Biến đổi laplace (LV00338)

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Nó cùng với phép biến đổi Fourier và biến đổi Radon là những phép biến đổi hữu ích thường được sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân… Nghiên cứu cơ sở của phép biến đổi này người ta có thể biết được cơ sở của phép tính toán tử để đưa các dạng phương trình trên về dạng đơn giản hơn. Trong vật lý, phép biến đổi Laplace được dùng để giải các bài toán về phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, các hệ cơ học Như vậy phép biến đổi Laplace không chỉ có ý nghĩa trong lý thuyết toán học mà nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác. Trên cơ sở đó và dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Vuông, tôi đã lựa chọn đề tài “Biến đổi Laplace” nhằm nghiên cứu sâu hơn về phép biến đổi này cũng như một số ứng dụng của nó trong thực tiễn. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace. - Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số dạng toán liên quan. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một vài ứng dụng của nó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến và một số lượng nhỏ các hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của một số hàm số thông thường. Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết. - Phân tích đánh giá, tổng hợp kết quả. 6. Đóng góp của đề tài Hiểu rõ bản chất của phép biến đổi Laplace và tìm được một vài ứng dụng mới của phép biến đổi Laplace. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 3 Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 1.1. Phép biến đổi Laplace 1.1.1. Định nghĩa phép biến đổi Laplace Cho () ft là hàm số xác định trên nửa khoảng [ ) 0; ∞ . Nếu tích phân suy rộng 0 () st eftdt ∞ − ∫ (trong đó s là biến số phức) hội tụ thì nó được gọi là biến đổi Laplace của () ft và được ký hiệu là [ ] () Lft . Biến đổi Laplace của () ft là một hàm biến phức, kí hiệu là () Fs . Công thức đầy đủ là [ ] 0 ()()() st FsLfteftdt ∞ − == ∫ . Theo công thức trên, biến đổi Laplace của () ft là một tích phân suy rộng nên biến đổi Laplace của () ft được viết dưới dạng khai triển như sau [ ] 00 ()()()lim(). T stst T FsLfteftdteftdt ∞ −− →∞ === ∫∫ Cận dưới của tích phân bằng 0 nên () Fs chỉ mang thông tin về () ft với 0 t ≥ . Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm biến thực () ft thành một hàm biến phức [ ] 0 ()()() st FsLfteftdt ∞ − == ∫ . Ví dụ 1.1. Tìm biến đổi Laplace của (), ftcc =∈ ¡ . Lời giải. Với 0 c ≠ , ta có [ ] [] 00 ().lim T stst T LftLccedtcedt ∞ −− →∞ === ∫∫ ( ) .lim1lim 0 st sT TT T ec ce t ss − − →∞→∞   =−=−   =   . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 4 Đặt si αβ =+ , ta có limlim(cossin) sTT TT eeTiT α ββ −− →∞→∞ =−. Do cossin TiT ββ − là hàm số bị chặn của biến T nên giới hạn nói trên bằng 0 khi 0 α > và không tồn tại khi 0 α ≤ . Nếu c = 0 thì ta có ngay [ ] []0()0. LcLFs === Vậy [] () c LcFs s == với Re0 s > . Ví dụ 1.2. Tìm biến đổi Laplace của () ftt = . Lời giải. [ ] [] 00 ()lim T stst T LftLttedttedt ∞ −− →∞ === ∫∫ 2 lim 0 stst T T tee t ss −− →∞   =−−   =   22 1 limlim sTsT TT Tee sss −− →∞→∞ =−−. Đặt si αβ =+ , ta có limlim(cossin) sTT TT eeTiT α ββ −− →∞→∞ =−. Do cossin TiT ββ − là hàm số bị chặn của biến T nên: +) Khi Re0 s > , 2 limlim0 sTsT TT Tee ss −− →∞→∞ == . +) Khi Re0 s ≤ , hai giới hạn nói trên không tồn tại. Vậy [] 2 1 ()LtFs s == với Re0 s > . Ví dụ 1.3. Tìm biến đổi Laplace của (), at ftea =∈ ¡ . Lời giải. [ ] () 00 ()lim T atatstsaT T LftLeeedtedt ∞ −−− →∞ ===  ∫∫ ( ) () () 1 lim1lim 0 sat saT TT T e e t sasa −− −− →∞→∞   ==−   = −−   . Đặt si αβ =+ , ta có ()() limlim(cossin) saTaT TT eeTiT α ββ −−−− →∞→∞ =−. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5 Do hàm số cossin TiT ββ − là hàm số bị chặn của biến T nên: +) Khi Re sa > , ()() limlim(cossin)0 saTaT TT eeTiT α ββ −−−− →∞→∞ =−= . +) Khi Re sa ≤ , giới hạn nói trên không tồn tại. Vậy 1 () at LeFs sa ==  − với Re. sa > Ví dụ 1.4. Tìm biến đổi Laplace của ()sin,. ftata =∈ ¡ Lời giải. [ ] () Lft = [ ] 0 sinsin st Lateatdt ∞ − = ∫ 2222 lim(cossin) sT T ae aaTsaT sasa − →∞ =−+ ++ 22 a sa = + với Re0 s > . Hoàn toàn tương tự, ta có 22 [cos] s Lat sa = + với Re0 s > . Ví dụ 1.5. Tìm biến đổi Laplace của hàm Heaviside 10 () 00. khit t khit θ ≥  =  <  Lời giải. [ ] 0 1 ()() st LtFsedt s θ ∞ − === ∫ với Re0 s > . Ví dụ 1.6. Tìm ,1 n Ltn >−   , áp dụng kết quả đó tìm 1 2 Lt −    . Lời giải. Xét hàm () t Γ xác định bởi công thức 1 0 () nu nuedu ∞ −− Γ= ∫ . Trước hết ta chứng minh (1)!() nnn Γ+=∀∈ ¥ . Thật vậy, do 0 (1) nu nuedu ∞ − Γ+= ∫ nên đặt 1 1 n n u u dxnudu xu dyedu ye u − − − =  =   ⇔  ==−    PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 6 thì 1 00 (1).(),() 0 nununu nueduuenuedunnn u ∞∞ −−−− ∞ Γ+==−+=Γ∀∈ = ∫∫ ¥ . Lặp lại quá trình trên ta có (1)(1)(1) 1(0) nnnn Γ+=−−Γ . Mặt khác (0)1 Γ= nên (1)! nn Γ+= . Từ đó suy ra 111 000 1(1)! () n nstnuun nnnn udunn LtFsetdteeudu sssss ∞∞∞ −−− +++ Γ+ ======  ∫∫∫ . Áp dụng kết quả trên ta có 1 2 1 2 1 2 Lt s −  Γ    =   , ở đó 1 2 0 1 2 u uedu − ∞ −  Γ=   ∫ . Đổi biến 2 ux = thì 2 0 1 2 2 x edx π ∞ −  Γ==   ∫ . Do vậy 1 2 1 2 1 2 (0) Lts s s π −  Γ    ==>   . 1.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Laplace Định nghĩa 1.1. Hàm số () ft được gọi là hàm gốc nếu nó có hai tính chất sau: a) () ft đo được trên khoảng (0;) ∞ . b) () ft tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t →∞ , nghĩa là 0,0,|()|,0 t MftMet α α ∃>∃>≤∀> . Số 0 inf αα = với tất cả α thoả mãn (b) được gọi là chỉ số tăng của () ft . Định lý 1.1. Nếu () ft là một hàm gốc và có chỉ số tăng 0 α thì biến đổi Laplace của nó có miền hội tụ là 0 Res α > . Chứng minh. Với mọi 0 αα ≥ , ta đều có (),0 tt MeftMet αα −≤≤∀> , do đó 000 () TTT sttststt MeedteftdtMeedt αα−−− −≤≤ ∫∫∫ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 7 000 lim()lim()lim TTT sttststt TTT MM MeedtFseFtdtMeedt ss αα αα −−− →∞→∞→∞ ⇔−=−≤=≤= −− ∫∫∫ Vậy () MM Fs ss αα −≤≤ −− với 0 Res α > . Nhận xét. Từ định lý trên ta có Re lim()0 s Fs →∞ = . Định lý 1.2. Nếu () ft là hàm gốc với chỉ số tăng 0 α thì biến đổi Laplace () Fs của () ft là hàm giải tích trong miền 0 Res α > . Chứng minh. Bước 1. Đặt 0 ()() n st n Fseftdt − = ∫ . Trước hết ta chứng minh với 0 Res α > , với 0 ε ∀> thì dãy ( ) 1,2, () n n Fs = hội tụ đều về () Fs trên miền 0 Re2 s αε ≥+ . Thật vậy, { } 0 Re2 szz αε ∀∈∈≥+ £ , ta có ()() n FsFs − (Re) () st n eftdt ∞ − ≤ ∫ 0 ()(Re) tst n Meedt αε ∞ +− ≤ ∫ t n Medt ε ∞ − ≤ ∫ 1 tn M Mee tn εε εε −− ∞  =−=  =  . Hơn nữa, bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào s với { } 0 Re2 szz αε ∀∈∈≥+ £ nên dãy ( ) 1,2, () n n Fs = hội tụ đều về () Fs trên miền đó. Bước 2. Ta chứng minh () n Fs giải tích trên miền 0 Res α > với mỗi * n ∈ ¥ . (Tức là ta chỉ ra sự tồn tại của * '(), n Fsn ∀∈ ¥ ). Thật vậy, với s cố định thuộc miền 0 Res α > , theo định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue ta có 0 ()() '()lim nn n h FshFs Fs h → +− = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 8 () 00 0 ()() lim nn shtst h eftdteftdt h −+− → − = ∫∫ 0 0 1 lim() ht n st h e tftedt ht − − → − = ∫ 0 00 1 ()lim() ht nn stst h e tftedttftedt ht − −− → − ==− ∫∫ . Theo định lý Weierstrass, hàm () Fs giải tích trên miền 0 Res α > . 1.1.3. Tính chất của biến đổi Laplace Định lý 1.3. Cho () k ft là các hàm gốc có biến đổi Laplace lần lượt là () k Fs , chỉ số tăng tương ứng là k α , 1,2, , kn = . Nếu 1 ()(), n kkk k ftcftc = =∈ ∑ ¡ là các hằng số , thì biến đổi Laplace của () ft là hàm số () Fs xác định bởi 1 ()() n kk k FscFs = = ∑ với miền hội tụ 1 Remax k kn s α ≤≤ > . Chứng minh. Ta có [ ] 0 ()()() st LftFseftdt ∞ − == ∫ 1 0 () n st kk k ecftdt ∞ − = = ∑ ∫ 1 0 () n st kk k ceftdt ∞ − = = ∑ ∫ [ ] 11 ()() nn kkkk kk cLftdtcFs == == ∑∑ . Ví dụ 1.7. Tìm biến đổi Laplace của 3 ()2sin4 t fttet =+− . Lời giải. [ ] [ ] 33 ()2sin42[sin4] tt LftLtetLtLeLt =+−=+−  22 214 316 sss =+− −+ với Re3 s > . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 9 Ví dụ 1.8. Tìm biến đổi Laplace của ()sinh, 2 atat ee ftata − − ==∈ ¡ . Lời giải. [ ] [ ] ()sinh 2 atat ee LftLatL − −  ==   11 [] 22 atat LeLe − =−   22 1111 22 a sasasa =−= −+− với Re sa > . Tương tự, nếu ()cosh, 2 atat ee ftata − + ==∈ ¡ , thì [ ] [ ] 22 ()cosh s LftLat sa == − với Re sa > . Định lý 1.4. Cho () ft là hàm gốc có chỉ số tăng 0 α , 0 c > là hằng số, và [ ] ()() FsLft = . Khi đó [ ] 1 () s LfctF cc  =   với miền hội tụ 0 Re sc α > . Chứng minh. Ta có [ ] 0 ()() st Lfctefctdt ∞ − = ∫ . Đặt uct = thì 1 ,, u ducdtdtdut cc === . Do đó [ ] 0 11 ()() s u c s LfctefuduF ccc  ∞ −    ==   ∫ . Định lý 1.5. Cho [ ] ()() LftFs = với 0 Res α > . Đặt 0 () (). khit ft ftkhit τ τ ττ <  =  −≥  Khi đó [ ] ()() s LfteFs τ τ − = với 0 Res α > . Chứng minh. Ta có [ ] 00 ()()()() ststst Lfteftdteftdteftdt τ ττττ τ ∞∞ −−− ==+ ∫∫∫ () st eftdt τ τ ∞ − =− ∫ . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 10 Đặt ut τ =− thì , dudttu τ ==+ . Đổi cận: 0, tutu τ =→==∞→=∞ . Do đó [ ] () 00 ()()()() sussus LftefudueefudueFs τττ τ ∞∞ −+−−− === ∫∫ . Ví dụ 1.9. Tìm [ ] () a Lt θ trong đó 1 ()() 0 a khita tta khita θθ ≥  =−=  <  , a ∈ ¡ . Lời giải. Với 10 () 00 khit t khit θ ≥  =  <  ta đã có [ ] 1 ()()LtFs s θ == , Re0 s > . Vì vậy với 1 ()() 0 a khita tta khita θθ ≥  =−=  <  trong đó a ∈ ¡ là hằng số, thì [ ] ()() as as a e LteFs s θ − − ==với Re0 s > . Định lý 1.6. Cho [ ] ()() LftFs = với 0 Res α > , λ ∈ ¡ là hằng số. Khi đó ()() t LeftFs λ λ =−   với 0 Res αλ >+ . Chứng minh. Ta có () 00 ()()()() tsttst LefteeftdteftdtFs λλλ λ ∞∞ −−− ===−   ∫∫ . Ví dụ 1.10. Tìm biến đổi Laplace của (), at fttea =∈ ¡ . Lời giải. Vì [] 2 1 ()LtFs s == với Re0 s > nên 2 1 () () at LteFsa sa =−=  − với Re sa > . Định lý 1.7. Cho [ ] ()() LftFs = , giả sử () () k ft tồn tại và là hàm có biến đổi Laplace, (1) (0) k f −+ tồn tại với 1, , kn ∀= . Khi đó (1) () 2 (0)'(0)(0) ()() n nn n fff LftsFs sss ++−+  =−−−−     (1.1) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com [...]... ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Tìm biến đổi Laplace của một số hàm số Ví dụ 2.1 Từ định nghĩa và các tính chất của biến đổi Laplace ta có bảng kết quả biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng như sau Hàm số f (t ) f (t ) = c, c ∈ ¡ f (t ) = t f (t ) = t n , n ∈ ¥ * f (t ) = eat , a là hằng số f (t ) = sin at , a ∈ ¡ f (t ) = cos at , a ∈ ¡ f (t ) = e− kt sin at , a, k là Biến đổi Laplace F ( s... phẳng toạ độ Thực hiện phép đổi biến t = τ 1 + τ 2 , τ = τ 2 thì miền D đổi thành miền D1 bao bởi trục thực dương và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Khi đó ta có F ( s ).G (s ) = ∫∫ e − st f (t − τ ) f (τ )dtdτ D1 t  = ∫ e  ∫ f (t − τ ) f (τ )dτ  dt 0 0  ∞ − st = L [ g * f (t )] = L [ f * g (t )] 1.2 Phép biến đổi Laplace ngược 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Kí hiệu L−1... ngược 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược Kí hiệu L−1 [ F ( s )] để biểu diễn một hàm f (t ) sao cho biến đổi Laplace của f (t ) là F ( s ) Điều đó có nghĩa là nếu L [ f (t )] = F ( s ) thì L−1 [ F ( s)] = f (t ) Phép biến đổi từ F ( s ) sang f (t ) nói trên được gọi là phép biến đổi Laplace ngược PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 16 Nhận xét Do F ( s ) chỉ mang... 1  −1  at L−1   = L  ( s − a ) 2  = te  (s − a )( s − b)     e at − ebt    1 Vậy L−1  =  a −b (s − a )( s − b)   at    te khi a ≠ b khi a = b 1.2.2 Mối liên hệ giữa biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược Định lý 1.12 Cho hàm gốc f (t ) trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t ≥ 0 , f (t ) có chỉ số tăng α 0 và L [ f (t )] = F ( s ) Khi đó 1 x +i∞ st f (t ) = ∫... như vậy được gọi là hàm bậc mũ Hãy tìm biến đổi Laplace của hàm bậc mũ Lời giải Ta có ∞ L [ f (t )] = ∫ e − st f (t )dt 0 1 2 3 = ∫ e a dt + ∫ e a dt ∫ e − st a 2 dt + 0 − st 0 1 − st 1 2 1 − e − s a (e − s − e −2 s ) a 2 (e −2 s − e −3s ) = + + + s s s = 1 − e− s (1 + ae − s + a 2e −2 s + ) s 1 − e− s = , Re s > max(0,ln a ) s(1 − ae − s ) 2.2 Tìm biến đổi Laplace ngược của một số hàm số  s +1... t (t < π ) (t ≥ π ) Ví dụ 2.21 Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm số F ( s ) = 1 ( s − a ) n+1 trong đó a ∈ ¡ và thoả mãn Re s > a > 0 Lời giải Ta có L [t ] = L t n e at  =   n! ( s − a )n+1 1 s2 1 (Re s > 0), L te at  =   ( s − a) 2 (Re s > a ), (Re s > a ), n = 0,1,2,   1 n at 1 do đó L−1  = te (s − a )n+1  n !   (t ≥ 0) Ví dụ 2.22 Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm số F ( s ) =...   =1  Ví dụ 2.6 Tìm L [ ln t ] ∞ Lời giải L [ln t ] = ∫ e− st ln tdt , đổi biến x = st , s > 0 ta có 0 ∞ ∞ 1∞ 1  x 1  L [ln t ] = ∫ e − x ln   dx =  ∫ e− x ln xdx − ln s ∫ e − x dx  = − (ln s + γ ) , s0 s 0 0  ss  ∞ trong đó γ = − ∫ e − x ln xdx = 0.577215 được gọi là hằng số Euler 0 Ví dụ 2.7 Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: ∞ a) Ci (t ) = ∫ t ∞ b) Ei (t ) = ∫ t cos u du ...   2 2 c) Với ∀x > α 0 ta có x + i∞ ∫ F ( x + iy ) dy ≤ M , M = const x −i ∞ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 19 Khi đó hàm F ( s ) xác định trên Re s > α 0 là biến đổi Laplace của hàm f (t ) xác 1 x +i∞ st định bởi f (t ) = ∫ e F ( s)ds, 2π i x −i∞ x > α0 Định lý 1.15 Giả sử thác triển giải tích của hàm F ( s ) lên nửa mặt phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị... theo N n= 0 N ∞ Mặt khác, từng số hạng của chuỗi này tiến về 0 khi N → ∞ nên từ (1.5) ta suy ra ∞ tn  c  ∞ e  ∑ cn +1  dt = ∑ n+1 ∫ n +1 n!  n =0 s 0  n =0 ∞ − st 1.2.3 Tính không chỉnh của biến đổi Laplace ngược Bài toán tìm hàm gốc của F ( s ) có thể xem như bài toán giải phương trình tích phân ∞ ∫e − st f (t )dt = F (s ) 0 Xét phương trình toán tử PDF created with pdfFactory Pro trial version... '(t ) = f (t ) , nếu đặt G ( s ) = L[ g (t )] thì 0 F ( s ) = L[ f (t )] = L[ g '(t )] = sG ( s) F ( s) t  F ( s) hay L  ∫ f (τ )dτ  = Do vậy G ( s ) = s s 0  t sin u du u 0 Ví dụ 1.14 Tìm biến đổi Laplace của f (t ) = Si (t ) = ∫ 1  sin t  π Lời giải Do L   = 2 − arctan s = arctan s nên ta có  t  1  t sin u  1  sin t  1 L [ Si (t )] = L  ∫ du  = L  = arctan với Re s > 0 s  0 . version www.pdffactory.com 3 Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 1.1. Phép biến đổi Laplace 1.1.1. Định nghĩa phép biến đổi Laplace Cho () ft là hàm số xác định trên. nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một vài ứng dụng của nó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến và một số lượng nhỏ các hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của. Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Nó cùng với phép biến đổi Fourier và biến đổi