Phép biến đổi hankel và áp dụng (LV01969)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CHU THỊ LAN PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI, 2016 i LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Chu Thị Lan ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Hankel áp dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Chu Thị Lan iii Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii Mở đầu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích phân suy rộng 1.1.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận 1.1.2 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 1.2 Tích phân phụ thuộc tham số 1.2.1 Tích phân phụ thuộc tham số đoạn 1.2.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tận 10 1.2.3 Tích phân phụ thuộc tham số hàm không bị chặn 12 1.3 Tích phân Fourier 13 iv 1.3.1 Biểu diễn hàm số tích phân Fourier 13 1.3.2 Dạng khác công thức Fourier 14 1.3.3 Phép biến đổi Fourier 16 1.3.4 Tích chập phép biến đổi Fourier 17 1.4 Hàm Bessel 18 PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL 26 2.1 Khái niệm phép biến đổi Hankel 26 2.2 Một số ví dụ 29 2.3 Một số tính chất toán tử phép biến đổi Hankel 30 2.4 Áp dụng phép biến đổi Hankel việc giải số phương trình vi phân đạo hàm riêng 34 2.4.1 Bài toán rung động tự màng tròn lớn 35 2.4.2 Bài toán phân bố nhiệt độ ổn định cố thể nửa vô hạn với nguồn nhiệt ổn định 36 2.4.3 Phương trình khuyếch tán đối xứng qua đường chéo 37 2.4.4 Bài toán xạ âm đối xứng qua đường chéo 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân bắt nguồn từ nghiên cứu tiếng lý thuyết khai triển hàm số thành chuỗi hàm lượng giác Fourier sau phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier Ý nghĩa quan trọng phép biến đổi tích phân cung cấp phương pháp toán tử hiệu lực để giải toán phương trình vi phân, phương trình sai phân phương trình tích phân Hai phép biến đổi tích phân có tính khởi đầu đánh giá quan trọng không Toán học mà nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác phép biến đổi Fourier biến đổi Laplace Trong lý thuyết phép biến đổi tích phân tổng quát, người ta định nghĩa phép biến đổi tích phân T sau t2 T [f (s)] = F (s) = K(t, s)f (t)dt t1 Trong phép biến đổi tích phân người ta gọi f (t) hàm gốc, hàm F (s) hàm ảnh hàm K(t, s) gọi nhân phép biến đổi Nếu hàm nhân K(t, s) phép biến đổi tồn nghịch đảo kí hiệu K −1 (s, t) Điều đó, có nghĩa tồn phép biến đổi ngược tích phân sau u2 K −1 (s, t)T [f (s)] ds f (t) = u1 Trong phép biến đổi tích phân, phép biến đổi Hankel có ý nghĩa quan trọng liên quan tới số hàm đặc biệt Nhà Toán học Hermann Hankel (1839-1873) người Đức, ghi nhận đóng góp tiếng ông lĩnh vực Giải tích Toán học phép biến đổi mang tên ông Phép biến đổi xuất việc nghiên cứu ông hàm phụ thuộc vào khoảng cách tới điểm gốc Đồng thời liên quan đến lĩnh vực này, ông nghiên cứu hàm, mang tên hàm Hankel hay hàm Bessel loại ba Trong ngôn ngữ phép biến đổi tích phân, nhân phép biến đổi Hankel hàm Bessel Sự phát sinh cách tự nhiên nhân phép biến đổi xuất toán đối xứng trục hệ tọa độ cực trụ Được định hướng TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài “Phép biến đổi Hankel áp dụng” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Hankel số áp dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu định nghĩa, tính chất phép biến đổi Hankel Phương pháp nghiên cứu Tra mạng tìm tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng người hướng dẫn Dự kiến đóng góp luận văn - Trình bày cách có hệ thống phép biến đổi Hankel - Trình bày số áp dụng phép biến đổi Hankel Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích phân suy rộng 1.1.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận Định nghĩa Cho hàm f (x) xác định [a, +∞) Giả sử f (x) khả tích đoạn [a, b]; với b > a Nếu tồn giới hạn b lim f (x)dx, b→+∞ (1.1) a giới hạn gọi tích phân suy rộng với cận vô tận f (x) [a, +∞) +∞ f (x)dx Như ký hiệu a +∞ b f (x)dx = lim f (x)dx b→+∞ a a Nếu tồn hữu hạn giới hạn (1.1) ta nói tích phân hội tụ Nếu giới hạn (1.1) ±∞ không tồn tại, ta nói tích phân phân kỳ Tương tự, hàm f (x) xác định (−∞, a] ta định nghĩa a a f (x)dx = lim f (x)dx b→−∞ −∞ (1.2) b Nếu hàm f (x) xác định (−∞, +∞) ta định nghĩa a +∞ f (x)dx = −∞ +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx (1.3) a Trong định nghĩa cuối cùng, tích phân tồn không phụ thuộc vào việc chọn số a Một số ví dụ Ví dụ Tính tích phân suy rộng +∞ dx x2 Bởi b dx = − x2 x b 1 =1− , b nên tích phân hội tụ ta có +∞ dx = lim − x2 b→∞ b = 29 2.2 Một số ví dụ Ví dụ Biến đổi Hankel bậc không hàm (i) f (r) = r−1 exp(−ar) f˜(κ) = H0 (ii) f (r) = δ(r) r f˜(κ) = H0 exp(−ar) r ∞ exp(−ar)J0 (κr)dr = √ = κ2 + a2 ∞ δ(r) r = δ(r)J0 (κr)dr = (iii) f (r) = H(a − r); với H(r) hàm bậc thang đơn vị Heaviside f˜(κ) = H0 {H(a − r)} = a = rJ0 (κr)dr = κ aκ pJ0 dp a [pJ1 (p)]aκ = J1 (aκ) κ κ Ví dụ Biến đổi Hankel bậc hàm (i) f (r) = e−ar f˜(κ) = H1 {e−ar } = ∞ re−ar J1 (κr)dr = (ii) f (r) = e−ar r e−ar f˜(κ) = H1 r (iii) f (r) = sin ar r ∞ = e−ar J1 (κr)dr = κ (a2 + b2 ) −1 − a(κ2 + a2 ) κ 30 ∞ sin ar r f˜(κ) = H1 sin arJ1 (κr)dr = = aH(κ − a) κ(κ2 − a2 ) Ví dụ Biến đổi Hankel bậc n với (n > −1) hàm (i) f (r) = rn H(a − r) a f˜(κ) = Hn [rn H(a − r)] = r n+1 an+1 Jn (κr)dr = Jn+1 (aκ) κ (ii) f (r) = rn exp(−ar2 ) f˜(κ) = Hn rn exp(−ar2 ) = ∞ rn+1 Jn (κr) exp(−ar2 )dr n = 2.3 κ κ n+1 exp − 4a (2a) Một số tính chất toán tử phép biến đổi Hankel Từ đây, ta sử dụng ký hiệu Hn {f (r)} = f˜n (κ) Hn {g(r)} = g˜(κ) Tính chất (tính tỷ lệ) Ta có Hn {f (ar)} = ˜ κ fn ; a > a2 a Thật vậy, theo định nghĩa ta có ∞ Hn {f (ar)} = rJn (κr)f (ar)dr = a ∞ sJn κ ∼ κ s f (s)ds = f a a a (2.10) 31 Tính chất (quan hệ Parseval) Ta có ∞ ∞ κf˜(κ)˜ g (κ)dκ rf (r)g(r)dr = (2.11) Thật vậy, ta có ∞ ∞ ∞ κf˜(κ)˜ g (κ)dκ = κf˜(κ)dκ rJn (κr)g(r)dr Đổi thứ tự lấy tích phân ta ∞ ∞ ∼ κf˜(κ)˜ g (κ)dκ = ∞ rg(r)dr κJn (κr) f dκ ∞ = rg(r)f (r)dr Tính chất (Biến đổi Hankel đạo hàm) Hn {f (r)} = κ (n − 1)f˜n+1 (κ) − (n + 1)f˜n−1 (κ) ; n ≥ 2n H1 {f (r)} = −κf˜0 (κ), (2.12) (2.13) với điều kiện [rf (r)] triệt tiêu r → r → ∞ Từ định nghĩa ta có ∞ Hn {f (r)} = rJn (κr)f (r)dr Lấy tích phân phần ta ∞ Hn {f (r)} = [rf (r)Jn (κr)]∞ − f (r) d [rJn (κr)] dr dr (2.14) 32 Bây ta sử dụng tính chất hàm Bessel d [rJn (κr)] = Jn (κr) + rκJn (κr) dr = Jn (κr) + rκJn−1 (κr) − nJn (κr) = (1 − n)Jn (κr) + rκJn−1 (κr) (2.15) Từ điều kiện cho, số hạng biểu thức (2.14) triệt tiêu r → r → ∞ Do đó, thay đạo hàm tích phân (2.14) biểu thức (2.15) (2.14) trở thành ∞ f (r)Jn (κr)dr−κf˜n−1 (κ) Hn {f (r)} = (n − 1) (2.16) Tiếp theo ta sử dụng quan hệ truy toán hàm Bessel Jn (κr) = κr [Jn−1 (κr) + Jn+1 (κr)] 2n (2.17) Khi đó, biểu thức (2.16) viết thành Hn [f (r)] = −κf˜n−1 (κ) + κ n−1 2n n−1 = −κf˜n−1 (κ) + κ 2n = κ 2n ∞ rf (r) {Jn−1 (κr) + Jn+1 (κr)}dr f˜n−1 (κ) + f˜n+1 (κ) (n − 1)f˜n+1 (κ) − (n + 1)f˜n−1 (κ) Đặc biệt, n = ta nhận công thức (2.13) Tương tự, lặp lại công thức (2.12) ta nhận kết sau 33 Hn {f (r)} = κ2 = κ [(n − 1)Hn+1 {f (r)} − (n + 1)Hn−1 {f (r)}] 2n n+1 ˜ n2 − ˜ fn−2 (κ) − fn (κ) + n−1 n2 − n−1 ˜ fn+2 (κ) (2.18) n+1 Tính chất Hn ∇2 − n2 r2 = Hn f (r) d r dr r df dr − n2 f (r) r2 = −κ2 f˜n (κ) (2.19) với điều kiện rf (r) rf (r) triệt tiêu r → r → ∞ Thật vậy, từ định nghĩa (2.17) ta có Hn d r dr df r dr n2 − f (r) r ∞ ∞ n2 d df r dr − [rJn (κr)] f (r)dr dr dr r 0 Lấy tích phân phần giá trị biểu thức = = df r dr Jn (κr) ∞ ∞ −κ Jn (κr) r 0 ∞ n2 df J n (κr)dr − [rJn (κr)] f (r)dr dr r Từ giả thiết số hạng thứ triệt tiêu tiếp tục lấy tích phân phần, ta nhận giá trị = − [κrf (r)J ∞ n (κr)]0 ∞ + ∞ n2 d [κrJ n (κr)] f (r)dr − [rJn (κr)] f (r)dr dr r Sử dụng giả thiết cho phương trình vi phân Bessel d n2 [κrJ n (κr)] + r κ − dr r Jn (κr) = (2.20) 34 ta Hn n2 ∇ − r f (r) ∞ n2 n2 κ − rf (r)Jn (κr)dr − [rf (r)] Jn (κr)dr r r ∞ =− ∞ = −κ rJn (κr)f (r)dr = −κ2 Hn [f (r)] = −κ2 f˜n (κ) Định lý chứng minh Đặc biệt, n = n = 1, ta nhận H1 2.4 H0 d r dr d r dr r df dr r df dr − = −κ2 f˜0 (κ) f (r) r2 = −κ2 f˜1 (κ) (2.21) (2.22) Áp dụng phép biến đổi Hankel việc giải số phương trình vi phân đạo hàm riêng Biến đổi Hankel công cụ hữu ích việc giải toán phương trình vi phân đạo hàm riêng hệ tọa độ cực hay tọa độ trụ Các ví dụ sau minh họa cho thấy áp dụng phép biến đổi Hankel Nó minh họa việc giải số lớp toán xuất lĩnh vực vật lý 35 2.4.1 Bài toán rung động tự màng tròn lớn Bài toán rung động tự màng tròn lớn đàn hồi ràng buộc liệu đầu dẫn đến giải phương trình vi phân đạo hàm riêng c ∂ 2u = ; < r < ∞, t > ∂t ∂ u ∂u + ∂r2 r ∂r (2.23) với điều kiện đầu u(r, 0) = f (r), ut (r, 0) = g(r), ≤ r < ∞ c2 = T ρ (2.24) = constant, T sức căng màng ρ mật độ bề mặt màng Để giải toán này, ta xác định phép biến đổi Hankel bậc không với biến r sau ∞ u˜(κ, t) = rJ0 (κr)u(r, t)dr (2.25) tới biểu thức (2.23) (2.24) ta d2 u˜ + c2 κ2 u˜ = 0, dt (2.26) u˜(κ, 0) = f˜(κ), u˜t (κ, 0) = g˜(κ) (2.27) Nghiệm tổng quát hệ biến đổi u˜(κ, t) = f˜(κ) cos(cκt) + (cκ)−1 g˜(κ) sin(cκt) (2.28) Phép biến đổi Hankel ngược dẫn đến nghiệm toán ∞ ∞ κf˜(κ) cos(cκt)J0 (κr)dκ + c u(r, t) = g˜(κ) sin(cκt)J0 (κr)dκ (2.29) 36 Đặc biệt, ta xét u(r, 0) = f (r) = Aa(r2 + a2 )− ; ut (r, 0) = g(r) = 0, (2.30) ∼ cho g (κ) ≡ Bởi ví dụ 1, ta nhận ∞ f˜(κ) = Aa −2 r(a + r ) J0 (κr)dr = Aa −aκ e κ Do đó, nghiệm (2.29) trở thành ∞ u(r, t) = Aa e−aκ J0 (κr) cos(cκt)dκ ∞ = AaRe exp [−κ(a + ict)] J0 (κr)dκ 2 = AaRe r + (a + ict) 2.4.2 − 21 (2.31) Bài toán phân bố nhiệt độ ổn định cố thể nửa vô hạn với nguồn nhiệt ổn định Đây toán tìm nghiệm phương trình Laplace phân bố nhiệt độ ổn định u(r, z) nguồn nhiệt ổn định đối xứng Q0 q(r) sau urr + ur + uzz = −Q0 q(r); < r < ∞, < z < ∞ r (2.32) u(r, 0) = 0; < r < ∞ (2.33) Q0 số Điều kiện biên biểu thị nhiệt độ không biên z = Áp dụng phép biến đổi Hankel bậc không cho phương trình (2.32) (2.33) 37 ta d2 u˜ − κ2 u˜ = −Q0 q˜(κ); u˜(κ, 0) = dz Nghiêm tổng quát bị chặn hệ u˜(κ, z) = A exp(−κz) + Q0 q˜(κ), κ2 A số xác định từ biến đổi điều kiện biên Trong trường hợp ta có A=− Q0 q˜(κ) κ2 Do đó, ta u˜(κ, z) = Q0 q˜(κ) (1 − e−κz ) κ (2.34) Phép biến đổi Hankel ngược cho ta nghiệm toán ∞ q˜(κ) (1 − e−κz )J0 (κr)dκ κ u(r, z) = Q0 (2.35) 2.4.3 Phương trình khuyếch tán đối xứng qua đường chéo Từ số tượng vật lý dẫn đến việc giải toán sau Tìm nghiệm phương trình khuyếch tán đối xứng qua đường chéo ut = κ urr + ur ; < r < ∞, t > r (2.36) κ > số khuyếch tán u(r, 0) = f (r); < r < ∞ (2.37) 38 Áp dụng phép biến đổi Hankel bậc không xác định phương trình (2.25) ta d˜ u + k κ˜ u = 0; u˜(k, 0) = f˜(k) dt k biến số biến đổi Hankel Nghiệm hệ biến đổi u˜(k, t) = f˜(k) exp(−κk t) Áp dụng phép biến đổi Hankel ngược ta  ∞ ∞ k f˜(k)J0 (kr)e−κk t dk = u(r, t) =  lJ0 (kl)dl e−κk t J0 (kr)dk k 0 ∞ (2.38) Đổi thứ tự lấy tích phân ta ∞ u(r, t) = ∞ kJ0 (kl)J0 (kr) exp(−κk t)dk lf (l)dl (2.39) Sử dụng bảng giá trị tích phân hàm Bessel, ta ∞ kJ0 (kl)J0 (kr) exp(−k κt)dk = (r2 + l2 ) I0 exp − 2κt 4κt rl , (2.40) 2κt I0 (x) hàm dạng Bessel có cải biên với áp giá trị I0 (0) = Đặc biệt, l = 0, J0 (0) = tích phân (2.40) trở thành ∞ r2 kJ0 (kr) exp( − k κt)dk = exp − 2κt 4κt (2.41) Tiếp theo, sử dụng công thức (2.40) để viết lại (2.39) sau ∞ u(r, t) = 2κt lf (l)I0 rl (r2 + l2 ) exp − dl 2κt 4κt (2.42) 39 Đến đây, ta giả thiết f (r) biểu diễn cho nguồn nhiệt tập trung hình tròn bán kính a cho phép a → để nguồn nhiệt tập trung r = a lim 2π rf (r)dr = a→0 Hoặc điều tương đương với f (r) = δ(r) , 2π r δ(r) hàm delta Dirac Do đó, nghiệm cuối để nguồn nhiệt tập trung r = u(r, t) = 4πκt ∞ δ(l)I0 rl r2 + l2 exp − dl 2κt 4κt r2 = exp − 4πκt 4κt 2.4.4 (2.43) Bài toán xạ âm đối xứng qua đường chéo Các toán lĩnh vực dẫn đến việc tìm nghiệm phương trình sóng sau c2 urr + ur + uzz r = utt ; < r < ∞, z > 0, t > uz = F (r, t) z = (2.44) (2.45) F (r, t) hàm cho trước c số Ta giả sử nghiệm bị chặn chuyển dạng khỏi sóng cầu Chúng ta cố gắng tìm nghiệm trạng thái ổn định vị xạ âm u = eiωt φ(r, z) với F (r, t) = eiωt f (r) 40 cho φ thỏa mãn phương trình Helmholtz sau ω2 c2 φrr + φr + φzz + r φ = 0; < r < ∞, z > (2.46) với điều kiện biên φz = f (r) z = (2.47) f (r) hàm cho trước biến r ˜ z) cho (2.46) (2.47) ta Áp dụng phép biến đổi Hankel H0 {φ(r, z)} = φ(k, nhận ˜ z>0 φ˜zz = k φ; φ˜z = f˜(k) z = κ= ω2 k − c Nghiệm hệ phương trình vi phân ˜ z) = − f˜(k) exp(−κz), φ(k, (2.48) κ ω ω κ số thực dương k > , số ảo k < Phép biến c c đổi Hankel nghiệm phương trình ∞ k˜ f (k)J0 (kr) exp(−κz)dk κ φ(r, z) = − (2.49) Từ việc đánh giá xác tích phân khó khăn f˜(k) tùy ý, ta chọn dạng đơn giản với f (r) sau f (r) = AH(a − r), (2.50) 41 A số không đổi Khi đó, ta nhận Aa f˜(k) = J1 (ak) k Do đó, nghiệm phương trình (2.49) ∞ J1 (ak)J0 (kr) exp(−κz)dk κ φ(r, z) = −Aa (2.51) Với đánh giá tiệm cận tích phân này, thuận lợi cho việc biểu diễn biểu thức (2.51) dạng R khoảng cách từ trục z cho R2 = r2 + z z = R cos θ Sử dụng kết tiệm cận hàm Bessel πkr J0 (kr) ∼ cos kr − π ; r → ∞, (2.52) r = R sin θ Bởi vậy, công thức (2.51) kết hợp với u = exp(iωt)φ trở thành √ Aa 2eiωt u ∼ −√ πR sin θ ∞ π √ J1 (ak) cos kR sin θ − exp(−κr)dk κ k Tích phân đánh giá tiệm cận R → ∞ sử dụng công thức xấp xỉ pha dừng để thu kết cuối u∼− ωR Aac J1 (ak1 ) exp i ωt − ωR sin θ c , (2.53) ω điểm dừng Về mặt vật lý, nghiệm đại diện cho c sin θ sóng cầu rời khỏi với vận tốc số c phân hủy biên độ R → ∞ k1 = 42 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau đây: Hệ thống lại số kiến thức tích phân suy rộng, tích phân phụ thuộc tham số, tích phân Fourier, hàm Bessel Trình bày cách hệ thống khái niệm phép biến đổi Hankel; số tính chất toán tử phép biến đổi Mục đích luận văn nghiên cứu áp dụng phép biến đổi Hankel việc giải số phương trình vi phân đạo hàm riêng xuất từ vấn đề thực tiễn lĩnh vực Vật lý Đó toán: rung động tự màng tròn lớn; phân bố nhiệt độ ổn định cố thể nửa vô hạn với nguồn nhiệt ổn định; phương trình khuyếch tán đối xứng qua đường chéo; toán xạ âm đối xứng qua đường chéo 43 Tài liệu tham khảo [1] W W Bell,(1967), Special functions for scientists and engineers, Princeton, New Jersey Toronto Melbourne [2] B Davies,(2001), Integral tranforms and their applications, Third edition, Springer [3] L Debnath and D Bhatta, (2007), Integral tranforms and their applications, Second Edition, Chapman and Hall/CRC [4] A D Poularikas (Editor-in- chief), (2000), The tranforms and applications handbook, Second edition, Boca Raton CRC Press LLC [...]... trong việc thiết lập hệ nghiệm cơ bản của nó, người ta gọi Jn (x) và Yn (x) tương ứng là các hàm Bessel bậc n loại một và loại hai 26 Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL 2.1 Khái niệm về phép biến đổi Hankel Trong phần này chúng ta giới thiệu về phép biến đổi Hankel và phép biến đổi Hankel ngược Các phép biến đổi này xuất hiện từ phép biến đổi Fourier trong không gian hai chiều như sau ∞ ∞ 1 {f (x, y)} =... gọi là phép biến đổi Hankel ngược và được ký hiệu như sau ∞ Hn −1 f˜n (κ) = f (r) = κJn (κr)f˜n (κ)dκ (2.9) 0 Để đơn giản, thay cho ký hiệu f˜n (κ) ta thường chỉ viết f˜(κ) cho phép biến đổi Hankel khi đã biết bậc của phép biến đổi này Dĩ nhiên, tích phân (2.8) và (2.9) tồn tại cho các lớp lớn của hàm thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lĩnh vực vật lý Đặc biệt, phép biến đổi Hankel bậc... 1.3.3 Phép biến đổi Fourier Định nghĩa Đặt ∞ 1 Φ(y) = √ 2π f (t)e−iyt dt (1.13) −∞ Khi đó, công thức tích phân Fourier trở thành ∞ 1 f (x) = v.p √ 2π Φ(y)eixy dy −∞ Người ta gọi phép ứng với mỗi hàm f với hàm số ∞ 1 fˆ(y) = Φ(y) = v.p √ 2π f (t)e−iyt dt −∞ là phép biến đổi Fourier và thường ký hiệu là F , nghĩa là fˆ = F (f ) = Φ Tương tự như vậy người ta định nghĩa biến đổi Fourier ngược là phép ứng... κ.r)}F (k, l)dkdl; −∞ −∞ ở đó r = (x, y) và κ = (k, l) Chuyển sang hệ tọa độ cực bởi phép đổi biến   (x, y) = r(cosθ, sinθ)  (k, l) = κ(cosφ, sinφ) (2.2) 27 Khi đó, ta nhận được κ.r = κr cos(θ − φ) Từ đó, công thức (2.1) trở thành ∞ 1 F (κ, φ) = 2π 2π exp [−iκr cos(θ − φ)]f (r, θ)dθ rdr 0 (2.3) 0 Tiếp theo, ta giả sử f (r, θ) = exp(inθ)f (r) và dùng phép đổi biến π θ − φ = α − Khi đó công thức (2.3)... phép biến đổi Fourier ngược (2.2) 28 trở thành 2π 1 ∞ e f (r) = κdκ exp [iκr cos(θ − φ)]F (κ, φ)dφ 2π 0 0 2π ∞ ∼ π 1 = κ fn (κ)dκ exp in φ − + iκr cos(θ − φ) dφ 2π 0 2 0 inθ Dùng phép đổi biến θ − φ = − α + ∞ einθ f (r) = 1 2π π π và θ0 = − θ + ta nhận được 2 2 2π+θ0 κf˜n (κ)dκ 0 exp [in(θ + α) − iκr sin α]dα θ0 Từ đó, ta nhận được ∞ κJn (κr)f˜n (κ)dκ f (r) = 0 Công thức xác định trên được gọi là phép. .. hàm số f với hàm số ∞ 1 Ψ(y) = v.p √ 2π f (t)eiyt dt −∞ và thường được ký hiệu bởi F −1 Như vậy F −1 [f ] = Ψ 1.3.4 Tích chập và phép biến đổi Fourier Định nghĩa Tích chập của hai hàm số ϕ và ψ là một hàm số, ký hiệu là ϕ ∗ ψ được xác định bởi công thức ∞ (ϕ ∗ ψ)(x) = ϕ(t)ψ(x − t)dt (1.14) −∞ Tích phân trên tồn tại nếu các hàm ϕ và ψ là bị chặn và khả tích tuyệt đối Khi đó, tích phân ∞ |ϕ(t)ψ(x − t)|... Sử dụng biểu diễn tích phân của hàm Bessel bậc n dạng 2 2π+φ0 Jn (κr) = 1 2π exp [i(nα − κr sin α)]dα (2.5) φ0 tích phân (2.4) trở thành ∞ π F (κ, φ) = exp in φ − 2 rJn (κr)f (r)dr (2.6) 0 = exp in φ − π 2 f˜n (κ), (2.7) ở đó hàm f˜n (κ) được gọi là biến đổi Hankel của f (r) và được xác định bởi ∞ Hn {f (r)} = f˜n (κ) = rJn (κr)f (r)dr (2.8) 0 Tương tự như vậy, dưới dạng các biến trong tọa độ cực và. .. 1 a [pJ1 (p)]aκ 0 = J1 (aκ) 2 κ κ Ví dụ 2 Biến đổi Hankel bậc một của các hàm (i) f (r) = e−ar f˜(κ) = H1 {e−ar } = ∞ re−ar J1 (κr)dr = 0 1 (ii) f (r) = e−ar r e−ar f˜(κ) = H1 r (iii) f (r) = sin ar r ∞ = 0 e−ar J1 (κr)dr = κ 3 (a2 + b2 ) 2 1 −1 1 − a(κ2 + a2 ) 2 κ 30 ∞ sin ar r f˜(κ) = H1 sin arJ1 (κr)dr = = 0 aH(κ − a) κ(κ2 − 1 a2 ) 2 Ví dụ 3 Biến đổi Hankel bậc n với (n > −1) của các hàm (i)... (κr)dr = Jn+1 (aκ) κ (ii) f (r) = rn exp(−ar2 ) f˜(κ) = Hn rn exp(−ar2 ) = ∞ rn+1 Jn (κr) exp(−ar2 )dr 0 n = 2.3 2 κ κ n+1 exp − 4a (2a) Một số tính chất toán tử của phép biến đổi Hankel Từ đây, ta luôn sử dụng ký hiệu Hn {f (r)} = f˜n (κ) và Hn {g(r)} = g˜(κ) Tính chất 1 (tính tỷ lệ) Ta có Hn {f (ar)} = 1 ˜ κ fn ; a > 0 a2 a Thật vậy, theo định nghĩa ta có ∞ Hn {f (ar)} = rJn (κr)f (ar)dr 0 1 = 2 a ∞... trên toàn trục số Như vậy, phép tích chập biến hai hàm trong lớp hàm liên tục, bị chặn và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thành một hàm trong chính lớp này 1.4 Hàm Bessel Định nghĩa Hàm Bessel bậc n có dạng 2 2d y x dx2 +x dy + (x2 − n2 )y = 0 dx (1.15) Theo phương pháp Frobenius (xem [1.p 92]) người ta tìm nghiệm của phương ∞ trình này dưới dạng chuỗi z(x, s) = ar xs+r và nhận được hệ phương trình