Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu một tín hiệu có độ dài hữu hạn và tồn tại ít nhất một giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ, thì miền hội tụ của biến đổi Laplace sẽ là toàn bộ mặt phẳng s... Biến đổi Laplace của[r]
CHƯƠNG IV Biến Đổi Laplace Áp dụng cho Biểu Diễn Phân Tích Hệ Thống Liên Tục Lê Vũ Hà Trường Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 2014 Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Biến đổi Laplace Biến đổi Laplace tín hiệu liên tục x(t) định nghĩa sau: Z +∞ X (s) = x(t)e−st dt −∞ đó, s biến phức: s = σ + jω Biến đổi Laplace nghịch: Z σ+j∞ x(t) = X (s)est ds j2π σ−j∞ Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Miền hội tụ (ROC) biến đổi Laplace vùng mặt phẳng s cho với giá trị s thuộc vùng biến đổi Laplace hội tụ Example: Miền hội tụ biến đổi Laplace tín hiệu u(t) nửa bên phải mặt phẳng s Miền hội tụ biến đổi Laplace tín hiệu −u(−t) nửa bên trái mặt phẳng s Hai tín hiệu khác có biểu diễn qua biến đổi Laplace, miền hội tụ hai biến đổi Laplace phải khác Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Miền hội tụ biến đổi Laplace phụ thuộc vào phần thực s Miền hội tụ biến đổi Laplace không chứa trị cực biến đổi Nếu tín hiệu có độ dài hữu hạn tồn giá trị s để biến đổi Laplace hội tụ, miền hội tụ biến đổi Laplace toàn mặt phẳng s Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Nếu tín hiệu thuận chiều có miền hội tụ biến đổi Laplace chứa đường σ = σ0 , miền hội tụ chứa tồn phần bên phải đường σ0 mặt phẳng s Nếu tín hiệu ngược chiều có miền hội tụ biến đổi Laplace chứa đường σ = σ0 , miền hội tụ chứa tồn phần bên trái đường σ0 mặt phẳng s Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Tính chất biến đổi Laplace Tuyến tính: L[αx1 (t) + βx2 (t)] = αL[x1 (t)] + βL[x2 (t)] T với ROC chứa ROC[X1 (s)] ROC[X2 (s)] Dịch thời gian: L[x(t − t0 )] = e−st0 X (s) với ROC ROC[X (s)] Dịch mặt phẳng s: L[es0 t x(t)] = X (s − s0 ) với ROC ROC[X (s)] bị dịch s0 Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Tính chất biến đổi Laplace Co giãn thời gian: s L[x(αt)] = X |α| α với ROC ROC[X (s)] nhân với hệ số α Đạo hàm: dx(t) = sX (s) L dt với ROC chứa ROC[X (s)] Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Tính chất biến đổi Laplace Tích phân: Z t L x(τ )dτ = −∞ X (s) s T với ROC chứa ROC[X (s)] {σ > 0} Tích chập: L[x1 (t) ∗ x2 (t)] = X1 (s)X2 (s) T với ROC chứa ROC[X1 (s)] ROC[X2 (s)] Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Tính chất biến đổi Laplace Định lý giá trị đầu: x(t) tín hiệu nhân liên tục t = 0, thì: x(0) = lim sX (s) s→∞ Định lý giá trị cuối: x(t) tín hiệu nhân liên tục t = 0, thì: lim x(t) = lim sX (s) t→∞ Lê Vũ Hà (VNU - UET) s→0 Tín hiệu Hệ thống 2014 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Phương pháp khai triển phân thức tối giản (1) Không tổng quát, giả thiết X (s) biểu diễn dạng phân thức hữu tỉ N(s)/D(s) (N(s) D(s) đa thức bậc N(s) nhỏ bậc D(s)) Gọi {spk } trị cực X (s): {spk } nghiệm phương trình D(s) = Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 10 / 29 Akm = (mk − m)! dsmk −m s=sp Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 k 12 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Biến đổi Laplace nghịch phân thức tối giản L L −1 s−α (s − α)n −1 Lê Vũ Hà (VNU - UET) = = eαt u(t) (σ > α) −eαt u(−t) (σ < α) t n−1 αt (σ > α) (n−1)! e u(t) − t n−1 eαt u(−t) (n−1)! Tín hiệu Hệ thống (σ < α) 2014 13 / 29 Hàm chuyển hệ thống TTBB liên tục Định nghĩa Xem xét hệ thống TTBB liên tục với đáp ứng xung h(t), nghĩa là: y (t) = h(t) ∗ x(t) Thực biến đổi Laplace cho hai vế phương trình áp dụng tính chất biến đổi Laplace tích chập: Y (s) = H(s)X (s) → H(s) = Y (s) X (s) H(s) gọi hàm chuyển hệ thống Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 14 / 29 Hàm chuyển hệ thống TTBB liên tục Định nghĩa Đáp ứng xung hệ thống xác định cách lấy biến đổi Laplace nghịch hàm chuyển: −1 −1 Y (s) h(t) = L [H(s)] = L X (s) Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 15 / 29 Hàm chuyển hệ thống TTBB liên tục Định nghĩa Một hệ thống TTBB liên tục thường biểu diễn dạng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, có dạng sau: N X i=0 M d i y (t) X d j x(t) = bj dt i dt j j=0 Thực biến đổi Laplace cho hai vế phương trình trên: N X i=0 Lê Vũ Hà (VNU - UET) i s Y (s) = M X bj sj X (s) j=0 Tín hiệu Hệ thống 2014 16 / 29 Hàm chuyển hệ thống TTBB liên tục Định nghĩa Hàm chuyển hệ thống xác định theo công thức: PM j Y (s) j=0 bj s = PN H(s) = i X (s) i=0 s Hàm chuyển xác định hệ thống, dựa việc giải phương trình vi phân biểu diễn hệ thống TTBB biến đổi Laplace biến đổi Laplace nghịch: y (t) = L−1 [H(s)X (s)] Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 17 / 29 Hàm chuyển hệ thống TTBB liên tục Hàm chuyển hệ thống phức hợp Sơ đồ nối tiếp: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1 (s)H2 (s) Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 18 / 29 Hàm chuyển hệ thống TTBB liên tục Hàm chuyển hệ thống phức hợp Sơ đồ song song: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1 (s) + H2 (s) Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 19 / 29 Hàm chuyển hệ thống TTBB liên tục Hàm chuyển hệ thống phức hợp Hệ thống với phản hồi âm: Hàm chuyển tổng hợp H(s) = H1 (s)/[1 + H1 (s)H2 (s)] Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 2014 20 / 29 ... qua biến đổi Laplace, miền hội tụ hai biến đổi Laplace phải khác Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 20 14 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Miền hội tụ biến đổi Laplace. .. Lê Vũ Hà (VNU - UET) Tín hiệu Hệ thống 20 14 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Miền hội tụ biến đổi Laplace Miền hội tụ (ROC) biến đổi Laplace vùng mặt phẳng s cho với giá trị s thuộc vùng biến đổi. .. cuối: x(t) tín hiệu nhân liên tục t = 0, thì: lim x(t) = lim sX (s) t→∞ Lê Vũ Hà (VNU - UET) s→0 Tín hiệu Hệ thống 20 14 / 29 Biến đổi Laplace tín hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch Phương pháp khai