Tài liệu Chương 2: Tín hiệu và phân tích tín hiệu ppt

- Chỉång II- 9/15/2 Chỉång Tên hiãûu v phán têch tên hiãûu Nhỉ â giåïi thiãûu chỉång trỉåïc, chổồng naỡy chuùng ta seợ tỗm hióứu nhổợng neùt chờnh vãư tên hiãûu v phỉång phạp phán têch tên hiãûu Tên hiãûu (signal) l biãøu diãùn váût l ca tin tỉïc Trong hãû thäúng truưn tin, tên hiãûu nháûn âỉåüc thỉåìng bao gäưm pháưn chỉïa tin tỉïc mong mún v pháưn khäng mong mún thãm vo Pháưn mong mún gi l tên hiãûu cọ êch, pháưn khäng mong mún gi l nhiãùu (noise) Trong chỉång ny gi sỉí tên hiãûu v nhiãùu âỉåüc cäüng vo åí bãn thu v gi chung l tên hiãûu Trong thỉûc tãú cọ thãø nhiãùu tạc âäüüng vo tên hiãûu bàịng cạch nhán vê dủ fading Chỉång ny âỉa cạc cäng củ toạn hc âãø biãøu diãùn tên hiãûu, trãn cå såí biãøu diãùn naìy tiãún haình phán têch tên hiãûu âãø rụt cạc âàûc trỉng thêch håüp cho tên hiãûu ty theo cạc khêa cảnh ỉïng dủng k thût khạc ca Chỉång ny táûp trung giåïi thiãûu phỉång phạp phán têch thåìi gian, phán têch phäø (spectral analysis) v phán têch tỉång quan (correlation analysis) Phán têch thåìi gian âæåüc hiãøu theo nghéa biãøu diãùn tên hiãûu mióửn thồỡi gian vaỡ trón cồ sồớ õoù, tỗm cạc âải lỉåüng âàûc trỉng ca tên hiãûu nàng lổồỹng, cọng suỏỳt, trở trung bỗnh Phỏn tờch phọứ liãn quan âãún viãûc mä t tên hiãûu miãưn táưn säú v mäúi liãn quan giỉỵa mä t miãưn táưn säú v miãưn thåìi gian Phán têch tỉång quan åí cúi chỉång dnh âãø phán têch tên hiãûu ngáùu nhiãn Tên hiãûu thäng tin chênh l loải tên hiãûu ngáùu nhiãn naìy 2.1 Giåïi thiãûu 2.1.1 Âënh nghéa tên hiãûu Tên hiãûu âỉåüc âënh nghéa l biãøu diãùn váût l ca tin tỉïc Âọ l mäüt âải lỉåüng váût l biãún thiãn theo thåìi gian, khäng gian hay cạc biãún âäüc láûp khạc Vãư màût toạn hc, cọ thãø xem tên hiãûu l hm theomäüt hồûc nhiãưu biãún âäüc láûp Vê dủ nhỉ, hm x ( t ) = 5t mä taí tên hiãûu thay âäøi tuyãún theo biãún thåìi gian t Hay haìm s( x , y) = 3x + 2xy + 10 y mä taí tên hiãûu theo hai biãún âäüc láûp x vaì y biãøu diãùn cho hai biãún khäng gian mäüt màût phàóng Mäüt vê dủ khạc, tên hiãûu tiãúng nọi l sỉû thay âäøi ạp sút khäng khê theo thåìi gian Nhỉng ta khäng thãø biãøu diãùn tên hiãûu tiãúng nọi l mäüt hm theo thåìi gian m täøng quạt, ta chè cọ thãø biãøu diãùn mäüt âoản (segment) tiãúng nọi l täøng ca nhiãưu hm sin khạc biãn âäü, táưn säú v pha sau: - 17 - - Chæång II- 9/15/2 N ∑ A ( t ) sin[2πF ( t )t + θ ( t )] i =1 i i i Hỗnh 2.1 laỡ mọỹt vê dủ vãư dảng sọng tên hiãûu tiãúng nọi - tổỡ tióỳng Anh "away" Hỗnh 2.1 Daỷng soùng cuớa tổỡ "away" 2.1.2 Phán loải tên hiãûu Cọ nhiãưu cạch khạc âãø phán loải tên hiãûu Trong mäüt vi ỉïng dủng, tên hiãûu cọ thãø âỉåüc tảo tỉì nhiãưu ngưn hồûc tỉì nhiãưu bäü cm biãún Nhỉỵng tên hiãûu váûy âỉåüc gi l tên hiãûu âa kãnh (multichannel signals) Vê dủ nhỉ, tên hiãûu âiãûn tám âäư (ECG) kãnh hồûc 12 kãnh Xẹt säú biãún âäüc láûp, ta tháúy cọ nhỉỵng tên hiãûu l hm theo mäüt biãún âån, gi l tên hiãûu mäüt hỉåïng (one-dimensional signals), cọ nhỉỵng tên hiãûu l hm theo M biãún (M > 1), gi l tên hiãûu M-hỉåïng (M-dimensional signals) Vê dủ nhỉ, tên hiãûu nh ténh l tên hiãûu hổồùng vỗ aớnh laỡ haỡm õọỹ saùng theo hai bióỳn khäng gian Xẹt giạ trë ca hm, cọ thãø giạ trë âọ l mäüt giạ trë thỉûc hay phỉïc Do âọ ta cọ thãø phán loải tên hiãûu thnh tên hiãûu thỉûc hay phỉïc Trong män hc ny, ta chè xẹt tên hiãûu thỉûc, mäüt kãnh, mäüt hỉåïng, biãún l biãún thåìi gian Ta kyï hiãûu tên hiãûu naìy laì s(t) hay x(t) Âãø coï thãø phán têch tên hiãûu, u cáưu ta phi mä t âỉåüc tên hiãûu bàịng mọỹt mọ hỗnh toaùn hoỹc naỡo õoù Coù nhổợng tờn hiãûu cọ thãø xạc âënh nháút bàịng mäüt mä hỗnh toaùn hoỹc quen thuọỹc nhổ laỡ baớng bióứu, õọử thë Loải tên hiãûu ny âỉåüc gi l tên hiãûu xạc âënh hay táút âënh (deterministic signals) Loải tên hiãûu ny âỉåüc dng âãø nháún mảnh ràịng ta cọ thãø biãút r táút c cạc giạ trë ca tên hiãûu quạ khỉï, hiãûn tải v tỉång lai Tuy nhiãn, thỉûc tãú cọ nhiãưu tên hiãûu m ta khäng thãø mä t chênh xạc âỉåüc Do âọ khäng thãø duỡng mọ hỗnh toaùn hoỹc quen thuọỹc õóứ bióứu dióựn tên hiãûu Ta khäng thãø dỉû âoạn âỉåüc hnh vi ca loải tên hiãûu ny Ta gi âáy l tên hiãûu ngáùu nhiãn (random signals) Âãø biãøu diãùn loaûi tên hiãûu ny, ta phi dỉûa vo cạc quan sạt thäúng kã Vê dủ tên hiãûu tiãúng nọi, tên hiãûu nhiãùu l nhỉỵng tên hiãûu ngáùu nhiãn - 18 - - Chỉång II- 9/15/2 2.2 Biãøu diãùn tên hiãûu xạc âënh theo thåìi gian 2.2.1 Tên hiãûu váût lyï vaì tên hiãûu toạn hc Tên hiãûu váût l (physical signals) l tên hiãûu cọ thãø thỉûc hiãûn âỉåüc vãư màût váût l (physically realizable) Tên hiãûu váût l phi tho mn cạc u cáưu sau: - Cọ giạ trë hỉỵu hản, xạc âënh mäüt khong thåìi gian hỉỵu hản - Cọ phäø hỉỵu hản, xạc âënh mäüt di táưn säú hỉỵu hản - L hm liãn tủc theo thåìi gian - L hm thỉûc - Cọ nhán qu, nghéa l biãn âäü s bàịng våïi thåìi gian t < Ngỉåüc våïi tên hiãûu váût l l tên hiãûu toạn hc (mathematical signals) Âọ l tên hiãûu chè cọ nghéa l thuút v hon ton khäng thóứ thổỷc hióỷn õổồỹc vóử mỷt vỏỷt lyù Hỗnh 2.2 âỉa mäüt vê dủ vãư hai loải tên hiãûu xung vng váût l v toạn hc (a) t (b) t Hỗnh 2.2 Tờn hióỷu xung vuọng vỏỷt lyù vaỡ toaïn hoüc (a) Xung vuäng toaïn hoüc - (b) Xung vng váût l 2.2.2 Phán loải tên hiãûu dỉûa theo dảng Gi k hiãûu biãøu diãùn tên hiãûu l s(t), åí âáy s l biãn âäü v t l thåìi gian Dỉûa theo biãn âäü v thåìi gian, ta cọ thãø phán tên hiãûu thnh loải: Tên hiãûu liãn tủc (continuous-time signals) hay tên hiãûu tỉång tỉû (analog signals) l tên hiãûu cọ giạ trë xạc âënh tải mi thåìi âiãøm tỉì tên hiãûu sinh âãún kãút thục, nghéa l c biãn âäü v thåìi gian âãưu liãn tủc Tên hiãûu råìi rảc (discrete-time signals) l tên hiãûu chè xạc âënh tải cạc giạ trë no âọ ca thåìi gian Tên hiãûu ny cọ biãn âäü liãn tủc v thåìi gian råìi rảc Khong cạch giỉỵa cạc thåìi âiãøm råìi rảc khäng nháút thiãút phi bàịng nhau, nhỉng thỉûc tãú thỉåìng khong cạch ny âỉåüc láúy bàịng Cọ thãø tảo tên hiãûu råìi rảc bàịng hai cạch Mäüt lì láúy máùu tên hiãûu liãn tủc, âáy l cạch thäng thỉåìng âãø chuøn tên hiãûu tỉì liãn tủc thnh råìi rảc Hai l âo (âãúm) mäüt âải - 19 - - Chỉång II- 9/15/2 lỉåüng no âọ theo mäüt chu k nháút âënh, vê dủ cán em bẹ theo tỉìng thạng, âo ạp sút khäng khê theo giåì Tên hiãûu lỉåüng tỉí họa (quantization signals) l tên hiãûu chè cọ táûp hỉỵu hản säú mỉïc biãn âäü, nghéa l biãn âäü råìi rảc v thåìi gian liãn tủc Vê dủ tên hiãûu ca bäü giỉỵ máùu báûc khäng ZOH Tên hiãûu säú (digital signals) l tên hiãûu råìi rảc cọ biãn âäü âỉåüc råìi rảc họa, nghéa l c biãn õọỹ vaỡ thồỡi gian õóửu rồỡi raỷc Hỗnh 2.3 laỡ âäư thë ca loải tên hiãûu trãn • (a) ã (b) ã (c) ã (d) Hỗnh 2.3 ọử thở bäún loải tên hiãûu (a) Liãn tủc - (b) Råìi rảc - (c) Lỉåüng tỉí họa - (d) Säú 2.2.3 Cạc tên hiãûu toạn hc cå bn - Tên hiãûu (delta) Dirac l tên hiãûu âỉåüc âënh nghéa båíi: ∞ ∫ s( t )δ( t )dt = s(0) −∞ våïi s(t) l hm liãn tủc tải t = Ngoi cn cọ âënh nghéa khạc cho tên hiãûu Dirac laì: ∞ ∫ δ(t )dt = −∞ - 20 - - Chỉång II- 9/15/2 v ⎧∞, t = δ( t ) = ⎨ ⎩0, t ≠ Âäö thở cuớa tờn hióỷu Dirac nhổ hỗnh 2.4 Hỗnh 2.4 Tờn hióỷu Dirac Tờn hióỷu Dirac õổồỹc chổùng minh l cọ mäüt säú cháút ca nhỉ: ∞ ∫ s ( t )δ ( t − t −∞ )dt = s( t ) ∞ ∫ s( t + t −∞ )δ( t )dt = s( t ) Aδ(− t ) = Aδ( t ) Aδ( t ) = , t ≠ Aδ( t − t ) + Bδ( t − t ) = (A + B)δ( t − t ) Våïi y(t) liãn tủc tải t0 ta cọ: y( t )[Aδ( t − t )] = Ay( t )δ( t − t ) 0 ∞ δ( t ) = ∫ e ± j2 π t t , dt , −∞ -Tên hiãûu bỉåïc nhy âån vë (unit step) laì tên hiãûu: ⎧1, t > u(t) = ⎨ ⎩0, t < Tỉì âënh nghéa cọ thãø suy mäúi quan hãû giỉỵa tên hiãûu Dirac v tên hiãûu bỉåïc nhy âån vë sau: t ∫ δ ( λ ) dλ = u ( t ) −∞ vaì du ( t ) = δ( t ) dt - 21 - - Chỉång II- 9/15/2 Âäư thở cuớa tờn hióỷu bổồùc nhaớy õồn nhổ hỗnh 2.5 Hỗnh 2.5 Tờn hióỷu bổồùc nhaớy õồn vë - Tên hiãûu chỉỵ nháût (rectangular) l tên hiãûu: ⎧1, t ≤ T / t ⎪ Π( ) = ⎨ T ⎪0, t > T / ⎩ ọử thở cuớa tờn hióỷu chổợ nhỏỷt nhổ hỗnh 2.6 -T/2 T/2 Hỗnh 2.6 Tờn hióỷu chổợ nhỏỷt Mäúi quan hãû giỉỵa tên hiãûu chỉỵ nháût v tên hiãûu bỉåïc nhy âån vë sau: ⎛t⎞ ∏⎜ ⎟ = u ( t + T / 2) − u ( t − T / 2) ⎝T⎠ - Tên hiãûu tam giạc (triangular) l tên hiãûu: ⎧ t t ⎪1 − , t ≤ T Λ( ) = ⎨ T T ⎪ ⎩0, t > T Âäư thë ca tên hióỷu tam giaùc nhổ hỗnh 2.7 -T T Hỗnh 2.7 Tờn hióỷu tam giaùc - 22 - - Chæång II- 9/15/2 - Tên hiãûu däúc âån vë (unit ramp) laì tên hiãûu: ⎧t , t > r(t) = ⎨ ⎩0 , t < Âäư thë ca tờn hióỷu dọỳc õồn nhổ hỗnh 2.8 Hỗnh 2.8 Tên hiãûu däúc âån vë - Tên hiãûu haìm m l tên hiãûu: ⎧Ae − at , t > t ⎪ (a cọ thãø l säú thỉûc hay phæïc) x(t) = ⎨ ⎪0 , t < t ⎩ Âäư thë ca tên hiãûu hm m våïi a thổỷc vaỡ < a < nhổ hỗnh 2.9 Hỗnh 2.9 Tờn hióỷu haỡm muợ thổỷc giaớm - Tên hiãûu sin (tên hiãûu âiãưu ha) l tên hiãûu: x ( t ) = A cos( 2π 2π π t + θ) = A cos(2πf t + θ) = A sin( t + θ + ) T0 T0 ÅÍ âáy A l biãn âäü, f0 = / T0 l táưn säú chè säú láưn làûp lải tên hiãûu âån vë thåìi gian, θ laì pha chè sai khạc vãư gọc giỉỵa tên hiãûu x(t) v tên hiãûu tham chiãúu cọ pha l Âäư thở cuớa tờn hióỷu sin nhổ hỗnh 2.10 A -A Hỗnh 2.10 Tờn hióỷu sin - 23 - - Chỉång II- 9/15/2 Táûp cạc tên hiãûu sin cọ chung táưn säú âỉåüc mä t båíi táưn säú âọ v biãn âäü v pha ca mäùi tên hiãûu Ta cọ thãø biãøu diãùn biãn âäü v pha ca mäùi tên hiãûu dỉåïi dảng phỉïc gi l phasor Sỉí dủng cäng thỉïc Euler, ta cọ e jβ = cos β + jsin β Váûy ta cọ thãø viãút lải biãøu thỉïc ca tên hiãûu sin sau: x ( t ) = Re[Ae j( πf t + θ ) jθ ] ≡ Re[ x p ( t )] ⇒ x p ( t ) = [Ae ]e j2 πf t ≡ Xe j2 πf t åí âáy X l säú phỉïc, biãn âäü v pha ca X l biãn âäü v pha ca tên hiãûu sin Do âọ ta nọi X âàûc trỉng cho tên hiãûu sin trỉì táưn säú Ta nọi X l biãøu diãùn phasor cuía tên hiãûu sin: X = Ae jθ 2.2.4 Cạc âải lỉåüng âàûc trỉng ca tên hiãûu -Âäü di l thåìi gian täưn tải ca tên hiãûu tỉì lục bàõt âáưu xút hiãûn tên hiãûu cho âãún kãút thục Thäng säú ny qui âënh khong thåìi gian báûn ca hãû thäúng truưn tin viãûc truưn âi tin tổùc chổùa tờn hióỷu -Trở trung bỗnh (time average) ca mäüt tên hiãûu âỉåüc theo cäng thỉïc: T/2 s( t ) = lim s( t )dt T →∞ T ∫ −T / Âënh nghéa tên hiãûu tưn hon våïi chu k TO l tên hiãûu tho mn s( t ) = s( t + T ) ∀t Nhæ váûy tên hiãûu váût lyï khäng tháût sỉû l tên hiãûu tưn hon Nãúu tên hióỷu tuỏửn hoaỡn thỗ trở trung bỗnh õổồỹc tờnh nhổ sau: s( t ) = T0 T / 2+a ∫ s( t )dt − T0 / + a våïi a l hàịng säú ty cọ thãø bàịng Nóỳu tờn hióỷu vỏỷt lyù thỗ trở trung bỗnh âæåüc nhæ sau: t s( t ) = s( t )dt t − t t∫ våïi t2 - t1 = T laì âäü daìi ca tên hiãûu -Thnh pháưn mäüt chiãưu ca tên hiãûu DC l thnh pháưn khäng âäøi theo thåìi gian Täøng quạt mäüt tên hiãûu cọ thãø âỉåüc phán têch thnh täøng ca hai thnh pháưn l thnh pháưn mäüt chiãưu v thnh pháưn khäng âäøi theo thåìi gian cọ trë trung bỗnh bũng goỹi laỡ thaỡnh phỏửn xoay chióửu Tỉì âáy cọ thãø dãù dng suy thnh pháưn mọỹt chióửu chờnh laỡ trở trung bỗnh cuớa tờn hióỷu - Nàng lỉåüng chøn hoạ (normalized energy) ca tên hiãûu âæåüc theo: - 24 - - Chæång II- 9/15/2 T/2 T →∞ ∫ s ( t )dt E = lim −T / Âënh nghéa tên hiãûu nàng lỉåüng l tên hiãûu cọ nàng lỉåüng hỉỵu hản khạc - Cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh (average normalized power) ca tên hiãûu âỉåüc theo: T/2 P = s ( t ) = lim ∫/s (t )dt T →∞ T −T 2 Âënh nghéa tên hiãûu cäng sút l tên hiãûu cọ cäng sút hỉỵu hản khạc v cọ nàng lỉåüng vä hản Tỉì âáy ta tháúy khäng cọ tên hiãûu no vỉìa l tên hiãûu nàng lỉåüng lải vỉìa l tên hiãûu cäng sút - Trë hiãûu dủng rms (root mean square) ca tên hiãûu âỉåüc âënh nghéa l càn báûc hai ca cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh 2.3 Chuọựi Fourier - Phäø ca tên hiãûu tưn hon Tên hiãûu s(t) nàng lỉåüng hỉỵu hản tưn hon våïi chu k TO cọ thãø âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng täøng vä hản ca cạc tên hiãûu sin Täøng ny gi l chùi Fourier (Fourier series), cọ thãø âỉåüc viãút dỉåïi nhiãưu dảng khạc Mäüt cạc dảng âọ l: ∞ 2πnt ∞ 2πnt s( t ) = A + ∑ a n cos + ∑ b n sin T0 T0 n =1 n =1 Hũng sọỳ AO laỡ trở trung bỗnh ca s(t), âỉåüc båíi: A0 = T0 T/2 ∫ s(t )dt − T0 / Caïc hãû säú an v bn âỉåüc båíi: an = T0 bn = T0 T/2 ∫ / s(t ) cos −T T/2 ∫ / s( t ) sin −T 2πnt dt T0 2πnt dt T0 Mäüt dảng khạc ca chùi Fourier l: ∞ ⎛ 2πnt ⎞ + Φn ⎟ s( t ) = C + ∑ C n cos⎜ ⎜ T ⎟ n =1 ⎝ ⎠ ÅÍ âáy CO , Cn v φn liãn quan våïi an , bn v AO theo cäng thỉïc - 25 - - Chæång II- 9/15/2 C0 = A0 2 Cn = a n + bn Φ n = −arctg bn an Váûy chùi Fourier ca mäüt hm tưn hon l täøng cạc hi ca táưn säú cå bn fO = 1/TO Hãû säú Cn gi l biãn âäü ca thnh pháưn phäø (spectral component) Cn cos (2π n fOt + n) taỷi tỏửn sọỳ nfO Hỗnh 2.11a chố phọứ bión õọỹ õióứn hỗnh (amplitude spectrum) Cn ca tên hiãûu tưn hon Phäø ny cọ dảng råìi rảc nãn cn âỉåüc gi l phäø vảch (line spectrum) Chùi Fourier cn cọ thãø âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng hm m (exponential form) sau: s( t ) = ∞ ∑A n = −∞ e n j2 π n t / T0 åí âáy An = T0 T0 / ∫ s ( t )e − j2 π n t / T0 dt − T0 / Hãû säú An l hãû säú phỉïc, liãn hãû våïi Cn theo cäng thæïc : A = C0 An = Cn e jΦ n Caïc hãû säú An laỡ bión õọỹ cuớa thaỡnh phỏửn phọứ Hỗnh 2.11b chè phäø biãn âäü An Âãø yï tháúy rũng caùc vaỷch phọứ taỷi hỗnh 2.11a taỷi tỏửn sọỳ fo õổồỹc thay bũng vaỷch phọứ hỗnh 2.11b vồùi biãn âäü mäùi vảch gim âi mäüt nỉía, mäüt vảch åí táưn säú fO v vảch åí táưn säú -fO Phọứ bión õọỹ hỗnh 2.11a goỹi laỡ phọứ mäüt phêa (single - sided spectrum) coìn phäø biãn âäü hỗnh 2.11b goỹi laỡ phọứ hai phờa (two - sided spectrum) Sỉí dủng phäø hai phêa thûn tiãûn hån toạn, âọì sau ny chụng ta s sỉí dủng phäø hai phêa Vãư màût l thuút säú vảch phäø ca s(t) l vä hản, nghéa l phäø âỉåüc phán bäú trãn suäút thang táön säú Tuy nhiãn nãúu toạn củ thãø s tháúy våïi háưu hãút tên hióỷu thỗ n tng õóỳn mọỹt giaù trở õuớ låïn no âọ, biãn âäü Cn s gim khạ nhanh v cọ thãø b qua Do âọ thỉûc tãú cọ thãø xem phäø chè phán bäú trãn mäüt khong táưn säú hỉỵu hản Âënh nghéa khong m phäø chiãúm trãn thang táưn säú gi l bãư räüng phäø (spectral bandwidth) ca tên hiãûu Cạch xạc âënh bãư räüng phäø sau: gi B l bãư räüng phäø, B âỉûoc l sai khạc giỉỵa hai táưn säú dỉång låïn nháút v nh nháút m khong âọ - 26 - - Chæång II- 9/15/2 ∞ = ∑ A n δ(f − nf ) n = −∞ 2.4.3 Phäø biãn âäü v phäø pha Täøng quạt phäø S(f) l mäüt hm phỉïc theo biãún f Do âọ ta cọ thãø biãøu diãùn S(f) dỉåïi dảng sau: S(f ) = Re[S(f )] + j Im[S(f )] = S(f ) e jϕ ( f ) Trong âoï: 2 S(f ) = Re [S(f )] + Im [S(f )] goüi laì phäø biãn âäü (amplitude spetrum), âån vë cuía phäø biãn âäülaì A/Hz hay V/Hz vaì ϕ(f ) = arctg Im[S(f )] gi l phäø pha (phase spectrum), âån vë ca phọứ pha laỡ radian Re[S(f )] hay õọỹ Hỗnh 2.13 l phäø biãn âäü v phäø pha ca tên hiãûu chổợ nhỏỷt Hỗnh 2.13 Phọứ bión õọỹ vaỡ phọứ pha ca tên hiãûu chỉỵ nháût 2.4.4 Âënh l Parseval v máût âäü phäø nàng lỉåüng Âënh l Parseval phạt biãøu nhæ sau: ∞ ∞ ∗ ∗ ∫ s1 ( t )s ( t )dt = ∫ S1 (f )S2 (f )df −∞ −∞ Nãúu s ( t ) = s ( t ) = s( t ) thỗ: ∞ E= ∫ s( t ) ∞ dt = −∞ ∫ S(f ) df −∞ Âáy cng chênh l näüi dung ca âënh l nàng lỉåüng Rayleigh Chỉïng minh: Biãún âäøi vãú trại, ạp dủng cäng thỉïc biãún âäøi Fourier ngæåüc, ta âæåüc: - 29 - - Chỉång II- 9/15/2 ⎡ ⎤ • j2 π f t S1 (f )e df ⎥s ( t )dt ∫⎢∫ ⎥ − ∞⎢ − ∞ ⎣ ⎦ ∞ Vãú traïi = ∞ Gi sỉí cạc têch phán ny âãưu häüi tủ tuût âäúi, theo âënh l Fubini ta cọ thãø thay âäøi thỉï tỉû láúy têch phán v âỉåüc sau: ∗ ⎡∞ ⎤ − j2 πf t dt ⎥ df Vãú traïi = ∫ S (f ) ⎢ ∫ s ( t )e ⎢ −∞ ⎥ −∞ ⎣ ⎦ ∞ ∞ ∗ = ∫ S1 (f )S (f )df −∞ Âënh nghéa máût âäü phäø nàng lỉåüng ESD (Energy Spectral Density) ca tên hiãûu nàng lỉåüng l: E (f ) = S(f ) Âån vë ca E (f) l joule trãn hertz (J/Hz) Sỉí dủng âënh l Parseval cọ thãø biãøu diãùn nàng lỉåüng chøn hoạ theo ESD sau: ∞ E= ∫ E (f)df −∞ 2.4.5 Máût âäü phäø cäng suáút Máût âäü phäø cäng suáút PSD (Power Spectral Density) laì haìm nãu lãn mäúi liãn quan giỉỵa cäng sút chøn hoạ ca tên hiãûu v mä t tên hiãûu miãưn táưn säú PSD âỉåüc âënh nghéa theo cạch tỉång tỉû ESD PSD hióỷu quaớ hồn ESD vỗ loaỷi tờn hióỷu cọng sút âỉåüc sỉí dủng räüng ri viãûc nghiãn cỉïu cạc hãû thäúng truưn tin Trỉåïc hãút âënh nghéa hm càõt gt (truncated version) ca mäüt tên hiãûu l: ⎧s( t ), − T / < t < T / ⎛t⎞ = s( t )Π ⎜ ⎟ s T (t) = ⎨ t≠ ⎝T⎠ ⎩0, Cäng suáút chuáøn hoaù trung bỗnh tờnh theo haỡm cừt goỹt laỡ: T/2 1 P = lim s ( t )dt = lim ∫ s T ( t )dt T →∞ T ∫ T →∞ T −T / Sổớ duỷng õởnh lyù Parseval thỗ cọng suỏỳt trón tråí thnh: - 30 - - Chỉång II- 9/15/2 ∞ ∞⎛ S (f ) ⎜ P = lim ∫ S T (f ) df = ∫ ⎜ lim T T →∞ T →∞ T T −∞ − ∞⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟df ⎟ ⎠ ÅÍ âáy ST (f) l biãún âäøi Fourier ca sT(t) Têch phán bãn vãú phi gi l PSD Váûy âënh nghéa máût âäü phäø cäng sút PSD ca tên hiãûu cäng sút l: ⎛ S (f ) ⎞ ⎟ ⎜ lim P (f) = T→∞⎜ T ⎟ ⎜ T ⎟ ⎠ ⎝ Âån vë ca PSD l W/Hz hay V2 /Hz hay A2 /Hz Lỉu ràịng PSD l mäüt hm thỉûc khäng ám theo táưn säú Tỉì âáy cọ thãø biãøu dióựn cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh theo PSD nhổ sau: ∞ P= ∫ P (f) df −∞ 2.4.6 Caïc cháút ca phäø Bng 2.1 nãu cạc cháút ca phäø Pháưn chỉïng minh cho cạc cháút ny coi l bi táûp vãư nh 2.5 Tên hiãûu ngỏựu nhión ( quaù trỗnh ngỏựu nhión ) ọỳi vồùi thäng tin, quan niãûm xạc âënh vãư tên hiãûu chè cọ thãø cháúp nháûn âỉåüc vãư màût l thuút chỉï khọng phuỡ hồỹp vồùi thổỷc tóỳ Vỗ nóỳu chuùng ta xem tờn hióỷu laỡ bióứt trổồùc thỗ vóử mỷt yù nghéa tin tỉïc m nọi, viãûc truưn tên hiãûu l khäng cáưn thiãút Hån nỉỵa nhiãùu tạc âäüng vo hãû thäúng truưn tin cng khäng thãø biãút trỉåïc Tuy nhiãn nóỳu chuùng ta hoaỡn toaỡn khọng bióỳt gỗ vóử tờn hióỷu hay nhióựu thỗ cuợng khọng coù cồ sồớ gỗ âãø phán biãût tên hiãûu cọ êch våïi nhiãùu, v âọ s khäng thãø thu âỉåüc tên hiãûu Âãø thu âỉåüc tên hiãûu thäng tin ta phi biãút âỉåüc cạc âàûc thäúng kã ca v diãùn t trãn cå såí l thuút xạc sút Ta gi cạc tên hiãûu xẹt theo quan âiãøm thäúng kã ny l tờn hióỷu ngỏựu nhión hay coỡn goỹi laỡ quaù trỗnh ngáùu nhiãn (random processes) 2.5.1 Âënh nghéa v phán loải quaù trỗnh ngỏựu nhión óứ coù mọỹt khaùi nióỷm vóử quaù trỗnh ngỏựu nhión, trổồùc hóỳt ta xeùt mọỹt vờ dủ củ thãø Theo di cạc dảng sọng âiãûn ạp phaùt tổỡ cuỡng mọỹt nguọửn nhióựu hỗnh 2.14, ta tháúy cạc dảng sọng âọ khäng giäúng nhau, âọ cọ thãø laì ξ ( t ), ξ ( t ), , ξ ( t ) Táûp táút c cạc âỉåìng cong ξ ( t ) gi i { } i laì táûp håüp (ensemble) vaì táûp håüp õoù õổồỹc goỹi laỡ quaù trỗnh ngỏựu nhión ( t ) mä t nhiãùu Khi quan sạt cạc dảng sọng âiãûn ạp phạt tỉì cng mäüt ngưn nhiãùu, viãûc ta nháûn âỉåüc mäüt âỉåìng cong no táûp håüp âọ l mäüt sỉû kiãûn (event) ngáùu nhiãn khäng thãø dỉû âoạn âỉåüc Mäüt âỉåìng cong ξ ( t ) gi l mäüt thãø hiãûn (sample function), cạc thãø hiãûn ny khạc i nhỉng xẹt theo quan âiãøm xaùc suỏỳt thọỳng kó thỗ chuùng laỷi lión hóỷ båíi cạc quy lût thäúng - 31 - - Chỉång II- 9/15/2 Baíng 2.1 Tênh cháút cuía phäø Tênh cháút Tên hiãûu Phäø Tuyãún a 1s ( t ) + a s ( t ) a 1S1 (f ) + a S (f ) Trãù thåìi gian s( t − T0 ) e − j π f T0 S(f ) ⎛f ⎞ S⎜ ⎟ a ⎝a⎠ s(at ) Thang tyí lãû ∗ Liãn håüp phỉïc s (t) S ( −f ) Âo thåìi gian s(− t ) S(−f ) Âiãưu chãú s( t ) cos(2πf t + θ) Trãù táön säú s ( t )e ∗ [ − jθ jθ e S(f − f ) + e S(f + f ) S(f − f ) j π f0 t n n ( j2πf ) S(f ) d s( t ) Vi phán dt n t −1 ( j2πf ) S(f ) − S(0)δ(f ) ∫ s(τ)dτ Têch phán −∞ s1 ( t ) ∗ s ( t ) S1 (f )S (f ) ∞ Cháûp = ∫ s1 (τ)s ( t − τ)dτ −∞ S1 (f ) ∗ S (f ) s1 ( t )s ( t ) Nhán ∞ = ∫ S1 (υ)S (f − υ)dυ −∞ n Nhán våïi t n t s( t ) ( − j2π) −n n d S(f ) df - Nóỳu s(t) thổỷc thỗ phọứ bión õọỹ laỡ haỡm chụn v phäø pha l hm l - Nãúu s(t) thỉûc chụn thỗ S(f) laỡ haỡm thổỷc - Nóỳu s(t) thổỷc leớ thỗ S(f) laỡ haỡm thuỏửn tuùy aớo - 32 - n ] - Chỉång II- 9/15/2 kã Ta cọ thãø âảt âỉåüc cạc thãø hiãûn âọ bàịng cạch quan sạt âäưng thåìi âáưu ca nhiãưu ngưn nhiãùu giäúng hãût Âãø täøng quạt, säú ngưn nhiãùu phi l vä hản ξ1 ( t ) Ngưn nhiãùu ξ (t ) i (t ) Hỗnh 2.14 Nguọửn nhióựu ngỏựu nhión vaỡ mọỹt vaỡi thóứ hióỷn cuớa quaù trỗnh nhióựu ngáùu nhiãn Tỉì vê dủ trãn ta cọ thãø âënh nghộa quaù trỗnh ngỏựu nhión laỡ mọỹt tỏỷp hồỹp caùc haìm theo thåìi gian ξ ( t ), ξ ( t ), , ξ ( t ) (i → ∞) liãn hãû våïi båíi nhỉỵng quy lût thäúng kã i Coù thóứ phỏn loaỷi quaù trỗnh ngỏựu nhión thaỡnh quaù trỗnh ngỏựu nhión lión tuỷc (continuous random process) hay råìi rảc (discrete randomm process) tu theo ξ( t ) phán bäú liãn tủc hay råìi rảc Vê duỷ nhổ nhióựu xeùt ồớ trón laỡ quaù trỗnh ngỏựu nhiãn liãn tủc, tên hiãûu nhë phán åí âáưu bọỹ taỷo nhở phỏn laỡ quaù trỗnh ngỏựu nhión rồỡi raỷc (hỗnh 2.15) ( t ) Taỷo nhở phỏn (t ) i (t ) Hỗnh 2.15 Mọỹt sọỳ thóứ hióỷn cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión rồỡi raỷc - 33 - - Chỉång II- 9/15/2 2.5.2 Cạc hm phỏn bọỳ xaùc suỏỳt cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión Xeùt ồớ mọỹt thồỡi õióứm t1 , quaù trỗnh ngỏựu nhión l mäüt âải lỉåüng ngáùu nhiãn ξ( t ) cọ thãø láúy caïc giaï trë ξ ( t ), ξ ( t ), , ξ ( t ) Âải lỉåüng ngáùu nhiãn ny cọ hm phán bäú xạc sút 1 i têch lu CDF (Culmative Distribution Function) âỉåüc âënh nghéa l: { F1 ( x , t ) = p ξ( t ) ≤ x } v cọ hm máût âäü xạc sút PDF (Probability Density Function) âỉåüc âënh nghéa l: f1 ( x , t ) = ∂F1 ( x , t ) ∂x CDF v PDF åí trãn âỉåüc gi chung l cạc hm phán bäú xạc sút cáúp mäüt (do chè xẹt åí mäüt thåìi âiãøm) ÅÍ âáy chè cọ mäüt biãún thåìi gian l t1 nãn âãø cho gn cọ thãø thay t1 bàịng t Dãù dng nháûn tháúy âỉåìng cong CDF cọ âàûc âiãøm l âäưng biãún theo x v nàịm di (0,1); cn âỉåìng cong PDF cọ âàûc âiãøm l khäng ám v pháưn diãûn têch giåïi hản båíi PDF v trủc honh Ox laỡ 1.Hỗnh 2.16 laỡ mọỹt vờ duỷ õọử thở ca CDF v PDF Âënh l (khäng chỉïng minh): { } { } { } x2 F1 (x , t ) − F1 (x1 , t ) = p ξ(t ) ≤ x − p ξ(t ) ≤ x1 = p x1 ≤ ξ(t ) ≤ x = ∫ f1 (x, t )dx x1 óứ xaùc õởnh hoaỡn toaỡn quaù trỗnh ngỏựu nhión ta xeùt quaù trỗnh ngỏựu nhión ồớ N thåìi âiãøm khạc våïi N låïn vä vng Tuy nhiãn nhiãưu trỉåìng håüp ta chè cáưn xẹt âãún N = l â Khi N = ta cọ CDF v PDF cáúp hai sau: { F2 ( x , x , t , t ) = p ξ( t ) ≤ x , ξ( t ) ≤ x f (x1 , x , t1 , t ) = } ∂F2 ( x , x , t , t ) ∂x 1∂x CDF x PDF x Hỗnh 2.16 CDF vaỡ PDF cuớa mọỹt quaù trỗnh ngỏựu nhión lión tuỷc - 34 - - Chổồng II- 9/15/2 2.5.3 Caùc trở trung bỗnh theo táûp håüp Sau âáy laì mäüt säú trë trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp (ensemble average) coù yù nghộa hồn caớ: Trở trung bỗnh hay coỡn goỹi laỡ kyỡ voỹng toaïn (expected value): ∞ m1 ( t ) = ∫ xf1 ( x , t )dx Trở trung bỗnh bỗnh phổồng hay coỡn goỹi laỡ moment cỏỳp hai (second moment): ∞ m ( t ) = ∫ x f1 ( x , t )dx −∞ Phæång sai (variance): ∞ σ (t) = ∫ [x − m (t )] f (x, t )dx = m (t ) − m (t ) 2 −∞ Càn báûc hai ca phỉång sai gi l âäü lãûch chuáøn (standard deviation) Moment häùn håüp cáúp hai laì moment láúy åí hai thåìi âiãøm khạc ca hm phán bäú xạc sút hai chiãưu: m (t1 , t ) = ∞ ∞ ∫ ∫x x f ( x , t , x , t )dx 1dx 2 − ∞− 2.5.4 Caùc trở trung bỗnh theo thồỡi gian vaỡ hm tỉång quan Xẹt mäüt thãø hiãûn l ξ ( t ) cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión khoaớng thồỡi gian quan sạt l T i Cng giäúng våïi tên hiãûu xạc âënh â xẹt åí trỉåïc, âäúi våïi tên hióỷu ngỏựu nhión, ta coù caùc trở trung bỗnh theo thồỡi gian (time average) sau õỏy: Giaù trở trung bỗnh (mean value): T/2 ξ i ( t ) = lim ξ ( t )dt T →∞ T ∫ k T / Giaù trở trung bỗnh bỗnh phổồng hay cn gi l giạ trë qn phỉång (mean-square value): T/2 ξ i ( t ) = lim ξ i ( t )dt T →∞ T ∫ −T / 2 Càn báûc hai ca giạ trë qn phỉång gi l giạ trë qn phỉång gäúc (root-mean-square value) hay l trë hiãûu dủng rms Ta nháûn tháúy cạc trë trung bỗnh trón õỏy phuỷ thuọỹc vaỡo thóứ hióỷn i õổồỹc choỹn vaỡ õọỹc lỏỷp vồùi trở trung bỗnh theo táûp håüp - 35 - - Chỉång II- Nãúu xẹt quaù trỗnh ngỏựu nhión ồớ hai thồỡi õióứm caùch mäüt khon l τ ta cọ hm tỉû tỉång quan (autocorrelation function) âæåüc âënh nghéa nhæ sau: T/2 R i (τ) = ξ i ( t )ξ i ( t + τ) = lim ξ ( t )ξ i ( t + τ)dt T →∞ T ∫ i −T / 2.6 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng vaỡ ergodic 2.6.1 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng Quaù trỗnh ngỏựu nhión gi l dỉìng (stationary) nãúu cạc hm phán bäú xạc suáút khäng thay âäøi âäúi våïi sæû di chuyãøn báút kyỡ cuớa thồỡi gian Quaù trỗnh ngỏựu nhión goỹi laỡ dỉìng báûc N (stationary to the order N) nãúu våïi t , t , , t ta coï: N ∗ ∗ ∗ f N ( x , x , , x N , t , t , , t N ) = f N ( x , x , , x N , t + t , t + t , , t N + t ) åí âáy t* laỡ mọỹt hũng sọỳ thổỷc bỏỳt kyỡ Quaù trỗnh ngỏựu nhiãn âỉåüc gi l dỉìng chàût ch (strict stationary) nãúu báûc N låïn âãún vä cuìng Khi choün t* = -t1 thỗ PDF phuỷ thuọỹc vaỡo N-1 hióỷu thồỡi gian t − t , t − t , , t − t Váûy coï thãø noïi PDF cáúp khäng phủ thüc vo thåìi gian, N PDF cáúp chè phủ thüc vo hiãûu thåìi gian t − t = τ Roợ raỡng laỡ õọỳi vồùi quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng, cạc moment k vng toạn, moment cáúp 2, phỉång sai, lãûch chøn âãưu l hàịng säú, moment häùn håüp cáúp laì haìm mäüt biãún m1 ( t ) = m1 , m ( t ) = m , σ ( t ) = σ, σ( t ) = σ, m ( t , t ) = m () 2.6.2 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng ergodic Qua trỗnh ngỏựu nhión dổỡng goỹi laỡ dổỡng ergodic nóỳu tỏỳt caớ caùc trở trung bỗnh theo thåìi gian ca mäüt thãø hiãûn báút k bàịng vồùi trở trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp tổồng ổùng Vỏỷy vồùi quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng ergodic thỗ chố cỏửn chn mäüt thãø hiãûn cng â thay thãú cho ton bọỹ quaù trỗnh vaỡ coù thóứ õọửng nhỏỳt trở trung bỗnh theo thồỡi gian vồùi trở trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp: Thaỡnh phỏửn mọỹt chióửu (giaù trở trung bỗnh, kyỡ voüng toaïn): ξ i ( t ) = ξ( t ) = m Cäng sút (giạ trë qn phỉång, moment cáúp 2): 2 ξi (t) = ξ (t) = m Trë hiãûu duûng: 2 ξ ( t ) = m = σ + m1 Hm tỉû tỉång quan: - 36 - 9/15/2 - Chỉång II- 9/15/2 R i (τ) = R (τ) = ∞ ∞ ∫ ∫x x f ( x , x , τ)dx 1dx = m (τ) 2 2.6.3 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng (wide-sense stationary) laỡ quaù trỗnh ngỏựu nhión chố dổỡng õóỳn cỏỳp hai N = (second-order stationary) Quaù trỗnh dổỡng chỷt cheợ thỗ õọửng thồỡi cuợng laỡ dổỡng theo nghộa rọỹng nhổng õióửu ngổồỹc laỷi khọng õuùng Quaù trỗnh dỉìng theo nghéa räüng hay chàût ch âãưu l nhỉỵng khại niãûm â âỉåüc l tỉåíng hoạ Thỉûc tãú khäng thóứ coù nhổợng quaù trỗnh nhổ vỏỷy, thổỷc tóỳ ta chố coù thóứ quan saùt quaù trỗnh ngỏựu nhión mäüt khong thåìi gian hỉỵu hản â låïn no âọ 2.6.4 Tênh cháút ca hm tỉång quan ca quạ trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng ọỳi vồùi quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng, haỡm tổỷ tổồng quan cọ cạc cháút sau: a- Hm tỉång quan l hm chàơn R ( τ) = R ( − τ) T/2 ξ( t )ξ( t + τ)dt , thay t = t − τ , vãú phaíi tråí T →∞ T − T∫/ Tháût váûy, tỉì cäng thỉïc R ( τ) = lim thnh: T/2 lim ∫ ξ( t − τ)ξ( t )dt = R (− τ) = R (τ) T →∞ T −T / b- Cọng suỏỳt mọỹt chióửu cuớa quaù trỗnh R () = m Ta xeït moment gäúc häùn håüp cáúp hai: m ( t , t ) = m ( τ) Cho τ → ∞ , lục âọ cọ thãø coi hai âải lỉåüng ngáùu nhiãn ξ( t ) vaì ξ( t ) âäüc láûp våïi v PDF hai chiãưu ca bàịng: f ( x , t , x , t ) = f ( x , t )f ( x , t ) = f ( x )f ( x ) Lục ny ta coï: ∞ ∞ −∞ −∞ R (∞) = m (∞) = ∫ x 1f1 ( x )dx ∫ x f1 ( x )dx = m12 Vóử vỏỷt lyù, trở trung bỗnh bióứu thở thaỡnh phỏửn mọỹt chióửu nón bỗnh phổồng cuớa trở trung bỗnh laì R (∞) = m biãøu thë cäng suáút mọỹt chióửu cuớa quaù trỗnh 2 c- Cọng suỏỳt tọứng cuớa quaù trỗnh R (0) = ( t ) = σ + m 1 T/2 ξ( t )ξ( t + τ)dt , cho τ = , ta âæåüc: T →∞ T − T∫/ Tỉì cäng thỉïc R ( τ) = lim - 37 - - Chæång II- 9/15/2 R (0) = lim T→∞ T/2 ∫/ ξ( t )ξ( t )dt = ξ ( t ) = m T −T Vóử vỏỷt lyù, trở trung bỗnh bỗnh phổồng hay moment cáúp biãøu thë cäng sút täøng M ta â 2 biãút m = σ + m1 , âọ m1 biãøu thë cäng sút mäüt chiãưu nãn suy phỉång sai σ chênh l cäng suỏỳt xoay chióửu cuớa quaù trỗnh d- Haỡm tổồng quan âảt giạ trë cỉûc âải tải gäúc R ( τ) ≤ R (0) Ta xẹt lỉåüng khäng ám sau: T/2 T/2 [ξ( t ) − ξ( t + τ)]2 dt = lim ∫ [ξ ( t ) − 2ξ( t )ξ( t + τ) + ξ ( t + τ)]dt T →∞ T →∞ T − T∫/ T −T / = 2[R (0) − R (τ)] ≥ lim Váûy R ( τ) ≤ R (0) Hỗnh 2.17 minh hoỹa caùc tờnh chỏỳt vổỡa xeït trãn R( τ ) cäng suáút täøng cäng suáút xoay chióửu cọng suỏỳt mọỹt chióửu Hỗnh 2.17 Minh cạc cháút ca hm tỉång quan 2.7 Máût âäü phäø cäng suáút PSD 2.7.1 Âënh nghéa PSD Âãø thổỷc hióỷn phỏn tờch phọứ cho quaù trỗnh ngỏựu nhión, ta xẹt sỉû måí räüng âënh nghéa PSD ca tên hióỷu xaùc õởnh sang cho quaù trỗnh ngỏựu nhión ởnh nghéa hm càõt gt ca mäüt thãø hiãûn ξ ( t ) nhæ sau: i ⎧ξ ( t ), − T / ≤ t ≤ T / ξ Ti ( t ) = ⎨ i t≠ ⎩0, Biãún âäøi Fourier ca hm càõt gt l: ∞ Ξ Ti (f ) = ∫ ξ Ti ( t )e − j2 π f t T/2 dt = −∞ ∫ ξ i (t )e −T / - 38 - − j2 π f t dt - Chæång II- ξ Ti (f ) laỡ mọỹt quaù trỗnh ngỏựu nhión vỗ Ti ( t ) laỡ mọỹt quaù trỗnh ngỏựu nhión Theo âënh l Parseval, nàng lỉåüng chøn hoạ khong láúy têch phán (-T/2,T/2) laì: ∞ E T = ∫ ξ T ( t )dt = −∞ ∞ ∫ ξ T (f ) df −∞ Nàng læåüng chuáøn hoaù trung bỗnh laỡ: T/2 ET = ( t )dt = ∫ ξ T ( t )dt = −T / 2 −∞ ∞ ∫ ξ T (f ) df −∞ Cäng suáút chuáøn hoaï trung bỗnh laỡ: T/2 2 2 1 ⎡ P = lim lim lim ∫/ ξ ( t )dt = T→∞ −∫∞ξ T (t )dt = −∫∞⎢T→∞ T ξ T (f ) ⎥df = ξ ( t ) T →∞ T ⎣ ⎦ −T Cäng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh coỡn coù thóứ tờnh õổồỹc tỉì PSD sau: ∞ P = ξ (t) = P (f) df PSD cuớa quaù trỗnh ngáùu nhiãn âæåüc nhæ sau: ⎞ ⎛ ⎜ Ξ T (f ) ⎟ lim P (f ) = T →∞ ⎜ ⎟ ⎜ T ⎟ ⎝ ⎠ 2.7.2 Âënh l Wiener - Khintchine Thäng thỉåìng PSD âỉåüc tổỡ haỡm tổỷ tổồng quan cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión theo âënh lyï Wiener - Khintchine nhæ sau: Nãúu ξ( t ) laỡ mọỹt quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng thỗ PSD laỡ bióỳn õọứi Fourier cuớa haỡm tæû tæång quan: ∞ P (f ) = ∫ R (τ)e − j2 πf τ dτ −∞ V ngỉåüc lải: ∞ R (τ) = ∫ P (f )e j2 π f τ df −∞ Âënh l ny cng cọ thãø aùp duỷng cho quaù trỗnh ngỏựu nhión khọng dổỡng, vồùi lỉu thay R (τ) bàịng R ( t , t + τ) - 39 - 9/15/2 - Chæång II- 9/15/2 2.7.3 Tênh cháút ca PSD Tỉì cäng thỉïc âënh nghéa PSD v cháút ca hm tỉång quan, ta dãù dng suy cạc cháút sau âáy ca PSD: a- P (f) khäng ám b- Khi ξ( t ) thỉûc, P (f) thỉûc v chàơn ∞ c- P (0) = ∫ R (τ)dτ −∞ d- R (0) = ∞ ∫ P (f)df −∞ TỌM TÀÕT CHỈÅNG Tên hiãûu l biãøu diãùn váût l ca tin tỉïc Âọ l mäüt âải lỉåüng váût l biãún thiãn theo thåìi gian, khäng gian hay cạc biãún âäüc láûp khạc Vãư màût toạn hc, cọ thãø xem tên hiãûu l hm theo mäüt hồûc nhiãưu biãún âäüc láûp Trong hãû thäúng thäng tin, tên hiãûu nháûn âỉåüc thỉåìng bao gäưm pháưn chỉïa tin tỉïc mong mún v pháưn khäng mong mún thãm vo Pháưn mong mún gi l tên hiãûu cọ êch, pháưn khäng mong mún gi l nhiãùu Cọ nhiãưu phỉång phạp phán têch tên hiãûu khạc nhau, phán têch thåìi gian, phán têch phäø, phán têch tỉång quan Cọ thãø phán loải tên hiãûu theo nhiãưu cạch Vê dủ nhỉ: dỉûa vo säú biãún phán tên hiãûu thnh loải mäüt hỉåïng v nhiãưu hỉåïng, dỉûa vo ngưn tên hiãûu phán tên hiãûu thnh loải mäüt kãnh v nhiãưu kãnh, dỉûa vo hiãûn tỉåüng phán tên hiãûu thnh loải xạc âënh v ngáùu nhiãn, dỉûa vo tưn hon phán tên hiãûu thnh loải tưn hon v khäng tưn hon Xẹt tên hiãûu laì haìm theo biãún thåìi gian, kyï hiãûu laì s(t), âọ s l biãn âäü Cọ thãø phán tên hiãûu ny thnh loải: tên hiãûu liãn tủc hay tỉång tỉû l tên hiãûu cọ giạ trë xạc âënh tải mi thåìi âiãøm tỉì sinh âãún kãút thục, tên hiãûu råìi rảc l tên hiãûu chè xạc âënh tải cạc thåìi âiãøm råìi rảc no âo, tên hiãûu lỉåüng tỉí họa l tên hiãûu chè cọ táûp hỉỵu hản säú mỉïc biãn âäü, tên hiãûu säú l tên hiãûu råìi rảc cọ biãn âäü âỉåüc råìi rảc họa Tên hiãûu váût l l tên hiãûu cọ thãø thỉûc hiãûn âỉåüc vãư màût váût l Ngỉåüc våïi tên hiãûu váût l l tên hiãûu toạn hc Âọ l tên hiãûu chè cọ nghéa l thuút v hon ton khäng thãø thỉûc hiãûn âỉåüc vãư màût váût l Trong l thuút tên hiãûu, thỉåìng gàûp mäüt säú tên hiãûu toạn hc l: tên hiãûu Dirac, tên hiãûu bỉåïc nhy âån vë, tên hiãûu chỉỵ nháût, tên hiãûu tam giaïc, tên hiãûu däúc âån vë, tên hiãûu hm m, tên hiãûu âiãưu ho - 40 - - Chỉång II- 9/15/2 Cạc âải lỉåüng âàûc trỉng cho tên hiãûu l: âäü di, trë trung bỗnh, thaỡnh phỏửn mọỹt chióửu DC, nng lổồỹng chuỏứn hoùa, cọng suỏỳt chuỏứn hoùa trung bỗnh, trở hióỷu duỷng Tên hiãûu s(t) nàng lỉåüng hỉỵu hản tưn hon våïi chu k TO cọ thãø âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng täøng vä hản ca cạc tên hiãûu sin Täøng ny goüi laì chuäùi Fourier : ∞ 2πnt ∞ 2πnt s( t ) = A + ∑ a n cos + ∑ b n sin T0 T0 n =1 n =1 Hũng sọỳ AO laỡ trở trung bỗnh cuớa s(t), cạc hãû säú an v bn âỉåüc tỉì s(t) 10 Mäüt dảng khạc ca chùi Fourier l: ⎛ 2πnt ⎞ + Φn ⎟ s( t ) = C + ∑ C n cos⎜ ⎜ T ⎟ n =1 ⎝ ⎠ ∞ ÅÍ âáy CO , Cn v φn cọ liãn quan våïi an , bn v A0 Hãû säú Cn goüi laì biãn âäü vaì φn laì pha ca thnh pháưn phäø Cn cos (2π n fOt + φn) tải táưn säú nfO 11 Cọ thãø dng càûp (Cn,φn) âãø biãøu diãùn tên hiãûu tưn hon v gi l biãøu diãùn theo phỉång phạp phäø Cn gi laì phäø biãn âäü vaì φn goüi laì phäø pha Phäø ca tên hiãûu tưn hon cọ dảng råìi rảc nãn cn âỉåüc gi l phäø vảch 12 Chùi Fourier cn cọ thãø âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng hm m nhæ sau: s( t ) = ∞ ∑ Ane j2 π n t / T0 n = −∞ Hãû säú An l hãû säú phỉïc, liãn hãû våïi Cn theo cäng thæïc : A = C0 An = Cn e jΦ n 13 Cạc vảch phäø Cn tải táưn säú f0 âỉåüc thay bàịng vảch phäø An våïi biãn âäü mäùi vảch gim âi mäüt nỉía, mäüt vảch åí táưn säú fO v vảch åí táưn säú -fO Phäø biãn âäü Cn goüi laì phäø mäüt phêa, coìn phäø biãn âäü An goüi laì phäø hai phêa 14 Xem tên hiãûu khäng tưn hon l tên hiãûu tưn hon cọ chu k låïn vä cng TO → ∞ , tỉì ∞ chùi Fourier ta cọ cäng thæïc biãún âäøi Fourier sau: S(f ) = ∫ s( t )e − j2 π f t dt S(f) âỉåüc −∞ gi l máût âäü phäø hay phäø ca tên hiãûu s(t) 15 Cọ thãø ngỉåüc s(t) tỉì S(f) sau: s( t ) = lim T0 →∞ - 41 - ∞ ∑A n = −∞ e n j2 π n t / T0 ∞ = ∫ S(f )e −∞ j2 π f t df - Chæång II- 9/15/2 16 Vỗ tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn chúng qua chè l mäüt trỉåìng håüp âàûc biãût ca tên hiãûu khäng tưn hon nãn täøng quạt, ta cọ thãø gạn c khại niãûm máût âäü phäø cho tên hiãûu tưn hon Do âàûc âiãøm ca phäø vảch nãn máût âäü phäø ca tên hiãûu tưn hon phi cọ cháút: låïn vä cng åí cạc vảch phäø v triãût tiãu åí ngoi cạc vảch âọ: ST(f) = ∞ ∑A n = −∞ n δ(f − nf ) 17 Khoaíng m phäø chiãúm trãn thang táưn säú gi l bãư räüng phäø ca tên hiãûu Bãư räüng phäø âỉåüc l sai khạc giỉỵa hai táưn säú dỉång låïn nháút v nh nháút m khong âọ cọ: S(f ) ≥ a S(f ) max Hãû säú a âæåüc chn l hàịng säú dỉång tu ỉïng dủng Bàng thäng våïi a= = 0.707 cn âỉåüc gi l bàng thäng -3dB 18 Ta coï thãø biãøu diãùn S(f) dỉåïi dảng: S(f ) = Re[S(f )] + j Im[S(f )] = S(f ) e âoï: S(f ) = jϕ ( f ) Trong Re [S(f )] + Im [S(f )] goüi laì phäø biãn âäü, âån vë laì A/Hz hay V/Hz vaì Im[S(f )] goüi laì phäø pha, âån vë laì radian hay âäü ϕ(f ) = arctg Re[S(f )] ∞ 19 Âënh lyï Parseval : ∞ ∗ ∗ ∫ s1 ( t )s ( t )dt = ∫ S1 (f )S2 (f )df −∞ −∞ 20 Âënh nghéa máût âäü phäø nàng lỉåüng ESD ca tên hiãûu nàng lỉåüng l: E (f ) = S(f ) Âån vë ca E (f) l joule trãn hertz (J/Hz) ⎛ S (f ) ⎞ ⎜ T ⎟ 21 Âënh nghéa máût âäü phäø cäng suáút PSD cuía tên hiãûu cäng suáút: P (f) = lim ⎜ ⎟ T →∞ ⎜ T ⎟ ⎝ ⎠ Âån vë ca PSD l W/Hz hay V2 /Hz hay A2 /Hz 22 Tờn hióỷu ngỏựu nhión hay quaù trỗnh ngỏựu nhiãn l tên hiãûu m ta khäng thãø biãút trỉåïc caùc haỡnh vi cuớa noù ởnh nghộa quaù trỗnh ngỏựu nhiãn l mäüt táûp håüp cạc hm theo thåìi gian ξ ( t ), ξ ( t ), , ξ ( t ) (i → ∞) liãn hãû våïi båíi nhỉỵng quy lût thäúng kã i 23 Coù thóứ phỏn loaỷi quaù trỗnh ngỏựu nhión thaỡnh quaù trỗnh ngỏựu nhión lión tuỷc hay rồỡi raỷc tuyỡ theo ξ( t ) phán bäú liãn tủc hay råìi rảc { } 24 Hm phán bäú xạc sút têch lu CDF cáúp laì: F ( x , t ) = p ξ( t ) ≤ x vaì haìm máût âäü xạc sút PDF cáúp l: f ( x , t ) = 1 ∂F1 ( x , t ) ∂x 1 Âỉåìng cong CDF âäưng biãún theo x v nàịm di (0,1); âỉåìng cong PDF khäng ám v pháưn diãûn têch giåïi hản båíi PDF v trủc honh Ox l - 42 - - Chỉång II- 9/15/2 25 Hm CDF cáúp v hm PDF cáúp láưn lỉåüt l: { F2 ( x , x , t , t ) = p ξ( t ) ≤ x , ξ( t ) ≤ x f ( x1 , x , t1 , t ) = } ∂F2 ( x , x , t , t ) x 1x 26 Mọỹt sọỳ trở trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión laỡ:ớ trở trung bỗnh hay kyỡ voỹng toaùn, trở trung bỗnh bỗnh phổồng hay cn gi l moment cáúp hai, phỉång sai, âäü lãûch chuáøn, moment häùn håüp cáúp hai 27 Caïc trë trung bỗnh theo thồỡi gian cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión laỡ: giaù trở trung bỗnh, giaù trở quỏn phổồng, giaù trë qn phỉång gäúc hay l trë hiãûu dủng 28 Nóỳu xeùt quaù trỗnh ngỏựu nhión ồớ hai thồỡi âiãøm cạch mäüt khon l τ ta cọ hm tæû T/2 tæång quan: R ( τ) = ξ ( t )ξ ( t + τ) = lim ξ ( t )ξ i ( t + τ)dt i i i T →∞ T ∫ i −T / 29 Quaù trỗnh ngỏựu nhión goỹi laỡ dổỡng nóỳu caùc haỡm phán bäú xạc sút khäng thay âäøi âäúi våïi sỉû di chuøn báút k ca thåìi gian Lục âọ, PDF cáúp khäng phủ thüc vo thåìi gian, PDF cáúp chè phủ thüc vo hiãûu thåìi gian t − t = τ , k vng toạn, moment cáúp 2, phỉång sai, lãûch chøn âãưu l hàịng säú, moment häùn håüp cáúp laì haìm mäüt biãún 30 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng goỹi laỡ dổỡng ergodic nóỳu tỏỳt caớ caùc trở trung bỗnh theo thồỡi gian cuớa mọỹt thóứ hióỷn bỏỳt kyỡ bũng vồùi trở trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp tổồng ổùng 31 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng laỡ quaù trỗnh ngỏựu nhión chố dỉìng âãún cáúp hai 32 Âënh nghéa PSD ca tên hiãûu xạc âënh cọ thãø måí räüng sang cho quạ trỗnh ngỏựu nhión Coù thóứ tờnh õổồỹc cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh tổỡ PSD nhổ sau: P = ξ ( t ) = ∫ P (f) df −∞ 33 Thäng thỉåìng PSD âỉåüc tỉì hm tỉû tổồng quan cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión theo õởnh lyù Wiener -Khintchine - 43 -