Đáp án đề thi cuối học kỳ III năm học 2015-2016 môn Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace cung cấp cho người đọc nội dung đề thi và bài giải chi tiết 13 câu hỏi trong đề thi. Đề thi giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn.
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0001 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Cho số phức z = 10 -9i i + e Khi đó: 3i A) Rez = + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 10 + cos9, Imz = -sin9 C) Rez = + cos9, Imz = 2+sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E z : z z 3i , F z : z 6i 4 Khaúng định sau sai? A) Tập E không bị chặn C) Tập F hình tròn đóng tâm 2-6i bán kính B) Tập F tập bị chặn D) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối 3i với Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) hình trịn mở D z : z zo r hàm f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục miền D hàm u(x,y), v(x,y) liên tục miền D C) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D D) Nếu hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) không khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) không khả vi miền D z Câu Hàm phức f(z) = = u + iv có phần thực phần ảo là: z z 9x 9y ,v= 2 x y x y2 9x 7y B) u = ,v= 2 x y x y2 A) u = 9x 9y ,v= 2 x y x y2 C) u = D) kết khác Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) vaø lim f ( z ) , lim( z a) m f ( z ) A z a z a (với A ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z 3i cực điểm cấp hàm f ( z ) C) e z 10 z e z 10 z Re s dz = i ( z 3i ) ,3i ( z i ) z 4i e z 10 z ( z 3i ) Câu Để giải phương trình tích phaân: y(t)= e D) 5 t e z 10 z dz = 2i (e3i 10) ( z 3i ) z 3 t -10 y (u ) cos 3(t u )du ta làm sau: p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 5t -10y(t)*cos3t Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L y(t) = L [ e 5t ] -10 L [y(t)*cos3t] -1- p dụng công thức Borel ta Y= p 1 - 10L y(t) L cos3t Y = -10Y p5 p5 p 9 p2 ( p 1)( p 9)( p 5) C A B Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p 1 p p Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Aet Be9t Ce 5t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quaû sai Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A)Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) = cos 2t B)Neáu f (t ) t 0 C) L f (u )du t t 2 F ( p) p 1 e Tp T pt f (t )dt e 1 e 2p t 3u p3 e ch udu D) L 0 p(( p 3) 4) f(t+2) = f(t) L f(t) = 2π e pt cos 2tdt Câu Trong mặt phẳng phức cho hàm số u ( x, y ) 10 xy x , v( x, y ) y x y Khẳng định sau đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa C) u, v điều hịa khơng hàm điều hòa liên hợp B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hòa, u khơng điều hịa Câu Cho phương trình vi phaân: y '8 y = u (t )e3(t ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 10 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t) Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY 8Y = e p +10 p3 e p 10 Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= + ( p 3)( p 8) p 8 Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết ñuùng (2) (3) p 1 10 + e p 8 p 3 p 8 ( t ) 3( t e e u (t ) +10 e8t C)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu 10 Giả sử L f(t) = F(p), L g(t) = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) C) L [8t t e 3t 10 p D) L p 64 10ch8t sh8t 4! sin 5t ] p ( p 3) p 25 -1 PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) p Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm F ( p ) e quanh điểm bất thường cô lập p -2- Dựa vào kết khai triển tìm gốc hàm ảnh F ( p ) tính tích phân I (e z 1)dz z i 5 Caâu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'5 y với điều kiện x(0) = y(0) = 3t x y '4 y e Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '8 y '7 y sin 3t với điều kiện y (0) y ' (0) b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0001 Giám thị Giám thị Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0010 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A)Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) = B)Neáu f (t ) cos 2t t 1 e Tp T pt f (t )dt e f(t+2) = f(t) L f(t) = t 2 e 2p t 3u p3 t F ( p) e ch udu C) L f (u )du D) L p(( p 3) 4) p 0 2π e pt cos 2tdt Câu Trong mặt phẳng phức cho hàm số u ( x, y ) 10 xy x , v( x, y ) y x y Khẳng định sau đúng? A) u điều hòa, v khơng điều hịa C) u, v điều hịa khơng hàm điều hòa liên hợp B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu Cho phương trình vi phaân: y '8 y = u (t )e3(t ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 10 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t) e p Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY 8Y = +10 p3 Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e p 10 + ( p 3)( p 8) p 8 Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết (2) (3) p 1 10 + e p 8 p 3 p 8 ( t ) 3( t e e u (t ) +10 e8t C)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu Giả sử L f(t) = F(p), L g(t) = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) 4! 2 p ( p 3) p 25 10 -9i Câu Cho số phức z = i + e Khi đó: 3i C) L [8t t 4e 3t sin 5t ] A) Rez = + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = + cos9, Imz = 2+sin9 10 p D) L -1 p 64 10ch8t sh8t C) Rez =10 + cos9, Imz = -sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 Caâu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E z : z z 3i , F z : z 6i 4 Khẳng định sau sai? -1- A) Tập E không bị chặn B) Tập F tập bị chặn C) Tập F hình tròn đóng tâm 2-6i bán kính D) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối 3i với Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) hình trịn mở D z : z zo r hàm f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục miền D hàm u(x,y), v(x,y) liên tục miền D C) Nếu hàm u(x,y) không điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D D) Nếu hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) không khả vi miền D z Câu Hàm phức f(z) = = u + iv có phần thực phần ảo là: z z 9x 9y ,v= 2 x y x y2 9x 7y B) u = ,v= 2 x y x y2 A) u = 9x 9y ,v= 2 x y x y2 C) u = 2 D) kết khác Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) , lim( z a) m f ( z ) A z a z a (với A ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z 3i cực điểm cấp hàm f ( z ) C) e z 10 z e z 10 z Re s dz = i ( z 3i ) ,3i ( z 3i)2 z 4i e z 10 z ( z 3i ) D) e z 10 z dz = 2i (e3i 10) ( z i ) z 3 t Caâu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e 5t -10 y (u ) cos 3(t u )du ta làm sau: p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 5t -10y(t)*cos3t Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L y(t) = L [ e 5t ] -10 L [y(t)*cos3t] p dụng công thức Borel ta Y= p 1 - 10L y(t) L cos3t Y = -10Y p5 p5 p 9 p2 ( p 1)( p 9)( p 5) C A B Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p 1 p p Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Aet Be9t Ce 5t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) p Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm F ( p ) e quanh điểm bất thường cô lập p -2- Dựa vào kết khai triển tìm gốc hàm ảnh F ( p ) tính tích phân I (e z 1)dz z i 5 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'5 y với điều kiện x(0) = vaø y(0) = 3t x y '4 y e Caâu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '8 y '7 y sin 3t với điều kiện y (0) vaø y ' (0) b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết ( t ) 3( t e e u (t ) +10 e8t C)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu Giả sử L f(t) = F(p), L g(t) = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) 10 p 4! 2 p ( p 3) p 25 10 -9i Câu Cho số phức z = i + e Khi đó: 3i D) L -1 p 64 10ch8t sh8t C) L [8t t 4e 3t sin 5t ] A) Rez = + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 10 + cos9, Imz = -sin9 C) Rez = + cos9, Imz = 2+sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E z : z z 3i , F z : z 6i 4 Khẳng định sau sai? A) Tập E không bị chặn C) Tập F hình tròn đóng tâm 2-6i bán kính B) Tập F tập bị chặn D) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối 3i với Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) hình trịn mở D z : z zo r hàm f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục miền D hàm u(x,y), v(x,y) liên tục miền D C) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D D) Nếu hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) không khả vi miền D z Câu Hàm phức f(z) = = u + iv có phần thực phần ảo là: z z 9x 9y ,v= 2 x y x y2 9x 7y B) u = ,v= 2 x y x y2 A) u = 9x 9y ,v= 2 x y x y2 C) u = 2 D) kết khác Câu 10 Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) , lim( z a) m f ( z ) A z a z a (với A ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z 3i cực điểm cấp haøm f ( z ) C) e z 10 z e z 10 z Re s dz = i ( z 3i ) ,3i ( z i ) z 4i e z 10 z ( z 3i ) D) e z 10 z dz = 2i (e3i 10) ( z 3i ) z 3 PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) p Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm F ( p ) e quanh điểm bất thường cô lập p -2- Dựa vào kết khai triển tìm gốc hàm ảnh F ( p ) tính tích phân I (e z 1)dz z i 5 Caâu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'5 y với điều kiện x(0) = y(0) = 3t x y '4 y e Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '8 y '7 y sin 3t với điều kiện y (0) vaø y ' (0) b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời soáng G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0011 Giám thị Giám thị Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 2016-0003-1008-0304-1000 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Trong mặt phẳng phức cho hàm số u ( x, y ) 10 xy x , v( x, y ) y x y Khẳng định sau đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa C) u, v điều hịa khơng hàm điều hịa liên hợp B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) , lim( z a) m f ( z ) A z a z a (với A ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z 3i cực điểm cấp haøm f ( z ) C) e z 10 z e z 10 z Re s dz = i ( z 3i ) ,3i ( z 3i)2 z 4i e z 10 z ( z 3i ) D) e z 10 z dz = 2i (e3i 10) ( z i ) z 3 t Câu Để giải phương trình tích phaân: y(t)= e 5t -10 y (u ) cos 3(t u )du ta làm sau: p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 5t -10y(t)*cos3t Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L y(t) = L [ e 5t ] -10 L [y(t)*cos3t] p dụng công thức Borel ta Y= p 1 - 10L y(t) L cos3t Y = -10Y p5 p5 p 9 p2 ( p 1)( p 9)( p 5) C A B Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p 1 p p Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Aet Be9t Ce 5t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A)Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) = B)Nếu f (t ) cos 2t t 1 e Tp T pt f (t )dt e f(t+2) = f(t) L f(t) = t 2 e 2p t 3u p3 t F ( p) e ch udu C) L f (u )du D) L p(( p 3) 4) p 0 -1- 2π e pt cos 2tdt Câu Cho phương trình vi phân: y '8 y = u (t )e3(t ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 10 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t) Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY 8Y = Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e p +10 p3 e p 10 + ( p 3)( p 8) p 8 Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết (2) (3) p 1 10 + e p 8 p 3 p 8 ( t ) 3( t e e u (t ) +10 e8t C)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết quaû sai Câu Giả sử L f(t) = F(p), L g(t) = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) 10 p 4! 2 p ( p 3) p 25 10 -9i Caâu Cho số phức z = i + e Khi đó: 3i D) L -1 p 64 10ch8t sh8t C) L [8t t 4e 3t sin 5t ] A) Rez = + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = + cos9, Imz = 2+sin9 C) Rez =10 + cos9, Imz = -sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E z : z z 3i , F z : z 6i 4 Khaúng định sau sai? A) Tập E không bị chặn C) Tập F hình tròn đóng tâm 2-6i bán kính B) Tập F tập bị chặn D) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối 3i với Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) hình trịn mở D z : z zo r hàm f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục miền D hàm u(x,y), v(x,y) liên tục miền D C) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D D) Nếu hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) không khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) không khả vi miền D z Câu 10 Hàm phức f(z) = = u + iv có phần thực phần ảo là: z z 9x 9y ,v= 2 x y x y2 9x 7y B) u = ,v= 2 x y x y2 A) u = C) u = 9x 9y ,v= 2 x y x y2 D) kết khác PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm F ( p ) e p quanh điểm bất thường cô lập p -2- Dựa vào kết khai triển tìm gốc hàm ảnh F ( p ) tính tích phân I (e z 1)dz z i 5 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'5 y với điều kiện x(0) = vaø y(0) = 3t x y '4 y e Caâu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '8 y '7 y sin 3t với điều kiện y (0) vaø y ' (0) b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 2016-0003-1008-0304-1000 Giám thị Giám thị Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 9/8/2016) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 2016-0003-1008-0304-1000 Câu hỏi 10 Trả lời B D B B A C A C D C Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0001 Câu hỏi 10 Trả lời A C D C D B B B A C Maõ đề: 2016-0003-1008-0304-0010 Câu hỏi 10 Trả lời B B A C A C D C D B Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0011 Câu hoûi 10 Trả lời B B B A C A C D C D BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Nội dung Câu hỏi Câu 11 Điểm 1,5 điểm Khai triển Laurent Ta coù: e p = n 0 ( 2p ) n n! = 2n n n 0 n! p 2n = n n 1 n! p F ( p) e p = = 0,25ñ 0 Phần 22 23 p 2! p 3! p Phần Vì phần có vô số số hạng nên p điểm bất thường cốt yếu -1- 0,25đ Tìm gốc F ( p ) : F ( p ) 2n n (n 1)! n ( n 1) 1 n 1 n! p n 1 n!( n 1)! p L [ F ( p )] L 1 1 2n (n 1)! n t n 1 ( n 1) 1 n 1 n!(n 1)! p n 1 n!(n 1)! 0,5ñ z Tính tích phân: Vì hàm số f (z ) e giải tích \ 0 đường tròn z i bao quanh điểm bất thường cô lập z nên áp dụng thặng dư ta I (e z z 1)dz = i Re s[e 1,0] = 2i 4i z i 5 Caâu12 0,5đ 1,5đ Đặt X L x, Y L y; biến đổi Laplace hai vế ta được: L x 5L y L 3 3t L x L y 4L y L e pX Y p X ( p 4)Y p3 p p 36 A B X p ( p 3)( p 1)( p 5) p p p2 3p E F Y p ( p 3)( p 1)( p 5) p p C p 1 G p 1 D p5 H p5 Biến đổi ngược hai vế ta được: 1 L [ A B x 1 x L [X ] p 1 y L [ Y ] y L 1 [ E F p C p3 G p3 0.5ñ 1 D ] p 1 p5 1 H ] p 1 p5 x A Be 3t Ce t De 5t 3t t 5t y E Fe Ge He 0.5đ 0.5đ Tìm A, B, C , D dựa vào p p 36 A B C D p ( p 3)( p 1)( p 5) p p p p A 36 12 (3) 8(3) 36 , B , (0 3)(0 1)(0 5) (3)(3 1)(3 5) 16 C 3(1) (1) 36 25 3(5) 8(5) 36 , D (1)(1 3)(1 5) 12 5(5 3)(5 1) 240 -2- Tìm E , F , G, H dựa vào p2 3p E F G H p ( p 3)( p 1)( p 5) p p p p E 02 (3) (3) ,F , (0 3)(0 1)(0 5) (3)(3 1)(3 5) 16 G (1) (1) 52 , H (1)(1 3)(1 5) 12 5(5 3)(5 1) 240 Caâu 13 2đ Đặt Y Y ( p ) = L y(t ) Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: p 2Y py (0) y ' (0) 8 pY y (0) 7Y = L 2 sin 3t Y ( p p 7) Y 0.5ñ 1 p p 9 p p 12 p 18 p ( p 1)( p 7)( p 9) 0.25đ Phân tích thành phân thức đơn giản p p 12 p 18 (*) A B C Dp 3E Y p ( p 1)( p 7)( p 9) p p p p 9 0.25đ Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta y (t ) L 1 [Y ] = L 1 [ A 1 p B C D E ] p p 1 p7 p 9 p 9 y (t ) A Be t Ce 7 t D cos 3t E sin 3t 0.5đ Tìm A, B, C , D, E dựa vào đẳng thức: p p 12 p 18 (*) A B C Dp 3E 2 p ( p 1)( p 7)( p 9) p p p p 9 A C 12 18 (1) (1) 12 (1) 18 , B 2 60 (0 1)(0 7)(0 9) (1)(1 7)((1) 9) (7) (7) 12 (7) 18 311 2436 (7)(7 1)((7) 9) -3- Từ đẳng thức (*) 33 A B C D 3E 160 1 1 A B C D 3E p 2 : 65 (2) Cho Cho p 1: Thay A , B D 311 vào hệ giải tìm D, E ta ,C 60 2436 ,E 145 290 Vậy nghiệm phương trình vi phân y (t ) t 311 7 t e e cos 3t sin 3t 60 2436 145 290 b) Cách giải tổng quát sau: y (t ) A Be t Ce 7 t D cos 3t E sin 3t Vì lim ( Be t Ce 7 t ) nên sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương t 0.5đ trình vi phân y (t ) A D cos 3t E sin 3t A D E ( Đặt sin D D2 E , cos D D2 E cos 3t D D2 E sin 3t ) D D2 E y (t ) A D E (sin cos 3t cos sin 3t ) A D E sin(3t ) Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , xấp xỉ dao động điều hịa theo thời gian t có biên độ dao động điểm cân có tọa độ y o A *** HEÁT*** -4- D E quanh ... Bộ môn Toán -3 - -4 - -5 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 201 5-2 016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 201 6-0 00 3-1 00 8-0 30 4-0 001 Giám... Bộ môn Toán -3 - -4 - -5 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 201 5-2 016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 201 6-0 00 3-1 00 8-0 30 4-0 010 Giám... Bộ môn Toán -3 - -4 - -5 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 201 5-2 016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 201 6-0 00 3-1 00 8-0 30 4-0 011 Giám