Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính

nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển cácngành khoa học khác, trong đó có vật lý học Tính chất cơ bản của vật lý học

là tính thực nghiệm Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng củavật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý Nó là sự giao thoagiữa toán học và vật lý học

Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyếtgần như trọn vẹn Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng củanhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực Cùng với điều đó là sựphát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu Dẫn tới sự ra đờicủa một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết

Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mốiquan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được Nó tìmđược những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiềuhiện tượng xét một cách tổng quát nhất

Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rấtphong phú và đa dạng Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngànhnhư: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tíchphân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinhviên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học kháctrong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của

họ sau khi ra trường

Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng

dụng của nó trong vật lý Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong

số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý Nó giúpchúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn Vì vậy khichọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toándùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng

2 Mục đích nghiên cứu

- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trongnghiên cứu vật lý

- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes

- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệtọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

- Vật lý lý thuyết

- Phương pháp giải tích toán học

- Đọc tài liệu và tra cứu

5 Cấu trúc khóa luận

Đề tài nghiên cứu gồm:

- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes

- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong

- Chương 3: Bài tập

PHẦN 2: NỘI DUNG

Chương 1

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES

1 GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG

1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)

Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nóứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M) Cho một trường

vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộcvào từng điểm M của miền V Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:

u = f (M) = f (x, y, z)

Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó Tại mỗi

điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểmnày

Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z) Nếu hàm vô hướng u = f (M) củatrường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng Nếu f còn phụ thuộc

cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t) Đểbiểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức Tập hợp tất

cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mứctương ứng với số C Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C cácgiá trị khác nhau ta có họ mặt mức

Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặtphẳng x + y + z = 1 Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2 Đốivới trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa

độ, ví dụ đối với trường 2 2 2

Giả sử M và M1 là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cung

1

MM , S lấy dấu + nếu điểm M1 đứng sau điểm M

và lấy dấu - nếu điểm M1đứng trước điểm M.

Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo

cung M M1 là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch

chuyển từ M đến M1) và độ dài cungS, tức bằng:

trong đó   là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các

đểm M1 và các trục toạ độ Đạo hàm theo đường cong tại điểm M1 không phụthuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến

M1M

L

H.1.1





1.2 Gradien của trường vô hướng

Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướngvectơ 

ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất Như vậy gradu là

vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất

Ví dụ 1: Cho trường vô hướng u x y3 2

z

 xuất phát từ M (1, 2, 1) theo hướng nào hàm u tăng nhanh nhất.

Đạo hàm theo hướng gradien, tức

Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z)

tại điểm M khác không Khi đó nó vuông góc với

đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt

mức u(x, y, z) = C, C là hằng số

Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l

nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi

nó chuyển động theo đường cong l, nên u 0

l





 Nhưng đạo hàm theo cung l

bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế u  0

Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm M0 với các đường cong nằm trong mặtmức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểmM0 Nếu M0có các toạ độ

Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic

2 2

z x y tại điểm M (2, 1, 5)

Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm 2 2

u z x   y Bởi vì:

b/ grad(uv) = u.gradv + v gradu (1.8)

1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien

Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ.Cho nên trong vật lý người ta

dùng phương pháp trong đó tính

một đại lượng vô hướng (không

đơn trị) một cách đơn giản hơn,

nhưng gradien của nó lại cho ta

một đại lượng vật lý thực dưới

dạng vectơ, đơn trị, có thể đo

được trên thực nghiệm Thí dụ,

trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng

E grad

là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm

2 DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ

2.1 Trường vectơ-đường vectơ

2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ

Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,trường từ hay trường điện như E grad



được nêu ở trên Để biểu diễn hìnhhọc trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian màtại mỗi điểm của nó vectơ A nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là cácđường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ Trong trường gradien A grad

             A P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , )                ( , , )                ( , , )              

Ta tiến hành như sau:

Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là

Chú ý: vì hàm (x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của

đường vectơ là không duy nhất

Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất

điểm đặt tại gốc toạ độ Khi đó các đường vectơ

là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống

vectơ trong trường này có dạng hình nón với

đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1)

2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt

2.1.2.1 Thông lượng

O z

x

y

H.2.1

Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A nào đó.

Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dươnghướng ngược lại của mặt là hướng âm Ta nói rằng mặt như vậy là mặt địnhhướng

Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơnày hướng từ âm sang dương là vectơn Vị trí của vectơ n phụ thuộc vào vịtrí điểm M trên mặt

Xét hàm f (M) = (A ,n) được xác định tại mọi điểm của mặt S

Nếu A Pi Q j Rk  

và các góc chỉ phương của vectơ n tương ứngbằng , ,  tức là: n cos  i cos  j cos k thì f(M) Pcos  Qcos  Rcos hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệubằng chữ :

Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng.

Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bênngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm

2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng

Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được địnhhướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thờigian

Ta xét trường hợp mặt kín S Nếu thông lượng qua S là mặt dương điềunày nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạnbởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó Ngược lại, nếu thông lượng

âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S

Ví dụ: Cho trường vectơ

2.2 Dive của trường vectơ

2.2.1 Dive của trường vectơ

Dive (divergen) của trường vectơ A

tại điểm M là giới hạn của tỉ sốthông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi

bề mặt này

lim S ( , )

V M

A n dS div A

trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì

lim S ( , ) lim S ( cos cos cos )

Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:

trên miền mà bề mặt này giới hạn Chú ý rằng công thứcnày chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div A liên tục trong miền V

Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ

tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ VậyF là trường hình ống trong miền G.

Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ

Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4πm, tỉ số thônglượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng

3

3

4 3

a a

2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive

Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng củatrường vectơ Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người

ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học

divD   

trong đó D 

là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do

3 ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ

3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến

là lưu thông của trường vectơ A theo chu tuyến

Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và l, mà còn

cả hướng của chu tuyến l Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay

3.2 Rota của trường

Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó Ta xét trường vectơ              A Pi Q j Rk                                            

trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc

S và trong lân cận của điểm M Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao

quanh điểm M rồi chọn hướng xác định trên

chu tuyến này và tính   Adl .

Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện

tích  của bề mặt S được giới hạn bởi chu

tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung

σ l

M

o

H.3.1

Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ nvà vectơ

có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường

đã cho do đó rota lập thành trường vectơ mới

Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:

Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với

vận tốc góc không đổi  0quanh trục Oz

Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức:

A  0yi  0x j

Do đó

vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của

rotA của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l.

3.4 Ý nghĩa vật lý của rota

Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từquan trọng như rota của thông lượng của trường từ H thì sinh ra dòng điệnvới mật độ j

rot H j

 

(3.10)còn rota của thông lượng trường điện E thì sinh ra sự biến thiên của vectơcảm ứng từ B theo thời gian

4 CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA

4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không

Thật vậy, nếu A ai b j ck  

trong đó a, b, c là hằng số thì div A a b c 0

rot A  0 (4.2)

4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính

Điều này có nghĩa là nếu C A B

trong đóA,B là các trườngvectơ;  , là các hằng số thì

divC div A divB

Kết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan

trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô

hướng Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của trường vectơ Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc.

Trong nhiều bài toán để xác định vị trí của điểm M thay cho bộ ba số x,

y, z người ta dùng bộ ba số khácq1,q2,q3phù hợp và thuận tiện hơn với bàitoán đang xét Ngược lại, ta giả thiết một bộ ba sốq1,q2,q3ứng với một bánkính vectơ r, do đó ứng với một điểm M nào đó của không gian Các đạilượngq1,q2,q3được gọi là toạ độ cong của điểm M

Vì mỗi điểm M ứng với hệ toạ độq1,q2,q3do đó mỗi một toạ độ này làmột hàm của bán kính vectơ r

trong không gian sao cho trên tập nàyq1không đổi gọi là mặt tọa độq1 Tương

tự ta có mặt tọa độq2, q3

Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ q1thay đổi (còn tọa

độ q2,q3 không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ Hiển nhiên giao tuyếncủa hai mặtq2vàq1cho ta đường tọa độq3

1.2 Các ví dụ

Hai hệ tọa độ cong hay dùng nhất là hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

a/ Hệ tọa độ trụ

Vị trí của 1 điểm được xác định bởi q1  , q2  , q3 z (H.1.2)

Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ đề các vuông góc:cos

Mặt q 3

Đường q 1

Khoảng biến thiên   0;0    2 ;      z

Đường rlà nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O

Đường là kinh tuyến trên mặt cầu

Đường là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu

1.3 Hệ tọa độ cong trực giao

Hệ tọa độ cong mà các đường tọa độ vuông góc với nhau theo từng đôimột tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao Trong các ví dụ trên,

hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu đều là các hệ tọa độ cong trực giao

Trong không gian cho điểm M nào đó,

gọii(i=1, 2, 3) là các vectơ đơn vị tiếp

xúc tại điểm này với các đường tọa độ q i

và hướng theo chiều tăng của các đường tọa độ q i

Ta nhận thấy rằng trong hệ tọa độ Descartes hướng của các véc tơi

không phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ tọa độ cong, ba véctơ đơn vị

trực giao e e e  1 , , 2 3 phụ thuộc vào các vị trí của M

Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ q i C i và hướngtheo chiều tăng của q ilàe i

Trong hệ tọa độ cong trực giao thì i

 (i=1, 2, 3) e1có phương tiếp tuyến với các đường tọa độ và có chiều theo

chiều tăng của các tọa độq ilấy số gia của bán kính vectơ r 1





, do đó

Đại lượng này xác định vận tốc biến thiên của bán kính vectơ dọc theo

đường tọa độq1 Hệ số h1chỉ độ lớn của vectơ

1

r q

Hệ số lame trong hệ tọa độ đề các

1.5 Điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao

Từ định nghĩa hệ tọa độ cong trực giao, ta có: ij

1 ( , )