Tài liệu Chương 6 - Biến đổi Laplace và áp dụng trong phân tích hệ thống docx

CHƯƠNG VI BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ÁP DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Biến đổi Laplace Biến đổi Laplace tín hiệu x(t) định nghĩa sau: +∞ x(t)e−st dt X (s) = −∞ với s biến phức: s = σ + jω Biến đổi Laplace nghịch: x(t) = j2π Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) σ+j∞ X (s)est ds σ−j∞ Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Miền hội tụ (ROC) biến đổi Laplace vùng mặt phẳng s cho với giá trị s miền biến đổi Laplace hội tụ Ví dụ: Miền hội tụ biến đổi Laplace tín hiệu u(t) nửa bên phải trục jω mặt phẳng s Miền hội tụ biến đổi Laplace tín hiệu x(t) = −u(−t) nửa bên trái trục jω mặt phẳng s Hai tín hiệu khác có biến đổi Laplace giống nhau, miền hội tụ chúng phải khác Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Miền hội tụ biến đổi Laplace phụ thuộc vào phần thực biến s Miền hội tụ biến đổi Laplace phải không chứa trị cực Nếu tín hiệu có độ dài hữu hạn tồn giá trị s để biến đổi Laplace tín hiệu hội tụ miền hội tụ biến đổi Laplace tồn mặt phẳng s Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Nếu tín hiệu thuận có miền hội tụ biến đổi Laplace chứa đường σ = σ0 miền hội tụ phải chứa toàn phần bên phải σ0 mặt phẳng s Nếu tín hiệu nghịch có miền hội tụ biến đổi Laplace chứa đường σ = σ0 miền hội tụ phải chứa tồn phần bên trái σ0 mặt phẳng s Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Các tính chất biến đổi Laplace Tính tuyến tính: L[αx1 (t) + βx2 (t)] = αL[x1 (t)] + βL[x2 (t)] với miền hội tụ chứa ROC[X1 (s)] Dịch thời gian: ROC[X2 (s)] L[x(t − t0 )] = e−st0 X (s) với miền hội tụ ROC[X (s)] Dịch miền s: L[es0 t x(t)] = X (s − s0 ) với miền hội tụ ROC[X (s)] dịch khoảng s0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Các tính chất biến đổi Laplace Co giãn trục thời gian: L[x(αt)] = s X |a| a với miền hội tụ ROC[X (s)] bị co giãn với hệ số α Đạo hàm: dx(t) L = sX (s) dt với miền hội tụ chứa ROC[X (s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Các tính chất biến đổi Laplace Tích phân: t L x(τ )dτ = −∞ X (s) s với miền hội tụ chứa ROC[X (s)] {σ > 0} Biến đổi Laplace tích chập: L[x1 (t) ∗ x2 (t)] = X1 (s)X( s) với miền hội tụ chứa ROC[X1 (s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống ROC[X2 (s)] 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Các tính chất biến đổi Laplace Định lý giá trị khởi đầu: x(t) tín hiệu nhân liên tục t = 0, ta có x(0) = lim sX (s) s→∞ Định lý giá trị cuối: x(t) tín hiệu nhân liên tục t = 0, ta có lim x(t) = lim sX (s) t→∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) s→0 Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản Không giảm tổng quát, giả sử X (s) biểu diễn dạng phân thức N(s)/D(s), N(s) D(s) đa thức với bậc N(s) ≤ bậc D(s) Giả sử {spk } trị cực X (s): {spk } nghiệm phương trình D(s) = Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 10 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản (tiếp) Nếu tất {spk } trị cực đơn, X (s) khai triển thành tổng phân thức dạng tối giản: X (s) = k Ak s − spk đó, hệ số {Ak } tính sau: Ak = (s − spk )X (s)|s=spk Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 11 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản (tiếp) Trường hợp tổng quát (cực bội): đặt mk bậc bội trị cực spk , X (s) khai triển sau mk Ak m X (s) = (s − spk )s k m=1 đó, hệ số {Akm } tính sau: Akm d mk −m (s − spk )mk X (s) = (mk − m)! dsmk −m Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống s=spk 2009 12 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Biến đổi Fourier nghịch phân thức tối giản L L−1 s−α = (s − α)n = −1 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech)   eαt u(t) (σ > α)  −eαt u(−t) (σ < α)  t n−1  (n−1)! eαt u(t) (σ > α)    − t n−1 eαt u(−t) (n−1)! Tín hiệu Hệ thống (σ < α) 2009 13 / 21 Hàm Chuyển (Truyền) Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển Xem xét hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(t), nghĩa là: y(t) = h(t) ∗ x(t) Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng tính chất biến đổi Laplace tích chập: Y (s) = H(s)X (s) → H(s) = Y (s) X (s) H(s) gọi hàm chuyển hệ thống Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 14 / 21 Hàm Chuyển (Truyền) Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển Một hệ thống tuyến tính bất biến biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính hệ số với dạng tổng quát sau: N i=0 d i y(t) = dt i M j=0 d j x(t) bj dt j Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình trên, ta thu được: N M i bj sj X (s) s Y (s) = i=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) j=0 Tín hiệu Hệ thống 2009 15 / 21 Hàm Chuyển (Truyền) Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển Hàm chuyển hệ thống xác định sau: Y (s) H(s) = = X (s) M j j=0 bj s N i i=0 s Hàm chuyển cho phép xác định hệ thống, dựa việc giải phương trình vi phân tuyến tính biến đổi Laplace biến đổi Laplace nghịch: y(t) = L−1 [H(s)X (s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 16 / 21 Hàm Chuyển (Truyền) Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển hệ thống ghép nối Ghép nối tiếp hai hệ thống: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1 (s) ∗ H2 (s) Ghép song song hai hệ thống: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1 (s) + H2 (s) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 17 / 21 Hàm Chuyển (Truyền) Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển hệ thống ghép nối Hệ thống với phản hồi âm: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1 (s)/[1 + H1 (s)H2 (s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 18 / 21 Hàm Chuyển (Truyền) Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển hệ thống ghép nối Hệ thống với phản hồi dương: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1 (s)/[1 − H1 (s)H2 (s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 19 / 21 Biến Đổi Laplace Một Phía Định nghĩa biến đổi Laplace phía Biến đổi Laplace phía cho tín hiệu x(t) định nghĩa sau: ∞ x(t)e−st dt X (s) = L [x(t)] = Nếu x(t) tín hiệu nhân quả: biến đổi Laplace phía hai phía x(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 20 / 21 Biến Đổi Laplace Một Phía Các tính chất biến đổi Laplace phía Phần lớn tính chất biến đổi Laplace phía giống với biến đổi hai phía Khác biệt tính chất đạo hàm: dx(t) dt d x(t) L dt L = sX (s) − X (0) = s2 X (s) − sX (0) − dX (s) ds s=0 Áp dụng: giải phương trình vi phân tuyến tính có điều kiện khởi đầu → áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến nhân Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 21 / 21 ... có biến đổi Laplace giống nhau, miền hội tụ chúng phải khác Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Miền hội tụ biến đổi Laplace. .. (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 21 Biến Đổi Laplace Tín Hiệu Các tính chất biến đổi Laplace Tích phân: t L x(τ )dτ = −∞ X (s) s với miền hội tụ chứa ROC[X (s)] {σ > 0} Biến đổi Laplace tích. .. Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng tính chất biến đổi Laplace tích chập: Y (s) = H(s)X (s) → H(s) = Y (s) X (s) H(s) gọi hàm chuyển hệ thống Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống