Biến đổi Laplace và một số ứng dụng

Nguyen Văn Hào, lu¾n văn tot nghi¾p “Bien đoi Laplace và m®t so Nng dnng” đưoc hoàn thành bói sn nh¾n thúc cna chính bán thân tác giá và không trùngvói bat kỳ lu¾n văn nào khác.. Lý do c

LèI CÁM ƠN

Nhân d%p lu¾n văn đưoc hoàn thành tác giá xin bày tó lòng biet ơn

sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đã t¾n tình hưóng dan tác giá trong

quá trình thnc hi¾n lu¾n văn này

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng sau đai hoc,các thay giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trưòng Đai Hoc Sư Pham HàN®i 2, đã đ®ng viên giúp đõ và tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá có đieuki¾n tot nhat trong suot quá trình hoc t¾p, thnc hi¾n đe tài và nghiêncúu khoa hoc

Tác giá xin trân thành cám ơn UBND tính Vĩnh Phúc, Só GD - ĐTtính Vĩnh Phúc, BGH trưòng THPT Bình Sơn huy¾n Sông Lô tính VĩnhPhúc đã tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoc t¾p và hoàn thành lu¾nvăn

Do thòi gian và kien thúc có han nên lu¾n văn không tránh khóinhung

han che và thieu sót nhat đ%nh.Tác giá xin chân thành cám ơn nhung ýkien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên đe lu¾nvăn đưoc hoàn thành như hi¾n nay

Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2012

Tác giá

Hà Văn Th¾n

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn tot nghi¾p “Bien đoi Laplace và m®t so Nng dnng” đưoc

hoàn thành bói sn nh¾n thúc cna chính bán thân tác giá và không trùngvói bat kỳ lu¾n văn nào khác

Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cnacác nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2012

Tác giá

Hà Văn Th¾n

Mnc lnc

Mé

1

1.1

So phúc v à m¾t phang phúc 5

1.1.1 So phúc 5

1.1.2 Bieu dien hình hoc cna so phúc, m¾t phang phúc 6 1.2 Hàm bien phú c 7

1.3 Hàm c hính hình 8

1.3.1 Các k hái ni¾m 8

1.3.2 M®t so đ%nh lý v e hàm c hính hình 9

1.4 Tíc h phân phúc 11

1.4.1 Các tính c hat cơ bán cna tích phân phúc 12

1.5 Các công thúc tích phân Cauc h y 14

1.5.1 Công thúc tích phân Cauc h y 14

1.5.2 Tích phân loai Cauchy 15

1.6 Chuoi Taylor 20

1.6.1 Moi liên h¾ giua h¾ so và tong cna chuoi lũy thùa 20 1.6.2 Đ%nh lý Taylor 20

1.7 Chuoi Laurentz 22

1.7.1 Đ%nh nghĩa và mien h®i tu 22

1.7.2 Đ%nh lý Laurentz 24

1.7.3 Các điem bat thưòng cô l¾p 26

1.8 Th¾ng dư cna hàm và úng dung cna nó 26

1.8.1 Đ%nh nghĩa và cách tính 26

1.8.2 Các đ%nh lý cơ bán ve th¾ng dư 29

2 BIEN ĐOI LAPLACE 31 2.1 Bien đoi Laplace và các ví du 31

2.1.1 Bien đoi Laplace 31

2.1.2 Đòi hói tính liên tuc 33

2.1.3 Lóp L 34

2.1.4 Các tính c hat cơ bán cna bien đoi laplace 37

2.1.5 H®i tu đeu 39

2.2 Bien đoi Laplace ngưoc 40

2.2.1 M®t so khái ni¾m 40

2.2.2 M®t so phương pháp tìm hàm goc .42

2.3 Các đ%nh lý bien đoi Laplace 45

3 M®T SO ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51

3.1 Tính giá tr% hàm Gama 51

3.2 Phương phương trình vi phân v ói h¾ so là hang so 53

3.2.1 Phương trình vi phân v ói đieu ki¾n đau 54

3.2.2 Nghi¾m tong quát 58

3.2.3 Phương trình vi phân v ói đieu ki¾n biên 59

3.3 Bài toán tìm cưòng đ® dòng đi¾n 60

3.4 Phương trình v i phân v ói h¾ so đa thúc 62

3.5 H¾ phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so 66

3.6 Tích ch¾p cna bien đoi Laplace và úng dung 68

3.6.1 Đ%nh nghĩa và các tính c hat 68

3.6.2 Ánh cna tích ch¾p qua bien đoi Laplace 70

MUC LUC MUC LUC

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Bien đoi Laplace là m®t bien đoi tích phân và cùng vói bien đoi Fourier

là hai bien đoi rat huu ích và thưòng đưoc sú dung trong viêc giái cácbài toán trong lĩnh vnc v¾t lý Qua bien đoi Laplace, các phép toán giáitích phúc tap như đao hàm, tích phân đưoc đơn gián hóa thành cácphép tính đai so (giong như cách mà hàm logarit chuyen m®t phép toánnhân các so thành phép c®ng các logarit cna chúng) Vì v¾y nó đ¾c bi¾thuu ích trong vi¾c giái các phương trình vi phân thưòng, phương trình

vi phân đao hàm riêng, phương trình tích phân, đó là nhung phươngtrình thưòng xuat hi¾n trong các bài toán v¾t lý, trong phân tích machđi¾n, xú lý so li¾u, dao đ®ng đieu hòa, các h¾ cơ hoc Bói vì qua bienđoi Laplace các phương trình này có the chuyen thành các phương trìnhđai so đơn gián hơn Giái ra nghi¾m là các hàm ánh trong không gian

s, chúng ta dùng bien đoi Laplace ngưoc đe có lai hàm goc trong không gian thnc t.

Ve l%ch sú cna phép bien đoi Laplace đưa ta tró lai các công trình cnaLeonard Euler (1763-1769), ông xét chúng chn yeu dưói dang cna cácphép bien đoi ngưoc trong lòi giái cna các phương trình vi phân tuyentính thưòng b¾c hai Cùng thòi đó, Laplace đã gúi tói Euler công trìnhxuat bán năm 1812 “Théorie analytique des probabilités” giói thi¾u vebien đoi tích phân Năm 1878, Spitzer là ngưòi đã gan tên cna Laplace

¸

y = e sx φ(s)ds.

a

Sau đó, bieu dien này đã đưoc Euler sú dung trong m®t so công trìnhnghiên cúu cna ông,dưói dang bieu dien này nó tró thành phương trình

vi phân vói y là hàm chưa biet cna x Trong the ký 19, bien đoi Laplace

đưoc mó r®ng tói dang phúc bói Poincare và Pincherle, và đưoc Picard

mó r®ng tói trưòng hop hàm hai bien Ta có the ke thêm nua là cácnghiên cúu đưoc tien hành bói Abel và nhieu nhà toán hoc khác Năm

1910, áp dung trưóc tiên cna bien đoi Laplace đưoc xuat hi¾n trongcác công trình cna Bateman, ông bien đoi các phương trình ve snphân dã

phóng xa cna Rutherford

bang cách đ¾t

dp dt

Không có sn giái thích hoàn háo ve bien đoi Laplace neu không keđen công trình cna Oliver Heaviside (chn yeu trong lĩnh vnc ky thu¾tđi¾n), ông tao ra m®t van đe r®ng lón vói tên goi "phép tính toán tú" vàđưa ra nhieu van đe tương tn phương pháp cna Laplace Các tính toáncna Heaviside chưa th¾t ch¾t che, nhưng nó đã mang lai nhieu huu íchcho các lĩnh vnc ve ky thu¾t đi¾n

Đe tiep c¾n vói lý thuyet bien đoi Laplace và áp dung nhung lý thuyet

đó, đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan tôi đã chon đe tài

“PHƯƠNG PHÁP LAPLACE VÀ M®T SO ÚNG DUNG”

đe thnc hi¾n lu¾n văn khóa đào tao Thac sy Toán hoc chuyên ngành giáitích Lu¾n văn đưoc cau trúc thành 03 chương

Trong chương 1 cna lu¾n văn, chúng tôi trình bày m®t so kien thúccăn bán nhat ve lý thuyet hàm bien phúc, can thiet cho muc đích nghiêncúu ve bien đoi Laplace

Chương 2 cna lu¾n văn đưoc giành cho vi¾c trình bày m®t cách h¾thong ve khái ni¾m bien đoi Laplace, các tính chât cơ bán và m®t sophép toán giái tích cơ bán cna phép bien đoi này

Điem cot yeu và cũng chính là muc đích chính cna lu¾n văn là minhhoa tam quan trong cna bien đoi Laplace đưoc trình bày trong chương

3 é đây, chúng tôi trình bày m®t so áp dung cna bien đoi Laplace quavi¾c giái quyet các bài toán trong lĩnh vnc toán hoc thuan túy như: Giáiphương trình vi phân vói đieu ki¾n đau; giái phương trình vi phân vóiđieu ki¾n biên; phương pháp xác đ%nh giá tr% hàm Gamma; úng dung vetích ch¾p cna bien đoi Laplace, cũng như trong vi¾c giái quyet các bàitoán thu®c lĩnh vnc v¾t lý như: Áp dung trong vi¾c tính toán cưòng đ®dòng đi¾n

2 Mnc đích, đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Lu¾n văn nghiên cúu ve lý thuyet bien đoi Laplace và m®t so úngdung cna nó như: Tính giá tr% hàm Gama, giái bài toán phương trình viphân tuyen tính vói h¾ so hang so

3 Phương pháp nghiên cNu

Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u

Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu

4 DN kien đóng góp cúa đe tài.

Trình bày m®t cách h¾ thong ve phép bien đoi Laplace Cùng m®t so

áp dung cna phép bien đoi này

đưoc đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng

C → R2

z = x + iy ›→ (x, y).

M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox là truc thnc, Oy là truc áo.

Phép c®ng và phép nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách thông

thưòng như các phép toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 =

−1 Ta có

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

So phúc liên hop cna so phúc z = x + iy đưoc ký hi¾u

là Không khó khăn, ta có the kiem tra đưoc

z¯ = x − iy.

|z|2 = z.z¯; 1 = z¯

|z|2vói z ƒ= 0

So phúc khác 0 đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.e iθ vói r >

0, θ ∈ R đưoc goi là argument cna so phúc z (argument cna so phúc z đưoc xác đ%nh m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t b®i cna 2π ) và

e iθ = cosθ + i sin θ Bói vì

e iθ. = 1, nên r = |z| và θ là góc hop bói

chieu dương cna truc Ox và núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ®

đi qua điem z Cuoi cùng, ta lưu ý rang neu z = r.e iθ và w = s.e iϕ

thì

z.w = r.s.e i (θ+ϕ)

1.1.2 Bieu dien hình hoc cúa so phNc, m¾t phang phNc

z

Giá sú trên m¾t phang R2 cho h¾ toa đ® Descartes vuông góc xOy.

Như đã biet, hai điem đưoc xác đ%nh bói các toa đ® Descartes vuônggóc trùng nhau khi và chí khi chúng có hoành đ® trùng nhau và tungđ® trùng nhau Do đó ta có the xác l¾p m®t phép tương úng đơn tr%

m®t-m®t giua các điem cna m¾t phang R2 vói các so phúc cna C; trong

đó moi so phúc z = x + iy ∈ C se tương úng vói m®t điem xác đ

%nh M (x, y) ∈ R2 và ngưoc lai moi điem M (x, y) ∈ R2 se tương úng

Neu f là m®t đơn ánh thì nó còn đưoc goi là hàm đơn di¾p hay 1 lá.

Có the xáy ra f không đơn di¾p trên A, nhưng có the chia A thành các mien con A1, A2, đe trên moi mien đó f đơn di¾p Khi đó, moi mien A j goi là m®t mien đơn di¾p cna f Vói moi B ⊂ A ta ký hi¾u

f (B) = {f (z) : z ∈ B}

f (A) đôi lúc đưoc goi là mien giá tr% cna hàm f Vói moi z = x + iy

∈ A,

vì w = f (z) là so phúc nên có the viet hàm dưói dang

w = f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y).

Hàm u(x, y) là phan thnc và v(x, y) là phan áo cna hàm f, ký hi¾u

tương úng bói

u(x, y) = Ref (z); v(x, y) = Imf (z).

1.3 Hàm chính hình

1.3.1 Các khái ni¾m

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho hàm f (z) xác đ%nh trên mien D Cho z m®t so

gia ∆z sao cho z + ∆z ∈ D Neu ton tai giói han

= lim

h→∞

1 .

− z(z + h)

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Hàm f (z) đưoc goi là chính hình tai z0 ∈ D neu ton tai so r > 0 sao cho f (z) là C - khá vi tai moi z ∈ S(z0, r) Hàm f (z)

chính hình tai moi z ∈ D đưoc goi là chính hình trên D.

nc n z n−1 h®i tu neu và chí neu

Chon r sao cho |z0| < r < R Xét ∆z đn bé sao cho |z0 + ∆z| < r

Ta

2nc n r n−1 h®i tu nên vói moi ε > 0 ton tai N = N (ε)

Đ%nh lí 1.3.2 Tong f (z) cúa chuoi lũy thùa

Neu khi n → ∞ mà max |η v+1 − η v | → 0 ton tai giói han cna tong

(1.1) không phu thu®c vào cách chia cung cung γ thành các cung nhó

và cách chon các điem η ∗, thì giói han đó đưoc goi là tích phân cna

hàm f (z) trên cung γ và ký hi¾u là

¸

f (z)dz = lim

max|ηv+1−η v |→0 γ

v

v

v

1.4.1 Các tính chat cơ bán cúa tích phân phNc

1 Neu γ+ và γ − là đưòng cong γ lay theo hai chieu ngưoc nhau thì

Neu ton tai m®t hàm chính hình g trong mien D chúa γ sao cho

g r (z) = f (z) vói moi z ∈ γ, thì g đưoc goi là m®t nguyên hàm cna

Tù công thúc (1.5) ta thay g là hàm đơn tr% và γ là đưòng cong đóng thì

b

¸

f (z)dz = g(B) − g(A) = 0.

a

1.5 Các công thNc tích phân Cauchy

1.5.1 Công thNc tích phân Cauchy

Đ%nh lí 1.5.1 Giá sú z0 là m®t điem tùy ý thu®c mien đơn liên D và

f ∈ H(D) Khi đó, vói moi chu tuyen đóng γ ⊂ D sao cho z0 ∈ D γ ⊂

f (η)

η − z

Chúng minh Giá sú γ là chu tuyen tùy ý vây quanh z0 sao cho D γ ⊂ D Chon ρ > 0 đn bé sao cho S (z0, ρ) ⊂ D γ Ký hi¾u C ρ là biên cna hình

f (z) tròn S (z0, ρ) và D γ,ρ = D γ \S (z0, ρ) là m®t mien 2-liên

dη = 0.

Tù đó ta đưoc ¸

f (η)

η −

z0

C

Thnc hi¾n phép đoi bien η −z0 = ρe iϕ , dη = iρe iϕ dϕ thì ve phái cna

ρ→0

f (η)

1.5.2 Tích phân loai Cauchy

Giá sú Γ là m®t đưòng cong Jordan trơn tùng khúc, f (η) là m®t

hàm liên tuc trên Γ Vói moi z ∈ C\Γ thì

C

C

−

ϕ (η) = f

(η)

η − z

là m®t hàm liên tuc trên C\Γ Do đó, neu đ¾t

F (z) = 1 ¸

2πi

r

f (η)

η − z

thì F là m®t hàm hoàn toàn xác đ%nh trên C\Γ Tích phân F (z) goi là

tích phân loai Cauchy

Đ%nh lí 1.5.2 Giá sú f (η) là m®t hàm liên tnc trên đưòng cong Jodan trơn tùng khúc Khi đó, tích phân (1.9) là m®t hàm chsnh hình trong mien D không chúa các điem cúa Γ Hơn nua hàm F (z) có đao hàm moi cap và

F (n) (z) = n! ¸

2πi

Γ

f (η) (η − z) n+1

Γ

Giá sú (1.11) đúng vói k = n − 1, túc là

ϕ1(η, z)dη.

Ta se chúng minh rang

F (n−1)

¸

Γ

(z)

Đ¾t η = µ + iυ, z = x + iy ta có

ϕ n (η, z) = u(µ, υ, x, y) + iυ(µ, υ, x, y)

và

Khi đó đang thúc (1.12) cho ta

Cauchy-F (n) (z) = .F (n−1) (z).r = ¸ Γ ϕ n+1

(η, z)dη.

∂u + i )dυ

∂x )dµ − i(−i

Đ%nh lí 1.5.3 Giá sú hàm f chsnh hình trong mien D Khi đó hàm f

có đao hàm moi cap và các đao hàm cúa nó là nhung hàm chsnh hình trên mien D Các đao hàm cúa hàm f đưoc bieu dien bang công thú

f (n) (x) = n! ¸

2πi

γ f (η) (η − z) n+1

∂ u

−

dη; n = 1, 2, , (1.14)

trong đó γ là m®t chu tuyen tuỳ ý vây quanh điem z sao cho D γ ⊂ D.

Đ%nh lí 1.5.4 (Morera) Giá sú f là m®t hàm liên tnc trong m®t mien

đơn liên D và tích phân cúa nó theo moi chu tuyen đóng nam trong D bang 0 Khi đó, f là m®t hàm chsnh hình trong mien D.

Đ%nh lí 1.5.5 (Bat đang thúc Cauchy) Giá sú f là hàm chsnh hình

trên mien D Điem a ∈ D, 0 < r < d(a, ∂D) và

M (a, r) = max {f (z) : z ∈ ∂S(a, r )}

Khi đó, ta có bat đang thúc

Đ%nh lí 1.5.6 (Liouville) Neu f là m®t hàm chsnh hình trên toàn m¾t

phang (z) và |f (z)| ≤ M vói moi z, thì f (z) = const.

Chúng minh Giá sú z là m®t hàm tuỳ ý Theo bat đang thúc Cauchy

ó đây R là so dương lón tuỳ ý Cho R → +∞ ta suy ra

f r (z) = 0 ↔ f (z) = const.

□

1.6 Chuoi Taylor

1.6.1 Moi liên h¾ giÑa h¾ so và tong cúa chuoi lũy thNa

Xét chuoi lũy thùa

f (z) = f (n) (z z 0)(z − )n; (1.21)

Chúng minh Lay z tùy ý thóa mãn |z − z0| < R chon r > 0 sao cho

|z − z0| < r < R Theo công thúc tích phân Cauchy, ta có

−

0

Bói chuoi (1.23) h®i tu đeu đen hàm chính hình f (z) nên các h¾ so

cna nó đưoc tính theo công thúc (1.19) nghĩa là