1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

Bài tập Giải tích 2 (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

16 31 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 0,97 MB

Nội dung

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của hàm u tại M.. Theo hướng nào thì đạo hàm này có giá trị lớn nhất, bé nhất, bằng 0.[r]

(1)BÀI TẬP GIẢI TÍCH II: HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn, liên tục Phép tính vi phân Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Phương trình vi phân TS Nguyễn Văn Quang E-mail: nvquang.imech@gmail.com nvquang@imech.vast.vn Mobile: 0915.598.495 Chương Giới hạn, liên tục Bài Tìm giới hạn hàm số: A Tính các giới hạn: 1 f ( x, y )  y.cos ( x, y )  (0,0) yx f ( x, y )   x  y   ( x y ) ( x, y )  ( , ) sin  xy  ( x, y )  (0,3) x (1  x  y )(1  cos y) f ( x, y )  ( x, y )  (0,0) y2 f ( x, y )  f ( x, y)  1  xy  x2  xy ( x, y )  (0, 2)  f ( x, y )  cos x  y 2   x2  y ( x, y )  (0,0) x2  y   x2  y f ( x, y )  ( x, y )  (, ) x  y  2(1  x y )  x  y B Chứng minh các hàm số sau không tồn giới hạn: x2  y f ( x, y )  ( x, y )  (0,0) x  y2 xy 2 f ( x, y )  ( x, y )  (0,0) x  y4 x  y  x2  y f ( x, y)  ( x, y )  (0,0) x y f ( x, y)  1  xy  x2  y2 ( x, y )  (0,0) f ( x, y )  ( x  y )cos( x  y ) ( x, y )  (0,0) sin( x  y ) TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (2) x sin y  y sin x ( x, y )  (0,0) x2  y xy f ( x, y )  ( x, y )  ( ,0) 1 xy ln x  e y f ( x, y )  ( x, y )  (0,0) x2  y C Tính các giới hạn: 1 f ( x, y )   x  y  sin ( x, y )  (0,0) xy 1 f ( x, y )   x  y  sin sin ( x, y )  (0,0) x y f ( x, y )    x2  xy  f ( x, y )   ( x, y )  ( , )  x y  x3  y f ( x, y )  ( x, y )  (0,0) x  y2 f ( x, y )  f ( x, y )  sin  x3  y  x2  y ( x, y )  (0,0) xy  x  y   cos  x  y  ( x, y )  (0,0) x y ( x, y )  ( , ) x  xy  y x y  xy f ( x, y)  ( x, y )  (0,0) x  xy  y f ( x, y )  f ( x, y )  x ln  x  y  ( x, y )  (0,0) 10 f ( x, y )   x  y  x2 y ( x, y )  (0,0) 11 f ( x, y )   x  y   e  ( x  y ) ( x, y )  ( , ) Bài Xét tính liên tục hàm số:   x sin x  y ( x, y )  (0,0) f ( x, y )   x y  ( x, y )  (0,0) 0  x2 y  f ( x, y )   x  y 0  ( x, y )  (0,0) ( x, y )  (0,0) (0,0) trên R2 (3)   x21y  xy  f ( x, y )  e trên R2 0 xy   x3  xy x  y   2 f ( x, y )   x  y (0,0) a x  y   TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (4) Chương Phép tính vi phân Bài Tính các đạo hàm riêng hàm số:   f ( x, y )  ln x  x  y f ( x, y)  x y f ( x, y)  ecos x  xy f ( x, y )  arctan  x  y  f ( x, y )  ln  x  y  (1,0) Bài Tính các đạo hàm riêng hàm số (0,0):  x3  y ( x, y )  (0,0)  f ( x, y )   x  y 0 ( x, y )  (0,0)   e x y ( x, y )  (0,0)  f ( x, y )   x  y 0 ( x, y )  (0,0)   xy ( x, y )  (0,0)  f ( x, y )   x  y 0 ( x, y )  (0,0)  Bài Xét tính khả vi hàm số sau (0,0): f ( x, y)  xy f ( x, y)  ( x  y)  x  y  2  x  y  sin x  y f ( x, y )   0   x21y  f ( x, y )  e 0 khi f ( x, y)  x3  y x2  y  x2  y  x2  y  x2  y   xy x  y   2 Cho hàm số f ( x, y )   x  y  x  y  0 a Chứng minh hàm f ( x, y ) liên tục điểm (0,0) b Chứng minh hàm f ( x, y ) không khả vi điểm (0,0) Bài Tìm vi phân toàn phần hàm số: xy x f ( x, y )  f ( x, y )  arcsin f ( x, y )  ln  x  y  x  3y y (5)  u  ; u  xy  xy u uv  e ; u  x y  x ; v  ye xy v Bài Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng giá trị: 1.01 ln 1.03  0.981 arctan 1.023  1.973 0.99 f  arctan   f   98  123  ln   1.03  0.96  Bài Tính đạo hàm, đạo hàm riêng hàm ẩn z ( x, y ) xác định từ phương trình: xe y  ye x  e xy  x  y  z  e z xe x  y 2e y  ze z  điểm (0,0) xe y  yz  ze xy  điểm (1,1)  x2  y ( x, y )  (0,0)  xy  Bài Cho hàm số f ( x, y )   x  y2  ( x, y )  (0,0)  Tính đạo hàm riêng f xy (0,0) và f yx (0,0) Bài Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số:  f ( x, y )  ln x  x  y  f ( x, y)  x3.ln  x  y  f ( x, y)  x  y  xy xyz  x  y  z  ; f ( x, y)  e x ln y  sin y.ln x e x y  z  x  y  3z  1; zxy  0,0 , biết z  0,0   Bài Tính vi phân cấp hai hàm số: 2 z xy f ( x, y)  x4  3xy  y3 f ( x, y, z )  x  y  z , chứng minh d f  f ( x, y, z)  x2  y  3z  xy  3xz điểm M(1,1,1), tìm ma trận dạng toàn phương d f (M ) với các biến dx, dy , dz f  f  x  y , xy  e y  f  f  x  y  f  f (u )  u  sin u ; u  xy  e x Tính d z (1,1) biết z  z ( x, y ) là hàm ẩn xác định từ phương trình: x3  y  z  3xyz  y   ; z (1,1)  2 Bài 10 Khai triển Maclaurin hàm số đến cấp ba: f ( x, y)  e x sin y f ( x, y )  ln(1  x  y ) f ( x, y)  sin( x2  y) Bài 11 Chứng minh rằng: y.zx  x.zy  với z  f ( x2  y ) và f (t ) là hàm khả vi ( xy ) x y zxx  zyy  với z  ln( x2  y ) x.zxx  y.zxy  2.zx  với z  (6) x zxx zyy   zxy   với z  y  f   và f (t ) có đạo hàm cấp hai  y Bài 12 Tìm hàm z  z ( x, y ) thỏa mãn: zx   ye xy , zy   xe xy ; z (0,1)  zx  x  xy  3, zy  y  x y  zxx  12 x2 y  2, zy  x  30 xy5 ; z (0,0)  1, z (1,1)  2 Bài 13 Tìm đạo hàm theo hướng vecto v  (3, 4) hàm số f ( x, y)  x  y điểm M (1,1) Tìm đạo hàm hàm số u  x2  yz  điểm M (1, 2, 1) theo hướng vecto tạo với các trục tọa độ góc nhọn x2 y  a b  Tìm đạo hàm hàm số z    điểm M  ,  theo hướng pháp a b  2 x2 y tuyến đường Ellip:   1,( a  0, b  0) điểm M a b Cho hàm số u  ln  xyz  , M (1, 2, 3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đạo hàm theo hướng hàm u M Tìm đạo hàm hàm số z  x2  xy  y điểm M(1,1) theo hướng v hợp với hướng dương trục Ox góc  Theo hướng nào thì đạo hàm này có giá trị lớn nhất, bé nhất, Cho hàm số f ( x, y)  x  sin  xy  ; M (1,0) Tìm hướng mà đạo hàm hàm số f theo hướng đó M có giá trị Bài 14 Tìm cực trị hàm số: x  y2  f ( x, y)  x2  y  3xy f ( x, y )   f ( x, y)  x  y  xy  2x  y f ( x, y )  y x  y  x  y f ( x, y)  ( x  y ).e( x f ( x, y)  ( x  1)2  y 2  y2 ) f ( x, y)  x  xy  y  2x  y f ( x, y )  xy.ln  x  y  f ( x, y)  x  y  x  2xy  y 11 f ( x, y)  x2 ( x  1)  y3 Bài 15 Tìm cực trị có điều kiện hàm số: f ( x, y )  x  y ; x  y  10 f ( x, y)  ( x  y)2  ( x  y)3 12 f ( x, y)  x4  y  2( x  y)2 f ( x, y )  x  y ; x  y  f ( x, y )  xy ; x  y  f ( x, y )  x  y ; x  y  f ( x, y)  x y   x  y  ; x  y  Bài 16 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số miền tương ứng: f ( x, y )  x  y  12 x  16 y ; x  y  25 f ( x, y )  x  y  xy  x  y ; x  0, y  0, x  y  3 (7) f ( x, y )  x  xy  x  y ;  x  1,  y  f ( x, y )  x  y  12 x  16 y ; x  y  25 f ( x, y )   x  y; x  0, y  0, x  y  f ( x, y )  x  y ; x  y  f ( x, y)  x2  y ; x2  y  f ( x, y )  e ( x  y ) (2 x  y ) ; x  y  Bài 17 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong: y3  xy  y  x3  12  điểm M(2,1) 2 x  ( x  y)  e x  y  điểm M(0,1) x  2t , y  3t , z  et 1 điểm M(2,3,1) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện M x2  y  1, y  x  z điểm M(1,0,-1) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện M x2  y  10, y  z  25 điểm M(1,3,4) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện M x2  y  z  47, x2  y  z điểm M(-2,1,6) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện M Bài 18 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến mặt cong: x2  y  z  điểm M (1,1, 2) xy  z  điểm M (1,1,1) x2  y  z  điểm M (2, 2,3) z  x2  y điểm M (2,1,12) TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (8) Chương Tích phân bội Bài Đổi thứ tự lấy tích phân các tích phân sau: 2 Bài Tính các tích phân sau:   cos x  sin y  dxdy, D là miền:  x  D   x  ,0  y    y  dxdy , D là miền giới hạn các đường: y  x2 , x  y   y  3 dxdy , D là miền giới hạn các đường: y  x  9, y   3x  1 dxdy , D là miền giới hạn các đường: y  x  4, y   x D D  ln  x  y  dxdy, D là miền giới hạn các đường: x  1, y  1, y  x  D 2y  dy  f  x, y  dx  dx  f  x, y  dy x   y D  x  y dxdy, D là miền: x  1, y  D   x  y   x  y  D dxdy, D là miền giới hạn bởi: x  y  1, x  y  1, x  y  3, x  y   f  x, y  dxdy, D là miền giới hạn Ellip: D 1 f  x, y     x x2 y  a b2  czdz , x2 y2   và a2 b2  c  const, a  0, b    y  1 dxdy, D là miền giới hạn đường: x2  y  x  D 10  x  y dxdy, D là miền giới hạn bởi: D a Các đường: x2  y  a , x2  y  4a , b Đường hoa hồng bốn cánh: r  a sin 2 , 11   a  0  a  0  x  y dxdy, D là miền: x2  y  x, y  D 12   x  y  1 dxdy, D 13  ln  x D là miền: x2  y  x, x2  y  y  y  dxdy, D là miền giới hạn các đường: x2  y  e2 , x2  y  e4 D 14  1 D 15   x D x2 y2 x2 y    dxdy, D là miền giới hạn Ellip: 16 16  y  dxdy, D là miền giới hạn các đường: (9) 16   x y  x, y  3x, x  y  1, x   y  dxdy , D là miền giới hạn bởi: x2  y  2x, x2  y  4x, y  x D Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x  y  y , x  y  r  a cos  , r  b cos  , b  a  0 Các đường tròn: r  1, r  y  x , y   x, y  4 r  a sin 2 ,  a   cos  (phần nằm ngoài đường tròn r  ) y  x , y  x , x  y  và nhịp đường Cycloid x  a  t  sin t  , y  a  t  cos t  , Bài Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: y  x2 , z  0, z  5, y  3x z  x2  y  1, x  y  2, x  0, y  0, z  z   x  y , z  ; x  y   a  0,0  t  2  x2  y  z  4a2 , x2  y  2ay  0, a  y  x, y  x, x  1, z  x  y , z  x  y , nằm góc phần tám thứ x  y  z  1, y  x, y  3x, z  0, nằm góc phần tám thứ z  x2  y , z  x  y , y  x, y  2x, x  x2  y  a2 , x2  z  a2 , nằm góc phần tám thứ x2  y  z  2z, x2  y  z , z  10 z  16  x2 ,4 x  y  16 và các mặt phẳng tọa độ 11 x  z   0, y  x , y  x , z  12 z  x  y , z  x  y 13 y  x2 , z  0, z  y  14 z   x  y , z  x  y 15 x2  y  z  2, x  y  z 16 z  x  y, z  x  y , nằm góc phần tám thứ 17 y  x2  z , x2  y  z  18 z  x2  y , z  0, x2  y  x, x  y  2x Bài Xác định tọa độ trọng tâm phẳng đồng chất giới hạn các đường: x2 y x y 2   1,   1 y  x  4, y  2 x  25 3 y  x  x2 , y  (10) Bài Tính các tích phân: 1  zdxdydz , V là miền xác định bởi:  x  , x  y  x,0  z   x2  y V  z x  y dxdydz , V giới hạn các mặt: x2  y  x, z  0, z  a,  a  0 V  z x  y dxdydz , V giới hạn các mặt: z  0; z  a  x  y V x2  y z  1  z x  y dxdydz , V là nửa trên khối Elipxôit: a2 c V  z x  y dxdydz , V giới hạn các mặt: x  y  1, z  0, z  a, V  ydxdydz , V giới hạn các mặt: y  h, y  x  z ,  h  0 V Bài Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: x  y  z  z, z  x  y x2 y z    ,  h  z  h,   h  c  a b2 c2 x  y  z  3 ; x  y  z  1 ; x  y  z  2 x2  y  2ax, x2  y  2ay và mặt z  0, z  a  x  y  z  1, y  x, y  3x, z  nằm góc phần tám thứ x  y  z  a ;  x  y   a  x  y  ,  a  0 Bài Xác định tọa độ trọng tâm vật thể giới hạn các mặt: x  y  1, z  x2  y , x  0, y  x2  y  2az, x  y  z  3a ,  z  0, a    a  0 (11) Chương 4: Tích phân đường Bài Tính tích phân: I   x  y  dx   x  y  2 dy , OAB là đường gấp khúc với O  0;0  , A  2;2  , B  4;0  , OAB theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Bài Tính tích phân: I    y  xy  dx   xy  x  dy , AB x2 y AB là cung nhỏ Ellip:   1, a  0, b  , từ A( a,0) đến B (0, b) a b  1  AB là cung nhỏ đường tròn: x  y  1, từ A  ;  đến B  0;1  2 Bài Tính tích phân (theo chiều ngược chiều kim đồng hồ): I    x5  y  sin x  dx   x  y   sin y  dy ,   L L là biên tam giác ABC với A 1;1 , B  2;2 , C 1;5  L là biên tam giác ABC với A 1;1 , B  2;3 , C 5;1  L là biên miền giới hạn đường: x  y  x L là biên miền giới hạn đường: x  y  x  y L là biên miền giới hạn các đường: y  x , y   x x2 y   L là biên miền giới hạn đường: 25 Bài Tính tích phân: 3 3 dx , AB là cung nhỏ đường tròn: x2  y  , từ A  ; I   2  đến x 4 AB y 2  B  0,3   3 3 dx 2 A x  y  AB là cung nhỏ đường tròn: , từ ,  ;  đến  x4 y3 2  AB  3  B ;   2 Bài  mx  y  dx   nx  y  dy , với AB là đường không qua O(0,0) Cho I   x2  y AB Tìm m, n để tích phân I không phụ thuộc vào đường AB  y2 y y y y  Tính I   1  cos  dx   sin  cos  dy , với AB là đường không cắt x x x x x  AB  trục Oy, từ A 1,   đến B  2,   I  (12) Bài Tính tích phân: I   y dx  x dy , L là nửa trên Ellip: L x2 y   1; a  0, b  , hướng L a2 b2 ngược chiều kim đồng hồ 2 I    x  y  cos x  dx  ( x  y )  e y  dy , L là nửa trên Ellip:   L x y2   1; a  0, b  , hướng L ngược chiều kim đồng hồ a2 b2 I    x  5sin x  dx    y  x  dy , với L: x2  y  x  y , hướng L   L ngược chiều kim đồng hồ I    x cos5 x  x  dx  7 x  e y sin y  dy , với L là biên miền D giới hạn L bởi: y  3x  1, y   3x , hướng L ngược chiều kim đồng hồ I    xy  x  y  sin x  dx   xy  x  y  y  dy , với L: x  y  x  y , L hướng L ngược chiều kim đồng hồ  y I    y  e x cos x  dx  7 x  sin  dy , với L là đường gấp khúc nối: A(7, 4) , 4  L B (2,1) , C (9,1) , D (9, 4) hướng L từ A đến D TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (13) Chương 5: Tích phân mặt Bài Tính diện tích mặt cong: Tính diện tích phần mặt nón: z  x2  y , z  nằm mặt trụ: x2  y  x2 y  ,  a  0, b   nằm mặt trụ: a b x y2   a2 b2 Tính diện tích phần mặt cầu: x2  y  z  a2 nằm mặt trụ: Tính diện tích phần mặt: z  x  y   a2  x2  y  ,  a  0 Tính diện tích phần mặt: z  x2  y nằm mặt trụ x2  y  , góc phần thứ Bài Tính tích phân: x y z 4y    x   z  dS đó S là mặt:    ; x  0, y  0, z   S   x y  4dS đó S là phần mặt: y  z  16 giới hạn bởi: x  0, x  1, z  S  ( x  z )dS , với S là phần mặt phẳng: x  y  z  ; x  0, y  0, z  S  zdS , với S là phần mặt cầu: x2  y  z  nằm trên hình nón: z  x  y S  ( x  y )dS , với S là phần mặt nón: z  x  y nằm hình trụ: x2  y  2x S z  2 x  y  , với S là phần mặt trụ: nằm mặt phẳng: x dS  S z 1  y   ydS , với S là phần mặt nón: z  x  y giới hạn bởi:   y    x S  zdS , với S là phần mặt nón: z  x  y nằm mặt phẳng: z  S  x S 10 x dS , với S là phần mặt cầu: x2  y  z  4; x  0, y  0, z  y  xdS , với S là phần mặt trụ: x  y  nằm mặt phẳng: z  0, z   z  phía mặt nón: z  x  y S 11  zdS , với S là phần mặt trụ: x S (14) Bài Tính tích phân:  xyzdxdy , phía dương S là phía ngoài mặt cầu xác định bởi: S x  y  z  1; x  0, y  S x y zdxdy , phía dương S là phía ngoài mặt cầu xác định bởi: x  y  z  ; x  0, y  0, z  S xdydz  dzdx  xz dxdy , phía dương S là phía ngoài mặt cầu xác định bởi: x  y  z  1; x  0, y  0, z  S x yz dxdz , phía dương S là phía ngoài mặt cầu xác định bởi: x  y  z  ; x  0, y  0, z   (2 x  y )dydz  (3z  x )dxdy , với S là phần mặt: z  x  y nằm S hình trụ: x  y  , phía là phía dương nhìn từ hướng dương Oz  xdydz , với S là phần mặt: z  x  y , z  ; phía là phía dương nhìn S từ hướng dương Oz I   ( x  y)dydz  ( y  z )dzdx  (2 x  z )dxdy , với S là phần mặt nón: S z  x  y nằm hình trụ x2  y  , phía là phía dương, nhìn từ hướng dương Oz I   ( x  z )dxdy , với S là biên vật thể giới hạn các mặt: z  x2  y , S z  , phía ngoài là phía dương I   ( x  y )dydz  ( y  z )dzdx  ( z  x)dxdy , với S là phần mặt nón: S z  x  y bị cắt mặt phẳng z  , phía là phía dương, nhìn từ hướng dương Oz 10 I   xdydz  ydzdx  ( z  1)dxdy , với S là nửa trên mặt cầu: x  y  z  x S (phần z  ), phía là phía dương 11 I   xdydz  ydzdx  ( z  1)dxdy , với S là phần mặt: z  x  y nằm mặt S phẳng x  z  , phía là phía dương, nhìn từ hướng dương Oz 12 I   ( x  z )dydz  ydzdx  z 2dxdy , với S là phần mặt trụ: x2  y  nằm S hai mặt phẳng z  0, z  1, phía ngoài là phía dương (15) 13 I   ( z  x  2)dxdy , với S là phần mặt cầu: x2  y  z  nằm góc phần S thứ nhất, phía là phía dương 14 I   ( x  y )dydz  ( y  z )dzdx  z 2dxdy , với S là phần mặt cầu: S x  y  z  nằm trên mặt nón: z  x  y (nhìn từ hướng dương Oz), 2 phía ngoài mặt cầu là phía dương TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (16) Chương 6: Phương trình vi phân Bài Giải phương trình vi phân cấp 1:  x x y cos dx   y  x cos  dy  y y  y  2x  3y  x y2 1  x  y  y  arctan x  x  1 y  xy  xy y  x2 y5 5x x y  y3  x 2x x  y      dy  11  x3  xy  dx   y  x y  dy  13 e y dx   xe y  y  dy   3y2 2 x2 12 ydx   x  x y  dy  10 y  14 xdx   x  y  dy   15  x  y  1 dx   x  y  3 dy  16 17  3x  y  y   y  x  xy  18 xy  y ln 2xy x  y2 21 e x 1  y  dx  1  e x  dy  19 y   xy  y dx  x y  x dy   y   dx  y  3xy  y x   x2 y y Bài Giải phương trình vi phân cấp 2: 1 y  y  y  sin x y  y  sin x y  y  cos x y  y  2e x  x  y  y dx  xdy  , x  y x y y 20 y  e x  x 22 y dx   xy  3 dy  y  y  (12  x)e x ex y  y  x e 1 y  y   x 2x y  y  xe y  y  e x 10 y  y  cos3x 11 y  y  e2 x 12 y  y   x 13 y  y  3cos x  x sin x 15 y  2y  2y  e x sin x 17 y  y  y  sin x cos x 14 y  y  x cos x 16 y  y  2y  x  e x 18 y  y  xe x  3e x (17)

Ngày đăng: 09/06/2021, 23:01

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w