Bài giảng Giải tích 2 – Chương 6 – Tích phân mặt (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

Trong đó

1 Tích phân mặt loại Tích phân mặt loại TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Định nghĩa Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆 Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1 , 𝑆2 , ⋯ , 𝑆𝑛 rời (không chồng lên nhau) Diện tích tương ứng: ∆𝑆1 , ∆𝑆2 , ⋯ , ∆𝑆𝑛 Trên mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) tùy ý Lập tổng Riemann: 𝑛 𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 ∆𝑆𝑖 𝑖=1 𝐼 = lim 𝐼𝑛 , không phụ thuộc cách chia mặt cong 𝑆, và cách lấy điểm 𝑀𝑖 𝑛→∞ 𝐼= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 𝑆 gọi là tích phân mặt loại hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên mặt 𝑆 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính chất 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trên mặt cong trơn 𝑆 thì khả tích trên 𝑆 Diện tích mặt 𝑆: 𝑆 𝑆 𝑘𝑓 + 𝑚𝑔 𝑑𝑆 = 𝑘 𝑆 𝑑𝑆 𝑓𝑑𝑆 + 𝑚 𝑆 𝑔𝑑𝑆 Nếu 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 thì: 𝑆 23-Mar-21 𝑓𝑑𝑆 = 𝑆1 𝑓𝑑𝑆 + 𝑆2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝑓𝑑𝑆 Cách tính Phương trình tham số mặt cong S: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 , 𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷 Phương trình tham số hàm vector mặt cong S: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Xác định mặt cong S biết phương trình tham số hàm vector mặt S có dạng: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢 𝐢 + 𝑣 𝐣 + 2𝑠𝑖𝑛𝑢 𝐤 Phương trình tham số mặt cong S: 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢; 𝑦 = 𝑣; 𝑧 = 2𝑠𝑖𝑛𝑢 Do đó: 𝑥 + 𝑧 = 4, mặt S là mặt trụ song song với trục Oy Nếu thêm điều kiện: ≤ 𝑢 ≤ 𝜋/2,0 ≤ 𝑣 ≤ 3, mặt S có dạng: 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tìm phương trình tham số hàm vector mặt cong S: 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 Phương trình tham số mặt cong S: 𝑥 = 𝑥; 𝑦 = 𝑦; 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 Do đó phương trình tham số hàm vector mặt cong S: 𝐫 𝑥, 𝒚 = 𝑥 𝐢 + 𝑦 𝐣 + (𝑥 + 2𝑦 ) 𝐤 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính Giả sử mặt cong S có phương trình tham số hàm vector: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷, đó:  f ( x, y, z ) dS   f (r(u, v)) | r  r u S đó: |  dudv D x y z x y z ru  i j  k ; rv  i  j  k u u u v v v i ru  rv  xu xv 23-Mar-21 v j yu k zu yv zv TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 𝑥 𝑑𝑆 , đó S là hình cầu: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 Tham số hóa mặt cầu S hệ tọa độ cầu: 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐷 𝜑, 𝜃 = { 𝜑, 𝜃 : ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝜃 ≤ 𝜋} Tức là: 𝐫 𝜑, 𝜃 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐢 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐣 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝐤 r   R sin  sin  i  R cos  sin  j  0.k r  R cos  cos  i  R sin  cos  j  R sin  k 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ i j k r  r   R sin  sin  R cos  sin  R cos  cos  R sin  cos   R sin    R cos  sin  i  R sin  sin  j  R sin  cos  k Do đó: | ru  rv |  R sin  Vậy: x  dS  S   ( R cos  sin  )  r  r  d d   R (cos  sin  )  sin   d d D( , )  D( , ) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 2  R   cos  sin  d d 0 R    2 2 cos  d  sin  d  (1  cos 2 ) d  (sin   sin  cos  ) d R4   4 R  23-Mar-21  2  sin 2 0   cos   cos   2 3 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 𝑥 𝑑𝑆 , đó S là hình cầu đơn vị: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 Cách 2: Do các hàm dấu tích phân là hàm chẵn, và mặt cầu đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ 𝑥 𝑑𝑆 = 𝐼= 𝑆 Do đó: 𝐼 = 23-Mar-21 𝑆 𝑦 𝑑𝑆 = 𝑆 2 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑆 = 𝑧 𝑑𝑆 𝑆 𝑅2 𝑆 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝑑𝑆 = 4𝜋𝑅4 11 Cách tính Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1 , 𝑆2 , ⋯ , 𝑆𝑛 rời (không chồng lên nhau) Diện tích tương ứng: ∆𝑆1 , ∆𝑆2 , ⋯ , ∆𝑆𝑛 Trên mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) tùy ý Lập tổng Riemann: 𝑛 𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 ∆𝑆𝑖 𝑖=1 Trong phần ứng dụng tích phân kép (tính diện tích mặt cong), ta có: Si   23-Mar-21  zx ( xi , yi )  zx ( xi , yi ) 2   z y ( xi , yi )    S ( Di )   zy ( xi , yi )    xy TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 12 Cách tính n Do đó: I n   f ( M i ) Si i 1 n   f ( xi , yi , zi )  i 1  zx ( xi , yi ) n   f ( xi , yi , zi ( xi , yi ))  i 1 2   z y ( xi , yi )    xy  zx ( xi , yi ) 2   z y ( xi , yi )    xy  zx   I  lim I n hay  f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z )  n S Dxy   f ( x, y, z ( x, y ))  Dxy 23-Mar-21  zx  2   z y    dxdy   z y    dxdy TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 13 Cách tính Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxy z S z = z(x,y) Nếu 𝑆 có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxy là 𝐷𝑥𝑦 : y O Dxy x 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝑆 23-Mar-21 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 14 Cách tính Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxz Nếu 𝑆 có phương trình 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxz là 𝐷𝑥𝑧 : 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝐷𝑥𝑧 𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥, 𝑧), 𝑧 + (𝑦𝑥′ )2 + (𝑦𝑧′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑧 Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oyz Nếu 𝑆 có phương trình 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oyz là 𝐷𝑦𝑧 : 𝑆 23-Mar-21 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝐷𝑦𝑧 𝑓 𝑥(𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧 + (𝑥𝑦′ )2 + (𝑥𝑧′ )2 𝑑𝑦𝑑𝑧 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 15 Chú ý Nếu hình chiếu 𝑆 xuống mặt phẳng Oxy là đường cong (trường hợp này xảy 𝑆 là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz) thì phải chiếu 𝑆 xuống các mặt phẳng tọa độ khác, không chiếu xuống mặt phẳng Oxy 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 16 Ví dụ Tính I   ( x  y  z )dS , đó S là phần mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 S nằm hai mặt phẳng z = và z = Z=3 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 9} Phương trình mặt nón: 𝑧 = 𝜕𝑧 = 𝜕𝑥 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑧 = 𝜕𝑦 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 Z=0 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 17 Ví dụ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑆 = 𝐼= 𝑆 𝑥2 + 𝑦2 2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : ≤ 𝑟 ≤ 3,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} 2𝜋 𝑟 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 2 𝐼=2 𝐷𝑟𝜑 23-Mar-21 𝑟 𝑑𝑟 = 81 2𝜋 𝑑𝜑 0 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 18 Ví dụ Tính I   ( x  y  z )dS , đó S là phần mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 S nằm hai mặt phẳng z = và z = Cách 2: Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu: 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝜃 = 𝜋/4 Do đó: 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝐷 𝜌, 𝜑 = 23-Mar-21 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝜌 𝜌, 𝜑 : ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝜌 ≤ TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 19 Ví dụ i cos  r  r    sin   Do đó: 𝐫𝜌 × 𝐫𝜑 = 23-Mar-21 𝜌2 + 𝜌2  cos  = j k sin   cos  2 i  sin  j  k 𝜌 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 20 Ví dụ I   ( x  y  z )dS  S 2   D (  , )  d d  2 1 3    d d    d   d  D (  , ) 0  81 2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 21 Ví dụ Tính I   zdS , đó S là phần mặt paraboloid 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 S miền 𝑧 ≥ 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 2} Phương trình mặt S: 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 𝜕𝑧 = −2𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = −2𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑆 = 𝜕𝑧 1+ 𝜕𝑥 23-Mar-21 𝜕𝑧 + 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 = + 4(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 22 Ví dụ 𝐼= − 𝑥2 − 𝑦2 𝑧𝑑𝑆 = 𝑆 + 4(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : ≤ 𝑟 ≤ 2, ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} 2𝜋 (2 − 𝑟 ) + 4𝑟 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝐼= 𝐷𝑟𝜑 (2 − 𝑟 ) + 4𝑟 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜑 0 37 = 𝜋 10 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23 Ví dụ Tính I   zdS , đó S là phần mặt paraboloid 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 S miền 𝑧 ≥ Cách 2: Tham số mặt S qua hệ tọa độ trụ: 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = − 𝜌2 Do đó: 𝑥 = − 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = − 𝑧𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧 𝐷 𝑧, 𝜑 = 23-Mar-21 𝑧, 𝜑 : ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝑧 ≤ TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 24 Ví dụ rz  r  i j k  cos  2 z  sin  2 z  z cos    z sin    z cos  i   z sin  j  k Do đó: 𝐫𝑧 × 𝐫𝜑 = 23-Mar-21 (2 − 𝑧) + = −𝑧 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 25 Ví dụ I   zdS   z  zdzd S D ( z , ) 2   d  z  zdz 0 37  10 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 26 Ví dụ Tính I   ( x  y )dS , đó S là phần nửa trên mặt cầu: 2 S 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 , 𝑧 ≥ z 𝑧= 𝑅2 − 𝑥 − 𝑦 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑅 } Phương trình mặt S: 𝑧 = 𝑅2 − 𝑥 − 𝑦 z0 x 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Dxy y 27 Ví dụ 𝜕𝑧 = 𝜕𝑥 −𝑥 𝑅2 − 𝑥 − 𝑦 𝜕𝑧 ; = 𝜕𝑦 −𝑦 𝑅2 − 𝑥 − 𝑦 → 𝑑𝑆 = 𝑅 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} 𝑟2 𝐼= 𝐷𝑟𝜑 𝑅 𝑅2 − 𝑟 2𝜋 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝑅 𝑅 𝑑𝜑 0 𝑟3 𝑅2 − 𝑟 𝑑𝑟 4𝜋𝑅 = 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 28 Ví dụ Tính I   ( x  y )dS , đó S là phần nửa trên mặt cầu: 2 S 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 , 𝑧 ≥ Cách 2: Tham số mặt cầu S qua hệ tọa độ cầu: 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐷(𝜑, 𝜃) = {(𝜑, 𝜃): ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2} 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 29 Ví dụ i j k r  r   R sin  sin  R cos  sin  R cos  cos  R sin  cos   R sin    R cos  sin  i  R sin  sin  j  R sin  cos  k Do đó: | ru  rv |  R sin  Vậy: 2 ( x  y )dS   S   R sin   r  r  d d D( , )  R4   sin  d d D( , ) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30 Ví dụ R   sin  d  d D( , ) 2  /2 0  R  d  2 R  /2   sin  d (cos   1) d (cos  )  /2  cos    2 R   cos    0 4 R  3 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 31 Ví dụ Tính I   ( x  y  z )dS , đó S cho bởi: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = S và 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32 C x+y+z=1 z=1–x–y S B O Dxy A 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 33 Ví dụ Tính I   ( x  y  z )dS , đó S cho bởi: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = S và 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 𝐼= 𝑥 + 𝑦 + (1 − 𝑥 − 𝑦) + + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 B 𝐷𝑥𝑦 = 𝑑𝑥 23-Mar-21 1−𝑥 𝑑𝑦 = TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Dxy O A 34 Ví dụ Tính I   ( x  y  z )dS , đó S là mặt xung quanh hình chóp cho bởi: S 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ Mặt S gồm mặt tứ diện OABC Tích phân 𝐼1 trên mặt ABC đã tính ví dụ trước Ta tính tích phân trên các mặt còn lại 𝑂𝐴𝐵 , 𝑂𝐵𝐶 , 𝑂𝐶𝐴 𝐼2 23-Mar-21 𝐼3 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝐼4 35 C S1 S3 B O S2 S4 A 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 36 Trên mặt OAB, phương trình mặt là: z = Hình chiếu mặt xuống Oxy là tam giác OAB 𝐼2 = 𝑥+𝑦+0 𝑂𝐴𝐵 + + 0𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1−𝑥 𝑑𝑥 0 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = Tích phân trên các mặt còn lại tính tương tự →𝐼 =1+ 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37 Ví dụ Tính diện tích nửa trên mặt cầu bán kính R và diện tích toàn mặt cầu 𝑆= 𝑅 𝑑𝑆 = 𝑆 2𝜋 𝐷𝑥𝑦 𝑅2 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑅 𝑅 𝑑𝜑 0 𝑟 𝑅2 − 𝑟 𝑑𝑟 = 2𝜋𝑅 Diện tích toàn mặt cầu lần diện tích nửa mặt cầu và 4𝜋𝑅 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 38 Ví dụ Tính diện tích mặt cong S, đó S là phần mặt paraboloid 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 lấy phần ≤ 𝑧 ≤ z=1 z=0 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 39 Ví dụ Cách 1: Phương trình mặt S: 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 Do đó: 𝑧𝑥′ = −2𝑥, 𝑧𝑦′ = −2𝑦 𝐷(𝑥, 𝑦) = { 𝑥, 𝑦 : ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2} Diện tích mặt S: 𝐼 = 𝑆 𝑑𝑆 = 𝐷(𝑥,𝑦) + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Đổi biến qua hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷(𝑟, 𝜑) = { 𝑟, 𝜑 : ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝑟 ≤ 2} 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 40 Ví dụ Do đó, diện tích mặt S: 𝐼 = 𝐷(𝑟,𝜑) 2𝜋 = 𝑟 + 4𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 + 4𝑟 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 9 5      2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 41 Ví dụ Cách 2: Tham số mặt S qua hệ tọa độ trụ: 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = − 𝜌2 Do đó: 𝑥 = − 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = − 𝑧 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧 𝐷 𝑧, 𝜑 = 23-Mar-21 𝑧, 𝜑 : ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝑧 ≤ TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 42 Ví dụ rz  r  i j k  cos  2 z  sin  2 z  z cos    z sin    z cos  i   z sin  j  k Do đó: 𝐫𝑧 × 𝐫𝜑 = 23-Mar-21 (2 − 𝑧) + = −𝑧 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 43 Ví dụ I   dS   S D ( z , )  zdzd 2   d   zdz 0 9 5      2 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 44 Định nghĩa mặt phía Cho mặt cong S Di chuyển vector pháp tuyến S từ điểm A nào đó theo đường cong (kín) tùy ý Nếu quay lại vị trí xuất phát, vector pháp tuyến không đổi chiều thì mặt cong S gọi là mặt hai phía Trong trường hợp ngược lại, vector pháp tuyến đổi chiều thì mặt cong S gọi là mặt phía 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 45 Ví dụ Mặt Mobius 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 46 Ví dụ Mặt cầu, mặt nón, mặt bàn… là mặt phía Mặt cầu 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 47 Định nghĩa mặt định hướng S là mặt cong hai phía Nếu trên mặt S ta qui ước phía là dương, phía còn lại là âm thì mặt S gọi là mặt định hướng Vector pháp tuyến mặt định hướng là vector pháp tuyến hướng phía dương mặt định hướng 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 48 Ví dụ  Tìm vector pháp tuyến mặt cầu x  y  z2  A 1,0,  biết phía ngoài mặt cầu là phía dương Phương trình mặt cầu: z   x  y   x y Vector pháp tuyến: l   zx ,  zy ,1   , ,1   x2  y2  x2  y2        Vector pháp tuyến điểm A: l   ,0,1   23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 49 Ví dụ  Tìm vector pháp tuyến mặt nón z  x  y A 1,1,  biết phía dương mặt nón là phía nhìn từ hướng trục Oz Phương trình mặt nón: z  x  y   x y Vecto pháp tuyến: l  zx , zy , 1   , , 1 2  x2  y2  x  y      1  Vecto pháp tuyến điểm A: l   , , 1  2  23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 50 Phía ngoài Phía 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 51 Định nghĩa P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S Vector pháp tuyến đơn vị mặt S là: n  (cos  ,cos  ,cos  ) 𝛼, 𝛽, 𝛾 là góc hợp 𝐧 với các trục Ox, Oy, Oz Tích phân mặt loại I    P  cos   Q  cos   R  cos   dS S gọi là tích phân mặt loại hai P, Q, R trên mặt định hướng S lấy theo hướng dương mặt S, đó: I   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy S 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 52 Định nghĩa Định lý Cho 𝑆 là mặt định hướng các hàm 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trên mặt 𝑆 Khi đó tích phân mặt loại luôn tồn Tính chất • Tích phân mặt loại có các tính chất tương tự tích phân đường loại 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = − 𝑆+ 23-Mar-21 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆− TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 53 Cách tính Nếu 𝐅 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 là trường vector liên tục xác định trên mặt định hướng S, hướng dương S trùng với vector pháp đơn vị n, thì tích phân mặt F trên S là:  F  dS   F  ndS S S Nếu S cho hàm vector r(u, v), thì:  ru  rv ru  rv F (r (u , v))  S F  ru  rv dS  D ru  rv ( u ,v )       ru  rv dudv  F (r (u, v))  (ru  rv ) dudv D ( u ,v ) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 54 Cách tính Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S : z  z( x , y ) Vector pháp tuyến đơn vị hướng phía dương mặt S: n   cos  ,cos  ,cos   cos   zx   zx    zy  2 ,cos   zy   zx    zy  2 ,cos   1   zx    zy  2 dxdy    zx    zy  dxdy Mặt khác: dS  cos  Do đó, I    P  cos   Q  cos   R  cos   dS S    P   zx   Q  D xy 23-Mar-21  zy   R  (1)  dxdy TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 55 Cách tính Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) Hình chiếu 𝑆 trên mp Oxy là miền 𝐷𝑥𝑦 Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(−𝑧𝑥′ , −𝑧𝑦′ , 1) Dấu (+) , (-) chọn cho 𝐥 hướng phía dương mặt S 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆+ 23-Mar-21 (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 56 Cách tính Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧) Hình chiếu 𝑆 trên mp Oyz là miền 𝐷𝑦𝑧 Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(1, −𝑥𝑦′ , −𝑥𝑧′ ) Dấu (+) , (-) chọn cho 𝐥 hướng phía dương mặt S 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆+ 23-Mar-21 (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷𝑦𝑧 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 57 Cách tính Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧) Hình chiếu 𝑆 trên mp Oxz là miền 𝐷𝑥𝑧 Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(−𝑦𝑥′ , 1, −𝑦𝑧′ ) Dấu (+) , (-) chọn cho 𝐥 hướng phía dương mặt S 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆+ 23-Mar-21 (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐷𝑥𝑧 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 58 Ví dụ Tính 𝐼 = + 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó 𝑆 là phía ngoài 𝑺+ mặt cầu: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu: 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 ; ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 i j k r  r   R sin  sin  R cos  sin  R cos  cos  R sin  cos   R sin    R cos  sin  i  R sin  sin  j  R sin  cos  k 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 59 Ví dụ 𝐫𝜑 × 𝐫𝜃 hướng vào mặt cầu, ngược hướng với phía ngoài mặt cầu Do đó: I   F(r( , ))  (r  r )d d  D( , ) 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 𝐷𝜑𝜃 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜑𝑑𝜃 = 2𝜋 𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃 = 𝑅 = 𝐷𝜑𝜃 23-Mar-21 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 = 4𝜋𝑅 𝑑𝜑 0 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 60 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑺+ + 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó 𝑆 là phía ngoài vật thể giới hạn các mặt: 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 , 𝑧 = 𝐼= = + 𝑺+ 𝑺+ 𝟏 𝑺𝟐+ 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 61 𝑆1 : 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 Do đó: 𝑧𝑥′ = −2𝑥, 𝑧𝑦′ = −2𝑦 Hình chiếu 𝑆1 xuống mặt phẳng Oxy là miền: 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 1} 𝑆1+ hướng ngoài nên vector pháp tuyến mặt 𝑆1+ : 𝐥 = (−𝑧𝑥′ , −𝑧𝑦′ , 1) 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + (1 − 𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑺+ 𝟏 𝑺+ 𝟏 −𝑧𝑥′ 𝑦 − 𝑧𝑦′ 𝑥 + (1 − 𝑥 − 𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = = 𝐷𝑥𝑦 23-Mar-21 + 4𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 62 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : ≤ 𝑟 ≤ 1,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} Do đó: + 4𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷𝑥𝑦 + 4𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑟 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝐷𝑟𝜑 2𝜋 2𝜋 = 𝑟 − 𝑟 + 4𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 0 23-Mar-21 𝜋 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑 = TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 63 𝑆2 : 𝑧 = Do đó: 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑦′ = Hình chiếu 𝑆2 xuống mặt phẳng Oxy là miền: 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 1} 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑺+ 𝟐 𝑺+ 𝟐 = 𝑦 + 𝑥 + −1 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷𝑥𝑦 𝐷𝑥𝑦 𝐼= 𝑺+ 23-Mar-21 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜋 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 64 Ví dụ Tính 𝑺+ (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (2𝑧 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó 𝑆 + là phía phần mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = nằm hình trụ 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥, phía dương là phía nhìn từ hướng dương Oz 𝑆: 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 Do đó: 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑦′ = −1 𝑆 + là phía nhìn từ hướng dương trục Oz Vector pháp tuyến mặt 𝑆 có dạng: 𝐥 = (𝑧𝑥′ , 𝑧𝑦′ , −1) 𝐷𝑥𝑦 = 23-Mar-21 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑥 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 65 (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (2𝑧 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑺+ = (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑦 + − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (6 − 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑺+ 2𝑥 + 𝑦 𝑧𝑥′ + 𝑦 − 𝑥 + 𝑧𝑦′ − (6 − 𝑥 − 2𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷𝑥𝑦 = −9 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 = −9 𝑆𝐷𝑥𝑦 = −9𝜋 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 66 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 + 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó 𝑆 + là phần mặt phẳng 𝑧 = − 𝑥 giới hạn mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , phía dương là phía nhìn từ hướng dương trục Oz 𝑆: 𝑧 = − 𝑥 Do đó: 𝑧𝑥′ = −1, 𝑧𝑦′ = 𝑆 + là phía nhìn từ hướng dương trục Oz Vector pháp tuyến mặt 𝑆 có dạng: 𝐥 = (𝑧𝑥′ , 𝑧𝑦′ , −1) 𝐷𝑥𝑦 = 23-Mar-21 2 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ − 𝑥 = { 𝑥, 𝑦 : (𝑥 + ) +𝑦 ≤ } 2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 67 𝐼= 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆+ 𝑥 + (2 − 𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆+ = 23-Mar-21 𝑆+ −1 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −2 𝑆𝐷𝑥𝑦 𝐷𝑥𝑦 2𝑑𝑥𝑑𝑦 = = −2𝜋 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 9𝜋 =− 68 Ví dụ Tính I = + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 , đó 𝑆 là phía ngoài vật thể: 𝑆+ Ω: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑅2 ; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, ≤ 𝑧 ≤ ℎ Mặt 𝑆 chia thành mặt gồm: • Hai mặt đáy 𝑆1 , 𝑆2 • Hai mặt bên 𝑆3 , 𝑆4 nằm mp: 𝑦 = 0, 𝑥 = • Mặt trụ cong 𝑆5 𝐼= + + 23-Mar-21 𝑆+ 𝑺𝟐+ 𝑺𝟒+ 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑺+ 𝟏 𝑺+ 𝟑 𝑺+ 𝟓 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 69 𝑆3 : 𝑦 = nên 𝑆4 : 𝑥 = nên 𝑆5 : 𝑥 = 𝑺+ 𝟑 𝑺+ 𝟒 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑅 − 𝑦 nên 𝑆1 : 𝑧 = nên 𝑺+ 𝟏 (0.0 + −1 + 𝑦𝑧 0)𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝐷𝑥𝑧 𝐷𝑦𝑧 (0 −1 + 0.0 + 𝑦𝑧 0)𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑺+ 𝟓 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷𝑥𝑦 𝐷𝑦𝑧 (0.1 + −𝑥𝑦, + 𝑦𝑧 0)𝑑𝑦𝑑𝑧 = (0.0 + 0.0 + 𝑦 −1)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆2 : 𝑧 = ℎ → 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑦′ = Vector pháp tuyến mặt 𝑆2 : 𝐥 = (0,0,1) 𝐷 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑅 , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 𝐼= 23-Mar-21 𝑺+ 𝟐 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = ℎ 𝐷𝑥𝑦 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 70 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2} 𝐼= 𝑺+ 𝟐 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = ℎ 𝜋/2 =ℎ 𝐷𝑟𝜑 𝑅 𝑟 𝑑𝑟 = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑑𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝑅3 =ℎ 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 71 Công thức Stokes Giả sử mặt cong 𝑆 trơn, định hướng, có biên là đường cong 𝐶 Hàm số 𝑃, 𝑄, 𝑅, và các đạo hàm riêng cấp chúng liên tục trên mặt 𝑆 thì: 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = 𝐶+ 𝑆+ 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 − 𝑑𝑦𝑑𝑧 + − 𝑑𝑧𝑑𝑥 + − 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Sự phụ hợp chiều lấy tích phân trên đường cong C và phía dương mặt S: • Đi theo chiều lấy tích phân trên đường cong C, mặt S nằm bên tay trái • Hướng từ chân lên đầu là hướng vecto pháp tuyến mặt S 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 72 Công thức Stokes Dạng vector: Cho trường vector 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤, và mặt định hướng S có biên C 𝐶 Trong đó: 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝐫𝐨𝐭𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆 ru  rv n ru  rv i  rotF  x P 23-Mar-21 𝑆 j k  y Q  z R TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 73 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝐶 + −𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧, đó 𝐶 là giao tuyến mặt 𝑥 + 𝑦 = và mặt 𝑦 + 𝑧 = 2, chiều 𝐶 hình vẽ Ta có 𝑃 = −𝑦 , 𝑄 = 𝑥, 𝑅 = 𝑧 Áp dụng công thức Stokes: −𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧 = 𝐼= 𝑆+ + 2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐶+ Trong đó 𝑆 là mặt định hướng, có vector pháp tuyến hướng lên trên, nhìn từ phía dương trục Oz 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 74 Ví dụ Do đó: 𝐼= 𝑆+ + 2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷(𝑥,𝑦) + 2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷 𝑟, 𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝑟 ≤ 1} 2𝜋 𝐼= + 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 𝐷(𝑟,𝜑) 2𝜋 = 23-Mar-21 𝑑𝜑 + 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑟𝑑𝑟 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑 = 𝜋 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 75 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝐶 + −𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧, đó 𝐶 là giao tuyến mặt 𝑥 + 𝑦 = và mặt 𝑦 + 𝑧 = 2, chiều 𝐶 hình vẽ Cách 2: Tham số đường cong C qua hệ tọa độ trụ: 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = − 𝑠𝑖𝑛𝜑 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 𝑠𝑖𝑛3 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 𝜑 − (2 − 𝑠𝑖𝑛𝜑)2 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑 = 𝜋 𝐼= 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 76 Ví dụ Tính 𝐶 3𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 𝑑𝑦 + 3𝑧 − 𝑥 𝑑𝑧, đó C là giao mặt phẳng 2𝑥 + 𝑧 = và mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz S là phần mặt 2𝑥 + 𝑧 = nằm paraboloid Mặt S có phương trình: 𝑧 = − 2𝑥 S là mặt định hướng, phía trên mặt S là phía dương, nhìn từ phía dương trục Oz Vector pháp tuyến S là: 𝐥 = (2,0,1) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 77 Ví dụ Theo Stokes: I   (3x  y )dx  (3y  z )dy  (3z  x )dz 2 C  R Q   Q P   P R      dydz     dxdy  dzdx     z   z x  S  y  x y    zdydz  xdzdx  ydxdy S    2(2  x )2  x.0  y  dxdy Dxy     x  y  dxdy  48 Dxy 23-Mar-21   D xy  ( x , y ) :  x 1  y 3 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 78 Ví dụ Tính 𝐶 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧 , đó C là giao mặt 𝑧 = 𝑦 và mặt 𝑥 + 𝑦 = 1, chiều 𝐶 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz S là phần mặt 𝑧 = 𝑦 nằm hình trụ 𝑥 + 𝑦 = S là mặt định hướng, phía trên mặt S là phía dương, nhìn từ phía dương trục Oz Vector pháp tuyến S là: 𝐥 = (0, −2𝑦, 1) 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 79 Ví dụ Theo Stokes: I   ( x  y )dx  (2 x  z)dy  ydz C  R Q   Q P   P R      dydz     dxdy  dzdx     z   z x  S  y  x y    2dydz  0dzdx  1dxdy S Vì hình chiếu S xuống Oyz có diện tích 0, nên  2dydz   I   1dxdy S I  S  1dxdy   x  y 1 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 80 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝐶 𝑦𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧, đó 𝐶 là giao tuyến mặt cầu: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 và mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, chiều 𝐶 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz Cách 1: S là phần mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = nằm trên mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 Ta có: 𝑃 = 𝑦, 𝑄 = 𝑧, 𝑅 = 𝑥 Theo Stokes: 𝐼=− 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 S là mặt định hướng, phía trên mặt S là phía dương, nhìn từ phía dương trục Oz 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 81 Ví dụ Vector pháp tuyến 𝑆: 𝐥 = (1,1,1) Vector pháp tuyến đơn vị 𝑆: 𝐧 = ( 1 , , ) 3 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −3 𝐷𝑡(𝐷(𝑥, 𝑦)) = −3 𝐷𝑡 𝑆 𝑐𝑜𝑠𝛾 𝐼 = −3 𝐷(𝑥,𝑦) = −3 𝐷𝑡 𝑆 23-Mar-21 = − 3𝜋𝑅 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 82 Ví dụ Cách 2: Tham số hóa đường cong 𝐶 Phương trình hình chiếu 𝐶1 𝐶 trên mp Oxy: 𝐶1 : 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑅 /2 Đưa dạng toàn phương 𝑓 𝜔 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 dạng chính tắc phép biến đổi trực giao Ma trận dạng toàn phương: 𝐴 = 1/2 23-Mar-21 1/2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 83 Ví dụ Trị riêng 𝐴: det 𝐴 − 𝜆𝐸 = → 𝜆 = ,𝜆 = Vector riêng 𝐴: det 𝐴 − 𝜆𝐸 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 𝜆= 𝜆= : : vector riêng 𝑎 = (−1,1) vector riêng 𝑏 = (1,1) Hệ vector riêng trực chuẩn: Ma trận trực giao: 𝑃 = 23-Mar-21 2 1 , 2 − 2 , − 1 , 2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 84 Ví dụ 𝑥 𝑢 Phép đổi biến: 𝑦 = 𝑃 𝑣 𝑢 𝑣 𝑥= − = 𝑢 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 𝑣 𝑦= + = 𝑢 𝑠𝑖𝑛 2 𝜋 − 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜋 + 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝜋 Phép quay hệ trục Oxy sang Ouv góc 𝛼 = 𝜋 Do đó 𝐶1 có phương trình: 2 𝑅2 𝐶1 : 𝑢 + 𝑣 = ↔ 2 23-Mar-21 𝑢2 𝑣2 + 𝑅 = 𝑅 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 85 Ví dụ Dùng phép đổi biến qua hệ tọa độ cực suy rộng, đưa Ellipse trên đường tròn: 𝑢= 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑣 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 Do đó phép đổi biến đưa 𝐶1 đường tròn: 𝑥= 23-Mar-21 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 ,𝑦 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 86 Ví dụ Vậy phương trình tham số đường cong 𝐶: 𝑥= 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 ,𝑦 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 ,𝑧 = − 𝑥 + 𝑦 = −2𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 𝐼= −𝑅 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 2𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑 = − 3𝜋𝑅 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 87 Công thức Gauss Giả sử 𝑉 là khối đóng, giới nội 𝑅 có biên là mặt trơn 𝑆 Nếu các hàm số 𝑃, 𝑄, 𝑅 và các đạo hàm riêng cấp chúng liên tục trên khối 𝑉 thì: 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ± 𝑆+ 𝑉 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑅 + + 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Dấu + : phía dương mặt S là phía ngoài khối 𝑉 Dấu - : phía dương mặt S là phía khối 𝑉 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 88 Công thức Gauss Dạng vector: Cho trường vector 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤 xác định trên mặt định hướng 𝑆 Ký hiệu: 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑅 𝑑𝑖𝑣𝐅 = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Khi đó: 𝐅 ∙ 𝑑𝐒 = 𝑆 23-Mar-21 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆 = 𝑆 𝑑𝑖𝑣𝐅𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 89 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 + 𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, đó 𝑆 + là phía ngoài các mặt: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = Áp dụng công thức Gauss ta có: 𝐼= 𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆+ = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 Trong đó khối 𝑉 có các mặt là S 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 90 Ví dụ 𝐼= 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 = 1−𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 1−𝑥 𝑑𝑥 23-Mar-21 1−𝑥−𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧 1 − (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 = TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 91 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 + 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦, đó 𝑆 + là phía ngoài mặt cầu: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 Theo công thức Gauss: 2𝜋 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐼=3 𝑉 𝜋 𝑑𝜑 𝑅 𝜌2 𝜌2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 𝑑𝜃 0 12𝜋𝑅 = 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 92 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 + 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 − 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦, đó 𝑆 + là mặt xung quanh, phía dương là phía ngoài vật thể giới hạn các mặt: 𝑧 = − 𝑦 , 𝑧 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = z Theo công thức Gauss: 𝐼= z=4-y2 + − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 =− 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = − 𝑉 𝑑𝑥 4−𝑦 2 𝑑𝑦 −2 𝑑𝑧 = −32/3 23-Mar-21 y x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 93 Ví dụ Tính 𝐼 = 2 + 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 , đó 𝑆 là phía 𝑆+ mặt: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , ≤ 𝑧 ≤ (nhìn từ phía dương trục Oz) 𝑆 chưa phải là mặt kín, nên ta bổ sung thêm mặt 𝐷 Biên khối 𝑉 là 𝛿𝑉 = 𝑆 ∪ 𝐷 Trong đó D là miền hình tròn: 𝑧 = 1, 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝛿𝑉 + là phía ngoài khối 𝑉 Theo công thức Gauss ta có: 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝛿𝑉 + 23-Mar-21 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 94 Ví dụ Chuyển sang hệ tọa độ trụ: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧 𝑉 𝑟, 𝜑, 𝑧 = { 𝑟, 𝜑, 𝑧 : ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, ≤ 𝑟 ≤ 1, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 1} 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2𝜋 =2 𝑑𝜑 23-Mar-21 1 𝑑𝑟 𝑟 𝜋 𝑟 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑧 𝑑𝑧 = TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 95 Ví dụ Do đó: 𝛿𝑉 + 2 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜋 = 2 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑆+ + 2 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷+ Suy ra: 𝐼 = 𝜋 = − 23-Mar-21 = 2 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆+ 2 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷+ TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 96 Ví dụ Pt mặt định hướng 𝐷: 𝑧 = Phía dương mặt D là phía trên, đó vector pháp tuyến mặt 𝐷: 𝐥 = (0,0,1) Vậy: 𝜋 𝐼= − 𝜋 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = − 2 𝐷 𝐷 𝜋 𝜋 𝑑𝑥𝑑𝑦 = − 𝑆𝐷 = − 2 Do 𝐷 là đường tròn có 𝑅 = 1, nên 𝑆𝐷 = 𝜋 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 97 Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 − 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 + 𝑑𝑥𝑑𝑦, đó 𝑆 + là phía trên nửa trên mặt cầu: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑅 (nhìn từ phía dương trục Oz) Gọi 𝑆1 là mặt: 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑅 , phía dương 𝑆1 là phía (nhìn từ phía dương trục Oz) Theo công thức Gaus: + 𝑆 2𝜋𝑅3 →𝐼= − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ; khối 𝑉 có biên là các mặt 𝑆 và 𝑆1 = 𝑆1 𝑉 −1 (0 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 +𝑦 ≤𝑅 2𝜋𝑅3 = + 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 +𝑦 ≤𝑅 2𝜋𝑅 = + 𝜋𝑅 23-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 98