Đáp án đề thi cuối học kỳ III năm học 2016-2017 môn Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

Đề thi cuối học kỳ III năm học 2016-2017 môn Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace giúp các bạn sinh viên có thêm tài liệu để củng cố các kiến thức, ôn tập kiểm tra, thi cuối kỳ. Đây là tài liệu bổ ích để các em ôn luyện và kiểm tra kiến thức tốt, chuẩn bị cho kì thi học kì. Mời các em và các quý thầy cô giáo bộ môn tham khảo.

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (8/8/2017) Được phép sử dụng tài liệu Đề thi gồm trang Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0001 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Caâu Với điều kiện a, b   a  b  , xét biểu diễn hình học số phức (trên mặt phẳng phức): zo  a  ib , z1  ( a  ib)e i π , z2  (a  ib)e i 2π , z3  (a  ib)e i 3π Khẳng định sau đúng? A) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh hình vng B) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh hình chữ nhật C) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học ba đỉnh tam giác zo  z3 D) zo , z1 , z2 , z3 thẳng hàng 2+3i  i 2017 + e Khi đó, phần thực phần ảo z là: 2i C) Re z   cos , Im z  sin A) Re z   e cos , Im z  e sin 2 D) Re z   e cos , Im z  2  e sin B) Re z   e cos , Im z  e sin Câu Cho số phức z = Câu Ảnh đường thẳng y   x qua phép biến hình w = A) Đường trịn u2 + v2 =1 B) Nửa đường thẳng u = -v với u > = u +iv z C) Đường thẳng u = v D) Đường thẳng v = -u Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) nửa mặt phẳng mở D  z : Im z  0 hàm f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi miền D hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D C) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) khơng điều hịa miền D hàm f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y) khơng giải tích miền D D) Nếu hàm u ( x, y ), v( x, y ) điều hịa miền D hàm f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích miền D Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y )  y  x  y , v  x  16 xy  Khẳng định sau đúng? A) u, v điều hịa khơng hàm điều hòa liên hợp C) u điều hòa, v khơng điều hịa B) u, v hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu Khẳng định sau sai ? A) Hàm phức f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y)bị chặn (về mudun) miền D hàm thực u(x,y), v(x,y) bị chặn miền D B) Nếu hàm phức f (z ) = u(x,y) +i v(x,y) không liên tục miền D u(x,y) v(x,y) không liên tục D C) Hàm phức f (z ) = u(x,y) +i v(x,y) liên tục miền D hàm thực u(x,y), v(x,y) liên tục miền D -1- D) Cho hàm biến phức f (z ) = u(x,y) +iv(x,y), z = x +iy giả sử giới hạn tồn Khi đó: lim f (z)  lim u(x, y) +i lim v(x, y) z  z0 xxo yyo x x o y y o Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f ( z ) vaø lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (với  A   ) a cực điểm cấp m hàm f ( z ) B) z  i laø cực điểm cấp hàm f ( z )  C) e3 z  z  i ( z  i)2 e3 z  z  i dz = 2πi (3e3i  1)  ( z  i) z  2i  D) -3t e3 z  z  i  ( z  i)2 dz = z  4i  t Câu Để giải phương trình tích phân: y(t)= 2e +2  y (u ) cos(t  u )du ta làm sau: -3t  Phương trình tương đương với : y(t) = 2e +2y(t)*cost  Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta Y= p 2 + 2L y(t) L cost  Y = +2Y p3 p3 p 1 2( p  1) ( p  1) ( p  3) A B C + + (với A, B, C = const) Phân tích thành phân thức đơn giản: Y = p 1 p  ( p  1)  Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y =   Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Atet  Bet  Ce 3t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) =  e Tp T  pt f (t )dt e  t  π t  sin t B) Neáu f (t )   f(t+2) = f(t) L f(t) = π  t  2π 0   2πp e C) L [8  t 3e  2t  cos 5t ]  2π e  pt (t  sin t )dt  p  16  3! 6p   p ( p  2) p  25 D) L -1  p  64   9ch8t  2sh8t Caâu 10 Khẳng định sau sai? A) Khai trieån Laurent e z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i e B) Khai trieån Laurent hàm f ( z )  ( z  i ) e  z i z i =   n!( z  i) n0 n quanh điểm bất thường cô lập zo  i  1 = n n 3 n  n!( z  i ) n  n!( z  i ) f ( z ) = ( z  i )3  C)  ( z  i) e z i dz = 2πi z  2i 8 πi  4! 12 D) zo  i điểm bất thường bỏ hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i -2- PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 ( 1,5điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phaân y ' '7 y '6 y   cos 2t với điều kiện y (0)  y ' (0)  Câu 12 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phaân L di (t ) + R i (t ) = Eo cos 3t , i(0) = dt với E o , R, L số dương a) p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, i (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định biên độ dao động theo E o , R, L Caâu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân  x'3 y  , điều kiện x(0)= y(0) =   x  y '4 y  b) Tính lim x(t ) , lim y (t ) Xác tọa độ gần mặt phẳng Oxy điểm M x(t ); y (t )  sau t   t   khoảng thời gian t đủ lớn Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11, Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày tháng năm 2017 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0001 Giám thị Giám thị Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (8/8/2017) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (8/8/2017) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0010 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f (z ) lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (với  A   ) a cực điểm cấp m hàm f (z ) B) z  i cực điểm cấp hàm f ( z )  C) e3 z  z  i ( z  i)2 e3 z  z  i dz = 2πi (3e3i  1)  ( z  i) z  2i  D) e3 z  z  i dz =  z i (  ) z  4i  t Câu Để giải phương trình tích phân: y(t)= 2e-3t+2  y (u ) cos(t  u )du ta làm sau: -3t  Phương trình tương đương với : y(t) = 2e +2y(t)*cost  Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta Y= p 2 + 2L y(t) L cost  Y = +2Y p3 p3 p 1 2( p  1) ( p  1) ( p  3) A B C + + (với A, B, C = const) Phân tích thành phân thức đơn giản: Y = p 1 p  ( p  1)  Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y =   Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Atet  Bet  Ce 3t A) Caùch làm sai, tính toán đúng, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) =  e Tp T  pt f (t )dt e  t  π t  sin t f(t+2) = f(t) L f(t) = π  t  2π 0   2πp B) Neáu f (t )   C) L [8  t 3e  2t  cos 5t ]  e 3! 6p   p ( p  2) p  25 2π e  pt (t  sin t )dt  p  16  D) L -1  p  64   9ch8t  2sh8t Caâu Khẳng định sau sai? 1 A) Khai trieån Laurent e z  i quanh điểm bất thường cô lập zo  i e z  i =   n!( z  i) n0 n B) Khai trieån Laurent hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i quanh điểm bất thường cô lập zo  i -1-   1 =  n n 3 n  n!( z  i ) n  n!( z  i ) f (z ) = ( z  i )3  C)  ( z  i) e z i dz = 2πi z  2i 8 1 πi  4! 12 D) zo  i điểm bất thường bỏ hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i Caâu Với điều kiện a, b   a  b  , xét biểu diễn hình học số phức (trên mặt phẳng phức): zo  a  ib , z1  ( a  ib)e i π , z2  (a  ib)e i 2π , z3  (a  ib)e i 3π Khẳng định sau đúng? A) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh hình vng B) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh hình chữ nhật C) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học ba đỉnh tam giác zo  z3 D) zo , z1 , z2 , z3 thẳng hàng 2+3i  i 2017 + e Khi đó, phần thực phần ảo z là: 2i C) Re z   cos , Im z  sin A) Re z   e cos , Im z  e sin 2 D) Re z   e cos , Im z  2  e sin B) Re z   e cos , Im z  e sin Caâu Cho số phức z = Câu Ảnh đường thẳng y   x qua phép biến hình w = A) Đường tròn u2 + v2 =1 B) Nửa đường thẳng u = -v với u > Câu Khẳng định sau sai? = u +iv z C) Đường thẳng u = v D) Đường thẳng v = -u A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) nửa mặt phẳng mở D  z : Im z  0 hàm f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi miền D hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D C) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) khơng điều hịa miền D hàm f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y) khơng giải tích miền D D) Nếu hàm u ( x, y ), v( x, y ) điều hịa miền D hàm f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích miền D Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y )  y  x  y , v  x  16 xy  Khẳng định sau đúng? A) u, v điều hịa khơng hàm điều hòa liên hợp C) u điều hòa, v khơng điều hịa B) u, v hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 10 Khẳng định sau sai ? A) Hàm phức f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y)bị chặn (về mudun) miền D hàm thực u(x,y), v(x,y) bị chặn miền D B) Nếu hàm phức f ( z ) = u(x,y) +i v(x,y) không liên tục miền D u(x,y) v(x,y) không liên tục D C) Hàm phức f ( z ) = u(x,y) +i v(x,y) liên tục miền D hàm thực u(x,y), v(x,y) liên tục miền D D) Cho hàm biến phức f ( z ) = u(x,y) +iv(x,y), z = x +iy giả sử giới hạn tồn Khi đó: lim f (z)  lim u(x, y) +i lim v(x, y) z  z0 xxo yyo x x o y y o -2- PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 ( 1,5điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phaân y ' '7 y '6 y   cos 2t với điều kiện y (0)  y ' (0)  Câu 12 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phaân L di (t ) + R i (t ) = Eo cos 3t , i(0) = dt với E o , R, L số dương a) p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, i (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định biên độ dao động theo E o , R, L Caâu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân  x'3 y  , điều kiện x(0)= y(0) =   x  y '4 y  b) Tính lim x(t ) , lim y (t ) Xác tọa độ gần mặt phẳng Oxy điểm M x(t ); y (t )  sau t   t   khoảng thời gian t đủ lớn Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11, Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy tháng năm 2017 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- C) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) khơng điều hịa miền D hàm f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y) khơng giải tích miền D D) Nếu hàm u ( x, y ), v( x, y ) điều hòa miền D hàm f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích miền D Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) =  e Tp T  pt f (t )dt e  t  π t  sin t B) Nếu f (t )   f(t+2) = f(t) L f(t) = π  t  2π 0   2πp e C) L [8  t 3e  2t  cos 5t ]  2π e  pt (t  sin t )dt  p  16  3! 6p   p ( p  2) p  25 D) L -1  p  64   9ch8t  2sh8t Caâu Khẳng định sau sai? A) Khai trieån Laurent e z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i e B) Khai trieån Laurent hàm f ( z )  ( z  i ) e  z i z i =   n!( z  i) n0 n quanh điểm bất thường cô lập zo  i  1 = n n 3 n  n!( z  i ) n  n!( z  i ) f (z ) = ( z  i )3  C)  ( z  i) e z i dz = 2πi z  2i 8 πi  4! 12 D) zo  i điểm bất thường bỏ hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập haøm f (z ) vaø lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (với  A   ) a cực điểm cấp m hàm f (z ) e3 z  z  i B) z  i cực điểm cấp hàm f ( z )  ( z  i)2 e3 z  z  i dz = 2πi (3e3i  1) C)  ( z  i) z  2i  e3 z  z  i D)  dz = ( z  i)2 z  4i  -3t t Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= 2e +2  y (u ) cos(t  u )du ta làm sau: -3t  Phương trình tương đương với : y(t) = 2e +2y(t)*cost  Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta Y= p 2 + 2L y(t) L cost  Y = +2Y p3 p3 p 1 2( p  1) ( p  1) ( p  3) A B C + + (với A, B, C = const) Phân tích thành phân thức đơn giản: Y = p 1 p  ( p  1)  Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y =   Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Atet  Bet  Ce 3t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết -2- PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 ( 1,5điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '7 y '6 y   cos 2t với điều kiện y (0)  y ' (0)  Câu 12 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phân L di (t ) + R i (t ) = Eo cos 3t , i(0) = dt với E o , R, L số dương a) p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, i (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định biên độ dao động theo E o , R, L Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân  x'3 y  , điều kiện x(0)= y(0) =   x  y '4 y  b) Tính lim x(t ) , lim y (t ) Xác tọa độ gần mặt phẳng Oxy điểm M x(t ); y (t )  sau t   t   khoảng thời gian t đủ lớn Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11, Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày tháng năm 2017 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0011 Giám thị Giám thị Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (8/8/2017) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (8/8/2017) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0100 (Nộp lại đề này) KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) = 1  e Tp T  pt f (t )dt e  t  π t  sin t B) Neáu f (t )   f(t+2) = f(t) L f(t) = π  t  2π 0   2πp e C) L [8  t 3e  2t  cos 5t ]  2π e  pt (t  sin t )dt  p  16  3! 6p   p ( p  2) p  25 D) L -1  p  64   9ch8t  2sh8t Caâu Khẳng định sau sai? A) Khai trieån Laurent e z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i e B) Khai trieån Laurent hàm f ( z )  ( z  i ) e  z i z i =   n!( z  i) n0 n quanh điểm bất thường cô lập zo  i  1 = n n 3 n  n!( z  i ) n  n!( z  i ) f (z ) = ( z  i )3  C)  ( z  i) e z i dz = 2πi z  2i 8 πi  4! 12 D) zo  i điểm bất thường bỏ hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f (z ) lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (với  A   ) a cực điểm cấp m hàm f (z ) B) z  i cực điểm cấp hàm f ( z )  C) e3 z  z  i ( z  i)2 e3 z  z  i dz = 2πi (3e3i  1)  ( z  i) z  2i  D) e3 z  z  i dz =  z i (  ) z  4i  t Câu Để giải phương trình tích phân: y(t)= 2e-3t+2  y (u ) cos(t  u )du ta làm sau: -3t  Phương trình tương đương với : y(t) = 2e +2y(t)*cost  Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình ta Y= p 2 + 2L y(t) L cost  Y = +2Y p3 p3 p 1 2( p  1) ( p  1) ( p  3) A B C + + (với A, B, C = const) Phân tích thành phân thức đơn giản: Y = p 1 p  ( p  1)  Giaûi phương trình với Y ẩn ta được: Y =  -1-  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Atet  Bet  Ce 3t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết ñuùng Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y )  y  x  y , v  x  16 xy  Khẳng định sau đúng? A) u, v điều hòa khơng hàm điều hịa liên hợp C) u điều hịa, v khơng điều hịa B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hòa, u khơng điều hịa Câu Khẳng định sau sai ? A) Hàm phức f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y)bị chặn (về mudun) miền D hàm thực u(x,y), v(x,y) bị chặn miền D B) Nếu hàm phức f (z ) = u(x,y) +i v(x,y) không liên tục miền D u(x,y) v(x,y) không liên tục D C) Hàm phức f ( z ) = u(x,y) +i v(x,y) liên tục miền D hàm thực u(x,y), v(x,y) liên tục miền D D) Cho hàm biến phức f (z ) = u(x,y) +iv(x,y), z = x +iy giả sử giới hạn tồn Khi đó: lim f (z)  lim u(x, y) +i lim v(x, y) z  z0 xxo yyo x x o y y o Caâu Với điều kiện a, b   a  b  , xét biểu diễn hình học số phức (trên mặt phẳng phức): zo  a  ib , z1  ( a  ib)e i π , z2  (a  ib)e i 2π , z3  (a  ib)e i 3π Khẳng định sau đúng? A) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh hình vng B) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh hình chữ nhật C) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học ba đỉnh tam giác zo  z3 D) zo , z1 , z2 , z3 thẳng hàng 2+3i  i 2017 + e Khi đó, phần thực phần ảo z là: 2i C) Re z   cos , Im z  sin A) Re z   e cos , Im z  e2 sin 2 D) Re z   e cos , Im z  2  e sin B) Re z   e cos , Im z  e sin Caâu Cho số phức z = Câu Ảnh đường thẳng y   x qua phép biến hình w = A) Đường tròn u2 + v2 =1 B) Nửa đường thẳng u = -v với u > = u +iv z C) Đường thẳng u = v D) Đường thẳng v = -u Câu 10 Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) nửa mặt phẳng mở D  z : Im z  0 hàm f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi miền D hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D C) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) khơng điều hịa miền D hàm f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y) khơng giải tích miền D D) Nếu hàm u ( x, y ), v( x, y ) điều hịa miền D hàm f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích miền D -2- PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 ( 1,5điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '7 y '6 y   cos 2t với điều kiện y (0)  y ' (0)  Câu 12 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL hình vẽ thỏa phương trình vi phân L di (t ) + R i (t ) = Eo cos 3t , i(0) = dt với E o , R, L số dương a) p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm i (t ) b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, i (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định biên độ dao động theo E o , R, L Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân  x'3 y  , điều kieän x(0)= y(0) =   x  y '4 y  b) Tính lim x(t ) , lim y (t ) Xác tọa độ gần mặt phẳng Oxy điểm M x(t ); y (t )  sau t   t   khoảng thời gian t đủ lớn Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11, Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy tháng năm 2017 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0100 Giám thị Giám thị Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (8/8/2017) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 8/8/2016) 2017 PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0001 Câu hỏi 10 Trả lời A B C D A B C D B D Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0010 Câu hoûi 10 Trả lời C D B D A B C D A B Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0011 Câu hỏi 10 Trả lời A B A B C D B D C D Mã đề: 0011-0808-2017-0011-0100 Câu hỏi 10 Trả lời B D C D A B A B C D BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Câu Nội dung hỏi Câu 11 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '7 y '6 y   cos 2t với điều kiện y (0)  y ' (0)  Điểm 1,5 điểm 0,25đ Đặt Y  Y ( p) = L y(t ) Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: p 2Y  py (0)  y ' (0)  7 pY  y (0)   6Y = L 3  cos 2t  0,25ñ -1-  Y ( p  p  6)  Y p  p p 4 p  12 p ( p  1)( p  6)( p  4) Phân tích thành phân thức đơn giản Y (*) A B C Dp  E p  12     2 p ( p  1)( p  6)( p  4) p p  p  p 4 0,5ñ Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta y (t )  L 1 [Y ] = L 1[ A 1 p ] B C D E p p 1 p6 p 4 p 4  y (t )  A  Bet  Ce 6t  D cos 2t  E sin 2t 0,5đ Tìm A, B, C , D, E dựa vào đẳng thức: (*) p  12 A B C Dp  E     2 p ( p  1)( p  6)( p  4) p p  p  p 4  02  12  12  12 16  62  12 13 A  , B  , C  2 (0  1)(0  6)(0  4) 1(1  6)(1  4) 25 6(6  1)(6  4) 100 Từ đẳng thức (*)  Cho  Cho  B C 28 A  D  2E     64 2   22  A B C 48 3D  E      234 3   (3)  p  2:  p  3: Thay A  , B   D 16 13 vào hệ giải tìm D, E ta ,C  25 100 ,E   100 100 Caâu 12 a) Li ' (t ) + R i (t ) = = E o cos3t , i(0) = 1,5ñ  di  Đặt I = I(p) = L i(t )  L   = L i' (t ) = pI-i(0) = pI  dt  Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta LIp +RI = Eo p E p  I = 2o 2 p 3 ( p  )( Lp  R) -2- 0.5ñ 0.25ñ      Eo  p Eo  Ap  3B C    I=    I=  R L  ( p  32 )( p  R )  L  p  32 p     L  L    Rt  E  Biến đổi ngược hai vế ta : i(t) = o  A cos 3t  B sin 3t  Ce L  (*) L  p Ap  3B C   (**) Tìm A, B, C cách xét : R R p  2 p ( p  )( p  ) L  0.25ñ  RL p lim = 2 R  9L2 p  R p  L Nhaân hai vế (**) với p cho p   ta : = A + C  A = -C =  L R R  Nhaân hai vế (**) với  p   cho p   ta được: L L  C=  0.25đ RL R  9L2 Từ (**) cho p = ta :  L B 3L 3L +C  B =  C  R  L2 R R Thay A, B, C vào (*) ta kết quả: i(t) = b) Vì lim e t   i(t)   Rt L Rt Eo R 3Eo Eo R L  cos3t + sin3t e R  9L2 R  L2 R  9L2  nên sau khoảng thời gian t đủ lớn Eo R 3E 3E ER cos3t + o sin3t = o cos3t + o sin3t R  9L R  9L R  9 L R  9 L     0.25ñ u v = u cos 3t  v sin 3t = u  v2 ( u u v 2 cos 3t  v u  v2 sin 3t ) = u  v (sin α cos 3t  cos α sin 3t ) = u  v sin(3t  α ) Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn i(t)  u  v sin(3t  α ) dao động điều hòa có biên độ u  v với u  3E Eo R v  o R  9L R  9L Câu13 2đ Ñaët X  L x , Y  L y ; biến đổi Laplace hai vế ta được: -3-   L x  3L  y   L 2  pX  3Y   p  L x   L y  4L  y   L 0  X  ( p  4)Y   2( p  4) A   X  p ( p  1)( p  3)  p   2 D Y     p( p  1)( p  3) p B  p 1 E  p 1 0.5ñ C p3 F p3 0.5ñ  1  x  L [ A p  B  x  L 1 [ X ]  Biến đổi ngược hai vế ta được:  1  y L [ Y ]   y  L 1[ D  E  p 1 ] C p 1 p3 1 ] F p 1 p3  x  A  Be t  Ce 3t  t  3t  y  D  Ee  Fe 0.5ñ  Tìm A, B, C dựa vào 2( p  4) A B C    p( p  1)( p  3) p p  p  A 2(0  4) 2(1  4)  , B   3 , (0  1)(0  3) (1)(1  3)  C 2(3  4)   (3)(3  1)  Tìm D, E , F dựa vào 2 D E F    p( p  1)( p  3) p p  p  D 2 2  , E  1, (0  1)(0  3) (1)(1  3) C 2  (3)(3  1) b) lim x(t )  lim [ A  Be  t  Ce 3t ]  A; lim y (t )  lim [ D  Ee  t  Fe 3t ]  D t   t   t   t   3 Sau khoảng thời gian t đủ lớn, tọa độ gần điểm M M ( ; ) 0.5đ *** HẾT*** -4- ... lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6 - 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 201 6-2 017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP... TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 201 6-2 017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 001 1-0 80 8-2 01 7-0 01 1-0 010 Giám thị Giám thị Họ, tên sinh viên:... TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 201 6-2 017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 001 1-0 80 8-2 01 7-0 01 1-0 011 Giám thị Giám thị Họ, tên sinh viên: