Phép biến đổi hilbert và áp dụng

Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là cungcấp những phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về phương trình vi phân, phương trình sai phân và phương trình t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HOÀNG LAN ANH

PHÉP BIẾN ĐỔI HILBERT VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Hoàng Lan Anh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổiHilbert và áp dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thântác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Hoàng Lan Anh

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tích phân suy rộng 3

1.1.1 Tích phân suy rộng loại 1 (Tích phân trên khoảng vô hạn) 3 1.1.2 Tích phân suy rộng loại 1 của hàm số không âm 5

1.1.3 Định lý Dirichlet và định lý Abel 5

1.1.4 Tích phân hội tụ tuyệt đối 6

1.1.5 Tích phân suy rộng loại 2 (Tích phân của hàm không bị chặn) 7

1.2 Tích phân phụ thuộc tham số 10

1.2.1 Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn 10

1.2.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 12

1.2.3 Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn 14 1.3 Biến đổi Fourier 15

1.3.1 Định nghĩa 15

1.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier 17

1.3.3 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier 18

1.3.4 Tích chập và biến đổi Fourier 18

Chương 2 Phép biến đổi Hilbert 22

2.1 Định nghĩa và ví dụ 22

2.1.1 Định nghĩa 22

2.1.2 Một số ví dụ 22

2.2 Biến đổi Hilbert ngược 25

2.3 Một số tính chất cơ bản 26

2.3.1 Định lý 2.1 26

2.3.2 Định lý 2.2 29

2.3.3 Định lý 2.3 30

2.3.4 Định lý 2.4 (Công thức Parseval) 31

2.4 Tích chập của phép biến đổi Hilbert 31

Chương 3 Ứng dụng của biến đổi Hilbert 33

3.1 Bài toán biên đối với phương trình Laplace 33

3.2 Bài toán về phương trình sóng nội tại phi tuyến 34

3.2.1 Trường hợp 1 (Lý thuyến Nước Sâu [2], [9]) 37

3.2.2 Trường hợp 2 (Lý thuyết Nước Nông [1]) 38

3.2.3 Trường hợp 3 (Lý thuyết sóng nước sâu hữu hạn [5]) 41

Kết luận 43

Phụ lục 44

Tài liệu tham khảo 47

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử,được hình thành từ những năm cuối thế kỷ XIX Về mặt lịch sử, kháiniệm biến đổi tích phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổitiếng về lý thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giáccủa Fourier và sau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay biếnđổi Fourier Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là cungcấp những phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán

về phương trình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tíchphân Về lĩnh vực này phải kể đến hai phép biến đổi tích phân đượcđánh giá rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngànhkhoa học kỹ thuật khác, đặc biệt là trong lĩnh vực Vật lý học, đó là biếnđổi Fourier và biến đổi Laplace

Năm 1912, nhà Toán học David Hilbert (1862 - 1943) đã đăng bài báo rấtnổi tiếng về Toán học trong việc giải quyết một lĩnh vực thuộc phươngtrình tích phân Trong bài báo này, ông đã giới thiệu một phép biến đổitích phân, như ngày nay được gọi là phép biến đổi Hilbert Tuy nhiên,phép biến đổi này cùng các tính chất cơ bản của nó được hoàn thiệnmột cách chi tiết bởi hai nhà Toán học G H Hardy (năm 1924) và E

C Titchmarsh trong suốt những năm 1925 - 1930

Phép biến đổi Hilbert được xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của Toán họcứng dụng, các bài toán thuộc lĩnh vực Vật lý - Toán và nhiều vấn đềthuộc lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Trong thời điểm đương thời xuất

hiện phép biến đổi này, người ta chỉ biết đến vai trò của nó trong một

số lĩnh vực về cơ học chất lỏng, khí động học, xử lý tín hiệu và điện tửhọc mà chưa thấy được đầy đủ những ứng dụng như ngày nay

Được sự định hướng của người hướng dẫn, cùng với mong muốn thêmnữa về việc tìm hiểu tính hiệu lực của phép biến đổi trong một số lĩnhvực khác, tôi chọn đề tài ”Phép biến đổi Hilbert và áp dụng" đểhoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngànhToán giải tích

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vềphép biến đổi Hilbert và một số áp dụng của nó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về khái niệm vàmột số tính chất cơ bản của phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Hilbertngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Hilbert và một số phép biến đổitích phân khác

Nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi Hilbert trong việc giải Bài toánbiên đối với phương trình Laplace; Bài toán về phương trình sóng nộitại phi tuyến

4 Phương pháp nghiên cứu Tra mạng tìm tài liệu, phân tích vàtổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn

5 Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống vềkhái niệm cùng các tính chất cơ bản của phép biến đổi Hilbert

Trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Hilbert

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

f (x)dx (∗) thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng loại 1

của hàm f (x) trên đoạn [a, +∞) và ký hiệu là

Trong định nghĩa cuối cùng , nếu tích phân tồn tại thì không phụ thuộcvào việc chọn số a.



= 1

Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ) Giả sử f (x) là hàm sốxác định trên [a, +∞) Giả sử rằng f (x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn[a, b] với b > a Khi đó, tích phân

< ε

Định lý 1.2 Giả sử f (x) là hàm số xác định trên [a, +∞) Giả sử rằng

f (x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a Khi đó, tích phân

1.1.2 Tích phân suy rộng loại 1 của hàm số không âm

Định lý 1.4 Cho f (x) và g(x) là các hàm số xác định trên [a, +∞).Giả sử 0 ≤ f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, +∞) Khi đó

tồn tại số M > 0 sao cho

|F (b)| =

1.1.5 Tích phân suy rộng loại 2 (Tích phân của hàm không bị

chặn)

Định nghĩa 1.3 Cho hàm y = f (x) xác định trên đoạn (a, b], không

bị chặn trên trong lân cận của điểm a, nhưng khả tích trên mọi đoạn

[c, b] , c > a Khi đó, nếu tồn tại lim

Định lý 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy) Giả sử f (x) xác định trên (a, b],không bị chặn trên trong lân cận của điểm a, nhưng khả tích trên mọiđoạn [c, b] , a < c ≤ b Khi đó, tích phân

b

Z

a

g(x)dx hội tụ khi và chỉkhi với mọi số ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi c0, c00 ∈ R mà

a < c0 ≤ c00 ≤ c00+ δ ≤ b thì ta có

... phân (2.25)

và (2.26), ta cặp biến đổi Hilbert (2.1) (2.13)

2.4 Tích chập phép biến đổi Hilbert< /h3>

Định lý 2.5 Nếu f, g ∈ L1(R) biến đổi Hilbert chúng thuộc... data-page="30">

2.2 Biến đổi Hilbert ngược

Để xác định biến đổi Hilbert ngược, ta viết lại (2.1) sau



−1x



Áp dụng biến đổi Fourier x ta

F... Mệnh đề 1.3 Phép biến đổi Fourier ngược phéptương ứng −

Mệnh đề 1.4 Phép biến đổi Fourier