Bài giảng Giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp số

Trong chương nầy ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp số mạnh, thường xử dụng để giải các bài toán cơ học: + Phương pháp đặc trưng characteristic method + Phương pháp sai phân fimite diff[r]

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Chương Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Các tượng vật lý tự nhiên thường phức tạp, nên thường phải mô tả các phương trình đạo hàm riêng Mỗi loại phương trình đạo hàm riêng thường đòi hỏi các điều kiện biên tương ứng để bài toán có nghiệm, phù hợp với tượng vật lý quan sát 7.1 PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC TUYẾN TÍNH Từ dạng tổng quát: A ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u + B + C + D + E + Fu = g ( x , y ) ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y (7.1) Phân loại với chú ý các đạo hàm bậc cao, đó (1) viết lại: ∂ 2u ∂ 2u ∂2u A +B + C = f (u x , u y , u, x, y ∂x∂y ∂x ∂y ) (7.2) Đơn giản (7.2) cách đổi biến số: η = η(x , y) , ξ = ξ(x , y) Đặt: ξ = αx + βy , η = γx + δy ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = ξx + ηx Hay: ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂y Tương tự cho các đạo hàm khác ta được: ∂u ∂ 2u ∂u 2 + ( Aγ + Cδ + Bδγ ) + [2 Aαγ + 2Cβδ + B( βγ + αδ )] ( Aα + Cβ + Bαβ ) =f ∂η ∂ξ∂η ∂ξ (7.3) Một cách đơn giản để tìm lời giải phương trình này, là chọn ξ, η cho số hạng thứ và thứ ba phương trình (7.3) triệt tiêu: Aα + Bβα + Cβ =  2 Aγ + Bδγ + Cδ = Ta dạng đơn giản: [2 Aαγ + 2Cβδ + B(βγ + αδ )] ∂2u ∂ξ∂η Giả sử: β ≠ 0, δ ≠ ta có: A(α/β)2 + B(α/β) + C = 0, A(γ/δ)2 + B(γ/δ) + C = α =  β 2A (−B + B − 4AC ) ⇒  γ = (−B − B − 4AC )  δ 2A KẾT LUẬN: B2 - 4AC > : Phương trình Hyporbol B2 - 4AC < : Phương trình Ellip B2 - 4AC = : Phương trình Parabol Chú ý: Không phân biệt biến t, x, y, z Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Lop12.net Trang 38 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 7.2 Các bài toán biên thường gặp Trong lĩnh vực kỹ thuật, người ta thường hay gặp các bài toán biên sau: a Bài toán Dirichlet Tìm hàm u thoả mãn phương trình: Γ a(u,v) = (f,v) miền (Ω) và trên biên Γ (Ω) cho trước giá trị u uΓ = f(v) (Ω) Nếu trên biên cho u = thì ta có điều kiện biên Dirichlet Điều kiện biên Dirichlet gọi là điều kiện biên cốt yếu (essential boundary conditions) b Bài toán Neumann • Tìm hàm u thoả mãn phương trình: a(u,v) = (f,v) (Ω) và điều kiện biên: ∂u ∂n = f ( v) Γ Nếu f(v) = ta có bài toán Neumann Để cho bài toán Neumann có nghiệm ta phải đặt thêm điều kiện g(1) nào đó Điều kiện biên Neumann còn gọi là điều kiện biên tự nhiên (natural boundary conditions) c Bài toán hổn hợp Γo Ω Γ1 Với bài toán hổn hợp (mixed boundary conditions) là bài toán mà biên Γ nó gồm hai phần Γo và Γ1 Ví dụ tìm hàm u thoả mãn phương trình: a(u,v) = (f,v) (Ω) Với điều kiện biên: ∂u ∂n Γ1 = f1 ( v ) ; uΓo = fo(v) Trong thực tế kỹ thuật, người ta thường hay gặp điều kiện biên hỗn hợp nầy 7.3 Tư tưởng các phương pháp gần đúng Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Lop12.net Trang 39 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Trên thực tế việc tìm nghiệm chính xác các bài toán biên nói trên là vô cùng khó khăn; toán học cho phép giải các bài toán đó số trường hợp thật đơn giản, còn phần lớn là phải giải theo các phương pháp gần đúng khác Tư tưởng các phương pháp gần đúng (approximation methods) là xấp xỉ không gian vô hạn chiều nghiệm không gian hữu hạn chiều a u ( x) = + u ( x) = ∞ ∑a n=0 n ∞ ∑ (a n =1 n cos nx + b n sin nx ) .ϕ n ( x ) Nghiệm chính xác bài toán có thể biểu diễn các dạng sau: u(x) = a0 + a1x +a2x2+a3x3+ +anxn+ (7.4) Rõ ràng nghiệm chính xác u(x) có thể xem là hàm vô hạn các hệ số: a0, a1, a2, ,an, Trong đó giải theo các phương pháp gần đúng ta có thể tìm nghiệm uh nó là hàm dãy hữu hạn các hệ số a0, a1, a2, ,an nào đó mà thôi Trong chương nầy ta nghiên cứu số phương pháp số mạnh, thường xử dụng để giải các bài toán học: + Phương pháp đặc trưng (characteristic method) + Phương pháp sai phân (fimite difference method) + Phương pháp phần tử hữu hạn (fimite element method) + Phương pháp thể tích hữu hạn (fimite volume method) + Phương pháp phần tử biên (Boundary element method) 7.4 Phương pháp đặc trưng Nội dung phương pháp đặc trưng là biến đổi phương trình vi phân đạo hàm riêng hệ phương trình vi phân thường, và tìm lời giải bài toán hệ phương trình vi phân thường nầy, từ đó ta dễ dàng thấy chất vật lý tượng nghiên cứu Ví dụ: Xét phương trình truyền sóng: Ta đặt hàm v(x,t) cho: vì ∂ 2u ∂ 2u = ∂x c ∂t ∂v ∂u ∂ 2v ∂ 2u = ⇒ = ∂x ∂t ∂x∂t ∂t (7.5) (7.6) ∂  ∂v  ∂  ∂u   =   ∂t  ∂x  ∂t  ∂t  Từ (7.5) ta có: Và đặt: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2v ∂ 2u − = − =0 → c ∂t ∂x c ∂t∂x ∂x ∂v ∂u − = f (t) c ∂t ∂x Đi đến hệ thống: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Lop12.net Trang 40 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật  ∂v ∂u  ∂v   ∂x − ∂t =    ∂x    ⇒    ∂u  +  ∂ ∂ v u −      c  − = f (t)  c ∂t ∂x  ∂x  1 0 0 Đặt A =  , B =   c 0 −1  ∂v  − 1   0    ∂t  =    ∂u     f (t )  ∂t  − 1  0  Phương trình đặc trưng suy từ: λ det(Aλ - B) = → − e2 = → λ2 = −λ Từ đó ta có đường cong đặc trưng: 1 → λ = ± c c dx x = ct + a = ±c →  dt x = −ct + b 7.5 Phương pháp sai phân Dựa trên khai triển Taylor, cách gần đúng ta thay các tỉ vi phân tỉ sai phân Ví dụ: Tìm đạo hàm ∂c ∂x x ∆x  ∂ c   ∂c    + + Ta có: C(x + ∆x) = C(x) + ∆x   ∂ ! x  x  ∂x  x → (7.7) ∂C C( x + ∆x ) − C( x ) ∆x  ∂ C    + = − ∂x x ∆x  ∂x  x 2  ∂c  ∆x  ∂ c   −  Tương tự: Có C(x - ∆x) = C(x) - ∆x   + 2!  ∂x  x  ∂x  x Lấy (7.7) - (7.8) suy sai phân trung tâm: ∂c C( x + ∆x ) − C( x − ∆x ) ∆x  ∂ 3C    + = − ∂x x 2∆x 3!  ∂x  x Có thể khai triển: ∂c ∆x ∂ C C( x + 2∆x ) = C(x) + 2∆x + + ∂x x 2! ∂x x (7.8) (7.9) Lấy (7.7) nhân với trừ cho (7.9), ta có: ∂c − 3C ( x ) + 4C ( x + ∆x ) − C ( x + 2∆x ) 4∆x ∂ C = + ∂x x ∆x 3! ∂x Lấy (7.7) cộng (7.8) ta được: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Lop12.net Trang 41 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật ∂ 2C C ( x + ∆x) − 2C ( x) + C ( x − ∆x ) ≈ + 0( ∆ x ) 2 ∂x x ∆x (7.10) ∂ 2φ ∂ 2φ + =0 ∂x ∂y Áp dụng các sai phân nầy vào giải phương trình Laplace: Chọn ∆x i = ∆X  ∆y i = ∆Y (7.11) Thay (7.10) vào (7.11), được: φi+1, j − 2φij + φi−1, j ∆X + φi , j+1 − 2φij + φ1, j−1 ∆Y Đơn giản chọn ∆x = ∆y, ta được: φi , j = =0 (φi+1, j + φi−1, j + φi, j+1 + φi, j −1 ) i,j+1 i+1,j+1 ∆y i,j ∂ φ ∂ φ S ∂φ = + Xét phương trình: ∂x ∂y T ∂t Sai phân lùi: ∆x Time • SƠ ĐỒ HIỆN - SƠ ĐỒ ẨN (Explicit - Implicit Scheme) Sai phân tiến: i+1,j ∂φ φ K +1 − φ K = ∂t t = ∆t K ∆t ∂φ φK − φK −1 = ∂t t = ∆t K ∆t Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Lop12.net t+1 t φ k +1i , j φk i, j y t-1 φ k −1i , j x Trang 42 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Ở đây (∆t)K = ∆t = const t= ∑ ( ∆t ) j , K φK ≡ φ t = K.∆t + Sai phân tiến theo thời gian t phương trình trên, ta được: φiK−1, j − 2φiK, j + φiK+1, j φiK, j−1 − 2φiK, j + φiK, j+1 S φiK, j+1 − φiK, j + = ( ∆x ) ( ∆y ) T ∆t t Từ phương trình nầy ta tìm φiK, j+1 biết các φ iK, j φ iK+ j, j φ iK, j−1 φ iK, j+1 φ iK−1, j , nên gọi là sơ k+1 đồ k ∆x ∆x x + Sai phân lùi theo thời gian t ta có: φiK−+1,1j − 2φiK, j+1 + φiK++11, j φiK, j+−11 − 2φiK, j+1 + φiK, j++11 S φiK, j+1 − φiK, j + = ( ∆x ) ( ∆y ) T ∆t Phương trình trên có ẩn số phương trình nên phải thiết lập các phương trình cho tất các nút khác bên miền bài toán và giải đồng thời các hệ phương trình nầy, thì tìm các ẩn bài toán bước thời gian (t+1), nên ta gọi sơ đồ nầy là sơ đồ ẩn • Sự ổn định sơ đồ Đối với sơ đồ ẩn luôn luôn ổn định với khoảng thời gian ∆t chọn; Còn sơ đồ ổn định với khi: ∆t ≤ ∆t giới hạn Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Lop12.net Trang 43