Bài giảng Giải tích 2 – Chương 2 – Đạo hàm riêng vi phân khai triển Taylor cực trị (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f trên D: 1 Tìm trong D các điểm trong của D bài toán tìm cực trị không điều kiện Tìm điểm tới hạn của f : P1, P2 ,.... Loại các điểm[r]

1 Đạo hàm riêng, vi phân Đạo hàm riêng, vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng, vi phân hàm ẩn Đạo hàm theo hướng Công thức Taylor, Maclaurint Cực trị hàm nhiều biến TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Định nghĩa đạo hàm riêng theo biến 𝒙 Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) cố định Xét hàm biến 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) theo biến 𝑥 Đạo hàm hàm biến 𝐹(𝑥) 𝑥0 gọi là đạo hàm riêng theo biến 𝑥 hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), ký hiệu: f ( x0 , y0 ) F ( x0  x)  F ( x0 )  f x ( x0 , y0 )  lim x 0 x x f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )  lim x 0 x 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa đạo hàm riêng theo biến 𝒚 Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) cố định Xét hàm biến 𝐹 𝑦 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦) theo biến 𝑦 Đạo hàm hàm biến 𝐹(𝑦) 𝑦0 gọi là đạo hàm riêng theo biến 𝑦 hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), ký hiệu: f ( x0 , y0 ) F ( y0  y )  F ( y0 )  f y ( x0 , y0 )  lim y 0 y y f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )  lim y 0 y 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ghi nhớ Đạo hàm riêng 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) theo 𝑥 là đạo hàm hàm biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) Đạo hàm riêng 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) theo 𝑦 là đạo hàm hàm biến 𝑓 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦) Qui tắc tìm đạo hàm riêng Để tìm đạo hàm riêng 𝑓 theo biến 𝑥, ta coi 𝑓 là hàm biến 𝑥, biến còn lại 𝑦 là số 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝑓(𝑥, 𝑦) biễu diễn mặt 𝑆 (màu xanh) Giả sử 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑐, nên điểm 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑆 Cố định 𝑦 = 𝑏 Đường cong 𝐶1 là giao 𝑆 và mặt phẳng 𝑦 = 𝑏 Phương trình đường cong 𝐶1 là 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑏) Hệ số góc tiếp tuyến 𝑇1 với đường cong 𝐶1 là: 𝑔′ 𝑎 = 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏) Đạo hàm riêng theo 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) là hệ số góc tiếp tuyến 𝑇1 với đường cong 𝐶1 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) Tương tự, đạo hàm riêng theo 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) là hệ số góc tiếp tuyến 𝑇2 với đường cong 𝐶2 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑥 − 2𝑦 Tìm 𝑓𝑥′ (1,1) và biễu diễn hình học đạo hàm riêng này 𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 → 𝑓𝑥′ 1,1 = −2 Mặt bậc hai 𝑓(𝑥, 𝑦) Mặt phẳng 𝑦 = cắt ngang đường cong 𝐶1 Tiếp tuyến với 𝐶1 (1,1,1) là đường thẳng màu hồng Hệ số góc tiếp tuyến với 𝐶1 (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Biễu diễn hình học 𝑓𝑥′ (1,1): 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính chất đạo hàm riêng Vì đạo hàm riêng là đạo hàm hàm biến nên tính chất đạo hàm riêng có tính chất đạo hàm hàm biến 1) ( f )x   f x 2) ( f  g )x  f x  g x 3)  f  g  x  f x  g  f  g x gf x  fg x  f  4)    g g  x Hàm biến: hàm có đạo hàm cấp 𝑥0 thì hàm liên tục 𝑥0 Hàm nhiều biến: tồn hàm có các đạo hàm riêng cấp (x0,y0) chưa hàm đã liên tục điểm này 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tìm đạo hàm riêng f x (1, 2), f y (1, 2) , biết f ( x, y )  ln( x  y )  x 2x x2  y 2  f x (1, 2)  f y ( x, y )  ln( x  y )  y 4y f y ( x, y )  x  y2  f y (1, 2)  f x ( x, y )  ln( x  y ) f x ( x, y )  30-Jan-21   TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tìm đạo hàm riêng f x (1, 2), f y (1, 2) , biết f ( x, y )  ( x  y ) y  f x ( x, y )  ( x  y ) y x  f x ( x, y )  y ( x  y ) y 1  f x (1, 2)  10 ln f  y ln( x  y ) f y  ln( x  y )  y  Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có: f x  2y  y  f y ( x, y )  ( x  y ) ln( x  y )  y  x  y     f y ( x, y )  25(ln  ) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 Ví dụ Cho f ( x, y )  x  y 1) Tìm f x (1,1) 1) f x ( x, y )   x y 2) Tìm f x (0,0)    x x x2  y3 3) Tìm f y (0,0)  f x (1,1)  2) Không thể thay (0,0) vào công thức để tìm f x (0,0) Ta sử dụng định nghĩa: (x)   f (0  x,0)  f (0,0) | x |   lim f x (0,0)  lim  lim x0 x 0 x0 x x x Không tồn giới hạn này vì giới hạn trái và giới hạn phải không ( y )  f (0,0  y )  f (0,0)  lim khong  3) Tương tự: f y (0,0)  lim y  y 0 y y 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 11 Ví dụ Cho x2  y f ( x, y )   t2 e dt Tìm f x ( x, y ), f y ( x, y )  f x ( x, y )     x y   e dt   e  x t2  x y 2    x y 2   e x x2  y  x x2  y Vì biểu thức đối xứng x và y nên, đổi chỗ x và y cho ta đạo hàm riêng theo y  f y ( x, y )  e 30-Jan-21 x2  y  y x2  y TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 12 Ví dụ e 1/( x  y ) , x  y  Cho f ( x, y )   0, x2  y   Tìm f x (0,0) 1/( x )2 e f (0  x,0)  f (0,0)  lim f x (0,0)  lim x0 x 0 x x Đặt t  , suy t   x  f x (0,0)  lim te t  30-Jan-21 t 0 (sử dụng qui tắc Lopital) TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 13 Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Đạo hàm riêng theo 𝑥 và theo 𝑦 là hàm hai biến 𝑥 và 𝑦 Ta có thể lấy đạo hàm riêng hàm 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦):  f    f ( x , y )  f ( x , y )  ( x, y )  x  x xx x 2  f  ( x, y )  f x ( x, y )  y  f xy ( x, y )  yx Tương tự, có thể lấy đạo hàm riêng hàm 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦):  f   f y ( x, y)  x  f yx ( x, y)  xy ( x, y) 2  f     f y ( x, y)  y  f yy ( x, y)  y ( x, y) Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao Vì đạo hàm riêng là đạo hàm hàm biến nên việc tính đạo hàm riêng cấp cao tương tự tính đạo hàm cấp cao hàm biến: dùng công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 14 Chú ý Nói chung 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) ≠ (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 nên lấy đạo hàm riêng cấp cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm Định lý Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng f x, f y , f xy , f yx xác định lân cận ( x0 , y0 ) và liên tục điểm này Khi đó: 2 f 2 f ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 ) xy yx 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 15 Ví dụ Chứng tỏ hàm f ( x, y )  e x sin y thỏa phương trình Laplace: 2 f 2 f  0 x y f x ( x, y )  e x sin y f xx  e x sin y f y ( x, y )  e x cos y   e x sin y f yy 2 f 2 f    e x sin y  e x sin y  x y Hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) thỏa phương trình Laplace gọi là hàm điều hòa Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng lý thuyết fluid flow, heat conduction, electric potential,… 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 16 Ví dụ Chứng tỏ hàm 𝑢 𝑥, 𝑡 = sin⁡(𝑥 − 𝑎𝑡) thỏa phương trình sóng:  2u  u a t x ut ( x, t )  a cos( x  at ) utt   a sin( x  at ) ux ( x, t )  cos( x  at ) uxx   sin( x  at )  2u  u 2  a   a sin( x  at ) t x Phương trình sóng mô tả chuyển động các loại sóng: sóng biển, sóng âm hay sóng chuyển động dọc theo sợi dây rung 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 17 Ví dụ Chứng tỏ 𝑢 𝑡, 𝑥 = truyền nhiệt: ux ( x, t )  2𝑎 𝜋𝑡 𝑒𝑥𝑝 𝑥2 − 4𝑎 𝑡 thỏa phương trình u  u a t x 2a  t e  x /(4 a 2t )  2 x     4a t )  x  2a 2t  x /(4 a 2t )  uxx ( x, t )  e 8a t  t 2 2  x  a t  x /(4 a 2t ) u   x /(4 a t ) e  e   32 t  2a  t  t 8a t  t u  u  a t x 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 18 Ví dụ  xy , x  y   x2  y f ( x, y )   Cho 2  0, x  y 0  Tìm f xx (0,0) f (0  x,0)  f (0,0) 00 f x (0,0)  lim  lim 0 x 0 x0 x x  y  yx 2 , x  y 0  2  h( x, y )  f x ( x, y )   x  y  2 0, x  y 0   30-Jan-21  TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 19 Ví dụ Tìm đạo hàm riêng cấp hai: h(0  x,0)  h(0,0) f xx (0,0)  hx (0,0)  lim x 0 x 00   f xx (0,0)  lim 0 x 0 x Tương tự tìm f yy (0,0)  và f xy (0,0); f yx (0,0) Chú ý: Để tìm đạo hàm riêng cấp hai (𝑥0, 𝑦0) ta phải tìm đạo hàm riêng cấp f x ( x, y ) điểm (tức là tìm hàm f x ( x, y ) ) Hàm này có các đạo hàm riêng cấp (0,0) không liên tục đây 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 20 Ví dụ 100 f Cho hàm u ( x, y )  (2 x  y ) ln( x  y ) Tìm 100 (1, 2) x Sử dụng công thức Leibnitz, coi 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm biến theo x Đặt u  f  g ; f ( x, y )  x  y; g ( x, y )  ln( x  y ) 100 f (0) (100) (99) (98)   ( x , y )  C f g  C f g  C f g  100 x x 100 x x 100 xx x 100 x (n) (n) n 1 f x  2; f xx  0; g x   ln( x  y )  x  (1) (n  1)! ( x  y)n 99 98 100 f (  1)  99! (  1)  98! ( x, y )  C100 (2 x  y )   C100  0 100 100 99 x ( x  y) ( x  y) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 21 Cho 𝑓 có các đạo hàm riêng cấp liên tục 𝐶1 và 𝐶2 là hai đường cong tạo nên hai mặt 𝑦 = 𝑏 và 𝑥 = 𝑎 cắt S n Điểm P nằm trên hai đường này Giả sử 𝑇1 và 𝑇2 ⁡là hai tiếp tuyến với hai đường cong 𝐶1 và 𝐶2 P Mặt phẳng (𝛼) chứa 𝑇1 và 𝑇2 gọi là mặt phẳng tiếp diện với mặt S P Tiếp tuyến với đường cong nằm S, qua P nằm (𝛼) uT1  1, 0, f x (a, b)  , uT2  0,1, f y (a, b) Phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt S 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐): z  c  f x (a, b)( x  a )  f y (a, b)( y  b)  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  22 Ví dụ Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic: 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 điểm (1,1,3) f x  x  f x (1,1)  f y  y  f y (1,1)  Phương trình mặt phẳng tiếp diện: z  z0  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) z   4( x  1)  2( y  1) z  x  y   L ( x, y ) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23 Nếu điểm tiếp xúc ta phóng to lên thì mặt paraboloid gần trùng với mặt phẳng tiếp diện 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 24 Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y – là hàm xấp xỉ tốt cho f = 2x2 + y2 mà (x,y) gần với điểm (1,1) f ( x, y )  x  y  (1.1,0.95)  f (1.1,0.95)  4(1.1)  2(0.95)   3.3 Gần với giá trị thực: f (1.1,0.5)  2(1.1)2  (0.95)2  3.3225 Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì kết không còn đúng (2,3)  f (2,3)  4(2)  2(3)   11 Khác xa với giá trị thực: f (2,3)  2(2)  (3)  17 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 25 Định nghĩa Cho hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) và (𝑥0, 𝑦0) là điểm miền xác định Hàm 𝑓 gọi là khả vi (𝑥0, 𝑦0) số gia toàn phần: f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 ) có thể biễu diễn dạng: f ( x0 , y0 )  A  x  B  y   (x, y ) đó A, B là các số; 𝜀 ∆𝑥, ∆𝑦 = 𝑜 𝜌 , 𝜌 → 0⁡⁡; ⁡𝜌 = ∆𝑥 + ∆𝑦 Đại lượng 𝑑𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = 𝐴 ∆𝑥 + 𝐵 ∆𝑦 gọi là vi phân hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑥0, 𝑦0) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 26 Định lý Định lý (điều kiện cần khả vi) Nếu hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) khả vi (𝑥0, 𝑦0), thì: 𝑓 liên tục (𝑥0, 𝑦0) 𝑓 có các đạo hàm riêng cấp (𝑥0, 𝑦0) và 𝐴 = 𝑓𝑥′ 𝑥0 , 𝑦0 , 𝐵 = 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) Định lý (điều kiện đủ) Nếu hàm f(x,y) xác định lân cận (x0,y0) và có các đạo hàm riêng 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ liên tục (x0,y0), thì hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 khả vi (𝑥0, 𝑦0) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 27 Định lý Định lý (điều kiện cần và đủ) Hàm f ( x, y) khả vi ( x0 , y0 ) và f ( x0 , y0 ) biểu diễn dạng: f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )   f x( x0 , y0 )  x  f y( x0 , y0 )  y   (x, y )  (x, y )  o(  ),   ;   x  y 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 28 Ghi nhớ Vi phân cấp 𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑥0, 𝑦0): df ( x0 , y0 )  f x ( x0 , y0 )dx  f y ( x0 , y0 )dy Tính chất vi phân Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) và 𝑔(𝑥, 𝑦) khả vi (𝑥0, 𝑦0) Khi đó: 1) d ( f )   df 2) d ( f  g )  df  dg 3) d ( fg )  gdf  fdg  f  gdf  fdg 4) d    g g   30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 29 z  f (a, b)  f x ( x  a )  f y ( y  b) Mặt tiếp diện 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30 Ghi nhớ Dùng vi phân cấp để tính gần đúng Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) khả vi (𝑥0, 𝑦0) Khi đó ta có: f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )  x  f y( x0 , y0 )  y   (x, y ) f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )  x  f y( x0 , y0 )  y   ( x, y ) f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )  x  f y( x0 , y0 )  y (1) Công thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị 𝑓 (𝑥, 𝑦) Công thức (1) có thể viết lại: f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )dx  f y( x0 , y0 )dy hay ta có: f  df 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 31 Ghi nhớ Qui tắc dùng vi phân cấp để tính gần đúng Để tính gần đúng giá trị hàm 𝑓 điểm cho trước (𝑥, 𝑦) Ta thực hiện: Xác định hàm 𝑓, chọn điểm (𝑥0, 𝑦0) gần với điểm (x,y) cho ∆𝑥, ∆𝑦 nhỏ Tính giá trị: x  x  x0 , y  y  y0 , f x( x0 , y0 ), f y( x0 , y0 ) Sử dụng công thức: f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 ) x  f y( x0 , y0 ) y (1) Chú ý: Nếu điểm (𝑥0, 𝑦0) xa với điểm (𝑥, 𝑦) thì giá trị tính không phù hợp 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32 Ví dụ Chứng tỏ 𝑓 = 𝑥𝑒 𝑥𝑦 khả vi (1,0) Sử dụng kết này để tính gần đúng giá trị 𝑓(1.1, −0.1) f x ( x, y )  e xy  xye xy ; f y ( x, y )  x 2e xy Các đạo hàm riêng cấp liên tục trên R2, nên liên tục lân cận (1,0) Theo định lý (đk đủ khả vi): 𝑓 = 𝑥𝑒 𝑥𝑦 khả vi (1,0) Chọn x0  1; y0   x  x  x0  1.1  1.0  0.1 y  y  y0  0.1   0.1 f (1.1, 0.1)  f (1,0)  f x (1,0) x  f y (1,0) y   1(0.1)  1(0.1)  So sánh với giá trị thực: f (1.1, 0.1)  (1.1)e0.11  0.98542 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 33 Ví dụ 2 f ( x , y )  x  xy  y Cho 1) Tìm df ( x, y ) 2) Khi x thay đổi từ đến 2.05, y thay đổi từ đến 2.96, so sánh df và ∆𝑓 1) df ( x, y )  f xdx  f ydy  df ( x, y )  (2 x  y ) dx  (3 x  y ) dy 2) Cho x0 = 2, y0 =  x  0.05, y  0.04, x  2.05, y  2.96 df (2,3)  (2.2  3.3)0.05  (3.2  2.3)(0.04)  0.65 f (2,3)  f (2.05, 2.96)  f (2,3) f (2,3)   2.05)   (2.5)  (2.96)  (2.96)    2     32   0.6449 Ta thấy hai giá trị gần giống df tính dễ 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 34 Định nghĩa Vi phân cấp cao Cho hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) đó 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm hai biến 𝑥, 𝑦 Vi phân (nếu có) vi phân cấp gọi là vi phân cấp d f ( x, y )  d (df ( x, y ))  d ( f xdx  f ydy )  d ( f xdx)  d ( f ydy )  dxd ( f x )  dyd ( f y )  dx ( f x )x dx  ( f x )y dy   dy ( f y )x dx  ( f y )y dy       dxdy  f yy  dydy  f xx dxdx  f xy dxdy  f yx  dy  d f ( x, y )  f xx dx  f xy dxdy  f yy Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n Sử dụng nhị thức n Newton:    n d f   dx  dy  f y   x 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 35 Ví dụ Công thức vi phân cấp hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦):    d f   dx  dy  f y   x 3                    dx  f   dx   dy  f   dx   dy  f   dy  f  x   x   y   x   y   y  3 3  f  f  f  f 3 2 d f  dx  dx dy  dxdy  dy x x y xy y     Công thức vi phân cấp 4: d f   dx  dy  f y   x 4 4 f 4 f  f  f  f 2  dx  dx dy  2 dx dy  dxdy  dy x x y x y xy y 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 36 Ví dụ Tìm vi phân cấp hai 𝑑 𝑓(1,1), biết 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦 f x  ye xy  f xx  y 2e xy , f xy  e xy (1  xy )   x 2e xy f y  xe xy  f yy Vi phân cấp hai:  dx  f xy  dxdy  f yy  dy d f  f xx  d f ( x, y )  e xy y 2dx  2(1  xy )dxdy  x 2dy  d f (1,1)  edx  4edxdy  edy 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37 Ví dụ Tìm vi phân cấp hai 𝑑 𝑓(1,1), biết 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 𝑥 y 2y 1 f x   f xx  , f xy  x x x    f y   f yy x Vi phân cấp hai:  dx  f xy  dxdy  f yy  dy d f  f xx d f ( x, y )  2y x dx  2 x dxdy  dy d f (1,1)  2dx  2dxdy 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 38 Ví dụ Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng: 𝐴 = (1.03)2 +(1.98)3 Chọn hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Chọn: 𝑥0 = 1, 𝑦0 =  x  x  x0  1.03   0.03 ; f  ( x, y )  y  y  y0  1.98   0.02 x x x2  y3 ; f y ( x, y )  3y2 x2  y3 f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f x ( x0 , y0 ) x  f y ( x0 , y0 ) y f (1.03,1.98)  f (1, 2)  f x (1, 2).(0.03)  f y (1, 2)(0.02) 3.4 A  (1.03)  (1.98)  f (1.03,1.98)   (0.03)  ( 0.02)  2.97 2.3 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 39 Cách tính Hàm biến  f  f (u )  f ( x)  f (u )  u( x)   u  u ( x) Hàm hai biến: Trường hợp  f  f (u )  f x  f (u )  ux ; f y  f (u )  uy  u  u ( x, y ) Trường hợp  f  f (u , v)   u  u ( x)  f ( x)  fu  u( x)  f v  v( x)  v  v( x)  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 40 Ví dụ u2 Tìm các đạo hàm riêng hàm hợp f  f (u )  e , u  sin( xy) f  f ( x, y )  e sin ( xy ) u2 sin ( xy )  y cos( xy ) u2 sin ( xy )  x cos( xy ) f x  f (u )  ux  2ue  y cos( xy )  2sin( xy )e f y  f (u )  uy  2ue  x cos( xy )  2sin( xy )e Tìm f x , biết f  f (u, v)  u 3v  ln(uv), u  e x , v  sin x 1 x  1 df   f ( x)  fu  u( x)  f v  v( x)   3u v   e   u   sin(2 x) u v dx   30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 41 Cách tính Trường hợp (Quy tắc dây chuyền)  f  f (u , v)   u  u ( x, y )   v  v ( x, y )  f x  fu  ux  f v  vx f y  fu  uy  f v  vy f = f(u,v) v = v(x,y) u = u(x,y) x 30-Jan-21 y f x x f y y TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 42 Ví dụ Tìm f x, f y hàm hợp f  f (u, v)  euv , u ( x, y )  x  y , v( x, y )  xy f  f ( x, y )  e ( x  y ) xy f x  fu  ux  f v  vx  veuv  x  ueuv  y f x  xye ( x  y ) xy  x  ( x  y )e 2 ( x  y ) xy y f y  fu  uy  f v  vy  veuv  y  ueuv  x f y  xye 30-Jan-21 ( x  y ) xy  y  ( x  y )e 2 ( x  y ) xy x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 43 Cách tính Trường hợp  f  f ( x, y )   y  y ( x) 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm hai biến theo x và y Khi đó ta có khái niệm đạo hàm riêng theo x: f f x  x Thay 𝑦 = 𝑦(𝑥) vào ta hàm biến theo 𝑥: df f dx f dy f f dy        dx x dx y dx x y dx Trong trường hợp này vừa tồn đạo hàm df dx f theo x là đạo hàm hàm biến x, vừa tồn đạo hàm riêng f x f theo x 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 44 Ví dụ  f df , Tìm hàm f  f ( x, y )  e xy  x y, y  y ( x)  ln x   x x dx  f xy   e  x y  ye xy  xy x x   f   e xy  x y  xe xy  x y y       dy   y ( x)  ln x   x  dx  x2 df f f dy xy xy     ye  xy  ( xe  x )  dx x y dx  x2 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 45 Đạo hàm cấp hai hàm hợp  f  f (u , v)   u  u ( x, y )  v  v ( x, y )  f x  fu  ux  f v  vx f xx   f x  x   fu  ux  f v  vx  x fu là hàm hợp hai biến 𝑢, 𝑣   fu  ux  x   f v  vx  x   fu  x  ux  fu  ux  x   f v  x  vx  f v  vx  x   fu u  ux   fu v  vx   ux  fu  uxx   f v u  ux   f v v  vx   vx  f v  vxx        ux   fuv  vx  ux  fu  uxx  f vu  vx  ux  f vv   vx   f v  vxx  fuu 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 46 Ví dụ Tìm f xy hàm hợp f  f (u, v)  u  2v, u ( x, y )  xy , v( x, y )  x  y  y f x  fu  ux  f v  vx  2u y  2.1  f xy   f x  y  2u y    f xy  2u y y   2uy y  2u.2 y Tìm f xy hàm hợp f  f (u, v)  euv , u ( x, y )  xy  y , v( x, y )  x  y  y f x  fu  ux  f v  vx  veuv y  ueuv  f xy  veuv y  ueuv   y  euv y  v euv   y  u euv 30-Jan-21   euv    y y  veuv  2( x  y )euv  2u euv  v .uy  euv   uv uv vy  ve ( x  y )  ue TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 47 Đạo hàm cấp hai hàm hợp  f  f (u )  u  u ( x, y ) f (u ) là hàm f x  f (u )  ux hợp biến u f xx   f x  x   f (u )  ux  x   f (u )  x  ux  f (u )   ux  x           f (u )  (u )  u x   u x  f (u )  u xx  f (u )   ux   f (u )  uxx   f xy   f x  y   f (u )  ux  y   f (u )  y  ux  f (u )   ux  y   f (u )  (u )  uy   ux  f (u )  uxy  f (u )  ux  uy  f (u )  uxy   30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 48 Ví dụ Tìm f xy hàm hợp f  f (u )  ln u; u ( x, y )  xy  e y    f x  f (u )  ux  y  f xy   f x    y  y u u y 1  y  f xy    y  y   (2 xy  e ) y  y u u u u y Tìm f xy hàm hợp f  f ( x  e y ) Đặt u ( x, y )  x  e y  f x  f (u )  ux  f (u ).2 x f xy   f (u ).2 x  y  x f (u ).e y 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 49 Vi phân cấp hàm hợp  f  f (u , v)   u  u ( x, y )  v  v ( x, y )  𝑢, 𝑣 là hai biến hàm, 𝑥 và 𝑦 là hai biến độc lập Khi thay 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦) vào ta hàm f theo hai biến 𝑥, 𝑦 độc lập df  f xdx  f y  dy   fu  ux  f v  vx  dx   fu  uy  f v  vy  dy  fu  ux dx  uy dy   f v  vx dx  vy dy   fudu  f vdv df  fudu  f vdv (1) df  f xdx  f ydy (2) Tùy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) (2) Thường dùng công thức số (1) Hai công thức giống Trong (1) là biến hàm, (2) là biến độc lập Nên ta nói: vi phân cấp có tính bất biến 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 50 Ví dụ Tìm df hàm hợp f  f (u, v)  euv , u ( x, y )  xy ; v( x, y )  x  y df  fudu  f vdv du  y dx  xydy dv  2dx  3dy df  veuv ( y dx  xydy )  ueuv (2dx  3dy )  euv (vy  2u )dx  euv (2vxy  3u )dy Tìm df hàm hợp f  f (u )  , u ( x, y )  ln( x  y ) u df  f (u )du    ux dx  uy dy     dx  dy   x  y  u2 u2  x  y Chú ý: Trong hai ví dụ này ta có thể dùng: df  f xdx  f ydy việc tính toán phức tạp 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 51 Ví dụ Tìm df hàm hợp f  f ( x  y, e xy ) Đặt u  x  y; v  e xy Ta có f  f (u , v) ; du  xdx  2dy u ( x, y )  x  y, v( x, y )  e xy dv  ye xy dx  xe xy dy df  fudu  f vdv df  fu (2 xdx  2dy )  f v( ye xy dx  xe xy dy ) Chú ý: Có thể dùng df  f xdx  f ydy 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 52 Vi phân cấp hai hàm hợp  f  f (u , v)   u  u ( x, y )  v  v ( x, y )  d f  d (df )  d ( fudu  f vdv )     d fu du  d f v dv  Chú ý đây u, v là biến hàm nên du, dv không là số d f  d  fu   du  fu  d (du )  d  f v   dv  f v  d (dv ) fu, f v là hàm hợp hai biến d  fu    fu u du   fu v dv d  f v    f v u du   f v v dv d  du   d 2u , d  dv   d 2v Vi phân cấp hai không còn tính bất biến 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 53 Vi phân cấp hai hàm hợp  f  f (u )  u  u ( x, y ) d f  d  df   d  f   u  du   d  f (u )   du  f (u )  d  du  d f   f (u )  (u )  du  du  f (u )d 2u  f (u )  du  f (u )  d 2u Tóm lại: Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai hàm hợp ta lấy đạo hàm (vi phân) đạo hàm (vi phân) cấp và phải biết phân biệt là hàm hợp biến 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 54 Ví dụ Tìm d f hàm hợp: f  f (u, v)  2u  v ; u ( x, y )  xy  x; v( x, y )  x  y df  fudu  f vdv   ( y  2) dx  xdy   2v  xdx  ydy  d f  d (df )  d   ( y  2)dx  xdy   2v  xdx  ydy  d f  d   ( y  2)dx  xdy   d  2v  xdx  ydy  d f  2d  ( y  2)dx)  2d ( xdy    xdx  ydy  dv  2vd  xdx  ydy  d (( y  2)dx)  dxd ( y  2)  dxdy d ( xdy )  dxdy d  xdx  ydy   d (2 xdx)  d (2 ydy )  2dx  2dy 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 55 Ví dụ Tìm d f hàm hợp f  f ( x  y ) Đặt u  x  y Ta có f  f (u ) ; u ( x, y )  x  y df  f (u )du ú  f (u )(2 xdx  3dy ) d f  d (df )  d ( f (u )(2 xdx  3dy )) d f  (2 xdx  3dy )  d ( f (u ))  f (u )  d (2 xdx  3dy ) d ( f (u ))  f (u )du  f (u )  (2 xdx  3dy ) d (2 xdx  3dy )  d (2 xdx)  d (3dy )  2dxdx   2dx 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 56 Định nghĩa Giả sử phương trình F ( x, y )  xác định hàm ẩn y  y ( x) cho F ( x, y ( x))  với 𝑥 thuộc miền xác định Sử dụng quy tắc dây chuyền ta có: F dx F dy F F dy    0    0 x dx y dx x y dx Fx dy F / x   dx F / y Fy 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 57 Ví dụ Tìm y( x) biết 𝑦 = 𝑦(𝑥) là hàm ẩn xác định từ phương trình: xy  x  y  e xy Cách Đạo hàm hai vế phương trình, chú ý y là hàm theo x xy ye  x  y xy y  x  y  x  y  y  e ( y  x  y)  y( x)  xy x  y  xe Cách Sử dụng công thức Chú ý đây sử dụng đạo hàm riêng! F ( x, y )  xy  x  y  e xy  xy xy   Fx  y  x  ye ; Fy  x  y  xe Fx y  x  ye xy  y( x)     xy  Fy x  y  xe Chú ý: Cần phân biệt đạo hàm theo x hai cách Cách 1, đạo hàm hai vế coi y là hàm theo x Cách 2, đạo hàm riêng F theo x, coi y là 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 58 Định nghĩa Giả sử phương trình F ( x, y, z )  xác định hàm ẩn z  z ( x, y ) cho F  x, y, z  x, y    với (𝑥, 𝑦) thuộc miền xác định z Sử dụng quy tắc dây chuyền Chú ý x, y là hai biến độc lập, z là hàm theo x, y F F z F dx F z   0    0  x z x x dx z x Fx z F x   x F z Fz 30-Jan-21 Fy z F y   y F z Fz TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 59 Ví dụ Tìm zx , biết 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) là hàm ẩn xác định từ phương trình: z  x y x yz e Cách Đạo hàm hai vế phương trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo x z  x y  e  zx  e z  x  y ( zx  1)  zx   z  x y 1 e Cách Sử dụng công thức Chú ý đây x là biến, y và z là hằng! F ( x, y , z )  x  y  z  e z  x  y  Fx   e z  x y ; Fz  1  e z  x y Fx  e z  x y  zx      z  x y Fz 1  e Tương tự tìm đạo hàm riêng z theo y 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 60 Định lý (về hàm ẩn) Cho hàm F ( x, y ) thỏa các điều kiện sau: 1) Xác định, liên tục hình tròn mở B( M , r ) tâm M ( x0 , y0 ) bán kính r 2) F (( x0 , y0 ))  F ( x0 , y0 ) 0 3) y F F , 4) Tồn B( M , r ) các đạo hàm riêng liên tục x y Khi đó F ( x, y )  xác định lân cận U x0 hàm y  y ( x) thỏa mãn: y0  y ( x0 ) và F ( x, y ( x))  U Ngoài y = y(x) khả vi, liên tục U Fx dy F / x   dx F / y Fy 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 61 Chú ý Đạo hàm riêng cấp hai hàm ẩn: 𝑧⁡ = ⁡𝑧(𝑥, 𝑦) 1) Tìm đạo hàm riêng cấp (bằng hai cách)    Fx   2) zxy   zx  y     Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y  Fz  y Vi phân cấp hàm ẩn 𝑧⁡ = ⁡𝑧(𝑥, 𝑦): dz  zx dx  zy dy Vi phân cấp hàm ẩn 𝑧⁡ = ⁡𝑧(𝑥, 𝑦) d z  zxx dx  zxy dxdy  zyy dy Chú ý Vì 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) là hàm hai biến độc lập x và y Nên vi phân cấp một, cấp hai cấp cao hàm ẩn giống vi phân cấp và cấp hai hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) phần 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 62 Ví dụ Tìm dz (1,1) , biết 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) là hàm ẩn xác định từ phương trình: x3  y  z  3xyz  y   0, z (1,1)  2 F ( x, y, z )  x  y  z  xyz  y   Fx  x  yz Fy  y  xz  Fz  z  xy Fx x  yz yz  x 1.(2)  1.1  zx       zx (1,1)   1 Fz z  xy z  xy 1 Fy y  xz  zy     Fz z  xy  zy (1,1)   14 14 Vi phân cấp 1: dz  zx dx  zy dy  dx  dy 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 63 Ví dụ Tìm zxy , biết 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) là hàm ẩn xác định từ phương trình: x  y  z  e x y  z F ( x, y , z )  x  y  z  e x  y  z  Fx  x  e x y  z  x  x  y  z ; Fz  z  e x y  z  z  x  y  z Fx x  x  y  z Đạo hàm theo y; x là hằng, zx    Fz x  y  z  z y là biến, z là hàm theo y  x  x  y  z  zxy    2 x  y  z  z  y  30-Jan-21 (2 y  z  zy )  M  T  (2 y  z  z y   z y ) x  y  z  2z  2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 64 Ví dụ 2 z Tìm , biết 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) là hàm ẩn xác định từ phương trình: yx xyz  x  y  z  F ( x, y, z )  xyz  x  y  z   2 Fx  yz  x Fy  xz  y Fx yz  x yz  x zx      Fz xy  2  xy Fz  xy  x là hằng, y là biến, z là hàm theo y  Fx   yz  x  zxy         F  xy y  zy  ( z  yzy )    xy   ( yz  x)  ( x)    xy  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 65 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 66 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 67 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 68 Định nghĩa 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 69 Định nghĩa Véctơ đơn vị cùng phương, chiều với u u l0    l1 , l2  u  M ( x, y ) f = f(x,y) u   u1 , u2  Oy   l0   cos  ,cos     ,  là góc tạo u và chiều dương trục Ox và Oy tương ứng M ( x0 , y0 ) Ox  x  x0  t cos  , t 0 Véctơ M M cùng phương, chiều với u :   y  y0  t cos  Đạo hàm hàm f theo hướng véctơ u điểm M là giới hạn (nếu tồn tại): f (M )  f (M ) f fu ( M )  ( M )  lim M M MM u 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 70 Định nghĩa f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) fu ( M )  lim M M  ( x  x0 )  ( y  y0 )  t t t 0 f ( x0  t cos  , y0  t cos  )  f ( x0 , y0 ) f (t )  f (0) fu ( M )  lim  lim  f  (0) t t t 0 t 0 Theo quy tắc dây chuyền: f (t )  f x  x(t )  f y  y(t ) 2 Do đó: fu ( M )  f x ( x0 , y0 )  cos   f y ( x0 , y0 )  cos    f x( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )  ,  cos  ,cos    gradf ( x0 , y0 )   f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )  véctơ gradient f M0 fu ( x0 , y0 )   fu ( M )  gradf ( x0 , y0 ), l0 30-Jan-21  Tích vô hướng véctơ gradient M0 với véctơ đơn vị TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 71 Định nghĩa Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm f=f(x,y,z) M0 theo hướng u : fu ( M )  f x ( M )  cos   f y ( M )  cos   f z( M )  cos   fu ( M )  gradf ( x0 , y0 , z0 ), l0  Trong đó: véctơ đơn vị cùng hướng với u là: l0   cos  ,cos  ,cos    ,  ,  là các góc tạo u và chiều dương trục Ox, Oy và Oz tương ứng Véctơ gradient f(x,y,z) M0 là: gradf ( M )   f x ( M ), f y ( M ), f z( M )  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 72 Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y )  xy  3x y điểm M0(1,1) theo hướng véctơ u  1, 2  Véctơ đơn vị cùng hướng với u là: l0   ,     cos  ,cos   5  f x  y  12 x3 y  f x (1,1)  11 f y  xy  15 x y  f y (1,1)  13 11 26  3 fl (1,1)  f x (1,1)  cos   f y (1,1)  cos    5 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 73 Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y )  x3  3xy  y điểm M0(1,2) theo hướng véctơ tạo với chiều dương trục Ox góc 300 Véctơ đơn vị là: l0   cos  ,cos       ,          1   l0   cos ,cos    ,    2   f x  x  y  f x (1, 2)  3 f y  3 x  y  f y (1, 2)  13 3 13 fl (1, 2)  f x (1, 2)  cos   f y (1, 2)  cos     2 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 74 Ví dụ 1 3 y Tìm đạo hàm f ( x, y )  arctan điểm M   ,  theo hướng véctơ x 2  pháp tuyến ngoài đường tròn: x2 + y2 = 2x M0 F ( x, y )  x  y  x   n   Fx , Fy    x  2, y   (1, 3)  1  Véctơ đơn vị là: l0   ,   2  y f x     f x (M )   x y x   fy   f y (M )  2 x y fl ( M )  f x ( M )  cos   f y ( M )  cos   30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 75 Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y, z )  x3  xy  yz điểm M0(3,3,1) theo hướng véctơ l=(2,1,2) 2  Véctơ đơn vị là: l0   , ,   (cos  ,cos  ,cos  ) 3 3 f x  x  y  f x (3,3,1)  45 f y  xy  z  f y (3,3,1)  39 f z  yz  f z (3,3,1)  18 fl ( M )  f x ( M )  cos   f y ( M )  cos   f z ( M )  cos   55 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 76 Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y, z )  x  yz  điểm M0(1,2,-1) theo hướng véctơ tạo với các trục tọa độ góc nhọn Véctơ đơn vị là: l0  (cos  ,cos  ,cos  ) cos   cos   cos    3cos    cos   f x  x  f x (1, 2, 1)  2 2 f y  3 z  f y (1, 2, 1)  f z  3 y  f z (1, 2, 1)  6 fl ( M )  f x ( M )  cos   f y ( M )  cos   f z ( M )  cos    30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 3 77 Chú ý Cho hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) Đạo hàm f M0 theo hướng véctơ (1,0,0) là: f i( M )  f x ( M )  cos   f y ( M )  cos   f z( M )  cos   f x ( M ) Vậy đạo hàm theo hướng véctơ (1,0,0) M0 là đạo hàm riêng theo x đó, đạo hàm riêng theo x tồn Nếu đạo hàm riêng theo x không tồn tại, thì đạo hàm theo hướng có thể có (vì theo định nghĩa, đạo hàm theo hướng là giới hạn phía) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 78 Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y, z ) | x | 2 yz điểm M0(0,1, 1) theo hướng véctơ (1,0,0) Véctơ đơn vị là: l0  1,0,0  Không tồn đạo hàm riêng theo x M0 Tìm đạo hàm f theo hướng véctơ (1,0,0) định nghĩa: f ( x0  t cos  , y0  t cos  , z0  t cos  )  f ( x0 , y0 , z0 ) f i (0,1,1)  lim t t 0 f (t ,1,1)  f (0,1,1) t | t | 2  |t | f i (0,1,1)  lim  lim   lim  lim t t t 0 t 0 t t 0 t 0 t Lý do: định nghĩa đạo hàm theo hướng, M dần đến bên phải M0 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 79 Chú ý Theo công thức tính đạo hàm đạo hàm theo hướng:  fu ( M )  gradf ( M ), l0   gradf ( M )  l0  cos   gradf ( M )  l0  gradf ( M ) Đạo hàm f M0 đạt giá trị lớn theo hướng véctơ gradf ( M ) Giá trị lớn đạo hàm theo hướng là: gradf ( M ) Đạo hàm f M0 đạt giá trị nhỏ theo hướng ngược với gradf ( M ) Giá trị nhỏ đạo hàm theo hướng là:  gradf ( M ) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 80 Ví dụ Cho hàm f ( x, y, z )  xyz  xy  yz và điểm M  1,1,  1) Tìm hướng mà đạo hàm f theo hướng đó M0 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn này 2) Tìm hướng mà đạo hàm f theo hướng đó M0 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ này 1) Hướng cần tìm là hướng véctơ gradf (M0):  gradf ( M )  f x ( M ), f y ( M ), f z ( M )   f ( M )  gradf ( M ) Giá trị lớn độ lớn véctơ gradf (M0): f grad 2) Hướng cần tìm là ngược hướng véctơ gradf (M0) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 81 Ví dụ Cho hàm f ( x, y )  ln( xyz ) và điểm M  1, 2, 3 1) Tìm giá trị lớn đạo hàm theo hướng f M0 2) Tìm giá trị nhỏ đạo hàm theo hướng f M0 Đạo hàm theo hướng hàm f M0 là hàm phụ thuộc vào hướng véctơ 𝑙⁡ = (𝑙1, 𝑙2, 𝑙3) Giá trị lớn đạo hàm theo hướng độ lớn véctơ gradf (M0) Giá trị lớn đạt lấy đạo hàm theo hướng véctơ gradf (M0) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 82 Ví dụ Cho hàm f ( x, y )  x  sin( xy ) và điểm M  1,0  Tìm hướng mà đạo hàm f theo hướng đó M0 có giá trị 2 Giả sử hướng cần tìm là hướng véctơ đơn vị: l0  ( a, b), a  b  fl ( M )  f x ( M )  a  f y ( M )  b f x  x  y cos( xy )  f x  M   f y  x cos( xy )  f y  M   fl ( M )  2a  b  a   a  / ;   b  b  3/ 30-Jan-21 Vậy có hai hướng: l0  (0,1) l0  (4 / 5, 3 / 5) TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 83 Ví dụ 2 Cho hàm f ( x, y )  x  y  x  y Tìm tất các điểm mà tốc độ thay đổi nhanh hàm f điểm này là theo hướng véctơ i  j Giả sử điểm cần tìm là M(a,b) Tốc độ thay đổi nhanh f M là theo hướng véctơ gradf(M): gradf ( M )   f x (a, b), f y (a, b)   (2a  2, 2b  4) Mà gradf(M) cùng hướng với véctơ i + j = (1,0) + (0,1) = (1,1) a  1 t / a 1 s  , s0 (2a  2, 2b  4)  t (1,1) , t    b   t / b   s Tập hợp các điểm là nửa đường thẳng 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 84 Ví dụ Nhiệt độ T điểm (x,y,z) cho công thức: T ( x, y, z )  200  e  x 3 y 9 z T tính 0C; x, y, z tính mét 1) Tìm tốc độ thay đổi nhiệt độ điểm P(2,-1,2) theo hướng đến điểm (3,-3,3) 2) Tìm hướng mà nhiệt độ thay đổi nhanh điểm P(2,-1,2) 3) Tìm giá trị lớn tốc độ thay đổi điểm P(2,-1,2) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 85 gradf ( x0 , y0 , z0 ) Mặt phẳng tiếp diện Mặt cong S có ptrình: f(x,y,z) = P là điểm thuộc mặt S Phương trình mặt phẳng tiếp diện P với S: f x ( P )( x  x0 )  f y ( P )( y  y0 )  f z( P )( z  z0 )  Véctơ pháp tuyến mặt phẳng tiếp diện chính là vectơ gradf(P) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 86 Viết phương trình mặt tiếp diện và phương trình pháp tuyến với mặt x2 z  y   điểm P(-2, 1, -3) x2 z F ( x, y, z )   y    x 2z    Fx  ; Fy  y; Fz  Phương trình mặt tiếp diện: 1( x  2)  2( y  1)  ( z  3)  3 x  y  z  18  x  y 1 z    Phương trình pháp tuyến qua P và có VTCP (-1, 2, -2/3): 1 2 / 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 87 Định nghĩa Cho hàm f  f ( x, y ) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) lân cận V điểm M   x0 , y0  Công thức Taylor f đến cấp n điểm M0 là: dk f f ( x, y )  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 )  Rn (x, y ) k 1 k ! n đó Rn (x, y ) là phần dư cấp n Khai triển Taylor điểm M0(0,0) gọi là khai triển Maclaurint 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 88 Định nghĩa Có hai cách thường dùng để biểu diễn phần dư: 1) Nếu cần đánh giá phần dư, thì sử dụng phần dư dạng Lagrange: Rn (x, y )  d n1 f ( x0    x, x0    y ) (n  1)! đó    2) Nếu không quan tâm phần dư, thì sử dụng phần dư dạng Peano: Rn (x, y )  o(  ) n 2 đó:   ( x  x0 )  ( y  y0 ) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 89 Ứng dụng khai triển Taylor 1) Xấp xỉ hàm đã cho với đa thức (một nhiều biến) lân cận điểm cho trước 2) Tính đạo hàm cấp cao f điểm cho trước 3) Tính giới hạn hàm số (giới hạn kép hàm biến) 4) Tính gần đúng với sai số cho trước (vi phân cấp không làm điều này) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 90 Ví dụ Cho hàm f ( x, y )  x  xy và điểm M  1,  Tìm công thức khai triển Taylor f (x,y) M0 đến cấp hai df (1, 2) d f (1, 2) f ( x, y )  f (1, 2)    o(  ) 1! 2! f ( x, y )  f (1, 2)   f x (1, 2)( x  1)  f y (1, 2)( y  2) 1!   (1, 2)( y  2) f xx (1, 2)( x  1)  f xy (1, 2)( x  1)( y  2)  f yy 2!  o(  ) 2   ( x  1)  ( y  2) đó: Tính tất các đạo hàm riêng công thức và thay vào biểu thức trên 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 91 Chú ý Tìm khai triển Taylor công thức trên ta phải tính các đạo hàm riêng cấp cao Do đó, đa số trường hợp ta sử dụng cách sau Tìm khai triển Taylor f = f (x,y) M0(x0,y0): 1) Đặt: X  x  x0 , Y  y  y0  x  X  x0 , y  Y  y0 2) Tìm khai triển Maclaurint hàm f (X,Y), sử dụng khai triển Maclaurint hàm biến 3) Đổi f (X,Y) sang f (x,y) (đổi biến X  x  x0 , Y  y  y0 ) 4) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các bậc của: ( x  x0 ),( y  y0 ) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 92 Ví dụ Tìm khai triển Taylor đến cấp hai f ( x, y )  M  1,  2x  3y Đặt X  x  1, Y  y   x  X  1; y  Y  1 1    f   X /  3Y / X  3Y  2( X  1)  3(Y  2) X 3Y 2   t  t  o(t ) , t   Sử dụng khai triển hàm biến: g (t )  1 t 8   X 3Y   X 3Y   2 f  1       o (  ) ,   X  Y       8   8   Khai triển, bỏ bậc cao 2, đổi biến lại, xếp theo thứ tự 12 f   ( x  1)  ( y  2)  ( x  1)  ( x  1)( y  2)  ( y  2)  o(  ) 8 8 8 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 93 Ví dụ Tìm khai triển Taylor đến cấp ba f ( x, y )  ln( x  y ) M  1,1 Đặt X  x  1, Y  y   x  X  1; y  Y  X Y   X Y   f  ln   X  Y   ln   1      ln  ln 1    2  2    t t3 X Y Sử dụng khai triển hàm biến: g (t )  ln(1  t )  t    o(t ) , t  2 X Y  X Y   X Y  f  ln       o (  )    2     Khai triển, bỏ bậc cao 3, đổi biến, xếp theo thứ tự: x  y  ( x  1) ( x  1)( y  1) ( y  1) f  ln       2 8 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 94 Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp ba f ( x, y )  e x sin y Sử dụng khai triển Maclaurint hàm biến: x x x e x      o( x ) 1! 2! 3! y3 sin y  y   o( y ) 3! 3    x x x y x  f ( x, y )  e sin y  1     o( x )    y   o( y )  3!  1! 2! 3!    y3 xy x y x y x y x y f ( x, y )  y   xy       o(  ) ,   x  y 6 36 36 Khai triển, bỏ bậc cao 3, xếp theo thứ tự: x2 y y3 f ( x, y )  y  xy    o(  ) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 95 Ví dụ x sin y  y sin x Tính giới hạn: lim ( x , y ) (0,0) x2  y Cách 1: Sử dụng khai triển hàm hai biến: f ( x, y )  x sin y  y sin x df (0, 0) d f (0, 0) 2 f ( x, y )  f (0,0)    o(  ),   x  y 1! 2! f x(0,0) x  f y(0, 0) y  f (0,0)   1!  30-Jan-21 f xx (0,0) x  f xy (0,0) xy  f yy (0,0) y 2! TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  o(  ) 96 Ví dụ x sin y  y sin x Tính giới hạn: lim ( x , y ) (0,0) x2  y Vì các đạo hàm riêng cấp 1, cấp (0,0) đó: f ( x, y )  o(  ) o2  x sin y  y sin x Vậy: lim  lim 2 ( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0) x y 2 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 0 97 Ví dụ x sin y  y sin x Tính giới hạn: lim ( x , y ) (0,0) x2  y Cách 2: Sử dụng khai triển hàm biến:    y3 x 3  x y   o y   y  x   ox  3! 3!     f ( x, y )  x2  y  30-Jan-21 xy  x  y  x  y   3!  x  o  y   y  o  x3  x2  y TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 98 Ví dụ x sin y  y sin x lim Tính giới hạn: 2 ( x , y ) (0,0) x y xy  x  y  Ta có: 0  x2  y 0   0,( x, y )  (0,0)  x  y   3!  3! x  o  y   y  o  x3  o  y3  2y 30-Jan-21 x y  o  x3  2x  x  o  y   y  o  x3  xy  0,( x, y )  (0,0) Do đó: TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  x  o  y3  lim xy ( x , y ) (0,0)  y  o  x3  xy f ( x, y )  99 Cực trị không điều kiện Định nghĩa Hàm f  f ( x, y ) đạt cực đại địa phương f  f ( x, y ) , tồn lân cận ( x0 , y0 ) : f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) , với (𝑥, 𝑦) thuộc lân cận đó Tức là: B ( M , r ) : M  B ( M , r ) : f ( M )  f ( M ) Định nghĩa tương tự cho cực tiểu địa phương Điểm dừng: các đạo hàm riêng cấp Điểm tới hạn: các đạo hàm riêng cấp không tồn Điểm cực trị: hàm đạt cực đại địa phương cực tiểu địa phương 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 100 Ví dụ Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 đạt cực tiểu (0,0) 2 f ( x , y )  f (0,0)  x  y 0 Xét f ( x, y )  x  y   ( x, y )  (0,0) Vậy điểm (0,0) là điểm cực tiểu 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 101 Ví dụ Khảo sát cực trị f ( x, y)   ( x  1)  ( y  1) (1,1) f ( x, y )  f (1,1)   ( x  1)2  ( y  1)  1  ( x  1)  ( y  1)   f ( x, y )  f (1,1) f ( x, y )   ( x, y )  (1,1) Vậy hàm đạt cực đại (1,1) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 102 Ví dụ Khảo sát cực trị 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2 điểm (0,0) Hàm không đạt cực trị (0,0) Nếu dần (0,0) theo đường thẳng y = x (x > 0) thì f (x,y) > Nếu dần (0,0) theo đường thẳng y = x (x < 0) thì f (x,y) < Trong lân cận (0,0) tìm điểm (x,y) mà f (x,y) > và điểm (x,y) mà f (x,y) < 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 103 Cực trị không điều kiện Định lý điều kiện cần cực trị Hàm f đạt cực trị M ( x0 , y0 ) thì đó: 1) Không tồn đạo hàm riêng cấp 1, 2)  f x ( x0 , y0 )  0,  f y ( x0 , y0 )  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 104 Cực trị không điều kiện Định lý điều kiện đủ cực trị Cho M ( x0 , y0 ) là điểm dừng hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) và 𝑓 có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp lân cận điểm 𝑀0 1) 𝑑 𝑓 𝑀0 > 0: 𝑀0 là điểm cực tiểu 2) 𝑑 𝑓 𝑀0 < 0: 𝑀0 là điểm cực đại 3) 𝑑 𝑓 𝑀0 không xác định dấu thì 𝑀0 không phải là điểm cực trị 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 105 Cực trị không điều kiện Sơ đồ khảo sát cực trị hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦): 1) Tìm điểm dừng  f x ( x, y )     f y ( x, y )   P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), 2) Tính tất các đạo hàm riêng cấp hai f xx , f xy , f yy  3) Khảo sát điểm dừng  ( P1 ),   AC  B P1 ( x1 , y1 ) : A  f xx ( P1 ), B  f xy ( P1 ), C  f yy     P1 là điểm cực tiểu A      P1 là điểm cực đại A     P1 không là điểm cực trị 30-Jan-21   : chưa kết luận phải khảo sát định nghĩa TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 106 Cực trị không điều kiện Chú ý: 1) Sơ đồ này không cho phép khảo sát cực trị điểm mà các đạo hàm riêng không tồn (điểm tới hạn, không phải là điểm dừng) Những điểm này phải khảo sát định nghĩa 2) Sơ đồ này áp dụng cho hàm hai biến 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 107 Ví dụ 2 Khảo sát cực trị hàm: f ( x, y )  x  xy  y  x  y 1) Tìm điểm dừng:  f x  x  y      f y  x  y 1  2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2:  P1 (1,0)   f xx  2, f xy  1, f yy 3) Khảo sát điểm dừng: P1 (1,0) : A  f xx ( P1 )  2; B  f xy ( P1 )   ( P1 )  2;   AC  B   C  f yy   Kết luận cho điểm dừng P1:   P là điểm cực tiểu, fct  f ( P1 )  1 A  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 108 Ví dụ 4 2 Khảo sát cực trị hàm: f ( x, y )  x  y  x  xy  y  f x  x3  x  y  1) Tìm điểm dừng:   P1 (1,1), P2 (1, 1), P3 (0,0)  f y  y  x  y  2    f  12 x  2, f   2, f  12 y 2 2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2: xx xy yy 3) Khảo sát điểm dừng: P1 (1,1) : A  f xx ( P1 )  10; B  2  ( P1 )  10;   AC  B  102   C  f yy   Kết luận cho điểm dừng P1:   P là điểm cực tiểu, fct  f ( P1 )  2 A  Tương tự P2 là điểm cực tiểu 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 109 Ví dụ P (0,0) :   AC  B  chưa kết luận Tại điểm dừng Khảo sát định nghĩa: f  f ( x, y )  f (0,0)  x  y  x  xy  y Xét dấu f lân cận (0,0):   n Chọn dãy: ( xn , yn )   ,0  (0,0) n  1  n2 Khi đó: f ( xn , yn )     n n n  1  n Chọn dãy: ( xn , yn )   ,  (0,0) n n  1 Khi đó: f ( xn , yn )     n n n Vậy hàm không đạt cực trị (0,0) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 110 Ví dụ 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 111 Ví dụ Khảo sát cực trị hàm: f ( x, y )   x  y    fx  1) Tìm điểm dừng:  f   y  x x2  y y x2  y 0 Không có điểm dừng 0 Dùng định nghĩa ta thấy đạo hàm riêng theo x, theo y (0,0) không tồn Do đó (0,0) là điểm tới hạn, không phải là điểm dừng f (0,0)  f ( x, y)  f (0,0)  x  y  f (0,0)   ( x, y )  (0,0) Suy (0,0) là điểm cực tiểu 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 112 Ví dụ Khảo sát cực trị 𝑓(𝑥, 𝑦) = |𝑥| + 𝑦2 điểm (0,0) Không tồn f x (0,0) Điểm (0,0) không là điểm dừng Điểm (0,0) là điểm tới hạn f ( x, y )  f (0,0) | x |  y  Do đó (0,0) là điểm cực tiểu 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 113 Cực trị có điều kiện Đồ thị f ( x, y )   x  y là mặt phẳng Không có cực trị ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 Xét điều kiện: x  y  Khảo sát cực trị trên đường Ellipse là giao mặt phẳng và mặt trụ Tồn cực trị có điều kiện 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 114 Cực trị có điều kiện Hàm số: z  x2  y 2 x  y 1 Xét điều kiện: Khảo sát cực trị trên đường cong C là giao mặt cong z(x,y) và mặt trụ Tồn cực trị có điều kiện 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 115 Cực trị có điều kiện Định nghĩa Hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) với điều kiện 𝜑 𝑥, 𝑦 = tồn lân cận 𝑥0 , 𝑦0 : 𝑓 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), với (𝑥, 𝑦) thuộc lân cận đó và thỏa mãn điều kiện 𝜑 𝑥, 𝑦 = Tức là: B ( M , r ) : M  B ( M , r ) : f ( M )  f ( M ) ;  ( M )  Định nghĩa tương tự cho cực tiểu có điều kiện 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 116 Cực trị có điều kiện Điểm M ( x0 , y0 ) gọi là điểm kỳ dị đường cong  ( x, y )   x ( M )  0; y ( M )  Định lý (điều kiện cần cực trị có điều kiện) Điểm M ( x0 , y0 ) thỏa các điều kiện: 1) 𝑀0 không là điểm kỳ dị đường cong  ( x, y )  2) f ( x, y ),  ( x, y ) và các đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận 𝑀0 3) Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) với điều kiện  ( x, y )  đạt cực trị 𝑀0 Khi đó tồn số  thỏa mãn: 30-Jan-21  f x ( M )   x ( M )    f y ( M )   y ( M )    (M )   TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 117 Cực trị có điều kiện Số  gọi là nhân tử Lagrange Hàm L( x, y )  f ( x, y )     ( x, y ) gọi là hàm Lagrange Định lý (điều kiện đủ cực trị có điều kiện) Giả sử f ( x, y ),  ( x, y ) khả vi liên tục đến cấp lân cận M Trong lân cận M thỏa mãn các điều kiện định lý điều kiện cần  d L( M )   M là điểm cực tiểu có điều kiện  d L( M )   M là điểm cực đại có điều kiện  d L( M ) không xác định dấu  M không là điểm cực trị 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 118 Sơ đồ khảo sát cực trị 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điều kiện  ( x, y )  1) Lập hàm Lagrange: L( x, y )  f ( x, y )     ( x, y )  P1 ( x1 , y1 ), 1  Lx ( x, y )     Tìm điểm dừng 𝐿(𝑥, 𝑦):  Ly ( x, y )    P2 ( x2 , y2 ), 2   ( x, y )     , Lxy  , Lyy 2) Tính tất các đạo hàm riêng cấp hai Lxx 3) Khảo sát điểm dừng P1 ( x1 , y1 ), 1 : d L( P1 )  Lxx ( P1 )dx  Lxy ( P1 )dxdy  Lyy ( P1 )dy Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận Tương tự khảo sát các điểm dừng còn lại 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 119 Chú ý: 1) Để khảo sát d L( P1 ) ta có thể sử dụng điều kiện:  ( x, y )   d  ( x, y )   d ( P1 )    x ( P1 )dx   y ( P1 )dy  Từ đây ta có 𝑑𝑥 theo 𝑑𝑦 (hoặc 𝑑𝑦 theo 𝑑𝑥) Thay vào biểu thức d L( P1 ) , ta có hàm theo 𝑑𝑥2 (hoặc 𝑑𝑦2) 2) Trong bài toán cực trị có điều kiện: 𝑑𝑥 và 𝑑𝑦 khác 3) Nếu từ 𝜑 𝑥, 𝑦 = → 𝑦 = 𝑦 𝑥 𝑥 = 𝑥(𝑦), đó hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) thành hàm biến theo 𝑥 𝑦 Khảo sát cực trị hàm biến này 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 120 2 Tìm cực trị hàm f ( x, y )  x  12 xy  y với điều kiện x  y  25 1) Hàm Lagrange: L( x, y )  x  12 xy  y   ( x  y  25)  Lx  x  12 y  2 x   L  12 x  y  8 y   y  2  ( x , y )  x  y  25    1  : P1 (3, 2), P2 (3, 2) 17 3 2   : P3 (4, ), P4 (4,  ) 2    2 , Lxy   12, Lyy   8 2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2: Lxx 3) Khảo sát điểm dừng: P (3, 2), 1  :  ( P1 )dx  Lxy  ( P1 )dxdy  Lyy ( P1 )dy  8dx  24dxdy  18dy d L( P1 )  Lxx  2(2dx  3dy )  → P1 là điểm cực tiểu có điều kiện 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 121 Tìm cực trị hàm f ( x, y )   x  y với điều kiện x  y  1) Hàm Lagrange: L( x, y )   x  y   ( x  y  9)  Lx  5  2 x   L  4  2 y   y  2  ( x , y )  x  y 9    2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2: P1 (5, 4), 1  / P2 (5, 4), 2  1 /   2 , Lxy   0, Lyy  2 Lxx 3) Khảo sát điểm dừng: P (5, 4), 1  1/ :  ( P1 )dx  Lxy  ( P1 )dxdy  Lyy ( P1 )dy  dx  dy d L( P1 )  Lxx từ điều kiện: d ( P1 )   10dx  8dy   dy   dx  2  5 d L( P1 )  dx   dx    dx  → P1 là điểm cực đại có điều kiện 16   30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 122 Giá trị lớn nhất, nhỏ Định nghĩa Số 𝑎 gọi là giá trị lớn hàm f trên tập đóng và bị chặn D, M  D : f ( M )  a và M  D : f ( M )  a Tương tự ta có định nghĩa giá trị nhỏ Nhắc lại: Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 𝑓 = 𝑓(𝑥) trên [𝑎, 𝑏]: 1) Tìm điểm tới hạn thuộc (𝑎, 𝑏): x1 , x2 , Loại các điểm không thuộc (𝑎, 𝑏) Tính giá trị 𝑓 điểm còn lại 2) Tính giá trị 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏) 3) So sánh giá trị 𝑓 bước 1) và bước 2) Kết luận 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 123 Giá trị lớn nhất, nhỏ Định lý Weierstrass Hàm nhiều biến f liên tục trên tập đóng, bị chặn D thì đạt giá trị lớn và giá trị nhỏ các điểm tới hạn D, các điểm biên D Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm nhiều biến f trên D: 1) Tìm D (các điểm D) (bài toán tìm cực trị không điều kiện) Tìm điểm tới hạn f : P1, P2 , Loại các điểm không là điểm D Tính giá trị f điểm còn lại 2) Tìm cực trị f trên biên D (bài toán tìm cực trị có điều kiện) 3) So sánh giá trị f bước 1) và bước 2) Kết luận 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 124 Giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 1) Tìm trên biên D: giả sử biên D cho phương trình  ( x, y )  Tìm trên biên D tức là tìm cực trị 𝑓(𝑥, 𝑦) với điều kiện  ( x, y )  Lập hàm Lagrange: L( x, y )  f ( x, y )  . ( x, y ) Tìm điểm dừng 𝐿:  Lx ( x, y )     L y ( x, y )   ( x, y )    Q1 ( x1 , y1 )   Q2 ( x2 , y2 )   Tính giá trị 𝑓 các điểm 𝑄1, 𝑄2, … 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 125 Giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 2) Trường hợp đặc biệt, biên D là đoạn thẳng Tìm trên đoạn thẳng Giả sử tìm trên đoạn AB có phương trình: a c ax  by  c (b  0)  y   x  b b Thay vào hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) ta có hàm biến x, tìm GTLN, GTNN hàm này 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 126 Giá trị lớn nhất, nhỏ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  ( x  6)  ( y  8) trên miền D: x  y  25  f x  2( x  6)  1) Tìm D:   P1 (6, 8)  D  f y  2( y  8)  2) Tìm trên biên D:  ( x, y )  x  y  25  Lập hàm Lagrange: L( x, y )  ( x  6)  ( y  8)   ( x  y  25) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 127 Giá trị lớn nhất, nhỏ  Lx  2( x  6)  2 x   L  2( y  8)  2 y   Q1 (3, 4); Q2 (3, 4) Tìm điểm dừng L:  y  2 x  y  25  f (Q1 )  f (3,  4)  25 f (Q2 )  f (3, 4)  225 3) So sánh giá trị f bước 1) và bước 2) Kết luận Giá trị lớn là 225 đạt (-3,4) Giá trị nhỏ là 25 đạt (3,-4) 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 128 Giá trị lớn nhất, nhỏ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  x  xy  y trên miền D: | x |  | y |  A(0,1)   D(1,0) B (1,0)  C (0, 1)  f x  x  y   P1 (0,0)  D  f ( P1 )  1) Tìm D:   f y   x  y  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 129 Giá trị lớn nhất, nhỏ 2) Tìm trên biên D Có cạnh Tìm trên cạnh Trên AB: phương trình AB là: y   x, x [0,1] f  x  x(1  x)  (1  x)  x  x  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến trên [0,1]  f  x    x   [0,1] 1 1 Trên AB có điểm cần xét: A(0,1), B(1,0) và Q1  ,  2 2 Tính giá trị f điểm này: f ( A)  1; f ( B )  1; f (Q1 )  Tương tự tìm trên cạnh còn lại 3) So sánh, kết luận: GTLN: 1; GTNN: 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 130 Giá trị lớn nhất, nhỏ 2 f ( x , y )  x  y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ trên miền D: x  y  x  f x  x   P1 (0,0) loại vì không là điểm D 1) Tìm D:   f y  2 y  30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 131 Giá trị lớn nhất, nhỏ 2 2) Tìm trên biên D:  ( x, y )  x  y  x   y  x  x2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến: f  x  (2 x  x )  x  x f   4x    x  trên [0,2]   1 f    ; f (0)  0; f (2)  2 1 3) So sánh, kết luận: Giá trị lớn là 4; giá trị nhỏ là Chú ý: có thể lập hàm Lagrange 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 132 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 133 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 134 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 135 30-Jan-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 136