Biến đổi laplace (LV00338)

Nó cùng với phép biến đổi Fourier và biến đổi Radon là những phép biến đổi hữu ích thường được sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình đ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng Nó cùng với phép biến đổi Fourier và biến đổi Radon là những phép biến đổi hữu ích thường được sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân…

Nghiên cứu cơ sở của phép biến đổi này người ta có thể biết được cơ sở của phép tính toán tử để đưa các dạng phương trình trên về dạng đơn giản hơn

Trong vật lý, phép biến đổi Laplace được dùng để giải các bài toán về phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, các hệ cơ học

Như vậy phép biến đổi Laplace không chỉ có ý nghĩa trong lý thuyết toán học

mà nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác

Trên cơ sở đó và dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Vuông, tôi đã lựa chọn đề tài “Biến đổi Laplace” nhằm nghiên cứu sâu hơn về phép biến đổi này cũng như một số ứng dụng của nó trong thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace

- Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số dạng toán liên quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một vài ứng dụng của nó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến và một số lượng nhỏ các

hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của một số hàm

số thông thường Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết

- Phân tích đánh giá, tổng hợp kết quả

6 Đóng góp của đề tài

Hiểu rõ bản chất của phép biến đổi Laplace và tìm được một vài ứng dụng mới của phép biến đổi Laplace

Chương 1

BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

1.1 Phép biến đổi Laplace

1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Cho f t là hàm số xác định trên nửa khoảng ( ) [0;∞) Nếu tích phân suy rộng

∫ (trong đó s là biến số phức) hội tụ thì nó được gọi là biến đổi Laplace

của ( )f t và được ký hiệu là L f t[ ( )]

Biến đổi Laplace của f t là một hàm biến phức, kí hiệu là ( ) F s Công thức ( )

Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Laplace của ( )f t =c c, ∈¡

Lời giải Với c≠0, ta có

Đặt s= +α i β, ta có lim sT lim T(cos sin )

Do cosβ T −isinβ T là hàm số bị chặn của biến T nên:

+) Khi Res>0, lim lim 2 0

1( )

e t

Do hàm số cosβ T −isinβ T là hàm số bị chặn của biến T nên:

Hoàn toàn tương tự, ta có L[cosat] 2 s 2

=+ với Res>0

Ví dụ 1.5 Tìm biến đổi Laplace của hàm Heaviside

( )

khi t t

1 2

12

L t

s

−

 Γ 

 

1 2 0

12

1 2

12

s s

π

−

 Γ 

 

1.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1 Hàm số ( )f t được gọi là hàm gốc nếu nó có hai tính chất sau:

a) f t đo được trên khoảng (0; )( ) ∞ b) f t tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t( ) → ∞, nghĩa là

0, 0,| ( ) | t, 0

α

Số α0 =infα với tất cả α thoả mãn (b) được gọi là chỉ số tăng của ( ) f t

Định lý 1.1 Nếu ( )f t là một hàm gốc và có chỉ số tăng α thì biến đổi Laplace 0

của nó có miền hội tụ là Re s>α0

Chứng minh Với mọi α α≥ 0, ta đều có t ( ) t, 0

Định lý 1.2 Nếu ( )f t là hàm gốc với chỉ số tăng α thì biến đổi Laplace ( )0 F s

của ( )f t là hàm giải tích trong miền Re s>α0

Chứng minh Bước 1 Đặt

0

n st n

F s =∫e− f t dt Trước hết ta chứng minh với 0

'( ),

n

F s ∀ ∈n ¥ ) Thật vậy, với s cố định thuộc

miền Re s >α0, theo định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue ta có

1lim ( )

ht n

st h

Theo định lý Weierstrass, hàm F s giải tích trên miền ( ) Re s>α0

1.1.3 Tính chất của biến đổi Laplace

Định lý 1.3 Cho f t là các hàm gốc có biến đổi Laplace lần lượt là k( ) F s , k( )chỉ số tăng tương ứng là α , k k =1, 2, ,n

( )

n st

k k k

Ví dụ 1.8 Tìm biến đổi Laplace của ( ) sinh ,

as as

N N

Ví dụ 1.11 Tìm biến đổi Laplace của ( )f t =cosat, a∈¡

Lời giải Ta đã biết L[sinat] 2 a 2

=+ với Res>0, a∈¡

Định lý 1.8 Cho L f t[ ( )]=F s( ) với Re s>α0 Khi đó ta có

f t Hơn nữa

0( ) st ( )

Điều này chứng tỏ (1.2) đúng với n= +N 1

Theo nguyên lý quy nạp toán học, (1.2) đúng với ∀ ∈n ¥*

Ví dụ 1.12 Tìm biến đổi Laplace của f t( )=tsinat và 2

Ta có G s'( )=L[(−t g t) ( )]= −L f t[ ( )]= −F s( ) nên G s là một nguyên hàm của ( )( )

Định nghĩa 1.2 Cho hai hàm số ( )f t và ( ) g t liên tục từng khúc Tích chập

của ( )f t và ( ) g t kí hiệu là f * ( )g t được định nghĩa là

Định lý 1.11 Giả sử L f t[ ( )]=F s L g t( ), [ ]( ) =G s( ), f t và ( )( ) g t là các hàm

liên tục từng khúc trên một khoảng hữu hạn của ¡+ Nếu ta xem ( )f t và ( ) g t xác

định trên ¡ , triệt tiêu trên khoảng ( ;0)−∞ thì

1.2 Phép biến đổi Laplace ngược

1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược

Nhận xét Do F s chỉ mang thông tin về ( ) f t trên miền ( ) t ≥0 nên 1[ ]

1.2.2 Mối liên hệ giữa biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược

Định lý 1.12 Cho hàm gốc f t trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của ( )nửa trục t≥0, ( )f t có chỉ số tăng α và 0 L f t[ ( )]=F s( ) Khi đó

π π

Khi đó hàm F s xác định trên ( ) Re s>α0 là biến đổi Laplace của hàm f t xác ( )

2

x i st

Định lý 1.15 Giả sử thác triển giải tích của hàm ( )F s lên nửa mặt phẳng trái là

một hàm giải tích đơn trị Giả sử L f t[ ( )]=F s( ) và s = ∞là điểm chính quy của ( )

F s , ( ) F s có khai triển tại vô cực như sau

1

n n

t

n

∞ +

Chứng minh Trước hết ta khảo sát sự hội tụ của chuỗi (1.4)

Giả sử chuỗi (1.3) hội tụ bên ngoài đường tròn bán kính R 0

R t n

R t t

e t dt e t dt n

1

!

st n n

N

c

e t dt n

∞

− +

!

R t n n

N

c

e t dt n

∞

− +

c

e t dt n

∞

− +

1

1 0 1

!

u n n

c

e t dt n

∞

∞

− +

1.2.3 Tính không chỉnh của biến đổi Laplace ngược

Bài toán tìm hàm gốc của F s có thể xem như bài toán giải phương trình tích ( )phân

Af s e f t dt

∞

−

= ∫ Bài toán tìm hàm f t thoả mãn phương trình (1.7) là bài toán không chỉnh vì ( )

nó có thể vô nghiệm hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào g, sự nhiễu rất nhỏ của gcó thể dẫn đến sự nhiễu rất lớn của ( )f t Ta sẽ khảo sát một cách chỉnh

hoá bài toán này

Người ta chứng minh được A là toán tử tự liên hợp, nghĩa là A* =A Xét phương trình nhiễu sau

Định lý 1.16 Giả sử g−g ε 2 ≤ε và 2

f = Au u∈L ¡ +

Khi đó

1

2 21

2

12

2(f v ε, ) ( (A f ε f),Av) (g ε g Av, ), v L ( )

Với v= −f ε f thì ε(f ε, f ε − f)+ ( (A f ε − f) 22 =(g ε − g A f, ( ε − f)) hay ε f ε − f 22 + A f( ε − f) 22 = −ε( ,f f ε − f)+(g ε − g A f, ( ε − f))

Do f = Au và bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có

( ,f f ε − f) = (Au f, ε − f) = ( , * (u A f ε − f))

Từ kết quả trên ta suy ra

1

2 21

2

12

( 2)2

A

ε α

ε

=+ , người ta chứng minh được B là toán tử co với hệ

số co

1 2 2

2 2

A

ε β

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1 Tìm biến đổi Laplace của một số hàm số

Ví dụ 2.1 Từ định nghĩa và các tính chất của biến đổi Laplace ta có bảng kết

quả biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng như sau

Hàm số ( )f t Biến đổi Laplace ( )F s Miền hội tụ ( ) ,

F s

s

*( ) n,

f t =t n∈¥

1

!( ) n n

γ = −∞∫ − = được gọi là hằng số Euler

Ví dụ 2.7 Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau:

t u

2

2 0

Ví dụ 2.10 Cho f t( )=a[ ]t , với [ ]t là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng t

Hàm f t như vậy được gọi là hàm bậc mũ Hãy tìm biến đổi Laplace của hàm ( )bậc mũ

Lời giải Ta có

0( ) st ( )

s L

s L

2

s L

do vậy

2 1

2 2 2

a L

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n (n∈¥*) với hệ số bằng số là phương trình có dạng

số cho trước

Sau khi lấy biến đổi Laplace của hai vế của phương trình, ta được một phương trình đại số của X s( )=L x t[ ]( ) Từ đó, ta tính được X s ( )

Lấy biến đổi Laplace ngược của X s , ta được ( )( ) x t

Nếu cho điều kiện ban đầu, tức là cho ( )

k

k

x =b ≤ ≤k n thì việc giải phương trình sẽ thuận lợi hơn

Ví dụ 2.23 Tìm nghiệm của phương trình vi phân '' 2 ' 3 t

x + x − x=e− với điều kiện ban đầu (0)x = x'(0)=0

Lời giải Đặt X s( )=L x t[ ]( ) Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình trên

Ví dụ 2.24 Giải phương trình vi phân '' 5 ' 6 2 t, 0,

x + x + x= e− t≥ với điều kiện ban đầu (0) 1, '(0)x = x =0

Lời giải Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình đã cho, ta được

vế của phương trình đã cho ta được

Ví dụ 2.26 Giải phương trình vi phân ''' '' t 1,

(0) '(0) ''(0) 0

vế của phương trình đã cho ta được

 và thỏa mãn điều kiện ban đầu (0)x =0, x'(0)=2

Lời giải Ta có f t( )=3[θ( )t −θ(t−6)] nên [ ] 3 3 6

Lời giải Ta có ( ) f t =e−t θ( )t nên [ ] 1

Ví dụ 2.31 Cho 0< <b λ, giải phương trình 2

x + bx+λ x=δ t với điều kiện (0)x =0, '(0)x =0

Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình đã cho, ta có

Vậy nghiệm của bài toán là ( ) cos

Ví dụ 2.34 Cho mạch điện (RLC) mắc nối tiếp như trong hình 2.1 Hiệu điện

thế hai dầu cuộn cảm, điện trở và tụ điện lần lượt là L dI

t

I d

C∫ τ τ

(Hình 2.1)

Do đoạn mạch mắc nối tiếp nên hiệu điện thế hai đầu mạch điện bằng tổng các

hiệu điện thế thành phần vì vậy ta có

Bài toán 1 Giả sử I là dòng điện thoả mãn L dI RI E0sin t)

0, , ,

+

[ ]

0 0

bởi vậy 0 0 0

R t L

Bài toán 2 Giả sử I là dòng điện trong mạch điện gồm cuộn cảm L và tụ điện

C mắc nối tiếp, E là hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch thoả mãn

0

1( )

trình chuyển động của vật là mx t''( )+kx t'( )=mv0δ( )t , ở đó ( )x t là độ dịch chuyển

của vật tại thời điểm t≥0 thoả mãn (0)x =0, '(0)x =0và k >0 là hằng số Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình đã cho ta có

Ví dụ 2.37 Một vật khối lượng m được treo trên một lò xo, một đầu được gắn

t

f t = g t +∫k t τ f τ τ d và

0( ) ( , ) ( )

t

g t =∫k t τ f τ τ d , trong

đó ( , )k t τ là hàm hai biến cho trước được gọi là hạch và ( ) f t là hàm cần tìm, được

gọi là phương trình tích phân

Khi hạch k t( , )τ có dạng đặc biệt ( , ) k t τ = k t( −τ) thì ta có thể giải các phương trình dạng trên bằng cách lấy biến đổi Laplace

• o x

(

Cụ thể nếu ( )g t và ( , ) k t τ là các hàm đã biết và phương trình tích phân cho

dưới dạng nêu trên thì

Vậy nghiệm của bài toán là ( )x t =2cost

Ví dụ 2.40 Một hạt trượt không ma sát quanh một đường cong với điều kiện

khoảng thời gian mà vật rơi xuống do trọng lực là độc lập với điểm rơi (Ta gọi đường cong đó là đường đẳng thời) Khi đó vị trí của vật được cho bởi phương

trình tích phân 0

0

( )2

∫ , trong đó T là hằng số thời gian, 0 glà

trọng lực và f u được cho bởi ( ) ds

dy tại y=uvới s= s y( ) là độ dài của đường

cong Nhận thấy phương trình tích phân trên là tích chập của hàm f y và ( ) 1

T g s

L f y

s π

2

c x c y

2.5 Giải phương trình sai phân

Hoàn toàn tương tự ta tìm được L y t[ ( +1)]=e L y t s [ ]( )

Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình trên ta được

2.6 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số bằng số

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp không quá hai có hệ số bằng số

Giả sử ta có hàm u=u x t( , ), với t≥0 là biến thời gian Ta định nghĩa biến đổi Laplace của hàm u =u x t( , ) đối với biến t là hàm số U =U x s( , ) được xác định bởi

là biến đổi Laplace của đạo hàm bằng đạo hàm của biến đổi)

Trong công thức trên, để thuận lợi ta viết U x s( , ) d U x s( , ) dU

Vậy nghiệm của bài toán là ( , )u x t = +x t

Bài tập trên đây minh hoạ cho các kỹ thuật cơ bản việc sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên để các dạng bài tập được phong phú ta sẽ thừa nhận một số kết quả sau

Vậy nghiệm của bài toán là 2 ( )

Nghiệm của phương trình này là ( , ) 2 s x

2

4

x t

x

σ π

2

4

x t

x

σ π

2.7 Giải phương trình vi tích phân

Ví dụ 2.47 Tìm nghiệm của bài toán sau

Vậy nghiệm của bài toán là ( )x t =t

Ví dụ 2.48 Tìm nghiệm của bài toán

KẾT LUẬN

Với mục đích nghiên cứu đặt ra từ ban đầu, qua quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn “Biến đổi Laplace”, luận văn đã đạt được một số kết quả thể hiện trong chính nội dung của nó như sau:

Chương 1: Xây dựng lý thuyết cơ bản của phép biến đổi Laplace (Định nghĩa

và các tính chất), trên cơ sở đó đề cập đến biến đổi Laplace ngược và mối liên hệ giữa hai loại biến đổi trên

Chương 2: Nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace như:

- Tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của một số hàm số

- Sử dụng biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân với hệ số bằng số, phương trình tích phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân, một số bài toán trong Vật lý

Thông qua các ví dụ trình bày trong luận văn, tôi nhận thấy nếu giải bằng phương pháp sử dụng biến đổi Laplace thì bài toán sẽ có một số ưu điểm như sau:

- Khi giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân có bậc vi phân lớn ta cũng chỉ phải giải phương trình bậc nhất với X s ( )

- Giải các loại phương trình khác bằng cách dùng biến đổi Laplace thì lời giải thường ngắn gọn và dễ hiểu

- Dùng biến đổi Laplace ta có thể giải được một lớp các bài toán có phạm vi tương đối rộng

Mặc dù biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng như vậy song do thời gian và điều kiện bản thân nên tôi chưa nghiên cứu được đầy đủ về phép biến đổi này Tôi hy vọng luận văn sẽ được tiếp tục nghiên cứu ở mức độ lý thuyết cao hơn và các ứng dụng sâu sắc hơn, có ý nghĩa thực tế hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT

[1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001),

Biến đổi tích phân, Nhà xuất bản Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh

[2] Đậu Thế Cấp (2003), Bài tập hàm biến phức, Nhà xuất bản Giáo dục, Thành

[5] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[B] TÀI LIỆU TIẾNG ANH

[6] Joel L Schiff (1988), The Laplace - Transform Theory and Application,

Springer - Verlag, NewYork