Chương 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN I Đạo hàm tốc độ thay đổi Tiếp tuyến Giả sử đường cong C có phương trı̀nh = ( ) Đe tı̀m tie p tuye n củ a đường cong tạ i điem ( , ( )) ∈ C, ta xé t điem ( , ( )) với x ≠ a, và độ c củ a cá t tuye làn ( )− ( ) = − Khi x da n tới a thı̀ điem Q da n tới điem P dọ c theo đường cong C Nedau n tơm ́i thı̀ ta định nghı̃a tie pttuye củ a đươ n ̀ ng cong C tạ i điem P là đường tha ng qua P với độ m c Ta cũ ng có the xem ng đường tie p tuye n chı́nh là vị trı́ giới hạ n củ a đường cá t tuye n Q da Định nghĩa Tie n tới P dọ c theo đường cong C p tuye n củ a đường cong = ( ) tạ i điem( , ( )) là đường tha ng qua P với độ = c lim → Ví dụ Tı̀m phương trı̀nh tie Lời giải Ta có = lim → ( ) ( ) , giả thie t giới hạ n nà y to p tuye n củ a đường cong = n tạ i tạ i điem(1, 1) = lim ( + 1) = → Dạ ng tong quá t củ a đường tha ng qua điem m làc 1, y(x 1) với độ − = ( − ) A p dụ ng ta nhậ n đượ c phương trı̀nh tie p−tuye = 2(n là− 1), hay Ta thường xem độ = − c củ a đường tie p tuye n cũ ng chı́nh là độ c củ a đường cong t điem xé t Đie u đó có nghı̃a là , ne u ta phó ng thậ t to pha n củ a đường cong tạ i điem quan sá t thı̀ ta tha y nó khô ng khá c gı̀ tie p tuye n củ a nó tạ i điem đó Trong Định nghı̃a 1, ne u chú ng ℎta=đặ − tthı̀ độ thà nh c Định nghı̃a trở Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc = lim → Ví dụ Tı̀m phương trı̀nh đường tie Lời giải Ta có ( + ℎ) − ( ) ℎ p tuye n củ a đường cong = tạ i điem (3, 1) 3 −3 −1 + ℎ = lim = lim =− → → 3+ℎ ℎ Vậ y phương trı̀nh đường tie p tuye n là − = − ( − 3), hay + − = Vận tốc Chú ng ta xem xé t mộ t đo i tượ ng chuyen độ ng dọ c theo mộ t đường tha ng với phươn trı̀nh = ( ), đó s là độ dà i quã ng đường từ go c tọ a độ đe n điem ứng với thời gian t Hà m f mô tả chuyen độ ng the cò n đượ c gọ i là hà m vị trı́ củ a đo i tượ ng Trong khoả n thời gian t = a đe n t = a + h, sự thay đoi vị trı́(sẽ + ℎlà) − ( ) Vậ n to c trung bı̀nh khoả ng thời gian nà y là ậ ố ì ℎ= Nó tương tự độ Vậ n to c (hay vậ n to hạ n củ a vậ n to đườ = ( + ℎ) − ( ) ℎ c củ a đường cá t tuye n hı̀nh bê n phả i dưới đâ y c tức thời) củ a chuyen độ ng tạ i thơ v(a), ̀ i điem chı́nt h= là a, giới c trung bı̀nh h da Nghı̃a là , vậ n to Ví dụ Độ ã ℎờ n ve ( + ℎ) − ( ) ( ) = lim → ℎ c tưv(a) ́ c thơ ba ̀ i ng độ c củ a tie p tuye n tạ i điem P Giả sử mộ t quả bó ng đượ c thả từ đà i quan sá t củ a thá p CN Tower ở Toronto cá ch mặ t đa t 450m.=Vơ 9.8 ( ́i / ), hãy xá c định Lời giải (a) Vậ n to c củ a quả bó ng sau giâ y đượ c thả (b) Vậ n to c củ a quả bó ng nó chạ m mặ t đa t Quã ng đường mà quả bó ng đượ c tı́nh đe n thời điem t có phương trı̀nh = ( )= Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Tạ i thời điem t = a ba t kỳ thı̀ ( + ℎ) ( − 2 ( ) = lim = lim → → ℎ = lim +2 ℎ+ℎ − ) ℎ (2 ℎ + ℎ ) = lim (2 + ℎ) = → ℎ c quả bó ng sau giâ y(5 là) = × 5 ( ) = (9.8 / ) (5 ) = 49 / → (a) Vậ n to (b) Gọ1i là t thời điem quả bó ng chạm đa t Do đà i quan sá t cá ch mặt đa t 450m nê n ( )= = 450 , hay = ( ), = ( ) » 9.6( ) Tức là quả bó ng chạm đa t sau 9.6 giâ y Tại thời điem đó vậ n to (9.6) = (9.8 / ^2)(9.6 ) = 9.4 / c củ a nó là Đạo hàm Định nghĩa Đạo hà m củ a hà mtại a, ký hiệ u′( ), là lim ( ) ( ) → (ne u to n tạ i) Khi đó ta nó i "hàm f có đạo hàm điểm a" hoặc ta hàm nó i " f khả vi điểm a" Ve bả n cha t, đạo′(hà)mbieu thị to Vı́ dụ to c độ thay đoi ( củ ) theo a bie xntại x = a c độ phả n ứng hó a họ c, to c độ tăng lợ i nhuậ n kinh te ( ) = lim Ne u đặt = + ℎ thı̀ cô ng thức trê n đượ c vie t lại dưới dạng ( ) ( ) → ( , ( )), c củ a tie p=tuye ( ) tại n củ ađiem ) ́= vı̀ vậ y phương trı̀nh củ a tie p tuye n tại đó đượ c vie t lại − (dươ i dạng ′( )( − ) Ta tha y ng, đâ y cũ ng chı́nh là độ Ví dụ Vie t phương trı̀nh tie p tuye n( củ )= a ( ) – ( ) Lời giải – = + = = − → − ( − + tại điem a ba t kỳ ) → Vậ y ( ) = − Do đó phương trı̀nh tie p tuye n là − ( − + 9) = (2 − 8)( − ), hay = (2 − 8) − + Ví dụ Vie t phương trı̀nh tie p tuye n( củ )= a | | tại điem a ba t kỳ (ne u to Lời giải (c) Với a < 0: Trong lâ n cậ n đủ nhỏ củ a điem a thı̀( ) = − , và ( ) = − ( ) – ( ) – = ( ) = = −1 → −1 → , vậ y ( ) = −1 Phương trı̀nh đường tie p tuye n+ là = −( − ), hay = − (d) Với a > 0: Trong lâ n cậ n đủ nhỏ củ a điem a thı̀( ) = , và ( ) = ( ) – ( ) – = = → → , vậ y ( ) = Phương trı̀nh đường tie p tuye n− là = ( − ), hay (e) Với a = 0: Vı̀ lim → ( ) – ( ) | | = lim → = | | = lim (−1) = −1 → = n tạ i) Chương – Toán và Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc | | lim → = lim (1) = = lim → Do đó khô ng to → n tạ i đạ o hà m tạ i x = Định nghĩa Đạ o hà m trá i củ a hà mtạa,i ký hiệ u′( ), là lim ( ) ( ) → Đạ o hà m phả i củ a hà m tạa,i ký hiệ u′( ), là lim (ne u to n tạ i) ( ) ( ) → (ne u to n tạ i) ( )= Định lý Định lý ( ⇔ )= ( )= Ne ukhả vi tạ i x = a thı̀liê n tụ c tạ i x = a Tốc độ thay đổi Giả sử đạ i lượ ng y phụ thuộ c đạ i lượ ng x, ta nó i y là hà m củ a x, và vie t = ( ) Ne u x thay đoi tư1̀ xđe n2 xthı̀ sự thay đoi củ a x, hay cò n gọ i là so gia củ a x, Δ là= − Và sự thay đoi tương ứng củ a y là Δ = ( ) − ( ) Tỷ so giữ a hai sự thay đoi đó đượ c gọ i là to c độ thay đoi trung bı̀nh củ a y theo x trê n khoả ng [x1, x2], và có the xem là độ c củ a đường cá t tuye n PQ ( )− ( ) Δy = Δ − Cho x2 da n tớ1i ,xtương ứng Δx da n ve 0, ne u tỷ so trê n to n tạ i giới hạ n thı̀ giới hạ đượ c gọ i là to c độ thay đoi tức thời củ a y theo 1x tạ i x = x ( )− ( ) Δy ố độ ℎ đổ ứ ℎờ = lim = lim → Δ → − Giới hạ n nà y chı́nh là đạ o hà m củtạ a i điem ( ) = lim → ( ) ( ) Vi phân Với Δx là so gia củ a x tạ i a, ne u so viegiatΔđượ c dưới dạ Δ =ng Δ + (Δ ), đó A là ng so khô ng phụ thuộ x, cò c và n α(Δx) o Δ là vô cù ng bé bậ c cao hơnx,Δthı̀ bieu thức Δ đượ c gọ i là vi phâ n củ a hà f tạ m i x = a, ký hiệ u là df, tức= Δ Từ đa ng thưΔ́ c = Δ + (Δ ), chia hai ve cho Δx ta nhậ n đượ c = + ( ) Cho Δx → 0, giới hạ n củ a ve trá i chı́nh là đạ o′ hà tạ m i a, cò n giới hạ n củ a ve ba ng A, chứng tỏ ng = ′( ) Do đó ta có the vie t ( ) = ( )Δ ) = thı̀ tạ i = , ta có Đặ c biệ (t, Δ = ( + Δx) − ( ) = + Δ − = Δ = 1Δ + ( a) = chı́nh là Δx, hay Vậ y ba ng và α(Δx) ba ng 0, tức vi phâ n củ Tong quá t, với bie n độ c lậ p thı̀ vi phâ n củ a nó trù ng với so ( ) = ( ) , hay = ( ) =Δ gia củ a nó , và phả i thı̀ Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Đạo hàm hàm Chú ng ta sử dụ ng định nghı̃a đe tı́nh đạo hà m củ a mộ t so hà m sơ ca p bả n ( ) = C – const  ( = ) ( ) = = → Δx → Vậ(y ) = ( )=  = ( ) = = Vậ(y ) =  → Δx → ( )= , ( > 0, = = ≠ 1) ln Δx → Vậ(y ) = → ln Trường hợ p riê n(g, ) = ( ) = log  ( = , ( > 0, ) ≠ 1) = → Trường hợ p riê n(g,ln ) = ( ) = cos  =  ( ) =− = − sin + → − sin Vậ(ycos ) = − sin ( ) = sin = ( ) = = cos + → cos Vậ(ysin ) = cos II Quy tắc tính đạo hàm Định lý Giả sử f và g là cá c hà m khả vi, đó ( ) ( + ) = + ′ ( ) ( − ) = ( ) ( ) = ( ) + = − ′ (g ≠ 0) Ta á p dụ ng kha ng định (d) đe tı̀m đạotan hà m củ và acot Ví dụ Tı̀m đạo hà m củtan a (tan ) = Ví dụ ( ) ( ) = ( ) =− Tı̀m đạo hà m củcot a (cot ) = Định lý = = ( ) (Đạo hàm hàm hợp) Giả sử ( ) = ( ( )) Ne fu khả vi tại x = a và g khả vi tạf(a) i thı̀ u khả vi tại x = a và Với x ba t kỳ thı̀, ( ) ( )= = ( ) ′( ) ( ) ′( ) Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc ( )= Ví dụ ( )= Ta có Khi đó ( Định lý , ( )= , Khi đó ( ) = ( ) = , vậ y ) = ( ) ( ) = ( )=( ( ) =2 ( )=2 ( )=2 =2 (Đạo hàm hàm ngược) Giả sử từ y = f(x) giả i đượxc = g(y) Khi đó ne u f '(x0)  thı̀ g(y) có đạ o hà m (theo bie n y)0tạ = f(x i y0) và Ví dụ Tı̀m đạ o hà m củya= arcsin Lời giải Hà m Ta có sin ( )= ( ) = arcsin xá c định trê[−1, n 1] và có giá trị trê n mie[− n , ] = Đạ o hà m hai ve Ví dụ Lời giải Ta có cos ) = ta đươ coṣ c = hay = = =√ Tı̀m đạ o hà m củ a = arccos Hà m = arccos xá c định trê[−1, n 1] và có mie n giá trị là [0, π] = Đạ o hà m hai ve Định lý ta đươ − sin ̣c (Đạ o hà m theo tham so = hay = =√ =√ ) Giả sử x = f(t), y = g(t) là cá c hà m khả vi theo  (, t ) –1̣ và f '(t)  Ne u to n tạ i hà m ngươ (x)c thı̀ t = yf là hà m củ a x Khi đó ta có the la y đạ o hà m củ a y theo x, y'(x) = Ví dụ Lời giải dy g '(t)  dx f '(t) Cho x = cos3t, y = sin3t, với t  (0, ) Tı̀m y'(x) Đo thị củ a x =3tcos hı̀nh dưới x x = cos3t  t O ( c) = √arccos Trê n (0, ) hà m x = cos3t là song á nh nê n to n tạ i hà m ngượ Vı̀ dy = 3sin2tcostdt, dx = 3cos2tsintdt, nê n sin cos = = tan cos sin III Đạo hàm cấp cao vi phân cấp cao ) =nlim n tạ i giới(hạ Ne u to ( ) ( ) → thı̀ ta nó i "hàm f có đạo hàm điểm x" hoặ c ta hàm nó i " f khả vi điểm x" Như vậ y, ne củ a bie n x, và đó ne u to u to n tạ i thı̀ đạ ′ cũ o hà ngm là mộ t hà m n tạ i đạ o′ thı̀ hà m gọ củ đạo là hàm cấp hai củ a hà m , ký hiệ u " Đạo hàm cấp cao ( ) Đạ o hà m ca p n củ a hà f tạ m i điem x đượ c ký hiệ u( là) ( ) hoặ c ( )( ) Quy ước đạ o hà m ca p chı́nh là hà m, tư ́c = ( ) Ví dụ Tı́nh đạ o hà m ca p n củ=a Lời giải Ta xé t riê ng cá c trường hợ p củ a α (f) α là so , α ≠ tự nhiê n Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc = , " = ( − 1) ( ) , (g) α là so ( ) thự c ba t kỳ khá c và nhỏ Mie = ( − 1) … ( − + 1) = (h) α là so ( ) thự c lớn và khô ng phả i là so = ( − 1) … ( − Ví dụ = với k > α n xá c định củ a hà m là x > tự nhiê n Mie n xá c định là x ≥ + 1) = Tı́nh đạo hà m ca p n củ=a tại x ≠ Ta vie t lại dưới dạng = (1 − ) Khi đó = (−1)(1 − ) (−1) = (1 − ) ′′ = (−2)(1 − ) (−1) = 2(1 − ) Lời giải ( ) ( ) = 2.3(1 − ) , …., = 2.3 … (1 − ) = ! (1 − ) Ví dụ Tı́nh đạo hà m ca p n củ=a Lời giải Ta vie t lại dưới dạng = (1 + ) Khi đó = (−1)(1 + ) , Ví dụ = ! ( ) tại x ≠ -1 ( ) = (−1)(−2)(1 + ) , … , = (−1) ! (1 + ) Tı́nh đạo hà m ca p n củ=a ln(1 + ) tại x > - Lời giải = Từ Vı́ dụ ta có( ) Tı́nh đạo hà m ca p n củ=a sin Lời giải Ta có = cos = ( = Ví dụ sin( )( (sin Quy nạp ta suy Ví dụ ) = ) = (−1) ( − 1)! (1 + ) + ) Khi đó , ′′ = cos (αx + ) (αx + )′ = sin sin( + +2 ) Tı́nh đạo hà m ca p n củ=a cos Ta có = − sin = cos( + /2) Lời giải = − sin Khi đó , + Định lý + )( (cos Quy nạp ta suy ) = ]( [ cos ) ) = ( ) cos + ( ) ± +2 ( ) ( =∑ ) Tı́nh đạo hà m ca p n củ=a Lời giải Vı̀ ( ) = = [ ( ) = + + = + ! = Theo Định lý ta có ( ( ) ) + 24 (sin )( ) + + (−1) ! ( ) sin )( ) (sin )( (sin )( ( ) ] nê n ( ) Lời giải =∑ = tại x ≠ ±1 Tı́nh đạo hà m ca p 10 củ=a ) ) (Quy ta c Leibnitz) Ví dụ sin )( ]( [ Ví dụ ′= Giả sử cá c hà m f và g có đạo hà m đe n ca p n Khi đó [ ± ]( ( ( ) = ( − 1) … 2.1 = ! ) = (sin )( ) + 24(sin )( ) 12 (sin )( ) + Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Theo Vı́ dụ 5, ta đượ c ( sin )( ) = sin + =− + 10 + 12 sin( + ) + sin + cos + sin +9 + 24 sin( + ) + 24 sin( + ) 2 12 sin − 24 cos − 24 sin Vi phân cấp cao Vi phâ n củ a vi phâ n ca p mộ t đượ c gọ i là vi phâ n ca p Vi phâ củ a vi phâ n ca p n – củ a hà m f đượ c gọ i là vi phâ n ca p n, ký nhiê f, ̣ đươ ụd c xá c định theo cô ng thức = ( )( ) Tính bất biến vi phân cấp Xé t hà m = ( ) Với x là bie n độ c lậ p, ta=có ( ) Ne xuphụ thuộx c= t,g(t) và to = ′( ), vı̀ vậ y = n tạ g'(t)i thı̀ theo cô ng thức đạ o hà m hà m hợ p ta có ( ) = Vi phân cấp cao tính bất biến = ( ) Vı́ dụ , xé t( ) = Khi đó Ne u = thı̀ =2 =( nê n =6 ) = (2 ) = =6 ta nhậ n đượ c = Thay và o bieu thức Nhưng thự c ra,( ( )) = = ( ) = nê n = 30 IV = 24 Các định lý giá trị trung bình Định nghĩa Giả sử điem c thuộ c mie n xá c định củf.aTa hà nó mi  f(x) đạ t cự c tieu tạ i c ne u to n tạ i lâ n cậ n củ a cđe f(x) đó f(c)  f(x) đạ t cự c đạ i tạ i c ne u to n tạ i lâ n cậ n của f(x) c đe đó f(c) Ta nó i f(x) đạ t cự c trị tạ i c ne u f(x) đạ t cự c đạ i hay cự c tieu tạ i đó Định lý (Định lý Fermat) Ne u f(x) đạ t cự c trị tạ i c và khả vi tạ i c thı̀ f '(c) = Y nghı̃a hı̀nh họ c: Tie p tuye n (ne u có ) củ a đường cong tạ i cá c đie cự c trị là nhữ ng đường na m ngang Định lý Định lý (Định lý Rolle): Giả sử f(x) liê n tụ c trê n [a, b] và khả vi (a, b) Ne u f(a) = f(b) thı̀ to n  tạ (a,i b) c cho f '(c) = (So gia hữ u hạ n Lagrange) Giả sử f(x) liê n tụ c [a, b], khả vi (a, b), đó to ( )= n tạ  i(a, c b) cho Y ( ) ( ) nghı̃a hı̀nh họ c: To n tạ i điem c ∈ (a, b) cho tie p tuye n tạ i đó củ a đường cong song song với cá t tuye n no i hai điem A(a, f(a)) và B(b, f(b)) Chương – Toán Định lý Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc (Định lý Cauchy) Giả sư f và ̉ g liê n tụ c [a, b] và khả vi (a, b) Khi đó ( ) − ( )] ( ) = [ ( ) − ( )] ′( ) to n tại điem c ∈ (a, b) sao[cho Công thức Taylor Trong cô ng thức so gia hữ u hạn Lagrange, ne u thay a bởi x và b = x + Δx thı̀ điem c sẽ thuộ c (x, x + Δx) Vı̀ vậ y c = x + θΔx với < θ < Khi đó ta nhậ n đượ c ( + Δ ) − ( ) = ( + Δ )Δ , hay ( + Δ ) = ( ) + ( + Δ )Δ Có nghı̃a là , lâ n cậ n đủ nhỏ củ a điem x, giá trị củ fa có hà the m xá c định thô ng qua giá trị củf(x) a và giá trị củ a đạo hà m ca p′ mộ t Va n đe đặt là , liệ u có the tı́nh chı́nh xá c cá cf giá trị lâ ncủcâạ n củ a x ne u bie t thê m cá c giá trị củ a cá c đạo hà m ca pf tại cao củlâan cậ n đó ? Công thức Taylor Giả sử hà m f liê n tụ c [a, b], khả vi liê n tụ c đe n ca p n +1 (a, b) Giả sử c ∈ (a, b) Ta ca n tı̀m đa thứcn(x) P bậ c khô ng quá n cho ( ) ( ) ( )= ( ) với m = 0, 1, 2, …, n Ta tı̀m đa thức trê n dưới dạng ( )=∑ ( − ) = + ( − )+ ( − ) +⋯+ De tha y ( ) Đe ( )= ( ) +∑ ! ( )= ( ) ( − 1)( − 2) … ( − ( ) thı̀ ( ) Vậ y ( ) = ∑ ( ) ! ( )= ( )− Đặt ( )=( − ) Đặt ( )= ! ( ) = ( ), hay ( ) ( ) ta có ta có ( )= ( )= ( ) ( ) = ( ) ( )=( − ) Thê m và o đó , ( ( )= Vậy ( ) = ( ) ( ) )! phả(i, )ta=có )( ( ( )( ! )! ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) = ∀m = 0, 1, 2, …, n ( ) ( ) = ( + 1)! ( ) ( ) ( ( ) )− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = , đó θ ∈ ( ) = ( + 1)! ta có ( − ) ( )= ( ( và ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ! ( ) = 0, ( ) Lạ i á p dụ ng định lý Cauchy, ta có= ( ) = Cứ the , ta nhậ n đươ(̣ c ) ( )( ( ) ( )=⋯= A p dụ ng định lý Cauchy cho ve ( )= = ( − ) Với mọ ix (a, b) và x  c, ta có Thay ( − ) + 1) ( ) ( − ) ( )( )− ( ) ( )= ( )( ), nê n ( − ) ( ( − ) + )( ) ( − ) ( + 1)! Cô ng thức nà y đượ c gọ i là cô ng thức Taylor , ∈ < , > Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc ( )( Khi c = 0, ( ) = ( 0) + ! )( ) ( + 1)! , gọi là công thức Mac Laurin Cá c cô ng thức trê n cò n đượ c gọ i là cá c khai trien hữ u hạn Ne f khả uvihàvômhạ n, ta nhậ n đượ c cá c khai trien vô hạn: ( )( Công thức Taylor: ( ) = ! ) ( − ) ( )( Công thức Mac Laurin: ( ) = 0) ! Khai triển Mac Laurin số hàm số Ví dụ ( )= Lời giải Theo Vı́ dụ mụ c 3.4, ta(có) ( ) = ! ( ) , nê n ( ) ( ) = ∀k ! Vậ y khai trien Mac Laurin là 1− Ví dụ ( )= Lời giải = = 1+ + +⋯+ +⋯ Theo Vı́ dụ mụ c 3.4, ta(có) ( ) = ( ( ) ! ) , nê n ( ) ( ) ! = (−1) ∀k Vậ y khai trien Mac Laurin là 1+ = (−1) − ⋯ + (−1) =1− + +⋯ Chú ý : Ta cũ ng có the nhậ n đượ c khai trien Mac Laurin củ a(hà)m = thay x bởi –x khai trien Mac Laurin củ a hà m ( ) = ba ng cá ch ( ) = ln(1 + ) Ví dụ Lời giải Do đó ( )( ) Theo Vı́ dụ mụ c 3.4, = (−1) ( )( ! ) = ( ) ∀ > Vậ y khai trien Mac Laurin là (−1) ln(1 + ) = ln(1 + 0) + Ví dụ Lời giải Lời giải = − + − ⋯ + (−1) +⋯ ( )= Với mọ i k ≥ ta có ( ) ( ) = = Ví dụ ( − 1)! (1 + ) ∀ > ! =1+ nê n 1! + 2! ( )( ! ) = Vậ y khai trien Mac Laurin là + ⋯+ ! ! +⋯ ( ) = sin ( )( ) Theo Vı́ dụ mụ c 3.4, = sin 10 = (−1) =2 +1 = Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Vậ y khai trien Mac Laurin là (−1) (2 + 1)! sin = Ví dụ Lời giải = − 3! + 5! −⋯+ (−1) +⋯ (2 + 1)! ( ) = cos ( )( ) Theo Vı́ dụ mụ c 3.4, = cos = (−1) = =2 +1 Vậ y khai trien Mac Laurin là cos Ví dụ Lời giải (−1) (2 )! = ( )= =1− 2! + −⋯+ 4! (−1) (2 )! +⋯ cos Dự a và o khai trien củcos a Vı́ dụ 6, ta có cos (−1) (2 )! = = − 2! + 4! − ⋯+ ( (−1) (2 )! ) +⋯ Ứng dụng định lý giá trị trung bình Khử dạng vô định (quy tắc l'Hôpital) Ký hiệlim u thay the Định lý , lim , lim , lim , lim cho mộ t tronglim cá c→ → → → → (quy ta c l'Hô pital thứ nha t) Giả sử hai hà m f(x) sovà g(x) khả vi lâ n cậ n nà o đó củ a điem x = a, có the trừ tại x = a, đo ng lim thời ( ) = lim ( ) = Ne lim u ( ) ( ) = ( ) (hữ u hạn hoặc vôlim hạn)=thı̀ ( ) Ví dụ Tı̀m giới hạn củ a x → Lời giải ( ) = sin và ( ) = Vı̀ Đặt Ví dụ Tı̀m giới hạn củ a ( ) ( ) = → nê n → x → x → ( )= Đặt và ( ) = − sin Khi x → thı̀ ( ) = và ( ) = − cos Lời giải ta c thứ nha Nhưng Định lý ( ) ( ) = và ( ) = sin va n cù ng da n ve ( ) ( ) = → 6, vậ y ( ) nê n ta lại á p dụ ng quy ta c thứ ( ) → x → (quy ta c l'Hô pital thứ hai) Giả sử hai hà m so f(x) và g(x) khả vi lâ n cậ n nà o đó củ a điem x = a, có the trừ tại x = a, đo ng thơ lim̀ i ( ) = lim ( ) = ±∞ Ne lim u Ví dụ nê n ta lại á p dụ ng quy t cho ′( ) và ′( ), tức là xé t giới hạn củ a ( ) nha t cho′′( ) và ′′( ), tức là tı̀m giới hạn củ a Ta có cù ng da n ve ( ) ( ) = ( ) (hữ u hạn hoặc vôlim hạn)=thı̀ ( ) Tı̀m giới hạn củ a (α > 0) x → ∞ 11 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Vı̀ ( ) = ln và Lời giải ( ) thứ hai Khi x → ∞ thı̀ ( )= = ( ) cù ng da n ve = → nê n Ví dụ Tı̀m giới hạn củ(a − 4) tan Lời giải Khi → thı̀ → x → − → và tan → ∞ nê n giới hạn nà y thuộ c dạ ∞ng ( )= dạng ba ng cá ch vie t , và đặt Ta sẽ đưa ve Ta có ∞ x → ∞ nê n ta á p dụ ng quy ta c ( ) = → 4, Vậ(y − 4) tan ( )=− →− − 4, ( ) = cot ( ) → − , nê n ( ) →− Tı̀m giới hạn củ a Lời giải Đâ y là giới hạn dạng ∞ - ∞ Ta ca n bie n đoi :ve ( ) Vı̀ ( ) − − x→ dạng ( ) = − cos , ( ) = sin thuộ c dạng Đặt = = → x → Ví dụ Ta có → x→ nê n − → x→ ( ) Chú ý Đie u kiệ n to lim n tạilà t quan trọ ng Ta đưa vı́ dụ sau đâ y chứng tỏ ng, ( ) mặ lim c dù ( ) ( ) Vı́ dụlim , khô ng to n tại, lim = 0, → ( ( ) ( ) ) va n to = ( ) n tại = − sin khô ng có giới hạn khi x  Sử dụng khai triển hữu hạn để tìm giới hạn x → Ví dụ Tı̀m giới hạn củ a( Lời giải Ta ký hiệ u( ( )) là vô cù ng bé bậ c cao hơn( ) cù ng mộ t quá trı̀nh ) nà o đó Theo khai trien Mac Laurin thı̀ sin = − cos = − ! + ! + Khi đó , ! ( ) −⋯ = − −⋯=1− ! ! = ! ( ) ( ) ( ! + ( ) + ( ) ! = ) ( ) ( ) ! ! Ví dụ Tı̀m giới hạn củ(a Lời giải Theo khai trien Mac Laurin gio (sin − ) = − (1 − cos ) = Khi đó , ( ( ) ) ! + ( = ! ( ( = ! ( ( ) ) → − x → x → ) ng Vı́ dụ 6, ) ( − ! )+ ) ) = ( ( ) ( = − ( )+ ( )= + ( ) ) ) → − x → Nhận xét Với quy ta c l'Hoopital thứ nha t, ta phả i á p dụ ng tới la n liê n tie p ( ) = (sin − ), ( ) = (1 − cos ) Đặt 12 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc ( ) = sin − + cos → 0, ( ) = 2(1 − cos ) sin = sin − sin → ( ) = cos − − sin → 0, ( ) = cos − cos → ( ) = −3 sin − cos → 0, ( ) = −2 sin + sin → ( )( ) = −4 cos + sin ( )( Ta tha y( ) ( ) → ) ( )( → −4, = − nê n ( ( ) ) ) = −2 cos + cos → → − x → Khảo sát hàm số Định lý Giả sử f(x) liê n tụ c trê n [a, b] và khả vi (a, b) (có the trừ mộ t so điem) và c (a, b) Khi x bie n thiê n từ bê n trá i sang bê n phả i điem c mà đạ o hà′(m): a) đoi da u từ + sang – thı̀ f(c) là cự c đạ i, b) đoi da u từ – sang + thı̀ f(c) là cự c tieu, c) khô ng đoi da u thı̀ f(c) khô ng là cự c trị Ví dụ Hà m nà o sau đâ y đạ t cự c trị tạ i x = 0: ( ) ( ) = − ( ) ( ) = ( ) ℎ( ) = | | hữ u hạ n Lời giải (i) ( ) = −2 đoi da u từ dương sang â m nê n( ) đạ t cự c đạ i tạ i x = (j) ( ) = khô ng đoi da u nê n( ) khô ng đạ t cự c trị tạ i x = (k) Với x < thı̀ ℎ( ) = − nê n ℎ ( ) = −1 Với x > thı̀ ℎ( ) = nê n ℎ ( ) = Đạ o hà m đoi da u từ â m sang dươngℎ( nê n) đạ t cự c đạ i tạ i x = Định lý Giả sử f(x) khả vi đe n ca p n tạ i lâ n cậ n điem c và ( ) = ( ) = ⋯ = ( ) ( ) = 0, ( ) ( ) ≠ Khi đó , a) ne u n cha n (thı̀) đạ t cự c trị tạ i c, cụ the: ( ) < 0, o cự c đạ i tạ i (c )khi ( )( ) o cự c tieu tạ i c > 0, b) ne u n lẻ thı̀( ) khô ng là cự c trị Ví dụ Hà m nà o sau đâ y đạ t cự c trị tạ i x = 0: ( ) ( ) = − ( ) ( ) = + ( ) ℎ( ) = cos Lời giải (a) ( ) = −4 (0) = (b) ( )=5 (0) = ( ) = −12 , (0) = , (0) = 0, ( ) = 20 (0) = (0) = , ( ) = −24 , , ( )( ( )( ) = −24 0) = −24 < 0, vậ y(0) là cự c đạ i ( ) = 60 ( )( , ( )( ( )( ) = 120 , ( )( ) = 120 0) = 0, 0) ≠ 0, vậ y(0) khô ng là cự c trị sin , ℎ ( ) = cos − sin − cos (c) ℎ ( ) = cos − ℎ (0) = 0, ℎ (0) = > 0, vậℎ(0) y là cự c tieu 13 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Khảo sát hàm số tọa độ Descartes Đe khả o sá t hà m so = ( ), ta thự c hiệ n theo cá c bước sau đâ y Tı̀m mie n xá c định, nhậ n xé t ve tı́nh cha n, lẻ hoặc tua n hoà n củ a hà m so (ne u Chie u bie n thiê n: tı̀m khoả ng tă ng, giả m củ a hà m so ba ng cá ch tı̀m nghiệ m củ a phương trı̀nh ( ) = 0, nhậ n đượ c cá c điem , tı́nh cá c giá trị( ) Tı̀m cá c giới hạ n củ a( ) x → ±∞ và tiệ m cậ n (ne u có ) Lậ p bả ng bie n thiê n Vẽ đo thị Ví dụ Khả o sá t và vẽ đo thị hà m = so( ) = Lời giải x3 x Mie n xá c định:     hoặ  c0,xhoặ c x > x 1 x 1 Chie u bie n thiê n: x 3 3  f '(x) =  x   =  x1 = và x2 = , y(x1) = 0, y(x2) = 2   (x  1) Tiệ m cậ n đứng là x = Ta tı̀m tiệ m cậ n xiê n dạ ng y = kx + b khi .x  Khi x  –: f (x) x =–  –1, x x 1 x x 1  x   1   x x   x 1   f(x) + x = x  x x  x 1  1 1 x 1 x 1 Vậ y tiệ m cậ n xiê nkhi –xlà y = –x –  Khi x  +: f (x)  x x  1, x 1 x 1  x   1  x x   f(x) – x = x  x  x   1 x 1 Vậ y tiệ m cậ n xiê n là y = x+ 14 x x 1  x 1 x 1 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Bả ng bie n thiê n x – f' – – + + + + + f 3 Vẽ đo thị y 3 2 O 13 –2 x Khảo sát đường cong cho phương trình tham số a) Phương trình tham số đường cong Cho hệ hai phương trı̀nh  x  f (t) , t (, )   y  g(t) (*) Với mo (, i t ), hệ (*) cho nghiệ m (x, y) Khi t bie n thiê  đe n từ, n tậ p cá c điem M(x, y) vẽ lê n mộ t đường cong C R2 Ta xem C là đo thị củ a mộ t quan hệ hà m so giữ a x với y, và gọ i (*) là phương trı̀nh tham so củ a đường cong C Ví dụ Phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A(xA, yA) B(xB, yB) là = Đặ t hai bieu thức đó ba ng t ro i giả i x và y theo t, ta nhậ n đượ c =( − ) + , ∈ =( − ) + Đây phương trình tham số đường cong qua A(xA, yA) B(xB, yB) Ne u hạ n che  [0, 1], t ta nhậ n đượ c phương trı̀nh tham so củ a đoạ n tha Trong cá c phương trı̀nh trê n, có the hoá n đoi xA với xB và yA với yB Ví dụ Phương trı̀nh chı́nh ta c củ a đường trò n tâ m C(x C, yC) bá n kı́nh R là (x – xC)2 + (y – yC)2 = R2 Với t  [0, 2], đặ t Cx += Rcost x và y = yC + Rsint Vậ y phương trı̀nh tham so củ a đường trò n đó là 15 ng AB Chương – Toán Ví dụ Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc = + cos , ∈ [0, ] + sin = Phương trı̀nh chı́nh ta c củ a ellipse tâ m C(x C, yC) với bá n trụ c a và b là ( ) + ( ) =1 + sin , ta nhậ n đượ c phương trı̀nh tham Với t  [0, 2], đặ=t + cos , = so củ a đường ellipse đó là = + cos , ∈ [0, ] = + sin Ví dụ Đường cycloid Co định mộ t điem trê n mộ t đường trò n bá n kı́nh a Cho đường trò n nà y lă n khô ng trượ t trê n mộ t đường tha ng, tı̀m quỹ đạ o chuyen độ ng củ a điem đó y M O F D G a x N Lời giải Giả sử vị trı́ ban đa u củ a tâ m củ a đường trò n là (0, a), điem đượ c chọ n trù ng với go c toạ độ O Xé t mộ t vị trı́ mới M(x, y) củ a điem đượ c chọ n, tie p điem lú c đó củ a đư  = ON Đặ t NDM  trò n với đường tha ng là N, tâ m đường trò n là D, ta cóNM t = , ta nhậ n đượ c  – MG = at – asint, x = OF = ON – FN = NM y = FM = NG = ND – GD = a – acost Vậ y phương trı̀nh tham so củ a quỹ đạ o đó là  x  a(t  sin t) , t[0, 2]   y  a(1  cost) b) Khảo sát đường cong cho dạng tham số Cá c bước khả o sá t đường cong cho dưới dạ ng tham so ga n gio ng cá c bước khả o sá t đường cong cho toạ độ Descartes Tìm miền xác định, nhận xét tính chẵn, lẻ tuần hoàn x = x(t) y = y(t) )= Chie u bie n thiê n: giả i độ c lậ p từng phương( trı̀ nh0, ( ) = tı̀m đượ c cá c giá trịk, ttı́nh cá c giá trị( ), ( ) Tiệ m cậ n: xé t quá trı̀ nhtt0 hoặ c t  Ne u x(t)  a (hữ u hạ n) và  y(t)  thı̀ có tiệ m cậ n đứng là x = a  Ne u x(t)   và y(t)  b (hữ u hạ n) thı̀ có tiệ m cậ n ngang là y = b  Nếu x(t)   y(t)  , đồng thời y(t)  k (hữu hạn) [y(t) – kx(t)]  b (hữu x(t) hạn) có tiệm cận xiên y = kx + b 16 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Lậ p bả ng bie n thiê n củ a cá c hà m x(t) và y(t): Đe tă ng độ chı́nh xá c ve đường cong, ta phả i tham khả o thê m giá trị củ a ( ) = ′( )/ ′( ) Vẽ đo thị Ví dụ Lời giải dá ng điệ u củ a + = , a > Khả o sá t và vẽ đo thị đường astroid Ta đưa ve phương trı̀nh tham so ba ng cá ch đặ t  x  a cos3 t , tR, a >   y  a sin t Dễ thấy x(t) hàm chẵn, y(t) hàm lẻ, hai tuần hoàn chu kỳ 2 Vì ta cần khảo sát nửa chu kỳ miền [0, ] Chie u bie n thiê n: x'(t) = –3acos2tsint =  t = 0, t = /2, t =  y'(t) = 3asin2tcost =  t = 0, t = /2, t =  =− = 0: = , = 0, = = : = , = −∞ = 0, = : = − , = 0, =0 Tiệ m cậ n: |x(t)|  a và |y(t)|  a nê n khô ng có tiệ m cậ n Bả ng bie n thiê n t x'(t) x(t) a – y'(t) y(t) + /2 – 0 a y'/x'  –a – 0 -∞ Vẽ đo thị Dự a và o bả ng bie n thiê n, ta vẽ đượ c pha n đo thị ứng với y ≥ Do ( ) là hà m cha n và( ) là hà m lẻ nê n với giá trị củ a t thuộ c nửa chu kỳ [− , 0] thı̀ ( ) khô ng đoi, cò n ( ) đoi da u, vı̀ vậ y pha n đo thị tương ứng là đo i xứng với pha n đo qua trụ c hoà nh Khảo sát đường cong toạ độ cực a) Hệ toạ độ cực 17 thị đã vẽ Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Hệ toạ độ cự c go m mộ t điem co định O (go c cự c) va chứa mộ t vé c tơ đơn vị (trụ c cự c) Giả sử M là điem mặ t pha ng No i go c O với M, vé c tơ ⃗ đượ c gọ i là bá n kı́nh vé c tơ Ký hiê r lạ̀đôụ dà i củ a ⃗ , gọ i y y M(x, y) r là bá n kı́nh cự c, và α là gó c tạ o bởi trụ c cự⃗ c với ⃗, ⃗ , = ⃗ =  O P x x Khi đó , điem M hoà n toà n đượ c xá c định bởi cặ r, φ) vàp ta ( gọ i đó là tọ a độ cự c củ a   điem M Giá trị của là dương hay â m phụ thuộ c chie u quay a n trù ng vơOM ́ i là OPcủđe chie u dương hay chie u â m Ne u hạ n che  [0, 2] thı̀ mo i điem M mặ t pha ng sẽ tương ứng nha t với mộ t đượ c cặ r, )pvàsongươ ( ̣ c lạ i Riê ng điem O thı̀ có r = 0,còthı̀ n tuỳ ý Đe tha y mo i quan hệ giữ a hệ toạ độ cự c với hệ trụ c toạ độ Descartes, ta hệ trụ c toạ độ Descartes, có go c toạ độ trù ng với go c cự c và có trụ c hoà nh cù ng  chie u vơOP ́ i Xé t điem M có toạ độ (x, y) hệ trụ c trụ c toạ đo Descartes Ta có cá c mo i liê n hệ sau: = cos (*) = sin , ≤ ≤ , ≥ Cô ng thức (*) xá c định nha t (x, y) bie t (r, φ) Từ (*) ta có the giả i r và φ = tan + = (2*) Cô ng thức (2*) xá c định nha t r và hai giá  trịbie t x và y, ta chọ  n cho sin cù ng da u với y vı̀ = sin Sự mở rộng Ta có the mở rộ ng đe r có the nhậ n giá trị â m Điem M tương ứng với(cặ , ) p đượ c xá c định sau: Vẽ mộ t tia (nửa đường tha ng có xá c định hướng dương) là m với trụ c cự c mộ t gó c φ, điem M sẽ na m trê n tia nà y và cá ch | |ba go c cự c mộ t khoả ng Ne ngru> thı̀ điem M na m ve phı́a dương củ a tia, ne ru< thı̀ điem M na m ve phı́a â m củ a tia Vı́ dụ , với điem (1, 1) tọ a độ Descartes thı̀ tọ a(đô,̣) cư cụ̉ a nó c có the la y là r > 0: √2, /4 , √2, /4 + r < 0: −√2, /4 + 18 , √2, /4 + , −√2, /4 + , … , −√2, /4 + , … Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc b) Phương trình đường cong toạ độ cực Thay = cos , = sin và o phương trı̀nh củ a đường cong toạ độ Descartes, ta nhậ n đượ c phương trı̀nh đường cong đó toạ độ cự = c(dạ ) Vı́ ngdụ , phương trı̀nh đường trò n tâ m O bá n kı́nh a là r = a Phương trı̀nh đường trò n tâ m (1, 0) bá n kı́nh a là ( cos − 1) + ( sin ) = ⇔ − cos + = c) Khảo sát đường cong hệ toạ độ cực Giả sử đường cong đượ c cho bởi phương trı̀nh= ( ) Cá c bước khả o sá t sau: Tı̀m mie n xá c định, nhậ n xé t tı́nh cha n, lẻ hoặ c tua ( ) n hoà n củ a Giả i phương trı̀nh ( ) = tı̀m đượ c cá c , tı́nh cá c giá trị( ) Lậ p bả ng bie n thiê n củ ( a) theo  Vẽ đo thị Đe tă ng độ chı́nh xá c ve dá ng điệ u củ a đo thị tại điem M, ta ca n xá c định gó c V  dương giữ OM a và vé c tơ chı̉ phương củ a tie p tuye n củ a đường cong tạ i M Ký  là hiêgó ̣cu dương giữ a trụ c cự c và tie p tuye = n, ta − có, đó tan = tan( − ) = Mặ t khá tanc, = tan − tan (1 + tan tan ) = Ví dụ y = = tan = tan ⇒ tan = V + M  O − tan  x = Vẽ đường xoa n o c logarith có phương trı̀ = nh , a > 0, b > Mie n xá c định:  = > 0, vậ y độ dà i vé c tơ bá n kı́nh đơn điệ u tă ng Bả ng bie n thiê n tan : = = , chứng tỏ độ lớn củ a gó c V khô ng đoi Đo thị: (Như hı̀nh trê n) Ví dụ 10 Vẽ đường hoa ho ng ba cá nh = sin , > Lời giải Mie n xá c định:  Vı̀ ( ) là hà m lẻ , tua n hoà n chu kỳ /3, nê n ta chı̉ khả o sá t mie [0, n /3] Ta có = cos = ⇔ = /6 19 = , tan = tan Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Dự a và o bả ng bie n thiê n, ta chı̉ vẽ đượ c mộ t "cá nh", là pha n củ a đo thị ứng với φ t nửa chu kỳ [0, /3] Do ( ) là hà m lẻ nê n φ bie n thiê n mie[− n/3,0] thı̀ giá trị củ a ( ) trá i da u so với φ bie n thiê n mie [0, /3] n Vı̀ vậ y pha n đo thị đó phả i đượ c vẽ trê n mie n đo i xứng qua go c tọ a độ [−vơ/3,0] ́ i mie Ơ n nửa đa u chu kỳ thư [ ́ /3, 2, /3], đo thị đượ c vẽ gio ng ở nửa đa u chu[− kỳ /3,0], thứ nha tức làt, phả i vẽ trê n mie n đo i xứng qua go c tọ a độ , đó chı́nh là "cá nh" bê n dưới Pha n đo thị ứng với nửa sau củ a chu kỳ thứ hai sẽ trù ng với "cá nh" đa u tiê n Ví dụ 11 Vẽ đường hoa ho ng tá m cá nh = cos , > Lời giải Ta tha y( ) là hà m cha n, tua n hoà n chu kỳ T = π/2 Vı̀ vậ y ta chı̉ ca n khả o sá t trê n nửa dương củ a mộ t chu kỳ [− /4, /4], tức ≤ φ ≤ π/4 = −4 sin = ⇔ = 0,  r' r 0 a Tạ i φ = 0, tan π/4 –  = − , tan = − cot = ∞ nê n tie p tuye n củ a đường cong vuô ng gó c với bá n kı́nh vé c tơ, tức là vuô ng gó c với trụ c cự c Vı̀ vậ y tie p tuye n tạ i đó là đường tha ng đứng -a tgV = (0) = ,  Tạ i φ = π/4 , tan = ∞ nê n tie p tuye n củ a đường cong vuô ng gó c với bá n kı́nh vé c tơ, tức là vuô ng gó c với tia = /4 Khi φ bie n thiê n từ đe n π/8 (thı̀) giả m da n từ a ve 0, tức là đường cong qua go c cự c.(Vı̀) > nê n đo thị na m giữ a cá c tia φ = và φ = π/8 Khi φ bie n thiê n từ π/8 đe n π/4 (thı̀) nhậ n giá trị â m và giả m từ đe n -a nê n đo thị đượ c vẽ sang mie n đo i xứng, tức là na m giữ a cá c tia φ = π/8 + π và π/4 + π Xé t trê n nửa chu kỳ [− /4,0] Do ( ) là hà m cha n nê n φ đoi da u thı̀ = ( ) cos khô ng đoi, cò n = ( ) sin đoi da u Vı̀ vậ y đo thị trê[− n mie /4,0] nđo i xứng với đo thị trê n mie [0, /4] n qua trụ c cự c (trụ c hoà nh) Đo ≤ quanh go ≤ thị trê n chu kỳ tie p theo, , nhậ n đượ c ba ng cá ch xoay c cự c theo chie u dương pha mộ t chu kỳ ,/2 20 n đo thị đã vẽ mộ t gó c ba ng Chương – Toán Đo Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc thị trê n chu kỳ thứ 3, ≤ chie u dương pha n đo Đo , nhậ n đượ c ba ng cá ch xoay quanh go ≤ , nhậ n đượ c ba ng cá ch xoay quanh go thị củ a chu kỳ thứ nha t mộ t gó c ba /2 ng chu kỳ , Đường cong sẽ đa y đủ φ bie n thiê n chu kỳ liê n tie p, − ≤ c cự c theo thị củ a chu kỳ thứ nha t mộ t gó c ba /2ng=2 chu kỳ , thị trê n chu kỳ thứ 4, ≤ chie u dương pha n đo ≤ ≤ /4 hoặ ≤c ≤2 21 c cự c theo ... cos = = tan cos sin III Đạo hàm cấp cao vi phân cấp cao ) =nlim n tạ i giới(hạ Ne u to ( ) ( ) → thı̀ ta nó i "hàm f có đạo hàm điểm x" hoặ c ta hàm nó i " f khả vi điểm x" Như vậ y,... lý = = ( ) (Đạo hàm hàm hợp) Giả sử ( ) = ( ( )) Ne fu khả vi tại x = a và g khả vi tạf(a) i thı̀ u khả vi tại x = a và Với x ba t kỳ thı̀, ( ) ( )= = ( ) ′( ) ( ) ′( ) Chương – Toán... nó là Đạo hàm Định nghĩa Đạo hà m củ a hà mtại a, ký hiệ u′( ), là lim ( ) ( ) → (ne u to n tạ i) Khi đó ta nó i "hàm f có đạo hàm điểm a" hoặc ta hàm nó i " f khả vi điểm a"