Phép biến đổi hilbert và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN HOÀNG LAN ANH PHÉP BIẾN ĐỔI HILBERT VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Hoàng Lan Anh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Hilbert áp dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Hoàng Lan Anh Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Tích phân suy rộng loại (Tích phân khoảng vô hạn) 1.1.2. Tích phân suy rộng loại hàm số không âm . . . . . . . . . 1.1.3. Định lý Dirichlet định lý Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Tích phân hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Tích phân suy rộng loại (Tích phân hàm không bị chặn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Tích phân phụ thuộc tham số đoạn . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3. Tích phân phụ thuộc tham số hàm không bị chặn 14 1.3. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Các tính chất biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3. Biến đổi Fourier đạo hàm đạo hàm biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4. Tích chập biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 i Chương 2. Phép biến đổi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Định nghĩa ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Biến đổi Hilbert ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1. Định lý 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2. Định lý 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3. Định lý 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.4. Định lý 2.4. (Công thức Parseval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Tích chập phép biến đổi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Ứng dụng biến đổi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1. Bài toán biên phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Bài toán phương trình sóng nội phi tuyến . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Trường hợp (Lý thuyến Nước Sâu [2], [9]) . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2. Trường hợp (Lý thuyết Nước Nông [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.3. Trường hợp (Lý thuyết sóng nước sâu hữu hạn [5]). . . . 41 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ii Mở đầu 1. Lý chọn đề tài. Biến đổi tích phân phép tính toán tử, hình thành từ năm cuối kỷ XIX. Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân bắt nguồn từ nghiên cứu tiếng lý thuyết khai triển hàm số thành chuỗi hàm lượng giác Fourier sau phát triển tới tích phân Fourier hay biến đổi Fourier. Ý nghĩa quan trọng phép biến đổi tích phân cung cấp phương pháp toán tử hiệu lực để giải toán phương trình vi phân, phương trình sai phân phương trình tích phân. Về lĩnh vực phải kể đến hai phép biến đổi tích phân đánh giá quan trọng không Toán học mà nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt lĩnh vực Vật lý học, biến đổi Fourier biến đổi Laplace. Năm 1912, nhà Toán học David Hilbert (1862 - 1943) đăng báo tiếng Toán học việc giải lĩnh vực thuộc phương trình tích phân. Trong báo này, ông giới thiệu phép biến đổi tích phân, ngày gọi phép biến đổi Hilbert. Tuy nhiên, phép biến đổi tính chất hoàn thiện cách chi tiết hai nhà Toán học G. H. Hardy (năm 1924) E. C. Titchmarsh suốt năm 1925 - 1930. Phép biến đổi Hilbert xuất nhiều lĩnh vực Toán học ứng dụng, toán thuộc lĩnh vực Vật lý - Toán nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Trong thời điểm đương thời xuất phép biến đổi này, người ta biết đến vai trò số lĩnh vực học chất lỏng, khí động học, xử lý tín hiệu điện tử học mà chưa thấy đầy đủ ứng dụng ngày nay. Được định hướng người hướng dẫn, với mong muốn thêm việc tìm hiểu tính hiệu lực phép biến đổi số lĩnh vực khác, chọn đề tài ”Phép biến đổi Hilbert áp dụng" để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2. Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu phép biến đổi Hilbert số áp dụng nó. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu khái niệm số tính chất phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Hilbert ngược, mối quan hệ phép biến đổi Hilbert số phép biến đổi tích phân khác. Nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Hilbert việc giải Bài toán biên phương trình Laplace; Bài toán phương trình sóng nội phi tuyến. 4. Phương pháp nghiên cứu. Tra mạng tìm tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng người hướng dẫn. 5. Dự kiến đóng góp đề tài. Trình bày cách có hệ thống khái niệm tính chất phép biến đổi Hilbert. Trình bày số ứng dụng phép biến đổi Hilbert. Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Tích phân suy rộng 1.1.1. Tích phân suy rộng loại (Tích phân khoảng vô hạn) Định nghĩa 1.1. Cho hàm f (x) xác định [a, +∞). Giả sử f (x) khả tích đoạn hữu hạn [a, b] với b > a. Nếu tồn b lim f (x)dx (∗) giới hạn gọi tích phân suy rộng loại b→+∞ a +∞ hàm f (x) đoạn [a, +∞) ký hiệu f (x)dx. Như a +∞ b f (x)dx = lim f (x)dx. b→+∞ a (1.1) a Nếu giới hạn (∗) tồn hữu hạn ta nói tích phân hội tụ. Nếu giới hạn (∗) ±∞ không tồn ta nói tích phân phân kỳ. Tương tự, f (x) xác định (−∞, a] ta định nghĩa a b f (x)dx = lim f (x)dx. b→−∞ −∞ a Nếu f (x) xác định (−∞, +∞) ta định nghĩa +∞ a f (x)dx = −∞ +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx. a Trong định nghĩa cuối , tích phân tồn không phụ thuộc vào việc chọn số a. +∞ dx x2 Ví dụ 1.1. Tính tích phân suy rộng b dx =− x x Bởi b =1− nên tích phân hội tụ ta có b +∞ dx = lim x2 b→∞ 1− b = 1. Định lý 1.1. (Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ). Giả sử f (x) hàm số xác định [a, +∞). Giả sử f (x) khả tích đoạn hữu hạn +∞ f (x)dx hội tụ khi: với [a, b] với b > a. Khi đó, tích phân a ε > tồn b0 > a cho với b , b > b0 ta có b f (x)dx < ε. b Định lý 1.2. Giả sử f (x) hàm số xác định [a, +∞). Giả sử f (x) khả tích đoạn hữu hạn [a, b] với b > a. Khi đó, tích phân +∞ +∞ f (x)dx hội tụ tích phân a f (x)dx với c > a hội c tụ +∞ c f (x)dx = a +∞ f (x)dx + a f (x)dx. c +∞ +∞ f (x)dx Định lý 1.3. Giả sử tích phân a g(x)dx hội tụ. Khi a +∞ (α.f (x) ± β.g(x))dx; với α β số thực, đó, tích phân a hội tụ ta có +∞ +∞ (α.f (x) ± β.g(x))dx = α a +∞ f (x)dx ± β a g(x)dx. a 1.1.2. Tích phân suy rộng loại hàm số không âm Định lý 1.4. Cho f (x) g(x) hàm số xác định [a, +∞). Giả sử ≤ f (x) ≤ g(x) với x ∈ [a, +∞). Khi +∞ +∞ g(x)dx hội tụ (i) Nếu a +∞ f (x)dx hội tụ; a +∞ f (x)dx phân kỳ (ii) Nếu a g(x)dx phân kỳ. a Định lý 1.5. Cho f (x) g(x) hàm không âm [a, +∞) có f (x) = k ∈ (0, +∞). x→+∞ g(x) lim +∞ +∞ f (x)dx Khi tích phân a g(x)dx hội tụ a phân kỳ. 1.1.3. Định lý Dirichlet định lý Abel Định lý 1.6. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho f (x) g(x) hàm xác định liên tục [a, +∞). Giả sử (i) Hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) bị chặn [a, +∞), tức Chương Ứng dụng biến đổi Hilbert Một vấn đề điển hình lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng, ta phải kể đến toán giải phương trình Laplace. Tiếp tục thực mục đích luận văn, trước hết trình bày phương pháp giải toán việc sử dụng phép biến đổi Hilbert. 3.1. Bài toán biên phương trình Laplace Giải phương trình Laplace uxx + uyy = 0; − ∞ < x < ∞, y > (3.1) với điều kiện biên ux (x, y) = f (x); y = 0, −∞ < x < ∞ (3.2) u(x, y) → r = (x2 + y ) → ∞ (3.3) Giải. Áp dụng biến đổi Fourier theo biến x ta nghiệm U (k, y) phương trình sau U (k, y) = F (k) exp(− |k| y) = F (k)G(k), ik 33 (3.4) x tan−1 . π y Theo định lý tích chập (định lý 1.20) ta nghiệm dạng G(k) = (ik)−1 exp(− |k| y) tức g(x) = ∞ u(x, y) = √ 2π f (t)g(x − t)dt −∞ ∞ = π x−t dt. y (3.5) f (t) dt = H {f (t)} . t−x (3.6) f (t)tan−1 −∞ Từ (3.5) ta suy ∞ uy (x, 0) = π −∞ Như vậy, biến đổi Hilbert đạo hàm tiếp tuyến ux (x, 0) = f (x) đạo hàm thông thường uy (x, 0) biên y = 0. Ngoài toán mang tính minh họa mang tính việc áp dụng phép biến đổi Hilbert, trình bày toán quan tâm gần lĩnh vực Vật lý. Sự xuất quan tâm vấn đề nghiên cứu phải kể đến công trình nhà Toán học tài liệu trích dẫn phần Tài liệu tham khảo [1], [2], [5], [8], [9], [11]. 3.2. Bài toán phương trình sóng nội phi tuyến Chúng ta xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số số có dạng P ∂ ∂ ∂ ∂ , , , ∂t ∂x ∂y ∂z 34 u(x, t) = 0, (3.7) P đa thức theo đạo hàm riêng biến x = (x, y, z) biến thời gian t > 0. Nghiệm toán (3.7) gọi nghiệm sóng - chiều. Để giải toán trên, người ta tìm nghiệm dạng u(x, t) = a exp [i(κ · x − ωt)] , (3.8) a gọi biên độ, κ = (k, l, m) véctơ số sóng ω tần số. Nếu ta thay nghiệm (3.8) vào phương trình (3.7) đạo hàm riêng ∂ ∂ ∂ ∂ , , , thay tương ứng −iω, ik, il, im. ∂t ∂x ∂y ∂z Như vậy, nghiệm (3.7) tồn dẫn đến phương trình đại số P (−iω, ik, il, im) = 0. (3.9) thỏa mãn. Mối quan hệ biết đến phổ biến Vật lý mối quan hệ phân tán. Điều cho ta biểu diễn tần số ω dạng số sóng k, l m. Hơn nữa, phân tích có tương ứng trực tiếp phương trình (3.7) với mối quan hệ phân tán (3.9) cho mối quan hệ sau ∂ ↔ −iω, ∂t ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z ↔ (ik, il, im) (3.10) Rõ ràng, mối quan hệ phân tán nhận từ phương trình (3.7) ngược lại cách sử dụng mối quan hệ phân tán (3.10). Trong nhiều toán Vật lý, mối quan hệ phân tán viết cách thị dạng số sóng sau ω = W (k, l, m). 35 (3.11) Pha vận tốc nhóm sóng định nghĩa Cp (κ) = ω κ ˆ , Cg (κ) = ∇κ ω, κ (3.12) κ ˆ véctơ đơn vị theo hướng véctơ sóng κ. Trong trường hợp – chiều, (3.11) - (3.12) quy gọn thành ω = W (k), Cp = dω ω , Cg = k dk (3.13) Như vậy, sóng – chiều cho nghiệm (3.8) gọi phân tán vận tốc nhóm Cg = ω (k) không số (hay nói ω (k) = 0). Về mặt Vật lý , tăng biến thời gian, sóng khác phân tán môi trường với kết sóng đơn bị gãy vào chuỗi sóng. Bây giờ, ta xét mô hình đơn giản sóng đơn nội lớp không nhầy xếp ổn định hệ thống hai tầng mặt phẳng cứng nằm ngang có phương trình z = h1 z = h2 . Tầng có độ sâu h1 mật độ ρ1 . Tầng nặng có độ sâu h2 mật độ ρ2 (sao cho ρ2 > ρ1 ). Cả hai tầng mặt phẳng nằm ngang phụ thuộc vào trọng lực g , tác động áp lực lên bề coi bỏ qua. Với z = η(x, t) theo trường chuyển dời sóng nội mối quan hệ phân tán tuyến tính cho hệ thống hai tầng biểu diễn qua công thức sau ω2 = gk(ρ2 − ρ1 ) , (ρ1 coth kh1 + ρ2 coth kh2) (3.14) ω(k) k tần số số sóng với nhiễu loạn biên độ nhỏ có biên độ hình sine mặt phân cách hai tầng. Trong việc giải 36 toán này, người ta thường quan tâm tới vài trường hợp giới hạn quan trọng quan hệ phân tán (3.14) cần quan tâm 3.2.1. Trường hợp (Lý thuyết nước sâu [2], [9]) Trong trường hợp này, ta giả sử độ sâu tầng vô hạn (h2 → ∞), sóng dài so với chiều sâu h1 tầng trên. Điều này, dẫn đến việc nghiên cứu giới hạn kép dạng lim lim ω = c20 k − 2αc0 k (sgnk + .), (3.15) k→0 h2 →∞ k → sử dụng với h1 cố định, giới hạn h2 → ∞ lấy với k h1 cố định c20 = ρ2 − ρ1 ρ1 gh1 α = ρ2 ρ1 h1 c0 . (3.16) Chúng ta xét sóng nội ngầm theo hướng giữ lại biễu diễn phân tán đầu. Khi đó, mối quan hệ phân tán trở thành ω = c0 k − αk |k| . (3.17) Điều cho định nghĩa không gian tương thích xấp xỉ tỷ lệ thời gian liên kết với trường hợp giới hạn sau ξ = β(x − c0 t), τ = β t, (3.18) β(> h1 , nghĩa là, hợp ω=c0 k − ρ2 ρ1 c0 h1 k coth(kh2 ) (3.36) ρ2 − ρ1 ρ1 c20 = gh1 . (3.37) Ta sử dụng (3.18) cho không gian tương thích xấp xỉ tỷ lệ thời gian để nghiên cứu trường hợp này. Vì vậy, phương trình liên kết sâu hữu hạn suy từ mối quan hệ phân tán (3.36) có dạng [5]  ∞ ∂ ηt + c0 ηx + c1 ηηx + c2  ∂x η(x , t) −∞ × coth π(x − x ) x−x − sgn 2h h 41 . (3.38) Nghiệm phương trình tìm Joseph Adam năm 1981 [4] . Chú ý phương trình sâu hữu hạn quy phương trình Benjamin – Ono phương trình KdV giới hạn nước – nông nước – sâu tương ứng. Kết luận, tất lý thuyết đưa vào khuôn khổ phương trình liên kết tổng quát thường biết đến phương trình Whitham [11]có dạng  ∞ ∂η ∂  + c1 ηηx + η(x , t) dx ∂t ∂x −∞ ∞ × π  exp ik(x − x c(k)dk  = 0. (3.39) −∞ Về sau, Maslowe Redekopp [8] khái quát lý thuyết sóng phi tuyến dài trong luồng cát phân tầng. Họ thu phương trình liên kết phi tuyến gốc mà bao gồm biến đổi Hilbert nó. Trong phân tích họ, phương trình liên kết gồm suy giảm mức lượng mà lượng thất thoát xạ, nghĩa dùng để xác định rõ tính bền sóng đơn hay bó sóng phi tuyến tình vật lý có thực. 42 Kết luận 1. Hệ thống lại số kiến thức về: Tích phân suy rộng; Tích phân phụ thuộc tham số; Định nghĩa số tính chất phép biến đổi Fourier. 2. Trình bày hệ thống phép biến đổi Hilbert: Định nghĩa ví dụ phép biến đổi Hilbert; Phép biến đổi Hilbert ngược; Một số tính chất phép biến đổi Hilbert; Tích chập phép biến đổi Hilbert. 3. Trình bày ứng dụng phép biến đổi Hilbert việc giải Bài toán biên phương trình Laplace; Bài toán phương trình sóng nội phi tuyến. 43 Phụ lục Bảng biến đổi Hilbert ∞ f (t) fˆH (x) = dt π −∞ t − x f (t)         0, − ∞ < t < a           1, a < t < b               0, b < t < ∞   (t + a)−1 , Im a > i(x + a)−1 (t + a)−1 , Im a < −i(x + a)−1        0, − ∞ < t <            b −1 (ax + b)−1 log , ax = −b (at + b) , < t < ∞  π  ax               a, b > (t2 b−x log π a−x t , Re a > + a2 ) (x2 , Re a > (t2 + a2 ) αt + βa , Re a > (t2 + a2 ) a + a2 ) x a(x2 + a2 ) αa − βx (x2 + a2 ) − exp(iat), a > i exp(iax) 10 cos(at), a > − sin(ax) 11 sin(at), a > cos(ax) 12 a2 a , a>0 + (t + b)2 − 44 a2 (b + x) + (b + x)2 13          0, − ∞ < t < −a −1     −   2   (x − a ) , − ∞ < x < −a                    (a2 − t2 ) , − a < t < a                0, a < t < ∞ 0, − a < x < a         −(x2 − a2 )− , a < x < ∞ 14 H(t − a) − H(t − b), b > a > H(t − a), a > t       2 −2   −(t − a ) , − ∞ < t < −a           16 0, − a < t < a              −   (t2 − a2 ) , a < t < ∞  15 17 18 sin at , a>0 t     0, − ∞ < t < x−b log π x−a a log , x = 0, x = a πx x−a         0, − ∞ < x < −a           − (a2 − x2 ) , − a < x < a                0, a < x < ∞ (cos ax − 1) x        exp(−a |x|, − ∞ < x < 0         √    sin(a t), < t < ∞, a > 0      √ 19 sgnt sin(a t), a > 20         √ cos(a x), < x < ∞ cos(a (1 − cos at), a > t |x|) + exp( − a |x|) (sin ax) x 21 Jn (t) sin(t − x), n = 0, 1, . Jn (x) 22 sgnt|t|v Jv (a |t|), a > 0, − < Re v < 2 −|x|v Yv (a |x|) 23 sin(at)J1 (at), a > cos(ax)J1 (ax) 24 sin(at)Jn (bt), < b < a, n = 0, 1, 2, . cos(ax)Jn (bx) 25 cos(at)J1 (at), a > − sin(ax)J1 (ax) 26 cos(at)Jn (bt), < b < a, n = 0, 1, 2, . − sin(ax)Jn (bx) 27 exp( − at)I0 (at)H(t), a > exp(−ax)K0 (a |x|) π 45     28 exp( − a |t|)I0 (at), a > 29 sgntexp( − a |t|)I0 (at), a > − sinh(ax)K0 (a |x|) π cosh(ax)K0 (a |x|) π 30 exp(at)K0 (a |t|), a > πexp(ax)I0 (ax)H(−x) 31 |t|v Yv (a |t|), a > 0, − < Re v < 2 |x|v Jv (a |x|)sgnx π exp(−a |x|)I0 (ax) π − exp(−a |x|)I0 (ax)sgnx  2       0, − ∞ < x < a           −π, a < x < b                0, b < x < ∞         −π, − b < x < a           π, a < x < b                 0, 32 sinh(at)K0 (a |t|), a > 33 sinh(at)K0 (a |t|), a > 34 log b−t , a0 t sin ax x 46 Tài liệu tham khảo [1] Benjamin, T. B (1966), Internal waves of finite amplitude and permanent form, J. Fluid Mech, 25, 241-270. [2] Benjamin, T. B (1967), Internal waves of permanent form in fluids of great depth, J. Fluid Mech, 29, 559-592. [3] B. Davies (1984), Integral transforms and their applications, Second edition, Springer-Verlag, New York. [4] Joseph, R. I., and Adams, R. C. (1981), Extension of weakly nonlinear theory of solitary wave propagation, Phys. Fluid, 24, 15-22. [5] Kutoba, T., Ko and Dobbs, L. (1978), Weakly-nonlinear, internal gravity waves in stratifield fluids of finite depth, 12, J. Hydronautics, 157-165. [6] B. Davies (2001), Integral transforms and their applications, Third edition, Springer. [7] L. Debnath and D. Bhatta (2007), Integral transforms and their applications, Second edition, Chapman and Hall/CRC. [8] Maslowe, S.A., and Redekopp, L. G.(1980), Long nonlinear waves in stratified shear flows, J. Fluid Mech, 101, 321-384. [9] Ono, H.(1975), Algebraic solitary waves in stratified fluids, J. Phys. Soc. Japan, 1082-1091. 47 [10] A. D. Poularikas (Editor - in - chief) (2000), The transforms and applications handbook, Second edition, Boca Raton CRC Press LLC. [11] , Witham, G. B.(1967), Variational methods and applications to water waves, Proc. Roy. Soc., London, A299, 6-25. 48 [...]... Mệnh đề 1.2 Phép biến đổi Fourier và ngược của nó có tính chất tuyến tính, nghĩa là F [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F [f1 ] + λ2 F [f2 ] và F −1 [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F −1 [f1 ] + λ2 F 1 [f2 ] Mệnh đề 1.3 Phép biến đổi Fourier cũng như ngược của nó là phép tương ứng 1 − 1 17 Mệnh đề 1.4 Phép biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối (trên toàn trục thực) là một hàm bị chặn (trên toàn trục số) và ngoài... 21 (1.15) Chương 2 Phép biến đổi Hilbert 2.1 Định nghĩa và ví dụ 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Nếu f (t) là một hàm xác định trên trục thực −∞ < t < ∞ Biến đổi Hilbert của hàm f (t) là phép ánh xạ hàm f (t) thành hàm H {f (t)} được cho bởi công thức ∞ f (t) dt t−x 1 ˆ fH (x) = H {f (t)} = π (2.1) −∞ ˆ Hàm fH (x) được gọi là biến đổi Hilbert của hàm f (t), trong đó x là số thực và tích phân trên được... (2.27) −∞ Nếu phép lấy vi phân được biểu diễn dưới các dấu tích phân trong (2.25) và (2.26), ta được cặp biến đổi Hilbert (2.1) và (2.13) 2.3.4 Định lý 2.4 (Công thức Parseval) ˆ Nếu Hα [f (t)] = fHα (t), khi đó Hα f, g = − f, Hα g Hay tương đương với ∞ ∞ Hα [f (t), x] g(x)dx = − −∞ Hα [g(t), x]f (x)dx (2.28) −∞ 2.4 Tích chập của phép biến đổi Hilbert Định lý 2.5 Nếu f, g ∈ L1 (R) thì biến đổi Hilbert của... một hàm lẻ đối với biến T Tích phân còn lại được đánh giá như sau sin ωx ˆ · π = − sin ωx H {cos ωt} = fH (x) = − π (2.8) (ii) Tương tự trên, ta cũng có thể chỉ ra rằng H {sin ωt} = cos ωx (2.9) 2.2 Biến đổi Hilbert ngược Để xác định biến đổi Hilbert ngược, ta viết lại (2.1) như sau ∞ 1 ˆ fH (x) = √ 2π f (t)g(x − t)dt = (f ∗ g)(x), (2.10) −∞ trong đó g(x) = 2 π − 1 x Áp dụng biến đổi Fourier đối với... (x)| dx −∞ Mệnh đề 1.5 Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trực thực là một hàm liên tục và tiến tới 0 khi biến số tiến tới −∞ hoặc ∞ 1.3.3 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier Mệnh đề 1.6 Nếu hàm khả tích tuyệt đối f có các đạo hàm đến cấp n liên tục và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thì F f (k) = (iy)k F [f ] ; k = 0, 1, 2, và tồn tại hằng số M sao... phân thứ nhất trong công thức (2.24) là một hàm lẻ của t Do đó, tích phân thứ nhất triệt tiêu và từ (2.24) cho ta (2.23) Chú ý Từ (2.10) cho thấy rằng biến đổi Hilbert có thể được viết như là một biến đổi tích chập Định lý được chứng minh 2.3.3 Định lý 2.3 Nếu f ∈ L2 (R) Khi đó biến đổi Hilbert (Hf )(x) ∈ L2 (R) và được xác định bởi ∞ 1 d (Hf )(x) = − π dx f (t) ln 1 − x dt t (2.25) −∞ hầu khắp nơi Hơn... ∞ 1 f (x) = v.p √ 2π Φ(y)eixy dy −∞ Người ta gọi phép ứng với mỗi hàm f với hàm số ∞ 1 ˆ f (y) = Φ(y) = v.p √ 2π f (t)eiyt dt, (1.9) −∞ ˆ là phép biến đổi Fourier và thường ký hiệu là F , nghĩa là f = F (f ) = Φ Tương tự như vậy người ta định nghĩa biến đổi Fourier của hàm ngược là phép ứng mỗi hàm số f với hàm số ∞ 1 Ψ(y) = v.p √ 2π f (t)eiyt dt; −∞ và thường được ký hiệu bởi F −1 Như vậy F −1 [f... tục và các hàm f (x), xf (x), , xn f (x) là khả tích tuyệt đối trên toàn trục số, thì biến đổi Fourier của f là khả vi đến bậc n và ik F (k) [f ] = F xk f ; k = 0, 1, 2, , n 1.3.4 Tích chập và biến đổi Fourier 18 Định nghĩa 1.10 Tích chập của hai hàm số ϕ và ψ là một hàm số, ký hiệu là ϕ ∗ ψ được xác định bởi công thức ∞ (ϕ ∗ ψ)(x) = ϕ(t)ψ(x − t)dt (1.11) −∞ Tích phân trên tồn tại nếu các hàm ϕ và ψ... (t − x) −∞  tdt  ; (t2 + a2 ) −∞ Tích phân thứ hai và thứ ba coi như là các giá trị chính Cauchy bị triệt tiêu và do đó chỉ có tích phân đầu là khác không Vì vậy, ta được 1 1 a ˆ fH (x) = (πa) = 2 π (a2 + x2 ) (a + x2 ) (2.6) Ví dụ 2.3 Tìm biến đổi Hilbert của các hàm (i) f (t) = cos ωt (ii) f (t) = sin ωt (i) Từ định nghĩa (2.1) của biến đổi Hilbert, ta chỉ ra rằng ∞ 1 ˆ fH (x) = π cos ωt dt (t... ≥ 1 thì tích phân phân kỳ và nếu α < 1 thì tích phân hội tụ Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng Xét tích phân suy rộng b b f (x)dx f (x)dx = lim ε→0 a+ε a 1 Thực hiện phép đổi biến số x = a + , ta được y 1 ε b f f (x)dx = a+ε a+ 1 b−a 1 y dy = y2 1 ε ϕ(y)dy 1 b−a 9 1 f y2 a+ 1 Cho ε → 0 ta được y b trong đó ϕ(y) = +∞ ϕ(y)dy f (x)dx = 1 b−a a Vậy bằng những phép biến đổi đơn giản ta luôn đưa được . của phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Hilbert ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Hilbert và một số phép biến đổi tích phân khác. Nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi Hilbert trong việc. cứu và nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về phép biến đổi Hilbert và một số áp dụng của nó. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về khái niệm và một số tính chất cơ bản của phép biến đổi. tích phân. Trong bài báo này, ông đã giới thiệu một phép biến đổi tích phân, như ngày nay được gọi là phép biến đổi Hilbert. Tuy nhiên, phép biến đổi này cùng các tính chất cơ bản của nó được hoàn