Lý do chọn đề tài Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong viêc giải cácbài toán trong lĩnh vực vậ
Trang 1LỜI CẢM ƠN
Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trongquá trình thực hiện luận văn này
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học,các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm HàNội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điềukiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiêncứu khoa học
Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐTtỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Bình Sơn huyện Sông Lô tỉnh VĩnhPhúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luậnvăn
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn những ýkiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luậnvăn được hoàn thành như hiện nay
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2012
Tác giả
Hà Văn Thận
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào,luận văn tốt nghiệp “Biến đổi Laplace và một số ứng dụng” đượchoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùngvới bất kỳ luận văn nào khác
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2012
Tác giả
Hà Văn Thận
Trang 3Mục lục
1.1 Số phức và mặt phẳng phức 5
1.1.1 Số phức 5
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức 6 1.2 Hàm biến phức 7
1.3 Hàm chỉnh hình 8
1.3.1 Các khái niệm 8
1.3.2 Một số định lý về hàm chỉnh hình 9
1.4 Tích phân phức 11
1.4.1 Các tính chất cơ bản của tích phân phức 12
1.5 Các công thức tích phân Cauchy 14
1.5.1 Công thức tích phân Cauchy 14
1.5.2 Tích phân loại Cauchy 15
1.6 Chuỗi Taylor 20
1.6.1 Mối liên hệ giữa hệ số và tổng của chuỗi lũy thừa 20 1.6.2 Định lý Taylor 20
1.7 Chuỗi Laurentz 22
1.7.1 Định nghĩa và miền hội tụ 22
1.7.2 Định lý Laurentz 24
Trang 4MỤC LỤC MỤC LỤC
1.7.3 Các điểm bất thường cô lập 26
1.8 Thặng dư của hàm và ứng dụng của nó 26
1.8.1 Định nghĩa và cách tính 26
1.8.2 Các định lý cơ bản về thặng dư 29
2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 31 2.1 Biến đổi Laplace và các ví dụ 31
2.1.1 Biến đổi Laplace 31
2.1.2 Đòi hỏi tính liên tục 33
2.1.3 Lớp L 34
2.1.4 Các tính chất cơ bản của biến đổi laplace 37
2.1.5 Hội tụ đều 39
2.2 Biến đổi Laplace ngược 40
2.2.1 Một số khái niệm 40
2.2.2 Một số phương pháp tìm hàm gốc 42
2.3 Các định lý biến đổi Laplace 45
3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51 3.1 Tính giá trị hàm Gama 51
3.2 Phương phương trình vi phân với hệ số là hằng số 53
3.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu 54
3.2.2 Nghiệm tổng quát 58
3.2.3 Phương trình vi phân với điều kiện biên 59
3.3 Bài toán tìm cường độ dòng điện 60
3.4 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 62
3.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 66
3.6 Tích chập của biến đổi Laplace và ứng dụng 68
3.6.1 Định nghĩa và các tính chất 68
3.6.2 Ảnh của tích chập qua biến đổi Laplace 70
Trang 5MỤC LỤC MỤC LỤC
Trang 6MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier
là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong viêc giải cácbài toán trong lĩnh vực vật lý Qua biến đổi Laplace, các phép toán giảitích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành cácphép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toánnhân các số thành phép cộng các logarit của chúng) Vì vậy nó đặc biệthữu ích trong việc giải các phương trình vi phân thường, phương trình
vi phân đạo hàm riêng, phương trình tích phân, đó là những phươngtrình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạchđiện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học Bởi vì qua biếnđổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trìnhđại số đơn giản hơn Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian
s, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong khônggian thực t
Về lịch sử của phép biến đổi Laplace đưa ta trở lại các công trình củaLeonard Euler (1763-1769), ông xét chúng chủ yếu dưới dạng của cácphép biến đổi ngược trong lời giải của các phương trình vi phân tuyếntính thường bậc hai Cùng thời đó, Laplace đã gửi tới Euler công trìnhxuất bản năm 1812 “Théorie analytique des probabilités” giới thiệu vềbiến đổi tích phân Năm 1878, Spitzer là người đã gắn tên của Laplacecho biểu diễn
Trang 7Sau đó, biểu diễn này đã được Euler sử dụng trong một số công trìnhnghiên cứu của ông,dưới dạng biểu diễn này nó trở thành phương trình
vi phân với y là hàm chưa biết của x Trong thế kỷ 19, biến đổi Laplaceđược mở rộng tới dạng phức bởi Poincare và Pincherle, và được Picard
mở rộng tới trường hợp hàm hai biến Ta có thể kể thêm nữa là cácnghiên cứu được tiến hành bởi Abel và nhiều nhà toán học khác Năm
1910, áp dụng trước tiên của biến đổi Laplace được xuất hiện trong cáccông trình của Bateman, ông biến đổi các phương trình về sự phân dãphóng xạ của Rutherford
dp
dt = −λiPbằng cách đặt
Không có sự giải thích hoàn hảo về biến đổi Laplace nếu không kểđến công trình của Oliver Heaviside (chủ yếu trong lĩnh vực kỹ thuậtđiện), ông tạo ra một vấn đề rộng lớn với tên gọi "phép tính toán tử" vàđưa ra nhiều vấn đề tương tự phương pháp của Laplace Các tính toáncủa Heaviside chưa thật chặt chẽ, nhưng nó đã mang lại nhiều hữu íchcho các lĩnh vực về kỹ thuật điện
Để tiếp cận với lý thuyết biến đổi Laplace và áp dụng những lý thuyết
Trang 8đó, được sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài
Chương 2 của luận văn được giành cho việc trình bày một cách hệthống về khái niệm biến đổi Laplace, các tính chât cơ bản và một sốphép toán giải tích cơ bản của phép biến đổi này
Điểm cốt yếu và cũng chính là mục đích chính của luận văn là minhhọa tầm quan trọng của biến đổi Laplace được trình bày trong chương
3 Ở đây, chúng tôi trình bày một số áp dụng của biến đổi Laplace quaviệc giải quyết các bài toán trong lĩnh vực toán học thuần túy như: Giảiphương trình vi phân với điều kiện đầu; giải phương trình vi phân vớiđiều kiện biên; phương pháp xác định giá trị hàm Gamma; ứng dụng vềtích chập của biến đổi Laplace, cũng như trong việc giải quyết các bàitoán thuộc lĩnh vực vật lý như: Áp dụng trong việc tính toán cường độdòng điện
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về lý thuyết biến đổi Laplace và một số ứngdụng của nó như: Tính giá trị hàm Gama, giải bài toán phương trình viphân tuyến tính với hệ số hằng số
Trang 93 Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu
4 Dự kiến đóng góp của đề tài.
Trình bày một cách hệ thống về phép biến đổi Laplace Cùng một số
áp dụng của phép biến đổi này
Trang 10Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.1 Số phức
Định nghĩa 1.1.1 Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i
là đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ký hiệu
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thôngthường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1
Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
Trang 11|z|2 = z.¯z;1
z =
¯z
|z|2 với z 6= 0
Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0,
θ ∈ R được gọi là argument của số phức z (argument của số phức zđược xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π ) và
eiθ = cosθ + i sin θ Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởichiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ
đi qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thìz.w = r.s.ei(θ+ϕ)
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức
Giả sử trên mặt phẳng R2 cho hệ tọa độ Descartes vuông góc xOy.Như đã biết, hai điểm được xác định bởi các tọa độ Descartes vuônggóc trùng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ trùng nhau và tung
độ trùng nhau Do đó ta có thể xác lập một phép tương ứng đơn trị
Trang 12một-một giữa các điểm của mặt phẳng R2 với các số phức của C; trong
đó mỗi số phức z = x + iy ∈ C sẽ tương ứng với một điểm xác định
M (x, y) ∈ R2 và ngược lại mỗi điểm M (x, y) ∈ R2 sẽ tương ứng với sốphức xác định z = x + iy ∈ C
Nếu f là một đơn ánh thì nó còn được gọi là hàm đơn diệp hay 1 lá
Có thể xảy ra f không đơn diệp trên A, nhưng có thể chia A thành cácmiền con A1, A2, để trên mỗi miền đó f đơn diệp Khi đó, mỗi miền
Aj gọi là một miền đơn diệp của f Với mọi B ⊂ A ta ký hiệu
f (B) = {f (z) : z ∈ B}
f (A) đôi lúc được gọi là miền giá trị của hàm f Với mọi z = x + iy ∈ A,
vì w = f (z) là số phức nên có thể viết hàm dưới dạng
w = f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y)
Hàm u(x, y) là phần thực và v(x, y) là phần ảo của hàm f, ký hiệu tươngứng bởi
u(x, y) = Ref (z); v(x, y) = Imf (z)
Trang 13f0(z) = na0zn−1+ (n − 1)a1zn−2 + + an−1.
Ví dụ 1.3.2 Hàm f (z) = 1
z là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong Ckhông chứa điểm gốc và f0(z) = − 1
Trang 14Định nghĩa 1.3.2 Hàm f (z) được gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ D nếu tồntại số r > 0 sao cho f (z) là C - khả vi tại mọi z ∈ S(z0, r) Hàm f (z)chỉnh hình tại mọi z ∈ D được gọi là chỉnh hình trên D.
1lim
n→∞
n
p|ncn| =
1lim
Trang 15Trang 16
Định lí 1.3.2 Tổng f (z) của chuỗi lũy thừa
Nếu khi n → ∞ mà max
v |ηv+1− ηv| → 0 tồn tại giới hạn của tổng (1.1)không phụ thuộc vào cách chia cung cung γ thành các cung nhỏ và cáchchọn các điểm ηv∗, thì giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm f (z)trên cung γ và ký hiệu là
Trang 171.4.1 Các tính chất cơ bản của tích phân phức
1 Nếu γ+ và γ− là đường cong γ lấy theo hai chiều ngược nhau thì
Trang 18f (z)dz
... 2
BIẾN ĐỔI LAPLACE< /h3>
2.1 Biến đổi Laplace ví dụ
2.1.1 Biến đổi Laplace
Định nghĩa 2.1.1 Giả sử f hàm biến thực biến phức biến
t > s tham số thực... tham số thực hoặc phức Biến đổi Laplace hàm fđược xác định ký hiệu
kì ta nói khơng tồn biến đổi Laplace xác định hàm f
Ký hiệu L(f ) sử dụng cho biến đổi Laplace hàm f, tíchphân... thường với cận vô tận Hàm F (s)được gọi hàm ảnh biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace đượcgọi thực hay phức biến số s hàm ảnh F (s) thực hay phức.Tham số s thuộc miền đường thẳng thực mặt