Biến đổi mellin và ứng dụng

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Đào Thị Mai Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn “Biến đổi Mellin và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Đào Thị Mai Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Hàm biến phức . . . . . . . . 8 1.1.1. Hàm liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Lý thuyết thặng dư. . . 15 1.2.1. Không điểm và cực điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2. Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . 19 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Hàm Beta . . . . . . . . 21 1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. Hàm Zeta Riemann . . . . . . . 24 1.5.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.2. Phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2. BIẾN ĐỔI MELLIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . 26 2.2. Một số tính chất cơ bản . . . . . . 30 2.2.1. Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 2.2.2. Tính chất tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3. Tính chất nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4. Tính chất dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.5. Biến đổi Mellin của đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.6. Biến đổi Mellin của toán tử vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.7. Biến đổi Mellin của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.8. Biến đổi Mellin của tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.9. Biến đổi Mellin của tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Mối quan hệ với biến đổi Laplace và biến đổi Fourier 38 2.4. Biến đổi Mellin ngược . . . . 39 2.5. Biến đổi Mellin trong tọa độ cực . . . . . 41 2.6. Biến đổi Mellin tổng quát. . . . . 44 Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI MELLIN . . . . 47 3.1. Tính tổng chuỗi vô hạn . . . . . 47 3.2. Tính tích phân phụ thuộc tham số . . . . 50 3.3. Nghiệm của bài toán thế vị trong cái chêm. . . . 52 3.4. Giải các bài toán về phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân tuyến tính . . . . 54 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử được hình thành từ những năm nửa cuối của thế kỷ XIX. Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay biến đổi Fourier. Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là chúng ta được cung cấp những phương pháp toán tử rất hiệu lực để giải quyết những bài toán với giá trị đầu và các bài toán biên của các phương trình phương trình vi phân tuyến tính và phương trình tích phân. Trong toán học, một biến đổi tích phân là biến đổi T có dạng (T f) (s) = F (s) = t 2  t 1 K(t, s)f(t)dt. Đầu vào của mỗi biến đổi tích phân là một hàm f, và đầu ra là một hàm Tf khác. Trong đó hàm K(t, s) được gọi là nhân, hàm f được gọi là hàm gốc và hàm F(s) được gọi là ảnh của biến đổi tích phân đó. Một số nhân có nghịch đảo tương ứng K −1 (s, t), có nghĩa là tồn tại phép biến đổi ngược f(t) = u 2  u 1 K −1 (s, t) (T f) (s)ds. 3 Một trong những lý do cốt yếu về sự xuất hiện của các biến đổi tích phân phải kể đến là nhiều lớp bài toán mà có thể nói rất khó giải quyết hoặc thậm chí nhiều khi không thể gải quyết được trên bản thân nội tại của những lĩnh vực đó. Một biến đổi tích phân là một phép biến đổi mà nó ánh xạ một hàm từ “miền gốc” (mà trong đó bài toán đặt ra rất khó giải quyết) sang một miền khác “miền ảnh”. Việc giải bài toán trên miền ảnh sẽ thuận lợi hơn rất nhiều so với việc thực hiện trên miền gốc. Sau đó, kết quả sẽ được ánh xạ trở lại gốc ban dầu để ta nhận được yêu cầu đặt ra (ta có thể hình dung vấn đề này dưới góc độ sơ cấp, như qua biến đổi của hàm logarit các phép tính nhân được chuyển thành phép cộng). Hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà phải nói đến sự ảnh hưởng lớn của nó đến các lĩnh vực của Vật lý học và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đó là biến đổi Fourier và biến đổi Laplace. Tuy nhiên, xét về mặt mang tính cốt yếu các phép biến đổi đó được xuất hiện từ việc đặt ra để giải quyết các vấn đề thuộc lĩnh vực nói trên đây, thì biến đổi Mellin được xuất hiện ngay trong ngữ cảnh giải quyết các vấn đề có tính thuần túy thuộc riêng về lý thuyết Toán học. Có nhiều loại biến đổi tích phân, mỗi biến đổi khác nhau tương ứng với một sự lựa chọn của một hàm nhân K(t, s). Trong biến đổi Mellin, nhân của phép biến đổi là hàm K(t, s) = t s−1 và biến đổi Mellin của một hàm gốc f(t) xác định trên trục thực dương 0 < t < +∞ được xác định bởi M[f; s] = F (s) = +∞  0 f(t)t s−t dt. 4 Sự xuất hiện lần đầu tiên của biến đổi Mellin, ta có thể thấy được trong một bản thảo của nhà Toán học B. Riemann năm 1876, ở đó ông đã sử dụng phép biến đổi này trong việc nghiên cứu về hàm Zeta để giải quyết bài toán về sự phân bố các số nguyên tố. Đến năm 1894, E. Cahen mới đưa ra được một số nghiên cứu rộng hơn về phép biến đổi này (tham khảo vấn đề này ta có thể xem trong [1]). Điểm mấu chốt của biến đổi, được xuất hiện vào những năm 1896 - 1902 (vì lý do đó, sau này được gắn với tên biến đổi Mellin), đó là nhà toán học người Phần Lan R. H. Mellin đã đưa ra sự trình bày một cách rõ ràng có hệ thống khá chặt chẽ về biến đổi tích phân này cùng phép biến đổi ngược của nó. Trong các công trình nghiên cứu về các hàm đặc biệt “Special Functions”, ông đã trình bày các ứng dụng của nó trong việc giải các phương trình vi phân siêu bội và vấn đề đạo hàm của khai triển tiệm cận. Các đóng góp của Mellin đã làm sáng tỏ ý nghĩa của lý thuyết hàm giải tích và xóa đi sự nghi hoặc vẫn còn tồn tại trước đó trong Toán học về lý thuyết tích phân Cauchy và lý thuyết thặng dư trong giải tích hàm biến phức. Như đã đề cập trên đây, biến đổi Mellin là một trong những biến đổi tích phân có ý nghĩa quan trọng trong Toán học cũng như sự áp dụng phong phú của nó trong việc giải quyết các bài toán thường gặp trong thực tiễn. Với lý do đó, được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Biến đổi Mellin và ứng dụng” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 5 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về khái niệm phép biến đổi Mellin; một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Mellin; mối quan hệ của biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace và biến đổi Fourier; một số ứng dụng của phép biến đổi này. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về phép biến đổi Mellin, mối quan hệ của biến đổi này với một số biến đổi tích phân khác đồng thời nghiên cứu một số ứng dụng của nó. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 5. Dự kiến đóng góp của đề tài - Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi Mellin cổ điển và biến đổi Mellin tổng quát. - Trình bày ứng dụng của phép biến đổi Mellin để giải quyết một số vấn đề sau đây + Tính tổng chuỗi vô hạn. + Giải các bài toán về phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương 6 trình tích phân với điều kiện đầu và điều kiện biên. + Tính tích phân phụ thuộc tham số. + Giải bài toán thế vị trong cái chêm vô hạn. 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm biến phức 1.1.1. Hàm liên tục Định nghĩa 1.1. Cho hàm f(z) xác định trên tập mở Ω ⊂ C. Ta nói rằng f(z) liên tục tại điểm z 0 ∈ Ω nếu thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương sau (i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω mà |z − z 0 | < δ thì |f(z) − f (z 0 )| < ε. (ii) Với mọi dãy {z n } ⊂ Ω mà lim n→∞ z n = z 0 thì lim n→∞ f(z n ) = f(z 0 ). Hàm f(z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của Ω. Ta dễ thấy tổng, hiệu, tích và thương của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục. Định nghĩa 1.2. Hàm f(z) được gọi là liên tục đều trên Ω nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z, z  ∈ Ω mà |z − z  | < δ ta có |f(z) − f(z  )| < ε. Nhận xét 1.1. Từ tính liên tục đều của hàm f suy ra hàm f liên tục. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. 8 [...]... 25 (1.26) Chương 2 BIẾN ĐỔI MELLIN 2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1 Cho f (t) là một hàm xác định trên trục thực dương 0 < t < +∞ Biến đổi Mellin M là phép ánh xạ hàm f (t) thành hàm F (s) xác định trên mặt phẳng phức bởi công thức +∞ ts−1 f (t)dt M [f ; s] ≡ F (s) = (2.1) 0 Hàm F (s) được gọi là biến đổi Mellin của f (t) Nói chung, tích phân chỉ tồn tại với các giá trị của biến phức s = a + ib... a + ib thỏa mãn a1 < a < a2 , trong đó a1 và a2 là những số phụ thuộc vào hàm f (t) Điều kiện này được gọi là dải xác định (hay dải chỉnh hình) của biến đổi Mellin và được ký hiệu là S (a1 , a2 ) Trong một số trường hợp, dải này có thể mở rộng đến nửa mặt phẳng (a1 = −∞ hoặc a2 = +∞) hoặc toàn bộ mặt phẳng phức (s) (a1 = −∞ và a2 = +∞) Ví dụ 2.1 Tìm biến đổi Mellin của hàm f (t) = e−pt ; p > 0 (2.2)... ta nhận được dải chỉnh hình là nửa mặt phẳng phức Ví dụ 2.2 Xét hàm 1 (2.5) 1+t Biến đổi Mellin của f (t) có thể được tính trực tiếp bằng việc sử dụng f (t) = tính toán thặng dư Nhưng có phương pháp khác là đổi biến trong (2.1) từ t thành x bởi công thức t+1= t dt 1 ,x= , dx = 1−x t+1 (1 + t)2 (2.6) Khi đó biến đổi Mellin của (2.5) được biểu diễn bởi 1 xs−1 (1 − x)−s dx M [f ; s] = (2.7) 0 với điều... hàm f (t) = 1 et + 1 Khi đó ta có biến đổi Mellin của f (t) M 1 ; s = 1 − 21−s Γ(s)ζ(s) t+1 e 29 (2.11) Kết quả này được suy ra từ hệ thức 1 1 2 − t = 2t et − 1 e + 1 e − 1 kết hợp với (2.10) và (2.11) Ví dụ 2.7 Xét hàm f (t) = H (t − t0 ) tz , (2.12) trong đó H là hàm bước nhảy Heaviside được xác định bởi  1 nếu t > 0, H(t) = 0 nếu t < 0 và t0 > 0, z ∈ C Biến đổi Mellin của f là +∞ z+s−1 M [f ; s]... Sử dụng tính chất của hàm Gamma ta thu được một công thức tương đương M [f ; s] = 27 π sin πs (2.9) tồn tại trong cùng dải Ví dụ 2.3 Xác định biến đổi Mellin của hàm f (t) = 1 (1 + t)n Theo định nghĩa ta có +∞ M 1 ;s = (1 + t)n ts−1 1 dt (1 + t)n 0 Thay t = x ta được 1−x 1 1 M ;s = (1 + t)n xs−1 (1 − x)n−s−1 dx 0 = B(s, n − s) = Γ(s)Γ(n − s) Γ(n) Ví dụ 2.4 Xét hàm f (t) = 1 et − 1 Ta có biến đổi Mellin. .. liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và γ là một đường cong trơn từng khúc nằm trong Ω có điểm đầu là ω1 và 14 điểm cuối ω2 , thì f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ) γ Hệ quả 1.1 Giả sử γ là đường cong đóng nằm trong tập mở Ω Nếu hàm liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì f (z)dz = 0 γ Hệ quả 1.2 Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f = 0, thì f là hàm hằng 1.2 Lý thuyết thặng dư 1.2.1 Không điểm và cực điểm... kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng tương tự như hàm biến thực Ta có mệnh đề sau 10 Mệnh đề 1.1 Nếu các hàm f, g chỉnh hình trên Ω, thì (i) f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g) = f + g , (ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g) = f g + f.g , f f f g − f.g (iii) Nếu g(z0 ) = 0, thì chỉnh hình tại z0 ∈ Ω và = g g g2 Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì hàm... bản 2.2.1 Tính chất tuyến tính Giả sử F (s) = M[f (t); s] và G(s) = M[g(t); s] Với mọi α, β ∈ R ta có M[αf (t) + βg(t); s] = αF (s) + βG(s) Chứng minh Theo định nghĩa ta có 30 +∞ ts−1 [αf (t) + βg(t)] dt M[αf (t) + βg(t); s] = 0 +∞ +∞ ts−1 f (t)dt + α =α 0 ts−1 g(t)dt 0 = αF (s) + βG(s) Cho F (s) = M[f (t); s] là biến đổi Mellin của hàm f (t) và ký hiệu Sf là dải chỉnh hình của nó Khi đó, ta có các... (t)]|∞ − s 0 ts−1 f (t)dt 0 = −tF (s) 2.2.6 Biến đổi Mellin của toán tử vi phân M d t dt n f (t); s = (−1)n sn F (s); s ∈ Sf , n = 1, 2, (2.22) Hơn nữa dn n M t f (t); s = (−1)n (s − n)(s − n + 1) (s − 1)F (s) n dt (2.23) Chứng minh Chúng ta chứng minh cho trường hợp n = 2, trường hợp tổng quát với n là tương tự Theo định nghĩa, kết hợp với tính chất tuyến tính và (2.20) ta có M d t dt 2 f (t); s = M... Tương tự chúng ta dễ dàng chứng minh được B(x, y) = x−1 B(x − 1, y) x+y−1 (1.18) Hàm Beta có quan hệ với hàm Gamma bởi hệ thức B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) (1.19) Thật vậy, thay t bởi pt vào (1.3) ta thu được +∞ Γ(s) ; Re(p) > 0 ps e−pt ts−1 dt = 0 Đặt p = 1 + u và s = x + y vào phương trình trên ta có +∞ 1 1 = (1 + u)x+y Γ(x + y) e−(1+u)t tx+y−1 dt (1.20) 0 Thay (1.20) vào (1.14) ta được +∞ 1 B(x, . phép biến đổi Mellin; mối quan hệ của biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace và biến đổi Fourier; một số ứng dụng của phép biến đổi này. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về phép biến. Biến đổi Mellin ngược . . . . 39 2.5. Biến đổi Mellin trong tọa độ cực . . . . . 41 2.6. Biến đổi Mellin tổng quát. . . . . 44 Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI MELLIN . . . . 47 3.1. Tính tổng chuỗi. 35 2.2.9. Biến đổi Mellin của tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Mối quan hệ với biến đổi Laplace và biến đổi Fourier 38 2.4. Biến đổi Mellin ngược