xây dựng phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp có lưới

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.2 Không gian véc tơ khái niệm 1.3 Không gian Banach không gian Hilbert 1.4 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 1.4.2 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình với ma trận ba đường chéo 1.4.3 Phương pháp lặp Jacobi .9 1.4.4 Phương pháp lặp Gauss-Seidel 1.5 Phương trình đạo hàm riêng toán biên 10 1.5.1 Phương trình đạo hàm riêng 10 1.5.2 Một số toán thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 11 1.5.3 Khái niệm toán biên 17 1.5.4 Một số toán thực tế giải phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn .19 CHƯƠNG 21 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI PHƯƠNG TRÌNH POISSON 21 2.1 Phương pháp sai phân 21 2.1.1 Bài toán truyền nhiệt dừng miền chữ nhật .21 2.1.2 Lưới sai phân hàm lưới .22 2.1.3 Bài toán sai phân 23 2.1.4 Giải toán sai phân phương pháp lặp Seidel co dãn 26 2.1.5 Bài toán truyền nhiệt dừng trường hợp miền Ω không hình chữ nhật 27 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 31 2.2.1 Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson 31 2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn trường hợp Ω hình chữ nhật 34 2.2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trường hợp Ω không hình chữ nhật 39 2.2.4 Phương pháp phần tử hữu hạn trường hợp Ω có đường biên cong 43 CHƯƠNG 45 MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM THU ĐƯỢC 45 3.1 Cài đặt chương trình 45 3.1.1 Giao diện chương trình .45 3.1.2 Ví dụ .46 PHỤ LỤC 59 KẾT LUẬN .64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Error! Bookmark not defined LỜI NÓI ĐẦU Trong thực tế đời sống có nhiều tượng khoa học kỹ thuật dẫn đến toán biên phương trình vật lý toán Giải toán đến đáp số số yêu cầu quan trọng thực tế Trong số trường hợp phép toán đơn giản để đến đáp số Còn đại đa số trường hợp khác, đặc biệt với toán có hệ số biến thiên, toán phi tuyến, toán miền bất kỳ….thì nghiệm tường minh chúng dạng phức tạp Trong trường hợp việc tính nghiệm phải dựa vào nghiệm gần Đến có hai phương pháp gần quan trọng nghiên cứu phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn Cả hai phương pháp tìm cách đưa toán biên vật lý toán toán đại số, thường hệ đại số tuyến tính Hai phương pháp làm khác nên chúng dẫn đến kết khác Với toán phương pháp tỏ ưu việt lại ưu việt phương pháp toán khác Hiện xâm nhập công nghệ thông tin vào ngành, lĩnh vực đời sống cần thiết việc giải toán biên thực tế nên đề tài em nghiên cứu hai phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng: phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các khái niệm ma trận Khi ta có n × m số ta xếp thành bảng chữ nhật chứa m hàng n cột Một bảng số gọi ma trận a11a12 a1n    a a a n  A=  21 22     a m1a m a mn  với aij phần tử ma trận A nằm giao điểm hàng thứ i cột thứ j + Ma trận vuông ma trận có số hàng số cột hay m = n + Ma trận đường chéo ma trận có phần tử nằm đường chéo khác 0, phần tử lại + Ma trận đơn vị ma trận mà phần tử đường chéo 1, phàn tử lại + Ma trận nghịch đảo: Ma trận B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A tích AB = BA = I Trong I ma trận đơn vị cấp với ma trận A + Ma trận tam giác trên: Ma trận A gọi ma trận tam giác phần tử bên đường chéo khác 0, tất phần tử đường chéo 1.2 Không gian véc tơ khái niệm * Khái niệm không gian véc tơ Không gian véc tơ V trường vô hướng K tập đối tượng, thường gọi véc tơ, xác định hai phép toán: 1) Phép cộng: ứng với cặp phần tử x y V có xác định phần tử V, viết x + y 2) Phép nhân với vô hướng: Ứng với phần tử x  V số k  K có cách xác định phần tử thuộc V, viết kx ( x k ), cho tính chất sau thỏa mãn: 1) x + y = y + x ; 2) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ,  x , y , z  V 3) Tồn   V cho  + x = x +  ,  x  V Phần tử  gọi phần tử trung hoà V 4) Với x  V tồn - x  V cho x + - x = - x + x =  Phần tử  x gọi phần tử đối x 5) k ( x  y)  kx  ky, x, y  V , k  K 6) (k  l ) x  kx  lx, x  V, k, l  K 7) k (lx)  (kl ) x , x  V, k, l  K 8) 1x  x , x  V Tám tính chất gọi tám tiên đề không gian véc tơ * Định nghĩa không gian chuẩn Không gian chuẩn, gọi không gian định chuẩn, không gian véc tơ V ứng với phần tử x  V có cách xác định số thực ký hiệu x gọi chuẩn x , thoả mãn ba tính chất: 1) x  0, x  V; x =  x  2) kx  k x , x  V, k  R 3) x  y  x  y , x, y  V Ba tính chất gọi ba tiên đề không gian chuẩn Tập phần tử không gian véc tơ V gọi tập không gian chuẩn V * Sự hội tụ Trong không gian chuẩn V ta xét dãy phần tử xn  Nói dãy xn hội tụ tới x  V (hay có giới hạn x  V ) dãy số xn  x  n   , tức là:   N : n  N  x n  x   Khi ta viết xn  x n   , hay đơn giản x n  x Nói dãy x n hội tụ V hay dãy xn hội tụ tồn x  V để xn  x * Sự trù mật Cho S  T  V Nói S trù mật T phần tử y  T tồn dãy y n  S  để yn  y Khi T = V ta nói tập S trù mật V * Chuẩn tương đương Trong không gian véc tơ làm có nhiều cách định nghĩa chuẩn cho phần tử x  V Khi ta có nhiều không gian chuẩn khác không gian véc tơ Ta nói hai chuẩn khác chuẩn tương đương tồn hai số dương M1 M2 cho: M1 x  x  M2 x , x  V Ý nghĩa khái niệm chuẩn tương đương là: dãy hội tụ theo chuẩn thứ dãy hội tụ theo chuẩn thứ hai ngược lại, nghĩa là: xn  x   xn  x  1.3 Không gian Banach không gian Hilbert * Dãy Cauchy V không gian chuẩn Xét dãy xn   V Ta nói dãy xn  dãy Cauchy với   cho trước tồn số nguyên dương N để: n, m > N  x n  xm   Mọi dãy Cauchy không giới hạn Trong không gian chuẩn V dãy hội tụ dãy Cauchy Nhưng dãy Cauchy hội tụ * Không gian Banach Một không gian chuẩn V dãy Cauchy hội tụ gọi không gian chuẩn Banach hay không gian đầy * Không gian có tích vô hướng Trong không gian véc tơ V trường số thực R, tồn ánh xạ: V ×V → R, tức ứng với cặp (u,v)  V ×V, có cách xác định số thực kí hiệu (u,v)V cho: (i) (u,v)V = (v,u)V  u,v  V (ii) (u + w,v)V = (u,v)V + (w,v)V (iii) (ku,v)V = k(u,v)V (iv) (u,u)V  (v) (u,u)V =  u =  u,v,w  V  u,v  V,  k  R  u  V Thì đại lượng (u,v)V gọi tích vô hướng không gian V V gọi không gian có tích vô hướng ( thường thay viết (u,v)V ta viết (u,v)) Chú ý: Trong không gian có tích vô hướng người ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau: (u, v)V  (u, u)V (v, v)V * Không gian Hilbert Trong không gian có tích vô hướng V ta đưa vào định nghĩa chuẩn: u V  (u , u ) V V trở thành không gian chuẩn Không gian chuẩn gọi không gian tiền Hilbert Nếu không gian tiền Hilbert không gian chuẩn đầy gọi không gian Hilbert Trong không gian Hilbert nếu: u, v V v  V u =  Chú ý: Khi ta viết bất đẳng thức Cauchy-Shwart là: (u , v) V  u 1.4 V vV Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 1.4.1 Phương pháp khử Gauss Ý tưởng phương pháp khử dần ẩn để đưa hệ ban đầu hệ với ma trận tam giác phép biến đổi tương tự như: - Đổi chỗ hai phương trình - Nhân phương trình với số khác không - Cộng vào phương trình tổ hợp tuyến tính số phương trình khác Như phương pháp Gauss gồm hai trình: + Quá trình thuận: Đưa hệ dạng tam giác + Quá trình ngược: Giải hệ tam giác từ lên a) Quá trình thuận Ta xét hệ: a11x1 + a12x2 +… + a1nxn = a1n+1 a21x1 + a22x2 +… + a2nxn = a2n+1 ……………………… (*) an1x1 + an2x2 +… + annxn = ann+1 Đặt aịj0 = aij (i = 1, 2,…., n; j = 1, 2, …., n + 1) Bước 1: Dùng phương trình để khử x1 n-1 phương trình lại: Giả sử a11 ≠ (ta có điều đổi chỗ hai phương trình ) * Chia hai vế phương trình thứ cho a11 ta phương trình: x1 + b12x2 +… + b 1nxn = b1n+1 với b1j = a1j (0) / a11 (0) (**) ( j = 2,…, n+1) * Cộng vào phương trình thứ i hệ (*) với (**) sau nhân với -ai1(0) ( j = 2, n) ta hệ: a22(1) x2 + a23(1)x3 +… + a2n (1)xn = a2n+1(1) a32(1) x2 + a33(1)x3 +… + a3n (1)xn = a3n+1(1) ……………………… (***) an2(1) x2 + an3(1)x3 +… + ann (1)xn = ann+1(1) với aij(1) = aij(0) + ai1(0)b1j Như sau bước ta thu phương trình (**) hệ (***) Bước 2: Dùng phương trình (***) khử x2 tương tự bước Quá trình tiếp tục với xi bước n ta thu hệ phương trình: x1 + b12x2 +… + b1n xn = b1n+1 x2 +… + b 2n xn = b2n+1 ……………………… (****) xn = b nn+1 hệ số tính theo công thức: b mj = amj(m-1) / amm(m-1) m = 1, 2, …n; j = m + 1, ., n+1 aij(m) = aij(m-1) – aim(m-1)bmj i = m + 1, …n; j = m + 1, ., n+1 Các phần tử amm(m-1) gọi phần tử trụ hay phần tử chủ đạo b) Quá trình ngược Giải hệ (****) ta áp dụng công thức: xn = bn,m+1 n xk = bk,n+1 - b k, j (k = n-1, …, 1) xj j  k 1 1.4.2 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình với ma trận ba đường chéo Xét ma trận có dạng: c1 x1  b1 x2  f1     xi1  ci xi  bi xi1  f i   a n x n1  cn xn  fn  Để giải phương trình phương pháp truy đuổi ba đường chéo ta đặt: 1  b1 , c1 1  f1 c1 Ta tính: * Quá trình truy đuổi xuôi: i  bi , ci  ai i1 i  * Quá trình truy đuổi ngược: f i   i  i 1 ci  ai i1 (i = 2, … , n) xn =  n , ta tính xi =  i xi+1 +  i (i = n - 1, , 1) 1.4.3 Phương pháp lặp Jacobi Xét hệ phương trình AX = F Bằng cách ta đưa hệ phương trình dạng: X = BX + G Trong đó: B = (b ij)n,n G = ( g1, g1,… gn )T Chọn vectơ: X = ( x1(0), x2(0),…., xn (0))T Làm xấp xỉ thứ nghiệm xây dựng xấp xỉ đó: X(m+1) = BX(m) + G ( m = 0,1,….) Người ta chứng minh phương trình ban đầu có nghiệm ba chuẩn ma trận B nhỏ dãy xấp xỉ hội tụ nghiệm Cho ma trận B, chuẩn ma trận B ba số sau: n B  max  bij i j 1 n B  max  bij j j 1  n n 2 B    bij   i 1 j 1  (Chuẩn ma trận quan hệ tới hội tụ phương pháp lặp) 1.4.4 Phương pháp lặp Gauss-Seidel Ý tưởng phương pháp cải tiến từ phương pháp lặp Jacobi, tức ta đưa toán dạng X = BX+G Nội dung phương pháp chỗ tính nghiệm xấp xỉ thứ (k+1) ẩn xi ta sử dụng xấp xỉ thứ ( k+1) ẩn x1, x2,…,xi-1 Giả sử cho hệ [A][X] = [B] ta có nghiệm: n xi = βi +  ij x j i = 1, ,n j 1 Lấy xấp xỉ ban đầu tùy ý x1(0), x1(2),… x1(n) tất nhiên ta lấy chúng tương ứng với x1, x2, … ,xn tốt Tiếp theo ta giả sử biết xấp xỉ thứ k xi(k) Theo Seidel ta tìm xấp xỉ thứ (k+1) nghiệm theo công thức sau: n x1(k+1) = β1 +  ij x j ( k ) j 1 x2(k+1) = β2 +  21 x1( k 1) + n  ij xj (k ) j 2 ………………… i 1 xi(k+1) = βi +  ij x j ( k 1) + j 1 n  ij xj (k ) j i ………………… n 1 Xn(k+1) = βn +   ij x j ( k 1) +  nn xn(k) j 1 Phương pháp Gauss – Seidel hội tụ nhanh phương pháp lặp Jacobi tính toán phức tạp 1.5 Phương trình đạo hàm riêng toán biên 1.5.1 Phương trình đạo hàm riêng Với hàm số biến số y = y(x) ta có khái niệm đạo hàm y’(x): y’(x) = lim x  y ( x  x)  y ( x) x Khái niệm phương trình vi phân y’ = f(x,y) khái niệm toán Cauchy: Tìm hàm số y = y(x) xác định x  [ x0, X] cho: y’ = f(x,y), x0 < x < X, y(x0) =  f(x,y) hàm số cho trước; x0, X số cho trước Với hàm số nhiều biến ta gặp khái niệm toán tương tự Xét hàm số hai biến số u = u(x,y), ta có đạo hàm riêng cấp x: u u ( x   x, y )  u ( x, y ) = lim x0 x x đạo hàm riêng cấp y: 10 Giá trị tính chạy chương trình nút lưới: 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 95.4747 90.9764 86.2839 81.1352 75.1812 67.9117 58.5357 45.7733 27.4849 100.0000 92.2937 84.6708 76.9275 68.8449 60.1819 50.6711 40.0334 28.0237 14.5561 100.0000 90.3058 80.8115 71.3893 61.9120 52.2615 42.3380 32.0842 21.5096 10.7303 100.0000 89.0914 78.5177 68.2125 58.1060 48.1341 38.2476 28.4323 18.7194 9.1930 100.0000 88.2166 76.9565 66.2100 55.9149 45.9832 36.3253 26.8784 17.6241 8.6183 100.0000 86.9994 75.1138 64.3388 54.4589 45.1947 36.2628 27.4052 18.4221 9.2288 100.0000 82.3861 69.9111 60.4880 52.8327 46.0873 39.5883 32.7025 24.6643 14.3629 100.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 Đồ thị biểu diễn là: Hình 3.7 Nghiệm toán 51 *) Ví dụ 3: Phương pháp phần tử hữu hạn với miền Ω hình chữ nhật + Đặt vấn đề: Với Ω miền hình chữ nhật mặt phẳng Oxy ta có: Xét toán: Tìm u(x,y)  W2(Ω) thỏa mãn: u  2u  2u  = -4*(x*x + y* y - 1)* exp(-x* x - y*y) x y  ( x, y)   u ( x , y )T (*) (**) 0 tức là: Tìm u(x,y)  W20(Ω) = W10(Ω)∩ W2(Ω) thoả mãn (*) Nghiệm gọi nghiệm cổ điển toán (*)-(**) Như toán (*)-(**) mô tả tượng truyền nhiệt dừng mỏng vật chất Ω mà nhiệt độ biên T ấn định + Kết chạy thuật toán - Miền lưới chia phương pháp chia lưới thích nghi Hình 3.8 Đồ thị mô tả miền lưới 52 - Nghiệm toán mô đồ thị sau: Hình 3.9 Nghiệm xác - Đồ thị mô tả sai số: Hình 3.10 Sai số 53 Kết sai số giải toán: maxerro = 3.00e-003, minerror = 1.08e-003 *) Ví dụ 4: Phương pháp phần tử hữu hạn với miền Ω hình tròn + Đặt vấn đề: Với Ω miền mặt phẳng Oxy có hình tròn Xét toán: Tìm u(x,y)  W2(Ω) thỏa mãn: u  2u  2u   4*sin(2*x*y)*(x^2+y^2), ( x, y)   (a) x y  u ( x , y )T 0 Tức là: Tìm u(x,y)  W20(Ω) = W10(Ω)∩ W2(Ω) thoả mãn (a) Ta nói toán (a) toán mô tượng chuyền nhiệt dừng mỏng vật chất Ω mà nhiệt độ biên T ấn định + Kết chạy thuật toán Tương tự toán trên, ta xây dựng hàm lưới phương pháp chia lưới thích nghi với hình tròn, mô tả hình: Hình 3.11 Miền lưới 54 - Chạy chương trình cài đặt ta thu nghiệm: Hình 3.12 Nghiệm xác - Sai số toán đánh giá hình: Hinh 3.13 Sai số 55 Kết sai số giải toán: maxerro = 3.51e-003, minerror = 1.05e-003 *) Ví dụ 5: Phương pháp phần tử hữu hạn với miền biên hình Shape + Đặt vấn đề: Cho Ω miền hình shape ( miền hình chữ L) Xét toán: Tìm u(x,y)  W2(Ω) thỏa mãn: u  2  2u  2u 2   -4 (x + y - 1) e (  x  y ) x y u ( x , y )T ( x, y)   (b) 0 tức là: tìm u(x,y)  W20(Ω) = W10(Ω)∩ W2(Ω) thỏa mãn (b) + Kết chạy thuật toán Ta tiến hành chia lưới miền Ω hàm refinemesh() ( hàm hỗ trợ nằm phần toolbox\pde cài Matlab7.0) Ta thu miền lưới hình:` Hình 3.14 Hàm lưới 56 - Nghiệm thu sau chạy chương trình: Hình 15 Nghiệm xác 57 - Sai số toán đánh giá hình: Hình 16 Sai số + Kết sai số giải toán: maxerro = 9.25e-004, minerro = 3.99e-004 Kết luận: Sau trình nghiên cứu phần lý thuyết chương chương hai, cài đặt chương trình chạy thử với số ví dụ chương ba Ta nhận thấy hai phương pháp phương pháp có ưu điểm với dạng miền khác Ta nhận xét phương pháp sai phân hữu hạn tỏ ưu việt với miền dạng đơn giản, phương pháp phần tử hữu hạn với hình thức chia miền lưới thích nghi, tỏ thích hợp với miền có hình dạng phức tạp Với ví dụ cụ thể chạy chương trình cho ta kết mà sai số đạt nhỏ Điều chứng tỏ ý nghĩa lớn hai phương pháp: phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn việc giải toán thực tế 58 PHỤ LỤC *) Hàm m_file cài đặt phương pháp sai phân thuật toán Seidel co dãn function v=seidelcodan(a,b,c,d,ga,gb,gc,gd,fxy,N,M,e,lamda); syms x y; h=(b-a)/N k=(d-c)/M gama=(h/k)^2 t=1; for i=0:N for j=0:M epsilon(t+i,t+j)=eps; end; end; X=linspace(a,b,N+1); Y=linspace(c,d,M+1); for i=0:N for j=0:M f(t+i,t+j)=eval2(fxy,X(t+i),Y(t+j)); % Ham ve phai end; end; v=zeros(N+1,M+1); % Xap xi dau la ma tran khong for j=0:M v(t+0,t+j)=subs(ga,y,Y(t+j)); % Bien trai v(t+N,t+j)=subs(gb,y,Y(t+j)); % Bien phai end; for i=0:N v(t+i,t+0)=subs(gc,x,X(t+i)); % Bien duoi v(t+i,t+M)=subs(gd,x,X(t+i)); % Bien tren end; u=v; 59 for j=1:M-1 for i=1:N-1 v(t+i,t+j)=(1/(2*(1+gama)))*(gama*v(t+i,t+j-1)+v(t+i1,t+j)+u(t+i+1,t+j)+gama*u(t+i,t+j+1)-h*h*f(t+i,t+j)); v(t+i,t+j)=lamda*v(t+i,t+j)+(1-lamda)*u(t+i,t+j); end; end; saiso=abs(v-u)./(abs(v)+epsilon); saisomax=max(max(saiso)); while saisomax>e u=v; for j=1:M-1 for i=1:N-1 v(t+i,t+j)=(1/(2*(1+gama)))*(gama*v(t+i,t+j-1)+v(t+i1,t+j)+u(t+i+1,t+j)+gama*u(t+i,t+j+1)-h*h*f(t+i,t+j)); v(t+i,t+j)=lamda*v(t+i,t+j)+(1-lamda)*u(t+i,t+j); end; end; saiso=abs(v-u)./(abs(v)+epsilon); saisomax=max(max(saiso)); end; function eval2=eval2(fxy,a,b) syms x syms y fy=subs(fxy,x,a); eval2=subs(fy,y,b); 60 *) Hàm m_file cài đặt phương pháp phần tử hữu hạn function expriment_hiep(testf,Name_domain) style_grid='Adaptmesh'; number_refine =3; c = 1; a = 0; [g,b]= domain1(Name_domain); switch testf % chon ham case f = '4.*sin(2.*x.*y).*(x.^2+y.^2)'; case f = '-4.*(x.*x + y.* y - 1).* exp(-x.* x - y.*y)'; case f = '2*pi.*pi.*sin(pi.*x).*sin(pi.*y) '; case f = '0'; end % Tinh toan voi RHS tm=cputime; [p,e,t] = initmesh(g,'Hmax',2,'init','on'); for j = 1:number_refine [p,e,t] = refinemesh(g,p,e,t);% chia luoi end figure(1), pdemesh(p,e,t); axis equal % Tap hop he thong tuyen tinh va giai quyet [K,F,B,ud] = assempde(b,p,e,t,c,a,f,1e-1); u1 = K\F; u1 = B*u1+ud; 61 BB =B; fem_timing = cputime-tm; % tim va phac hoa nghiem chinh xac exact_solution = gxy(p(1,:),p(2,:),testf)'; % nghiem chinh xac figure(2), pdesurf(p,t,exact_solution) title('Exact solution') % tnh toan va phac hoa loi maxerror_FEM = max(abs(exact_solution-u1)); figure(3), pdesurf(p,t,exact_solution-u1) % phac hoa loi title('FEM error') fprintf( '\n\n The FEM method for solving PDE'); figure(199) spy(K) title('spy.FEM'); nz= nnz(K) ; fprintf( 'FEM %1.2e ',maxerror_FEM); err = exact_solution-u1; error_mean= norm(err)/sqrt(length(err)); fprintf(' %1.2e %90.2f\n\n', error_mean,nz ); function z=gxy(x,y,testf) switch testf case z=sin(2*x.*y); case z = exp (-x.* x - y.* y); case z = sin(pi.*x).*sin(pi.*y); case Z=0; end 62 % RHS of the PDE : nhung nhan to RSH cua PDE function z=fxy(x,y,testf) switch testf case z=-4.*sin(2.*x.*y).*(x.^2+y.^2); case z= 4.*(x.*x + y.* y - 1).* exp(-x.* x - y.*y); case z = -2*pi.*pi.*sin(pi.*x).*sin(pi.*y) ; case z =0; end 63 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài toán biên, phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn để giải phương trình đạo hàm riêng Được hướng dẫn tận tình Cô giáo Đặng Thị Oanh, đề tài em thu kết định: * Những kiến thức ma trận, không gian vec tơ, phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính * Bài toán biên ứng dụng thực tế phương trình đạo hàm * Nghiên cứu cài đặt phương pháp sai phân phương pháp phần tử riêng hữu hạn giải toán Dirichlet với phương trình Poisson Tuy nhiên, thời gian hạn chế kiến thức thân toán biên phương trình đạo hàm riêng nên đề tài không tránh khỏi sai sót kiến thức cách trình bày Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn để đề tài em hoàn thiện Hướng phát triển đề tài: Tiếp tục nghiên cứu sâu toán biên, phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt nghiên cứu hai phương pháp giải toán biên phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng chúng số toán thực tế 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO TẠ VĂN ĐĨNH, Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn Nhà xuất khoa học kỹ thuật CHU QUỐC THẮNG (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất khoa học kỹ thuật ĐẶNG QUANG Á, Giáo trình phương pháp số, Hà Nội 2007 DƯƠNG THỦY VỸ, Giáo Trình Phương Pháp Tính, Nhà xuất khoa học kỹ thuật NGUYỄN PHÙNG QUANG, Matlab Simulink, Nhà xuất khoa học kỹ thuật 65 [...]... không gian véc tơ, phương trình đạo hàm riêng, cùng một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Chương hai chúng ta sẽ nghiên cứu về hai phương pháp: phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn giải phương trình Poisson với điều kiện Dirichlet 20 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI PHƯƠNG TRÌNH POISSON 2.1 Phương pháp sai phân 2.1.1... Nó có cấp hai, nghĩa là chứa đạo hàm của u cấp cao nhất là hai Nó là một phương trình tuyến tính, hay là bậc nhất đối với u và các đạo hàm của u 1.5.2 Một số bài toán thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng Trong thực tế có rất nhiều hiện tượng mà những biến đổi của nó theo thời gian, không gian hay cả thời gian và không gian được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng, sau đây là một vài thí... trên vào sai số của bài toán ta có: z   vu   O(h 2  k 2 ) Đó là sự hội tụ của nghiệm đúng v của bài toán sai phân và nó cũng là đánh giá sai số của phương pháp 2.1.4 Giải bài toán sai phân bằng phương pháp lặp Seidel co dãn Ta có thể giải hệ (2.9)-(2.10) bằng các phương pháp truyền thống như phương pháp Gauss, phương pháp Jacobi, phương pháp Gauss-Seidel … hay phương pháp tiết kiệm khối lượng tính... y Và các đạo hàm riêng cấp hai:  2u  u = ( ), 2 x x x  2u xy Nếu các đao hàm riêng =  u  2u = ( ), 2 y y y  u  2u  u ( ), = ( ), y x yx x y  2u  2u , là những hàm liên tục thì bằng nhau xy yx Phương trình: A(x.y) u  2u u  2u  2u + B(x.y) + C(x,y) + D(x,y) + E(x,y) + F(x,y)u = f(x,y) 2 2 y x xy y x Là phương trình có dạng đạo hàm riêng của u Nó có cấp hai,... chứng minh được hàm số u( x ,t) thoả mãn phương trình đạo hàm riêng:  2u  2u  c2 2 , t x a < x < b, t > 0 (1.20) trong đó c là hằng số đặc trưng cho tính đàn hồi của dây Phương trình này mô tả hiện tượng rung động của dây đàn, nên được gọi là phương trình dây rung hay phương trình truyền sóng một chiều 1.5.3 Khái niệm bài toán biên Như ta đã biết một phương trình vi phân thường có vô số nghiệm... (b )   tạo nên một bài toán hoàn chỉnh có tên là bài toán biên loại một, điều kiện y(a )   , y(b)   gọi là điều kiện biên (loại một) Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự Muốn có nghiệm duy nhất thì phương trình đạo hàm riêng phải kèm theo một điều kiện phụ Mỗi cách cho điều kiện phụ xác định một lớp bài toán riêng biệt Thí dụ: Đối với phương trình Poisson hai chiều:  2u x 2   2u... nhiệt độ của bản vật chất và phương trình (2.1) là phương trình truyền nhiệt dừng trong bản mỏng vật chất đó 21 Đây là phương trình loại elip hay gọi là phương trình Poisson với điều kiện (2.2) là điều kiện Dirichlet Ta giả sử bài toán (2.1) – (2.2) có nghiệm duy nhất đủ trơn trong  =   T 2.1.2 Lưới sai phân và hàm lưới * Lưới sai phân Để xây dựng lưới sai phân ta chia  thành các ô nhỏ Chon trước hai... gồm: Các phương trình (2.10) tại các nút trong, phương trình (2.16) tại các nút kề biên và phương trình (2.11) tại các nút biên * Cách giải bài toán sai phân Sau khi đã xấp xỉ bài toán bởi các công thức (2.10)-(2.11)-(2.16), chúng là một hệ đại số tuyến tính mà số phương trình bằng số ẩn ( bằng tổng các nút trong và các nút kề biên) Ta cũng có thể giải chúng bằng công thức lặp Seidel như đã trình bày... là pháp tuyến (hướng ra) ngoài của biên T, gọi là điều kiện biên loại ba Về mặt vật lý điều kiện biên này mô tả quan hệ giữa luồng nhiệt và nhiệt độ ở biên của bản mỏng vật chất  Bài toán tìm u = u(x,y) thoả mãn phương trình đạo hàm riêng (1.18) và điều kiện biên (1.22) gọi là bài toán biên loại ba đối với phương trình Poisson 18 1.5.4 Một số bài toán thực tế giải bằng phương pháp sai phân và phương. .. viết ta giả sử a = 0, c = 0 Ta chia miền Ω thành một lưới đều bằng các đường thẳng song song với trục tọa độ Có hai cách chia lưới hiện nay được áp dụng đó là phương pháp chia lưới thích nghi và không thích nghi + Phương pháp chia lưới thích nghi: Ta tiến hành chia miền đã cho thành một miền lưới, dựa vào hình dạng và kích thước miền mà ta chia mật độ lưới là khác nhau, tạo ra những thích ứng với từng