Giáo trình phép tính vi phân dạng vi phân trong không gian banach

PHÉP TÍMI\I Le NHÀ XUẤT BAN DAI HOC SU PHAM ø a SAS NGUYEN VAN KHUE - LE MAU HAI PHÉP TÍNH VI PHÂN - DẠNG VI PHAN TRONG KHƠNG GIAN BANACH [sat al Mary [ THƯNG TÂM AOS 2A ưĨ THANH HỊA Ÿï-TL - *HƯ VIỄN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MA SO: 01 01 37/46 - DH2004 Lời mở đầu Mục đích Giáo trình trình bày phép tính vi phân dạng vi phân hàm nhiều biến Để tiếp cận với Giải tích đại, đặc biệt với Giải tích phức khơng gian vơ hạn chiều, chúng tơi trình bày phép tính lớp khơng gian Banach Giáo trình viết theo giảng riêng biệt giảng dạy nhiều năm, phần cho sinh viên lớp chất lượng cao phần lớn cho học viên cao học khoa “Toán - “Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội Chúng mong nhận góp ý độc giả Các tác giả MỤC Lời mở LỤC đầu Phan | PHEP TINH VI PHAN TRONG KHONG GIAN BANACH Bài Một số kiến thức bổ trợ ánh xạ tuyến tính va đa tuyến tính liên tục khơng gian Banach Khơng gian vectơ chuẩn Ánh xạ tuyến tính liên tục Ánh xạ đa tuyến tính liên tục Chuỗi khơng gian Banach Bài Ánh xạ khả vi 16 21 at 36 Khái niệm đạo hàm 36 Các quy tắc đạo hàm 41 Đạo hàm riêng 45 Công thức số gia giới nội mối liên hệ giữa-tính liên bục đạo hàm đạo hàm riêng 49 5.- Một số định lý phép tính vi phân hàm vô hướng Bài Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp 2 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm riêng cấp cao Sỉ 61 61 74 85 Bài Định lý hàm ngược hàm ẩn 89 Định lý hàm ngược 89 Định lý hàm ẩn 94 Công thức Taylor Cực trị địa phương 98 98 102 Cực trị có điều kiện 106 Bài Cơng thức Taylor cực trị địa phương, Phần II DANG VI PHAN VA TICH PHAN DANG VI PHAN ae oS Bai Anh xa da tuyén tinh thay dau Phép thé Anh xa da tun tinh thay dau lién tuc Tích ngồi ánh xạ đa tuyến tính thay dấu Tích ngồi dạng tuyến tính Trường hợp E hữu hạn chiều Khái niệm dạng vi phân Biểu diễn tọa độ dang vi phan trén R” oak wn _ Bài Dạng vi phân 112 112 114 117 121 122 124 124 125 Tích ngồi dạng vi phân 127 Vị phân dạng vi phân 128 Thay biến dạng vi phân 131 Dinh ly Poincaré 137 Các định nghĩa 143 R3 Không gian tiếp xúc 146 Dạng vi phân đa tạp 149 h Đạo hàm dạng vi phân đa tạp 150 ơt 143 Đa tạp định hướng 153 œ Bài Đa tạp khả vi Đa tạp có bờ 156 Bài Tích phân theo xích kỳ dị - Công thức Stokes 159 Một số kiến thức hình học bổ sung 159 - Định lý Stokes hình lập phương kỳ dị 162 Tích phân đa tạp - Cơng thức Stokes 166 Tài liệu tham khảo 171 Phan | : PHEP TINH VI PHAN TRONG KHONG GIAN BANACH Phép tính vi phân tích phân tảng Giải tích tốn học, đặc biệt Giải tích tốn học đại Để tiếp cận với phát triển Giải tích, chúng tơi trình bày hai phép tính lớp khơng gian Banach Bài MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ ĐA TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC GIỮA CÁC KHƠNG GIAN BANACH Để trình bày phép tính vi phân khơng gian Banach, đây, ta nhắc lại đưa số kết ánh xạ tuyến tính đa tuyến tính liên tục lớp không gian Banach KHONG GIAN VECTO VA CHUAN TREN NO 1.1 Dinh nghia Tập È với hai ánh xạ ƒ: Ex E —> E vag: Rx E — E gọi không gian vectơ (trên R) (1) Ánh xạ ƒ, mà giá trị (z,u) € Ex E viết z + , gọi tổng z y, ƒ gọi phép cộng thỏa man: a)z+=++ VayeE Bài TÍCH PHÂN THEO XÍCH KỲ DỊ - CÔNG THỨC STOKES MOT SO KIEN THUC HINH HOC BO SUNG 1.1 Một hàm liên tục : [0,1]? X với X tập mở IR”*,rmn > 1®, gọi hình lập phương kỳ dị n-chiều Thơng thường, R® |0, 1]? hiểu {0} Khi hình lập phương kỳ dị 0-chiều X ánh xạ : {0} — X Hình lập phương kỳ dị 1-chiều thường gọi đường cong , Ví dụ quan hình lập phương I” : |0,1]” — IR” cho I"œ)=x Vze€ n-chiều chuẩn tắc |0,1]” Ta cịn xét tổng hình thức hình lập phương kỳ dị n-chiều X với hệ số nguyên Đó biểu thức dạng C10, +:-:+CmOm VỚI C¡, ; Cmạ € Z, vành số nguyên, ơi, , ơạ„, hình lập phương kỳ dị n-chiéu X Mỗi biểu thức hình thức gọi xích kỳ dị n-chiều X Ký hiệu Ho(X) tập tất xích Khi ?{o(X) nhóm giao hốn với phép tốn theo hệ số Đối với xích kỳ dị n-chiều ø X' ta xác định xích ky di (n — 1)-chiéu goi biên ơ, ký hiệu Øơ Chang han, xác định biên J2 tổng hình lập phương chiều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ dọc theo biên 159 (tôpô) 72 Tuy nhiên, cách thuận lợi, ta coi biên ^ ae + aA ` ` ~ ae 12 tổng với hệ số +1 hình vẽ ^ A + ^ A +, A ` ^ =1 +1 Hinh 8.1 Dé dinh nghia OJ” ta lam nhu sau 0 phải chứng minh 3.3 Định lý đổi biến số cho ta điều Giả sử w m-dang vi phan trén da tạp định hướng mm-chiều Nếu ÄM tìm hình lập phương kỳ dị [of mm-chiều có hướng ø cho w = ơ(|0, 1]”), ta đặt Mệnh dé 5.2 chứng tỏ / œ không phụ thuộc vào M Bay giờ, giả sử œ rn-dạng vi phân tùy ý Mƒ M có phủ mở Z⁄ cho với moi U € ?⁄4 tồn hình lập phương kỳ dị rm-chiều có hướng ø cho Ứ C ø({0,1]) Giả sử foo Zo phân hoạch đơn vị Ä⁄ phù hợp với phủ WU Dat eons 167 Dễ thấy định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn phủ Z phần hoạch đơn vị ý phù hợp với Tất định nghĩa tiến hành đa tạp m-chiều có biên định hướng Giả sử ÄMƒ định hướng p = {tr} wear Ta định hướng Øăf hướng Ôw từ miêu tả 3.6.4 Khi Ø(„,oy có hướng ?n chẵn khơng có hướng ?n lẻ Như (mm — 1)-dạng vi phân œ Ä/ không khắp nơi ngồi øơ({0, 1]*) ta có J œ = (—1)” Ø(m.,0) Mặt khác o(m,o) fo OM tham gia dinh nghĩa Øơ với hệ số fo= [ o-car f v= fo (-—1)™, nén de (-1)™o(m,0) 3.4 Dinh ly Stokes hướng M compact Z(m,0) OM Gid sé M da tap m-chiéu dinh có bờ va w la mot (m — 1)-dang vi phan trén Khi doé _= OM Ƒ« aM M mang hng cdm sinh bdi hudng cia M Chứng minh Trước hết, giả thiết M \ OM có hình hộp kỳ dị rm-chiều có hướng øơ cho œ = ngồi ơ(Í0, 1] ?) Theo Định lý Stokes xích kỳ dị ta có [aw = J o* (dw) = J d(o*w) = [0,1] = [ows orm 168 [0,1]”m fu Oo Khi M Oa vi w = Mặt khác ta có fe = 0viw=0 trén aM OM Bay gid gid st M cé mot hinh lap phuong ky di mchiều có hướng o cho biên nhat cia né nam OM đ(,oy œ = o([0,1])”) Khi | tem Pex fom fo aM Cuối cùng, xét trường hợp tổng quát ta phi M bdi ho tập U cho ¿ phân hoạch đơn vị phù hợp với U thi @œ thuộc hai loại nói Ta có 0=4() =d( 3e) = » có có - Và PEON Do lun PEON = [de nw PEON pds => [ dex) = Sf w= fo PEON PEPaM aM 169 170 Tài liệu tham khảo H Cartan Calcul differential - Formes différentialle’s man 1967 Paris, M Spivak Calculus on Manifolds Benjamin, Her- 1965 Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm va gidi tich ham (tép I) NXB Gido Duc, 2001 Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải Cơ sở lý thuyết bừm tà giải tích hàm (tập II) NXB Giáo Dục, 2001 171 Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO „ Tổng biên tập LÊ A Biên tập: NGUYÊN TIẾN TRUNG Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG PHÉP TÍNH VI PHÂN - DANG VI PHAN TRONG KHONG GIAN BANACH In 1000 cuốn, khổ 14,5 x 20,5 em Xưởng in Trung tâm NC & SX Học liệu- Đại học Sư phạm Hà Nội Giấy phép xuất số 37-441/XB-QLXB, kí ngày 13/4/2004 In xong nộp lưu chiểu tháng năm 2004 ` 17.0001