biến đổi Laplace, sâu biến đổi Laplace ngược, Định lý Tauberian Bổ đề Watson Đặc biệt, đưa nhiều ví dụ có độ khó khác tìm biến đổi Laplace biến đổi Laplace ngược Chương trình bày ứng dụng biến. .. vài ví dụ cách giải khác khác biệt phương trình cách sử dụng kĩ thuật biến đổi Việc sử dụng có hiệu biến đổi Laplace Fourier minh họa cách giải số tốn gía trị biên ban đầu Ứng dụng biến đổi Laplace. .. Hà Chương Định nghĩa biến đổi Laplace tính chất Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace thuận Laplace ngược, tính chất biến đổi Laplace, đặc biệt dịch