Đáp án đề thi cuối học kỳ I năm học 2018-2019 môn Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace gồm 13 bài tập kèm đáp án nhằm giúp người học ôn tập và củng cố kiến thức, giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian: 90 phút (26/12/2018) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0000 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) 17 i 2019 + e6-5i Khi đó, phần thực phần ảo z là: 4i A) Re z e cos , Im z e sin C) Re z e cos , Im z 2 e sin B) Re z e cos , Im z e sin D) Re z e cos , Im z e sin Câu Cho số phức z = Câu Với điều kiện a, b a b , xét biểu diễn hình học số phức (trên mặt phẳng phức): z5 (a ib)e 10 i zo a ib , z1 (a ib)e , z6 (a ib)e 12 i 2 i 4 6 i 8 i i , z (a ib)e , z3 (a ib)e , z (a ib)e , Khẳng định sau sai? A) z1 , z , z3 , z , z5 có biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh hình ngũ giác B) zo , z1 , z , z3 , z có biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh năm cánh C) zo , z1 , z2 , z3 , z4 , z5 có biểu diễn hình học thuộc đường trịn tâm gốc tọa độ O (0,0) D) z1 , z , z3 , z , z5 , z có biểu diễn hình học tương ứng với sáu đỉnh lục giác Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? t 5u p5 e ch udu B) L 0 p[( p 5) 9] t F ( p) A) L f (u ) du p 0 1 e Tp C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T F(p) = L f(t) = sin 5t t f(t+3) = f(t) L f(t) = t 3 0 3p D)Neáu f (t ) e π T pt f (t )dt e pt sin 5tdt e = u iv z A) Đường tròn u v C) Đường tròn u v 25 B) Đường tròn u v D) Đường thẳng u v Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y ) 18 xy y v( x, y ) y x x Khẳng định sau đúng? A) u, v điều hịa khơng hàm điều hịa liên hợp C) u điều hịa, v khơng điều hòa B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f (z ) vaø lim f ( z ) , lim( z a )m f ( z ) A Câu Ảnh đường tròn x y qua phép biến hình w = za (với A ) a cực điểm cấp m hàm f (z ) B) z 5i cực điểm cấp hàm f ( z ) eiz z ( z 5i ) -1- z a C) eiz z eiz z dz i Re s [ ,5i ] ( z 5i) ( z 5i ) z 3i Câu Hàm phức f(z) = eiz z dz = 2i (ie 5 5) ( z 5i ) z 3i 6 z = u + iv có phần thực phần ảo là: z z2 9x 9y ,v= 2 x y x y2 9x 7y B) u = ,v= 2 x y x y2 A) u = D) 9x 9y ,v= 2 x y x y2 C) u = D) kết khác t Câu Để giải phương trình tích phân: y(t)= e 6t -10 y (u ) cos 3(t u )du ta laøm sau: p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 6t -10y(t)*cos3t Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L y(t) = L [ e 6t ] -10 L [y(t)*cos3t] Aùp duïng công thức Borel ta Y= p 1 - 10L y(t) L cos3t Y = -10Y p6 p6 p 9 p2 ( p 1)( p 9)( p 6) A B C Phaân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p 1 p p Giaûi phương trình với Y ẩn ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghieäm : y(t) = Ae t Be 9t Ce 6t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phân (1) di (t ) + R i (t ) E (t ) với i(0) = R, L số dương dt Trường hợp E (t ) Eo cos 5t với Eo const cần giaûi L phương trình vi phân để tìm i(t ) ta làm sau: di (t ) Đặt I = I(p) = L i(t ) L = L i' (t ) = pI-i(0) = pI dt Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1) ta được: LpI +RI = Giải (2) tìm I ta được: I = pEo p 25 Eo p L ( p 25)( p R ) L (2) (3) E Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: I = o L số bất định mà chưa tìm -2- Ap B C (4),với A, B, C p 25 p R L Rt L A cos 5t B sin 5t Ce C)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai E Biến đổi Laplace ngược hai vế (4) ta được: i (t ) = L I o L -1 A)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu 10 Cho phương trình vi phân: y '8 y = u (t 2 )e 3(t 2 ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t) e 2p Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY 8Y = +2 (2) p3 Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e 2p + ( p 3)( p 8) p8 Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai (3) 2p 1 + e p p 8 p 8 3( t 2 ) e e 8(t 2 u (t 2 ) +2 e 8t C)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm F ( p) e p quanh điểm bất thường cô lập p Dựa vào kết khai triển tìm gốc hàm ảnh F ( p) tính tích phân I (e z 1)dz z i 6 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'8 y , điều kiện x(0)= y(0) = 5t x y '9 y e Câu 13 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '8 y '15 y e 2t sin 3t với điều kiện y (0) y ' (0) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định vị trí cân biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu câu 11 Câu 8, 9, 10,12,13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân, phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân ứng dụng vào đời soáng G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 23 tháng 12 năm 2018 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (26/12/2018) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0000 Giám thị Họ, tên sinh viên: Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian: 90 phút (26/12/2018) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0001 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Hàm phức f(z) = z = u + iv có phần thực phần ảo là: z z2 9x 9y 9x 9y ,v= C) u = ,v= 2 2 x y x y x y x y2 9x 7y D) kết khác B) u = ,v= 2 x y x y2 17 6-5i i 2019 + e Khi đó, phần thực phần ảo z là: Câu Cho số phức z = 4i A) Re z e cos , Im z e sin C) Re z e cos , Im z 2 e sin B) Re z e cos , Im z e sin D) Re z e cos , Im z e sin A) u = Caâu Với điều kiện a, b a b , xét biểu diễn hình học số phức (trên mặt phẳng phức): z5 (a ib)e 10 i zo a ib , z1 (a ib)e , z6 (a ib)e 12 i 2 i 4 6 i i 8 i , z (a ib)e , z3 (a ib)e , z (a ib)e , Khẳng định sau sai? A) z1 , z , z3 , z , z5 có biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh hình ngũ giác B) zo , z1 , z , z3 , z có biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh năm cánh C) zo , z1 , z2 , z3 , z4 , z5 có biểu diễn hình học thuộc đường trịn tâm gốc tọa độ O (0,0) D) z1 , z , z3 , z , z5 , z có biểu diễn hình học tương ứng với sáu đỉnh lục giác = u iv z A) Đường tròn u v C) Đường tròn u v 25 B) Đường tròn u v D) Đường thẳng u v Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y ) 18 xy y v( x, y ) y x x Khẳng định sau đúng? A) u, v điều hòa khơng hàm điều hịa liên hợp C) u điều hịa, v khơng điều hịa B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hòa, u khơng điều hịa Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f (z ) lim f ( z ) , lim( z a )m f ( z ) A Câu Ảnh đường tròn x y qua phép biến hình w = za z a (với A ) a cực điểm cấp m hàm f (z ) B) z 5i cực điểm cấp hàm f ( z ) C) eiz z ( z 5i ) eiz z eiz z dz i Re s [ ,5i ] ( z 5i) ( z 5i ) z 3i D) eiz z dz = 2i (ie 5 5) ( z i ) z 3i 6 Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? -1- t 5u p5 e ch udu B) L 0 p[( p 5) 9] t F ( p) A) L f (u ) du p 0 C) Neáu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T F(p) = L f(t) = 1 e Tp sin 5t t vaø f(t+3) = f(t) L f(t) = t 3 0 3p D)Neáu f (t ) e π T pt f (t )dt e pt sin 5tdt e Caâu Cho phương trình vi phân: y '8 y = u (t 2 )e 3(t 2 ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t) e 2p Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY 8Y = +2 (2) p3 Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e 2p + p 8 ( p 3)( p 8) Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết (3) 2p 1 + e p p 8 p 8 3( t ) e e 8(t 2 u (t 2 ) +2 e 8t C)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai t Câu Để giải phương trình tích phân: y(t)= e 6t -10 y (u ) cos 3(t u )du ta làm sau: p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 6t -10y(t)*cos3t Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L y(t) = L [ e 6t ] -10 L [y(t)*cos3t] p dụng công thức Borel ta Y= p 1 - 10L y(t) L cos3t Y = -10Y p6 p6 p 9 p2 ( p 1)( p 9)( p 6) A B C Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p 1 p p Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t Be 9t Ce 6t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu 10 Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phaân (1) di (t ) + R i (t ) E (t ) với i(0) = R, L số dương dt Trường hợp E (t ) Eo cos 5t với Eo const cần giải L phương trình vi phân để tìm i(t ) ta làm sau: di (t ) Đặt I = I(p) = L i(t ) L = L i' (t ) = pI-i(0) = pI dt -2- Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1) ta được: LpI +RI = Giải (2) tìm I ta được: I = pEo p 25 (2) Eo p L ( p 25)( p R ) L (3) E Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: I = o L Ap B C (4),với A, B, C p 25 p R L số bất định mà chưa tìm Rt L A cos 5t B sin 5t Ce C)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai E Biến đổi Laplace ngược hai vế (4) ta được: i (t ) = L I o L -1 A)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) p Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm F ( p) e quanh điểm bất thường cô lập p Dựa vào kết khai triển tìm gốc hàm ảnh F ( p) tính tích phân I (e z 1)dz z i 6 Caâu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'8 y , điều kiện x(0)= y(0) = 5t x y '9 y e Caâu 13 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phaân y ' '8 y '15 y e 2t sin 3t với điều kiện y (0) vaø y ' (0) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định vị trí cân biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu câu 11 Câu 8, 9, 10,12,13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân, phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 23 tháng 12 năm 2018 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- t 5u p5 e ch udu B) L 0 p[( p 5) 9] t F ( p) A) L f (u ) du p 0 C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T F(p) = L f(t) = 1 e Tp sin 5t t vaø f(t+3) = f(t) L f(t) = t 3 0 3p D)Neáu f (t ) e π T pt f (t )dt e pt sin 5tdt e Caâu Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phaân (1) di (t ) + R i (t ) E (t ) với i(0) = R, L số dương dt Trường hợp E (t ) Eo cos 5t với Eo const cần giải L phương trình vi phân để tìm i(t ) ta làm sau: di (t ) Đặt I = I(p) = L i(t ) L = L i' (t ) = pI-i(0) = pI dt Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1) ta được: LpI +RI = Giải (2) tìm I ta được: I = pEo p 25 (2) Eo p L ( p 25)( p R ) L (3) E Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: I = o L Ap B C (4),với A, B, C p 25 p R L số bất định mà chưa tìm Rt L A cos 5t B sin 5t Ce C)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai E Biến đổi Laplace ngược hai vế (4) ta được: i (t ) = L I o L -1 A)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Cho phương trình vi phân: y '8 y = u (t 2 )e 3(t 2 ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t) e 2p Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY 8Y = +2 (2) p3 Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e 2p + p 8 ( p 3)( p 8) Phaân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai (3) 2p 1 + e p p 8 p 8 3( t 2 ) e e 8(t 2 u (t 2 ) +2 e 8t C)Caùch làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai -2- t Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e 6t -10 y (u ) cos 3(t u )du ta làm sau: p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 6t -10y(t)*cos3t Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L y(t) = L [ e 6t ] -10 L [y(t)*cos3t] p dụng công thức Borel ta Y= p 1 - 10L y(t) L cos3t Y = -10Y p6 p6 p 9 p2 ( p 1)( p 9)( p 6) A B C Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p 1 p p Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t Be 9t Ce 6t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) p Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm F ( p) e quanh điểm bất thường cô lập p Dựa vào kết khai triển tìm gốc hàm ảnh F ( p) tính tích phân I (e z 1)dz z i 6 Caâu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'8 y , điều kieän x(0)= y(0) = 5t x y '9 y e Câu 13 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '8 y '15 y e 2t sin 3t với điều kiện y (0) vaø y ' (0) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định vị trí cân biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu câu 11 Câu 8, 9, 10,12,13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân, phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 23 tháng 12 năm 2018 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (26/12/2018) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0010 Giám thị Họ, tên sinh viên: Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian: 90 phút (26/12/2018) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0011 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ôû trang 6) Caâu Với điều kiện a, b a b , xét biểu diễn hình học số phức (trên mặt phẳng phức): z5 (a ib)e 10 i zo a ib , z1 (a ib)e , z6 (a ib)e 12 i 2 i , z (a ib)e 4 i , z3 (a ib)e 6 i , z (a ib)e 8 i , Khẳng định sau sai? A) z1 , z , z3 , z , z5 có biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh hình ngũ giác B) zo , z1 , z , z3 , z có biểu diễn hình học tương ứng với năm đỉnh năm cánh C) zo , z1 , z2 , z3 , z4 , z5 có biểu diễn hình học thuộc đường tròn tâm gốc tọa độ O (0,0) D) z1 , z , z3 , z , z5 , z có biểu diễn hình học tương ứng với sáu đỉnh lục giác = u iv z A) Đường tròn u v C) Đường tròn u v 25 B) Đường tròn u v D) Đường thẳng u v Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y ) 18 xy y v( x, y ) y x x Khẳng định sau đúng? A) u, v điều hòa khơng hàm điều hịa liên hợp C) u điều hịa, v khơng điều hịa B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa z Câu Hàm phức f(z) = = u + iv có phần thực phần ảo là: z z Câu Ảnh đường tròn x y qua phép biến hình w = 9x 9y 9x 9y ,v= C) u = ,v= 2 2 x y x y x y x y2 9x 7y D) kết khác B) u = ,v= 2 x y x y 17 6-5i Câu Cho số phức z = i 2019 + e Khi đó, phần thực phần ảo z là: 4i A) Re z e cos , Im z e sin C) Re z e cos , Im z 2 e sin B) Re z e cos , Im z e sin D) Re z e cos , Im z e sin A) u = Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f (z ) lim f ( z ) , lim( z a )m f ( z ) A za z a (với A ) a cực điểm cấp m hàm f (z ) B) z 5i cực điểm cấp hàm f ( z ) C) eiz z ( z 5i ) eiz z eiz z dz i Re s [ ,5i ] ( z 5i) ( z 5i ) z 3i D) eiz z dz = 2i (ie 5 5) ( z i ) z 3i 6 Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? -1- t 5u p5 e ch udu B) L 0 p[( p 5) 9] t F ( p) A) L f (u ) du p 0 C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T F(p) = L f(t) = 1 e Tp sin 5t t f(t+3) = f(t) L f(t) = t 3 0 3p D)Neáu f (t ) e π T pt f (t )dt e pt sin 5tdt e t Câu Để giải phương trình tích phân: y(t)= e 6t -10 y (u ) cos 3(t u )du ta làm sau: p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e 6t -10y(t)*cos3t Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L y(t) = L [ e 6t ] -10 L [y(t)*cos3t] p dụng công thức Borel ta Y= p 1 - 10L y(t) L cos3t Y = -10Y p6 p6 p 9 p2 ( p 1)( p 9)( p 6) A B C Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p 1 p p Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t Be 9t Ce 6t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phân (1) di (t ) + R i (t ) E (t ) với i(0) = R, L số dương dt Trường hợp E (t ) Eo cos 5t với Eo const cần giải L phương trình vi phân để tìm i(t ) ta làm sau: di (t ) Đặt I = I(p) = L i(t ) L = L i' (t ) = pI-i(0) = pI dt Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1) ta được: LpI +RI = Giải (2) tìm I ta được: I = pEo p 25 Eo p L ( p 25)( p R ) L (2) (3) E Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: I = o L Ap B C (4),với A, B, C p 25 p R L số bất định mà chưa tìm E Biến đổi Laplace ngược hai vế (4) ta được: i (t ) = L I o L -1 -2- Rt L A cos 5t B sin 5t Ce A)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai C)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai Câu 10 Cho phương trình vi phân: y '8 y = u (t 2 )e 3(t 2 ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t) e 2p Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY 8Y = +2 p3 Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e 2p + p8 ( p 3)( p 8) Phaân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai (2) (3) 2p 1 + e p p 8 p 8 3( t 2 ) e e 8(t 2 u (t 2 ) +2 e 8t C)Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) p Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm F ( p) e quanh điểm bất thường cô lập p Dựa vào kết khai triển tìm gốc hàm ảnh F ( p) tính tích phân I (e z 1)dz z i 6 Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x'8 y , điều kiện x(0)= y(0) = 5t x y '9 y e Caâu 13 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '8 y '15 y e 2t sin 3t với điều kiện y (0) y ' (0) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định vị trí cân biên độ dao động Ghi chuù : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu câu 11 Câu 8, 9, 10,12,13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân, phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 23 tháng 12 năm 2018 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (26/12/2018) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0011 Giám thị Họ, tên sinh viên: Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 26/12/2018) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0000 Câu hỏi Trả lời B D B Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0001 Câu hỏi Trả lời A D B Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0010 Câu hỏi Trả lời A A C Mã đề: 0100-2612-2018-0100-0011 (*) 10 A A C A 0,5 -B C A A A C B A 10(*) A B D B C A 0,5-B 9(*) 10 0,5 -B C Câu hỏi 8(*) 10 Trả lời D A A A B C B 0,5-B C A (*) : Tất thi 0,5 điểm câu BAØI LAØM PHẦN TỰ LUẬN Câu hỏi Câu 11 Khai triển Laurent p Điểm Nội dung điểm 3n -1= n n 0 n! p Ta coù: F ( p) e = 0,5ñ 3n n n 1 3n (n 1)! 3n t n 1 1 L ( ) ] = [ ]= n pn n1 n! p n 1 n!( n 1)! n 1 n!( n 1)! n n! p L 1[ F ( p )] = L 1 [ 0,5đ Tính tích phân: Vì hàm số f (z ) e z giải tích \ 0 đường trịn z 2i bao quanh điểm bất thường cô lập z nên áp dụng thặng dư ta 0,5ñ I (e z 1)dz = i Re s[e z 1,0] = 2i 6i z 2i Câu 12 Đặt X L x, Y L y ; biến đổi Laplace hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta được: -1- 1,5đ pX 8Y L x L y L p 5t L x L y 9L y L e X ( p 9)Y p 5 0,5ñ p 20 p 90 A B X p ( p 5)( p 1)( p 8) p p p p 10 E F Y p ( p 5)( p 1)( p 8) p p C p 1 G p 1 D p 8 H p 8 0,25đ Biến đổi ngược hai vế ta được: 1 D C ] x L 1[ A B x L [X ] p p p p 1 1 1 y L [Y ] y L 1[ E F G H ] p p 5 p 1 p8 0,25ñ 1 5t t 0,5ñ 8t x A Be 5t Ce t De 8t y E Fe Ge He Tìm A, B, C , D dựa vào p 20 p 90 A B C D p ( p 5)( p 1)( p 8) p p p p A 20 90 , (0 5)(0 1)(0 8) B 52 20 90 (5)(5 1)(5 8) C (1) 20 (1) 90 18 (1)(1 5)(1 8) D (8) 20 (8) 90 29 (8)(8 5)(8 1) 84 , Tìm E , F , G, H dựa vào p2 p E F G H p ( p 5)( p 1)( p 8) p p p p E 10 , (0 5)(0 1)(0 8) F 52 10 (5)(5 1)(5 8) 12 G (1) (1) 10 (1)(1 5)(1 8) 28 H (8) (8) 10 29 (8)(8 5)(8 1) 84 Câu 13 2đ Đặt Y Y ( p ) = L y(t ) Bieán đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: p 2Y py (0) y ' (0) 8 pY y (0) 15Y = L e 2t sin 3t Y ( p p 15) p p2 p 9 -2- 0.5ñ Y p 11 p 51 p 72 p ( p )( p 3)( p )( p ) 0.5đ Phân tích thành phân thức đơn giản Y (*) A B C D Ep 3F p 11 p 51 p 72 2 p p2 p3 p5 p 9 p ( p )( p 3)( p 5)( p ) Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta y (t ) L 1 [Y ] = L 1[ A 1 1 p B C D E F ] p p2 p3 p5 p 9 p 9 y (t ) A Be 2t Ce 3t De 5t E cos 3t F sin 3t 0.5đ Tìm A, B, C , D, E , F dựa vào đẳng thức: (*) A B C D Ep 3F p 11 p 51 p 72 2 p p2 p3 p5 p 9 p ( p )( p 3)( p )( p ) A 03 11 02 51 72 (2)3 11 (2) 51 (2) 72 , B (0 2)(0 3)(0 5)(0 9) 15 (2)(2 3)(2 5)((2) 9) C (3)3 11 (3) 51 (3) 72 13 (3)(3 2)(3 5)((3) 9) 12 D (5)3 11 (5) 51 (5) 72 533 (5)(5 2)(5 3)((5) 9) 1020 Từ đẳng thức (*) cho p 1, p ta 13 11 12 51 72 A B C D E 3F 1(1 2)(1 3)(1 5)(1 9) 1 12 23 11 2 51 72 A B C D E 3F 2(2 2)(2 3)(2 5)(2 9) 2 2 22 Thay A 13 533 , B , C , D vào hai phương trình giải hệ với ẩn 15 12 1020 E, F ta được: E , F 51 102 Vậy nghiệm phương trình y (t ) 2t 13 3t 533 5t e e e cos 3t sin 3t 15 12 1020 51 102 b) Vì lim [ Be 2t Ce 3t De5t ] nên sau khoảng thời gian t đủ lớn t y (t ) A E cos 3t F sin 3t A E F ( E E F Đặt sin α E E F , cos α F E F2 -3- cos 3t F E F2 sin 3t ) 0.5ñ y (t ) A E F (sin cos 3t cos sin 3t ) A E F sin(3t ) Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t có biên độ dao động quanh điểm cân có tọa độ yo A 15 *** HEÁT*** -4- E2 F 17 102 ... tháng 12 năm 2018 Thông qua Bộ môn Toán -3 - -4 - -5 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 201 8-2 019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN Đ? ?I. .. tháng 12 năm 2018 Thông qua Bộ môn Toán -3 - -4 - -5 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 201 8-2 019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN Đ? ?I. .. tháng 12 năm 2018 Thông qua Bộ môn Toán -3 - -4 - -5 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 201 8-2 019 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI