Phép biến đổi Stieltjes và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ ĐỊNH PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ ĐỊNH PHÉP BIẾN ĐỔI STIELTJES VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cán phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ em suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả VŨ THỊ ĐỊNH Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Stieltjes áp dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả VŨ THỊ ĐỊNH Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích phân suy rộng 1.1.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận (Tích phân suy rộng loại I) 1.1.2 1.2 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn (Tích phân suy rộng loại II) 1.1.3 Liên hệ hai loại tích phân suy rộng 10 Tích phân phụ thuộc tham số 12 1.2.1 Tích phân phụ thuộc tham số đoạn 12 1.2.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tận 13 1.2.3 Tích phân phụ thuộc tham số hàm không bị chặn 15 1.3 Phép biến đổi Laplace 17 1.4 Phép biến đổi Mellin 19 1.5 Hàm Bessel 21 1.5.1 Khái niệm hàm Bessel số mối quan hệ liên quan 21 i 1.5.2 Một số tính chất hàm Bessel 27 Phép biến đổi Stieltjes áp dụng 29 2.1 Khái niệm phép biến đổi Stieltjes 29 2.2 Một số ví dụ 30 2.3 Một số tính chất toán tử phép biến đổi Stieltjes 32 2.4 Phép biến đổi Stieltjes ngược 36 2.5 Một số áp dụng phép biến đổi Stieltjes 41 2.5.1 Giải toán Moment 41 2.5.2 Nghiệm phương trình tích phân 42 Kết luận 45 Phụ lục 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 ii Mở đầu Lý chọn đề tài Biến đổi tích phân phép tính toán tử, hình thành từ năm cuối kỉ XIX Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân bắt nguồn từ nghiên cứu tiếng lý thuyết khai triển hàm số thành chuỗi lượng giác Fourier sau phát triển tới tích phân Fourier hay phép biến đổi Fourier Ý nghĩa quan trọng phép biến đổi tích phân cung cấp phương pháp toán tử hiệu lực để giải toán phương trình vi phân, phương trình sai phân phương trình tích phân Hai phép biến đổi tích phân Fourier Laplace đánh giá quan trọng không Toán học mà nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Đáng kể để nói hai phép biến đổi ứng dụng việc giải toán phương trình vi phân xuất xử lý mạch điện màng rung môi trường chất lỏng Xuất phát từ số vấn đề thuộc lĩnh vực thực tiễn vật lý, nhà toán học Stieltjes giới thiệu phép biến đổi tích phân để giải toán Để hoàn thành luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, em chọn đề tài nghiên cứu “Phép biến đổi Stieltjes áp dụng” Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Stieltjes số áp dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm số tính chất phép biến đổi Stieltjes; phép biến đổi Stieltjes ngược; mối quan hệ phép biến đổi Stieltjes số phép biến đổi tích phân khác phép biến đổi Mellin phép biến đổi Laplace Phương pháp nghiên cứu Tra mạng tìm tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng người hướng dẫn Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống khái niệm tính chất phép biến đổi Stieltjes Trình bày số áp dụng phép biến đổi Stieltjes việc giải hai toán xuất từ vấn đề lĩnh vực vật lý: Bài toán Moment; Bài toán tìm nghiệm phương trình tích phân ∞ f (t) dt = f (x) t+x λ Chương Một số kiến thức chuẩn bị (Kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [5]) 1.1 1.1.1 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng với cận vô tận (Tích phân suy rộng loại I) Định nghĩa 1.1 Cho hàm f (x) xác định [a, +∞) khả tích đoạn hữu hạn [a, b] với b > a Biểu thức +∞ b f (x)dx = lim f (x)dx b→+∞ a (1.1) a gọi tích phân suy rộng loại I hàm f (x) khoảng [a, +∞) +∞ f (x)dx gọi Nếu giới hạn (1.1) tồn hữu hạn tích phân a hội tụ Nếu giới hạn (1.1) ±∞ không tồn tích phân +∞ f (x)dx gọi phân kỳ a Tương tự, hàm f (x) xác định (−∞, b] ta định nghĩa b b f (x)dx = lim f (x)dx a→−∞ −∞ a Nếu f (x) xác định (−∞, +∞) ta định nghĩa +∞ a f (x)dx = −∞ +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx a Trong định nghĩa cuối cùng, tích phân tồn không phụ thuộc việc chọn giá trị cận a +∞ dx ; a > x2 Ví dụ 1.1.1 Tính tích phân suy rộng a Với b > a ta có b dx 1 = − + x2 b a a Do đó, tích phân có giá trị sau +∞ b dx = lim x2 b→+∞ a dx 1 = lim − b→+∞ a x b = ; a > a a Các kết tích phân tích phân suy rộng hàm không bị chặn phần sau, xin giới thiệu mà không đưa chứng minh trực tiếp, cụ thể ta tham khảo tài liệu [1] Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ) Giả sử f (x) hàm số xác định [a, +∞) Giả sử f (x) khả tích đoạn hữu hạn +∞ [a, b] với b > a Khi đó, tích phân f (x)dx hội tụ với a Khi đó, với số thực dương t ta có khẳng định sau ∞ (i) Lk,t f˜(x) = (2k − 1)!ck tk−1 uk f (u) (t + u)2k du, lim Lk,t f˜(x) = f (t) (ii) (2.24) (2.25) k→∞ Ý tưởng phép chứng minh dựa khai triển sau tk − (−u)k (−u)k (−u)k tk k−1 k−2 k−1 = + =t − ut + ± u + t+u t+u t+u t+u Như thế, ta thấy (2k−1) k ˜ Lk,t f˜(x) = (−1)k−1 ck tk−1 Dt t f (t) ∞ = ck t k−1 (2k − 1)! uk (t + u)2k f (u)du Định lý 2.2 Giả sử f˜(x) biến đổi Laplace f¯(s) = L {f (t)} cho ∞ f˜(x) = L f (t) dt; với s > t+x f˜(s) = Khi đó, ta có ∞ (i) Lk,x f˜(x) = (−1)k ck xk−1 e−xt t2k−1 f (k) (t)dt, (2.26) (ii) lim Lk,x f˜(x) = f (x); với x dương k→∞ 37 (2.27) Chứng minh Theo cách xác định toán tử công thức (2.22), ta có Lk,x f˜(x) = (−1)k−1 xk−1 ck Dx(2k−1) xk f˜(x) (2.28) Theo kết Widder [7, p.350] ta nhận xk−1 Dx(2k−1) xk f (x) = Dxk x2k−1 f (k−1) (x) , (2.29) f (x) hàm có đạo hàm cấp Điều khẳng định kiểm tra dễ dàng từ việc tính toán hai vế đẳng thức (2.29) đến giá trị k n=0   (2k − 1)!  k  2k−n−1 (2k−n−1) f (x)  x (2k − n − 1)! n Theo công thức (2.29) đẳng thức (2.28) trở thành Lk,x f˜(x) = (−1)k−1 ck Dxk x2k−1 f˜(k−1) (x) Tiếp theo ta k−1 k−1 ˜(k−1) k−1 d (−1) f (x) = (−1) dxk−1 ∞ e−xt f (t)dt ∞ e−xt tk−1 f (t)dt = (−1)2(k−1) 38 (2.30) ∞ = x e−u u x k−1 f u du x (2.31) Thay kết (2.31) vào công thức (2.30) ∞ Lk,x f˜(x) = ck e−u uk−1 Dxk xk−1 f u x du Theo kết Widder ([7]; Lemma 25, p.385) ta biểu diễn ∞ Lk,x f˜(x) = ck x−(k+1) e−u uk−1 (−u)k f (k) u du x (2.32) Trong đẳng thức (2.32) đặt u = xt ta nhận (2.26) ∞ Lk,x f˜(x) = ck (−1)k xk−1 e−xt t2k−1 f (k) (t)dt Tiếp theo chuyển qua giới hạn k → ∞ sử dụng công thức (2.25) ta nhận công thức (2.27) Như vậy, định lý chứng minh Điều quan trọng cần lưu ý rằng, công thức (2.26) phụ thuộc vào toàn giá trị đạo hàm hàm f (x) khoảng (0, ∞) Điều đó, dường bị hạn chế lớn đến công thức (2.26) Hạn chế khắc phục việc trực tiếp áp dụng toán tử Lk,x vào tích phân Laplace ta chứng minh kết sau Định lý 2.3 (Widder [7]) Với điều kiện giả thiết định 39 lí 2.2, ta nhận kết sau ∞ (i) e−xs P2k−1 (xs)f¯(s)ds, Lk,x f˜(x) = (2.33) (ii) lim Lk,x f˜(x) = f (x), với x dương (2.34) k→∞ k P2k−1 (t) = (−1) k−1   2k−n−1  k  (−t) ck (2k − 1)!   (2k − n − 1)! n=0 n (2.35) Chứng minh Sử dụng trực tiếp toán tử Lk,x vào tích phân Laplace ta  Lk,x f˜(x) = Lk,x L f¯(s) ∞  e−sx f¯(s)ds = Lk,x  ∞ Lk,x f˜(x) = Lk,x e−sx f¯(s)ds Tính toán trực tiếp toán tử Lk,x [exp(−sx)], ta nhận ∞ Lk,x f˜(x) = e−xs P2k−1 (xs)f¯(s)ds Chuyển qua giới hạn k → ∞ dùng kết (2.27) ta ∞ lim Lk,x f˜(x) = lim k→∞ e−xs P2k−1 (xs)f¯(s)ds = f (x); với x > k→∞ 40 Ý nghĩa quan trọng kết cho thấy biểu diễn tích phân hàm f (x) phụ thuộc giá trị f¯(s) khoảng (0, ∞) mà không phụ thuộc vào bậc đạo hàm 2.5 Một số áp dụng phép biến đổi Stieltjes Phần tiếp theo, xin trình bày áp dụng phép biến đổi Stieltjes việc giải số toán xuất từ vấn đề thực tiễn lĩnh vực Vật lý 2.5.1 Giải toán Moment Giả sử hàm f (t) có tốc độ phân rã bậc mũ t → ∞ Khi đó, moment hàm tồn cho công thức ∞ tr f (t)dt; r = 0, 1, 2, mr = (2.36) Từ công thức (2.4) ta dễ dàng chứng minh n−1 (−1)r mr x−(r+1) + εn (x), f˜(x) = (2.37) r=0 t |εn (x)| ≤ x−(n+1) sup τ n f (τ )dτ 0 (a2 + t2 ) t , Rea > (a2 + t2 ) tv , −1 < Rev <              −1, 2n < x < 2n + +1, 2n + < x < 2n +            n = 0, 1, 2,  (a − x)−1 log πx x − log 2a a (a2 + x2 )−1 (a2 + x2 )−1 a x πa x + x log a πxv cosec(πv)              log             tv , | arg a| < π, (a + t) x x Γ x+1 Γ (a − x)−1 π(av − xv )cosec(πv) Trong đó−1 < Rev < 46 tv − av t−a π [xv cosec(vπ) a+x a av v −a ctn(vπ) + log π x v−1 Γ(v)Γ(µ − v) x Γ(µ) αµ−1 x ×2 F1 µ − 1, v, µ; − a , −1 < Rev < tv−1 (a + t)1−µ , | arg a| < π < Rev < Reµ t−ρ (a + t)−σ , | arg a| < π πcosec(ρπ)x−ρ (a − x)−σ −Reσ < Reρ < ×I(1− x ) (σ, ρ) a 10 exp(−at), Rea > −exp(ax)Ei(−ax)     exp(−at), < t < b   11 eax [Ei(−ab − ax) − Ei(−ax)]     0, b < t < ∞       0, < t < b         12 exp(−at), b < t < ∞  −exp(−ax)Ei(−ab − ax)            Rea > 13 √ exp(−at), Rea > t √ 14 t exp(−at), Rea > √ π √ exp(ax)erf c( ax) x √ √ π − π xexp(ax)erf c( ax) a 15 t−v exp(−at), Rea > 0, Γ(1 − v)x−v exp(ax)Γ(v, ax) Rev < 16 tv−1 exp −a ,Rea > t Γ(1 − v)xv−1 exp Rev < 47 a a Γ v, x x √ 17 exp −a t , Rea > √ √ [cos(a xCi(a x) √ √ −sin(a x)Si(a x)] √ √ −2 √ [sin(a x) Ci(a x) x √ √ + cos(a x)Si(a x)] √ 18 √ exp(−a t), Rea > t t , |arga| < π a t 20 (t − a)−1 log ,a > a 21 √ log(at + b), Rea > t x (x − a)−1 log a x (x + a)−1 π + log a √ √ 2π √ log( ax + b) x 19 (a + t)−1 log Reb > 22 tv log t, −1 < Rev < −πxv cosec(vπ) [logx − πctn(vπ)] 23 sinat,a > √ 24 sin(a t),a > √ 25 t−1 sin(a t), a > √ 26 t−α sin(a t + απ), − [sin(ax)Ci(ax) + cos(ax)Si(ax)] √ πexp(−a x) √ π [1 − exp(−a x)] x √ π exp(−a x) xα −1 a > 0, < Reα < √ √ b b 27 sin(a t − √ ), a, b > πexp − a x + √ x t √ √ π √ 28 √ sin2 (a t), a > [1 − exp(−2a x] x t 29 cos(at), cos(ax)Ci(ax) − sin(ax)Si(ax) a>0 48 √ 30 √ cos(a t), a > t √ b 31 √ cos a t − √ , a, b > t t √ √ 32 √ cos(a t)cos(b t), t 33 34 35 36 37 a≥b>0 √ v t( +k) Jv (a t) √ √ sin(a t)J0 (b t), < b < a √ √ √ sin(a t)J0 (b t), < a < b t √ √ cos(a t)J0 (b t), < a < b √ √ √ cos(a t)J0 (b t), < b < a t 38 Jv2 (at), a > 49 √ π √ exp(−a x) x √ b π √ exp − a x + √ x x √ √ π √ exp(−a x)cosh(b x) x √ 2(−1)k x( v+k) Kv (a x) √ √ πexp(−a x)I0 (b x) √ √ √ sinh(a x)K0 (b x) x √ √ 2cosh(a x)K0 (b x) √ √ π √ exp(−a x)I0 (b x) x √ √ 2Iv (a x)Kv (a x) Tài liệu tham khảo A Tài liệu tiếng việt [1] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2005), Giáo trình giải tích, NXB Đại Học Quốc Gia B Tài liệu tiếng anh [2] J E Marsden M J Hoffman (1999), Basic Complex Analysis, Third Edition, W H Freeman New York [3] F Oberhettinger (1974), Tables of Mellin Transforms, SpringerVerlag, New York [4] H So ¨lingen (1953), Algebraisierung derendlichen Hilbert Transformation, Z Angew Math Mech, 33, 280–289 [5] H So ¨lingen (1954), Zur Theorie derendlichen Hilbert Transformation, Math Z, 60, 31–37 [6] J D Tamarkin and J A Shohat (1943), The Problem of Moments, Amer Math Soc., New York [7] D V Widder (1941), The Laplace Transform, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 50 [8] A I Zayed (1996), Handbook of Functional Generalized Function Transformations, CRC Press, Boca Raton, Florida 51 ... Nghiên cứu phép biến đổi Stieltjes số áp dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm số tính chất phép biến đổi Stieltjes; phép biến đổi Stieltjes ngược; mối quan hệ phép biến đổi Stieltjes. .. bày phép biến đổi Stieltjes, cần thêm số phép biến đổi sau hàm Bessel liên quan đến phép biến đổi 16 1.3 Phép biến đổi Laplace Định nghĩa 1.8 (Phép biến đổi Laplace) Giả sử f hàm biến thực biến. .. 27 Phép biến đổi Stieltjes áp dụng 29 2.1 Khái niệm phép biến đổi Stieltjes 29 2.2 Một số ví dụ 30 2.3 Một số tính chất toán tử phép biến đổi Stieltjes