Phép biến đổi Laplace và ứng dụng (LV00258

Lời cam đoan Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn: phép biến đổi laplace và ứng dụng’’ đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giải tích phức đặc biệt là những khái niệm quan trọng c

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới pgs.ts nguyễn huy lợi,

đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn phòng sau đại học, các thầy, cô trong

tổ giải tích của khoa toán trường đại học sư phạm hà nội 2, các bạn học viên lớp cao học giải tích khoá 9 và ban giám hiệu, các thầy, cô trong tổ toán trường trung học phổ thông hiệp hoà số 2- bắc giang đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trường

Trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn mặc dù tôi hết sức nghiêm túc và cố gắng tìm tòi, song do còn hạn chế về thời gian và kiến thức, nên không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong sự đóng góp của các thầy, cô cùng các bạn nhận xét và đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 09 năm 2008

Tác giả

Trần trung thành

Lời cam đoan

Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn: phép biến đổi laplace và ứng dụng’’ đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giải tích phức đặc biệt là

những khái niệm quan trọng của phép biến đổi laplace Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm tòi , nghiên cứu bản thân dưói sự hướng dẫn chỉ bảo của pgs Ts nguyễn huy lợi cũng như các thầy, cô phòng sau đại học, tổ giải tích của khoa toán trường đại học sư phạm hà nội 2

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô cùng các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 09 năm 2008

Tác giả

Trần trung thành

2.2.2 tính giải tích của phép biến đổi laplace 26

2.6 Bảng đối chiếu các biến đổi laplace thông dụng 44

Chương 3: một số ứng dụng của phép biến đổi laplace 46

3.1 ứng dụng phép biến đổi laplace về mặt lý thuyết 46

3.2 ứng dụng phép biến đổi laplace giải một số bài toán cụ thể 53

3.2.1 ứng dụng phép biến đổi laplace giải phương trình vi phân thường 53

3.2.2 ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân có vế phải là

3.2.3 ứng dụng phép biến đổi laplace giải hệ phương trình vi phân 62

3.2.4 ứng dụng phép biến đổi laplace giải phương trình đạo hàm riêng

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có một vai trò quan trọng trong giải tích phức mà mục tiêu nghiên cứu là biến các phép tính giải tích như đạo hàm, tích phân thành phép tính đại số Như vậy qua phép biến

đổi Laplace ta có thể biết được cơ sở của phép tính toán tử và sử dụng phương pháp tính toán tử để giải các phương trình vi phân, các phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân và nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang Heaviside Những hàm này thường xuất hiện trong cơ học và các mạch điện tử

Ngoài ra, phép biến đổi Laplace còn được nghiên cứu trong vật lý và nhiều môn học khác mà còn là công cụ tính toán hữu ích cho việc tính toán

Với mong muốn như thế, nên tác giả đi sâu nghiên cứu và tìm hiểu sâu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong lý thuyết, trong thực tiễn, vì vậy mà

tác giả đã chọn đề tài "Phép biến đổi Laplace và ứng dụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace sau đó nêu ra một số ứng dụng trong lý thuyết và thực tiễn của nó

3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu chủ yếu phép biến đổi Laplace và ứng dụng,

để tiếp thu và thực hành đối với hàm một biến, phương trình vi phân thường, phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang, hệ phương trình vi phân hệ

số hằng, phương trình đạo hàm riêng

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo Trong đó:

Chương 1 một số kiến thức bổ trợ

chương 2 Phép biến đổi Laplace

chương 3 Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace

4 ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Nghiên cứu sâu khái niệm phép biến đổi laplace đối với bộ môn giải tích phức nâng nó thành đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó để giải một số bài toán

Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học

và người yêu thích toán, đặc biệt sinh viên ngành toán, vật lí lý thuyết, kĩ thuật

điện - điện tử về phép biến đổi laplace

Chương 1: MộT Số KIếN thức Bổ TRợ 1.1 Hàm giải tích

là đạo hàm của f tại điểm z0

Hàm f được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm z  D

Nhận xét : Mọi hàm khả vi tại điểm z0thì liên tục tại điểm đó

Do định nghĩa đạo hàm hoàn toàn tương tự với hàm số biến số thực nên một cách tương tự ta cũng có các tính chất

Định lý 1.2 Nếu các hàm số f z  và g z  khả vi theo nghĩa phức tại điểm z

iiii (g(f z 0 ') = , ,  

0

g f z

Ta đã biết rằng hàm số biến số phức số và hàm số biến số thực có liên

hệ với nhau Tuy nhiên khi xét về tính khả vi thì sự liên hệ đó được hiểu như, thế nào? Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó

định lý 1.2 ( cauchy - riemann) Cho hàm số f z u x y , iv x y ,  xác

định trong lân cận của điểm z0 x0iy0 Giả sử u v, khả vi theo nghĩa thực tại

điểm z0, khi đó điều kiện cần và đủ để hàm f khả vi tại điểm z0là

Nhận xét:

1 Hàm f z  giải tích tại điểm z0 thì khả vi tại điểm đó Tuy nhiên điều

ngược nói chung không đúng

Ví dụ: Hàm f z z z. khả vi tại điểm z = 0 nhưng giải tích tại điểm đó

2 Trên miền D mở hàm f z  giải tích trên D khi và chỉ khi f khả vi trên đó 1.2 Tích phân của hàm số biến số phức

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.3 Cho là đường cong Jordan, trơn từng khúc và hai đầu mút a

và b Trên  cho hàm số f z , chia  thành n phần bởi các điểm chia a =

được gọi tích phân của hàm f z  dọc theo đường cong

Kí hiệu:

    1 

0 1

lim

n

d k

 kéo theo sự tồn tại tích phân ở vế phải và ta có:

f z dz  udx vdy i (udy vdz)

   (1.6) Nếu xét đường cong  cho dưới dạng tham số, thì hàm f z  được biểu diễn dưới dạng hàm số phức của biến số thực

 t  f z t     t i t ; t  ,  (1.7)  t dt  t dt i  t dt



2 0



it it

*Nếu f và glà các hàm số liên tục trên đường  và a b, là các hằng số phức

Định lý 1.3 ( Tích phân Cauchy đối với miền đơn liên)

Nếu hàm số f z  giải tích trên miền D đơn liên và là đườngcong đóng trơn

từng khúc nằm trong D thì f z dz  0





Định lý 1.4.(Định lý cauchy đối với miền đa liên)

Nếu D là miền hữu hạn (k + 1) kín với biên  gồm một số hữu hạn các đường

cong Jordan đóng, trơn từng khúc sao cho miền đóng hữu hạn giới hạn bởi

1, 2, 3 , , k

không giao nhau, hàm f z  giải tích trên miền đóng

1.2.3.Công thức tích phân Cauchy Nếu D là một miền hữu hạn với biên 

của nó gồm một số hữu hạn đường cong Jordan đóng trơn từng khúc, hàm số

Định lý 1.5.( Nguyên lý mođun cực đại)

Nếu hàm số f z  khác hằng số và giải tích trên miền D C thì f z  không thể đạt giá trị cận trên đúng tại điểm bất kì nào thuộc miền D

Một số tính chất của tích phân loại Cauchy

Đối với một số điểm z mặt phẳng phức mà không thuộc , tích phân loại Cauchy là một hàm số giải tích và

k

k

f t k

Nếu hàm số f z  giải tích trên miềnD thì nó có đạo hàm mọi cấp trên miền đó

Mọi đạo hàm của hàm giải tích trong miền D đều là hàm giải tích trên miền

đó

1.2.5 Nguyên hàm của hàm số biến số phức

Dựa vào định lý Cauchy, ta có mệnh đề rất quan trọng của giải tích phức:

Mệnh đề: Tích phân của hàm giải tích f z  dọc theo đường cong Jordan trơn từng khúc  không phụ thuộc vào hình dạng của đường cong mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong đó

Thật vậy, giả sử 1 và 2 là hai đường cong Jordan trơn từng khúc bất kỳ cùng có điểm đầu là a và điểm cuối là b Ta chứng minh rằng:

Định lý 1.6 Nếu hàm f z  là một hàm số liên tục trong miền đơn liên

D và tích phân f z dz 



 dọc theo đường cong Jordan trơn từng khúc trơn từng khúc chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của  (không phụ thuộc vào hình dạng của ) thì

Chứng minh: Lấy một điểm z1 bất kì trong lân cận U z p ,  của z và gọi  là

đoạn thẳng nối với z và z1 Ta lấy  đủ nhỏ để lân cận U z p ,  nằm trong D

Theo điều kiện của định lý, Ta có:

   

 2  

,

Vì   0bé tùy ý nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra:

     

1

1 ,

1.3.1 Chuỗi Taylor

Định lý 1.7 Hàm số f z  giải tích trên miền D , thì tại lân cận z 0 D

hàm số này có thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa

   0

0

k k

k k

k

k r

f t k

a

k

 víi k 1, 2, 3 (1.32)

Nhận xét: Do chuỗi (1.29) hội tụ đều trên r với mọi z zz0 rvà các hệ số

k

a là như nhau với mọi r0,d, nên bán kính hội tụ của chuỗi (1.27) không nhỏ hơn d

Định nghĩa 1.5 (Chuỗi Taylor)

Chuỗi lũy thừa có dạng (1.27) với các hệ số a k xác định bằng công thức (1.31) hay (1.32) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f z  tại điểm z0

Khai triển Taylor của một số hàm số sơ cấp thường gặp

z k

 råi lÊy tÝch ph©n däc theo ®­êng trßn

R

k k

1 2

0 0 0

r

k k

1 2

r

k k

1 2

1 2

1 2

tuy nhiên nếu ta lấy đường tròn  bất kỳ tz0   với r1  R1

theo định lý 1.4 ( Định lý tích phân dối với miền đa liên) ta có ngay đẳng thức

 

1

1 0

Chuỗi Laurent gồm hai bộ phân: Một bộ phận: Một bộ phận gồm các số hang gồm các số mũ không âm (1.39) và một bộ phận gồm các số hạng âm (1.41) Bộ phận đầu gọi là phần đều bộ phân sau gọi là phần chính

Định lý 1.8 (Định lý Laurent - 1843)

Nếu hàm số f z giải tích trong một vành K : r zz0 R r(  0,R  ) thì trong vành ấy có thể khai triển chuỗi (1.42) và chuỗi này hội tụ trong mọi miền đóng của vành K .

f z trong vành đó và chuỗi (1.47) là khai triển của hàm f z 

Thật vậy: Do tính giải tích của hàm số f z  =  0

k k

Trong vành K: r zz0 R r(  0,R  ) hiển nhiên dựa vào các định lý Abel

và Vayecxtrat Ta chỉ cần chứng minh các hệ số a kđược tính theo công thức:

 

1

1 0

1 2

0

0 2

1 2

Chú ý : Định lý này có ý nghĩa rất lớn nó khẳng định rằng với mọi khai triển

Laurent của một hàm số trong vành đều trùng nhau, và các hệ số đều được

tính theo công thức (1.53) Về mặt thực tiễn cho thấy có thể dùng bất kỳ thuật

tính nào khi tìm hệ số a k vì việc tính bằng công thức (1.53) nói chung rất khó

khăn

1.4 Lý thuyết thặng dư

1.4.1.Định nghĩa

Định nghĩa 1.7 Giả sử hàm số f z  giải tích tại một điểm z0C nào đó và

 là một đường cong Jordan kín, trơn từng khúc giới hạn một miền G sao cho

0

z G Khi đó theo định lý Cauchy

Giả sử z   là điểm kì dị cô lập của hàm f z  và gọi  là đường tròn

z R với R khá lớn để đường tròn nằm hoàn toàn trong một lân cận thủng

U của điểm vô cực, trong đó f z  không có điểm kì dị

Thặng dư tại điểm vô cực của hàm f z  được định nghĩa là:

res f z  ,   = 1  

Tích phân ở vế phải của đẳng thức trên lấy dọc theo đường tròn  nhưng hướng cũng chiều với kim đồng hồ, để miền chứa điểm vô cực nằm bên trái Theo qui ước, đường tròn  có hướng dương ngược chiều kim đồng hồ nên ở

đây đường cong lấy tích phân là  

1.4.2 Các định lý cơ bản về thặng dư

z z



Định lý1.11 (Định lý cơ bản về thặng dư) Nếu hàm số f z  giải tích trong miền D trừ một số hữu hạn điểm kỳ dị cô lập a j (j 1, 2, )k

Ta vạch đường tròn :z R với R đủ lớn để mọi điểm  a j

(j 1, 2, )k đều nằm trtong hình tròn z R theo đẳng thức (1.64), ta có:

 1

Chương 2 Phép biến đổi laplace 2.1 mở đầu

phép biến đổi laplace là một trong các phép biến đổi có một vai trò quan trọng trong giải tích phức mà mục tiêu nghiên cứu là biến các phép tính giải tích như đạo hàm, tích phân thành phép tính đại số như vậy, qua đó phép biến đổi laplace có thể chuyển phương trình vi phân, phường trinh đạo hàm riêng, phương trình tích phân thành một phương trình đại số

Giả sử với mỗi hàm f(t) là hàm phức của biến số thực t sao cho tích

chú ý: Hàm F s có thể không tồn tại với mọi f t 

2.2 Các khái niệm cơ bản

Để hàm F s  luôn luôn tồn tại, ở đây chỉ xét các hàm f t  thuộc một lớp hàm đặc biệt, gọi là hàm gốc

2.2.1 hàm gốc

Hàm gốc là tập hợp tất cả các hàm phức f t  của biến số thực t sao cho tích phân (2.2) hội tụ đối với 1 số phức s thỏa mãn các điều kiện sau:

i f t  = 0 khi t < 0

ii hàm f t  liên tục cùng với các đạo hàm đến cấp đủ lớn trên toàn trục

t khi t  0 trừ ra một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1

iii Khi t , hàm f t  có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số

p > 0 và số M > 0 sao cho: f t   M pt

e với mọi t > 0 (2.3)

kí hiệu p0 = inf{p: p thỏa mãn (2.3) } số p0gọi là chỉ số tăng của f t 

Gọi 0 là tập hợp các hàm biến phức Phép biến đổi Laplace là ánh xạ

Toán tử L thay cho cụm từ "phép biến đổi Laplace của"

2.2.2 Tính giải tích của phép biến đổi Laplace

Định lý 2.1 Nếu hàm F s  là ảnh của hàm gốc f t  với chỉ số tăng p0, thì

Re

0

t

t p s

p s

Ta xÐt t¹i ®iÓm s0 tïy ý, Res0 > p0 Chän 0sao cho Res0 > 0> p0 vµ

l©n cËn V cña s0 sao cho Res  0 víi mäi s  V Gi¶ sö ,  lµ mét chu tuyÕn

F s gi¶i tÝch trªn miÒn Res > p0

§Þnh lý 2.3 Mäi hµm ¶nh F s  tiÕn dÇn 0 khi Res tiÕn dÇn 

tháa m·n tÝnh chÊt iii víi p0= 0

b, NÕu f t  lµ 1 hµm ®a thøc th× f t  tháa m·n i vµ ii Víi mäi p >0

Hàm F s  gọi là ảnh của hàm gốc f t , như ta biết từ định nghĩa 2.1, nếu biết hàm gốc thì ta có tìm được hàm ảnh của nó Để xây dựng công thức tìm hàm gốc khi biết hàm ảnh, sau đây ta xét tích phân sau:

C

e ds s

a ib st

a ib

e ds

C

e ds s

Như vậy khi R  , thì f t  = lim

b

1 2

a ib st

a ib

e ds

Từ (2.9) ta thay t bởi t -  với  là một số thực, khi đó

 

f t =

 

1 2

a i s t

a i

e ds

t t t

. k.

k

s st

k k

a i

e F s ds i

Từ (2.20) cho ta xác định hàm gốc sau khi biết được hàm ảnh Cách xác

định trên còn được gọi là phép biến đổi Laplace ngược Sau đây ta có định lý

về phép biến đổi laplace ngược như sau:

Định lý.2.4 (Mellin) Giả sử hàm f t là hàm gốc với chỉ số tăng với chỉ số tăng và F s  là ảnh của nó Khi đó tại mọi điểm t mà f t  liên tục, hàm f t 

đuợc biểu diễn theo công thức:

f t  = 1 .  

2

a i st

a i

e F s ds i

a ib

e F s ds i

a i

e F s ds i

a i

e F s ds i

a i

e F s ds i



 

Xét hai cung tròn C n và C n là hai phần của đường tròn s = R, nằm trong nửa

mặt phẳng Res  a và cắt đường tròn tại hai điểm a ib n và a ib n Ký hiệu n

là phần đường tròn nằm trong khoảng (a ib n,a ib n)

Theo bổ đề Joocdan nếu t 0 thì  

'

lim

n

st n

a i

e F s ds i

c s

0

t khi )!

1 (

1 m

1

m

t c

m m

a i

e F s ds i

a ib

e F s ds i

 

f t = 1 .  

2

a i st

a i

e F s ds i

a i

m m

a i st m

e ds

c t m

a, f t  kh«ng lµ hµm gèc, v× kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn ii, do t = 1 lµ ®iÓm

gi¸n ®o¹n lo¹i 2

e s

s t t

n st

st n t

0

t khi 0

t h

Suy ra,  

s

1 s

1 - )

(

0

st - st

0

t khi f(t) ) ( ) (t f t h

2.4.1.TÝnh chÊt tuyÕn tÝnh

§Þnh lý 2.7 NÕu L[ f t ] = F s( ) , L[ g t ] = G s , th× víi mäi h»ng sè phøc

, Ta cã L[ f t  +  g t ] =  F s( ) +  G s  (2.33)

Chøng minh: ThËt vËy

Chøng minh: Ta cã,

( ) '( )

b b

Định lý 2.10 Giả L[ f t ] = F s , khi đó với mọi n  N ta có,

L [ t f t n ( )] =   1 n F t n( ) (2.37)