Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của hàm u tại M.. Theo hướng nào thì đạo hàm này có giá trị lớn nhất, bé nhất, bằng 0.[r]
(1)BÀI TẬP GIẢI TÍCH II: HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn, liên tục Phép tính vi phân Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Phương trình vi phân TS Nguyễn Văn Quang E-mail: nvquang.imech@gmail.com nvquang@imech.vast.vn Mobile: 0915.598.495 Chương Giới hạn, liên tục Bài Tìm giới hạn hàm số: A Tính các giới hạn: 1 f ( x, y ) y.cos ( x, y ) (0,0) yx f ( x, y ) x y ( x y ) ( x, y ) ( , ) sin xy ( x, y ) (0,3) x (1 x y )(1 cos y) f ( x, y ) ( x, y ) (0,0) y2 f ( x, y ) f ( x, y) 1 xy x2 xy ( x, y ) (0, 2) f ( x, y ) cos x y 2 x2 y ( x, y ) (0,0) x2 y x2 y f ( x, y ) ( x, y ) (, ) x y 2(1 x y ) x y B Chứng minh các hàm số sau không tồn giới hạn: x2 y f ( x, y ) ( x, y ) (0,0) x y2 xy 2 f ( x, y ) ( x, y ) (0,0) x y4 x y x2 y f ( x, y) ( x, y ) (0,0) x y f ( x, y) 1 xy x2 y2 ( x, y ) (0,0) f ( x, y ) ( x y )cos( x y ) ( x, y ) (0,0) sin( x y ) TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (2) x sin y y sin x ( x, y ) (0,0) x2 y xy f ( x, y ) ( x, y ) ( ,0) 1 xy ln x e y f ( x, y ) ( x, y ) (0,0) x2 y C Tính các giới hạn: 1 f ( x, y ) x y sin ( x, y ) (0,0) xy 1 f ( x, y ) x y sin sin ( x, y ) (0,0) x y f ( x, y ) x2 xy f ( x, y ) ( x, y ) ( , ) x y x3 y f ( x, y ) ( x, y ) (0,0) x y2 f ( x, y ) f ( x, y ) sin x3 y x2 y ( x, y ) (0,0) xy x y cos x y ( x, y ) (0,0) x y ( x, y ) ( , ) x xy y x y xy f ( x, y) ( x, y ) (0,0) x xy y f ( x, y ) f ( x, y ) x ln x y ( x, y ) (0,0) 10 f ( x, y ) x y x2 y ( x, y ) (0,0) 11 f ( x, y ) x y e ( x y ) ( x, y ) ( , ) Bài Xét tính liên tục hàm số: x sin x y ( x, y ) (0,0) f ( x, y ) x y ( x, y ) (0,0) 0 x2 y f ( x, y ) x y 0 ( x, y ) (0,0) ( x, y ) (0,0) (0,0) trên R2 (3) x21y xy f ( x, y ) e trên R2 0 xy x3 xy x y 2 f ( x, y ) x y (0,0) a x y TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (4) Chương Phép tính vi phân Bài Tính các đạo hàm riêng hàm số: f ( x, y ) ln x x y f ( x, y) x y f ( x, y) ecos x xy f ( x, y ) arctan x y f ( x, y ) ln x y (1,0) Bài Tính các đạo hàm riêng hàm số (0,0): x3 y ( x, y ) (0,0) f ( x, y ) x y 0 ( x, y ) (0,0) e x y ( x, y ) (0,0) f ( x, y ) x y 0 ( x, y ) (0,0) xy ( x, y ) (0,0) f ( x, y ) x y 0 ( x, y ) (0,0) Bài Xét tính khả vi hàm số sau (0,0): f ( x, y) xy f ( x, y) ( x y) x y 2 x y sin x y f ( x, y ) 0 x21y f ( x, y ) e 0 khi f ( x, y) x3 y x2 y x2 y x2 y x2 y xy x y 2 Cho hàm số f ( x, y ) x y x y 0 a Chứng minh hàm f ( x, y ) liên tục điểm (0,0) b Chứng minh hàm f ( x, y ) không khả vi điểm (0,0) Bài Tìm vi phân toàn phần hàm số: xy x f ( x, y ) f ( x, y ) arcsin f ( x, y ) ln x y x 3y y (5) u ; u xy xy u uv e ; u x y x ; v ye xy v Bài Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng giá trị: 1.01 ln 1.03 0.981 arctan 1.023 1.973 0.99 f arctan f 98 123 ln 1.03 0.96 Bài Tính đạo hàm, đạo hàm riêng hàm ẩn z ( x, y ) xác định từ phương trình: xe y ye x e xy x y z e z xe x y 2e y ze z điểm (0,0) xe y yz ze xy điểm (1,1) x2 y ( x, y ) (0,0) xy Bài Cho hàm số f ( x, y ) x y2 ( x, y ) (0,0) Tính đạo hàm riêng f xy (0,0) và f yx (0,0) Bài Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số: f ( x, y ) ln x x y f ( x, y) x3.ln x y f ( x, y) x y xy xyz x y z ; f ( x, y) e x ln y sin y.ln x e x y z x y 3z 1; zxy 0,0 , biết z 0,0 Bài Tính vi phân cấp hai hàm số: 2 z xy f ( x, y) x4 3xy y3 f ( x, y, z ) x y z , chứng minh d f f ( x, y, z) x2 y 3z xy 3xz điểm M(1,1,1), tìm ma trận dạng toàn phương d f (M ) với các biến dx, dy , dz f f x y , xy e y f f x y f f (u ) u sin u ; u xy e x Tính d z (1,1) biết z z ( x, y ) là hàm ẩn xác định từ phương trình: x3 y z 3xyz y ; z (1,1) 2 Bài 10 Khai triển Maclaurin hàm số đến cấp ba: f ( x, y) e x sin y f ( x, y ) ln(1 x y ) f ( x, y) sin( x2 y) Bài 11 Chứng minh rằng: y.zx x.zy với z f ( x2 y ) và f (t ) là hàm khả vi ( xy ) x y zxx zyy với z ln( x2 y ) x.zxx y.zxy 2.zx với z (6) x zxx zyy zxy với z y f và f (t ) có đạo hàm cấp hai y Bài 12 Tìm hàm z z ( x, y ) thỏa mãn: zx ye xy , zy xe xy ; z (0,1) zx x xy 3, zy y x y zxx 12 x2 y 2, zy x 30 xy5 ; z (0,0) 1, z (1,1) 2 Bài 13 Tìm đạo hàm theo hướng vecto v (3, 4) hàm số f ( x, y) x y điểm M (1,1) Tìm đạo hàm hàm số u x2 yz điểm M (1, 2, 1) theo hướng vecto tạo với các trục tọa độ góc nhọn x2 y a b Tìm đạo hàm hàm số z điểm M , theo hướng pháp a b 2 x2 y tuyến đường Ellip: 1,( a 0, b 0) điểm M a b Cho hàm số u ln xyz , M (1, 2, 3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đạo hàm theo hướng hàm u M Tìm đạo hàm hàm số z x2 xy y điểm M(1,1) theo hướng v hợp với hướng dương trục Ox góc Theo hướng nào thì đạo hàm này có giá trị lớn nhất, bé nhất, Cho hàm số f ( x, y) x sin xy ; M (1,0) Tìm hướng mà đạo hàm hàm số f theo hướng đó M có giá trị Bài 14 Tìm cực trị hàm số: x y2 f ( x, y) x2 y 3xy f ( x, y ) f ( x, y) x y xy 2x y f ( x, y ) y x y x y f ( x, y) ( x y ).e( x f ( x, y) ( x 1)2 y 2 y2 ) f ( x, y) x xy y 2x y f ( x, y ) xy.ln x y f ( x, y) x y x 2xy y 11 f ( x, y) x2 ( x 1) y3 Bài 15 Tìm cực trị có điều kiện hàm số: f ( x, y ) x y ; x y 10 f ( x, y) ( x y)2 ( x y)3 12 f ( x, y) x4 y 2( x y)2 f ( x, y ) x y ; x y f ( x, y ) xy ; x y f ( x, y ) x y ; x y f ( x, y) x y x y ; x y Bài 16 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số miền tương ứng: f ( x, y ) x y 12 x 16 y ; x y 25 f ( x, y ) x y xy x y ; x 0, y 0, x y 3 (7) f ( x, y ) x xy x y ; x 1, y f ( x, y ) x y 12 x 16 y ; x y 25 f ( x, y ) x y; x 0, y 0, x y f ( x, y ) x y ; x y f ( x, y) x2 y ; x2 y f ( x, y ) e ( x y ) (2 x y ) ; x y Bài 17 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong: y3 xy y x3 12 điểm M(2,1) 2 x ( x y) e x y điểm M(0,1) x 2t , y 3t , z et 1 điểm M(2,3,1) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện M x2 y 1, y x z điểm M(1,0,-1) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện M x2 y 10, y z 25 điểm M(1,3,4) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện M x2 y z 47, x2 y z điểm M(-2,1,6) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện M Bài 18 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến mặt cong: x2 y z điểm M (1,1, 2) xy z điểm M (1,1,1) x2 y z điểm M (2, 2,3) z x2 y điểm M (2,1,12) TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (8) Chương Tích phân bội Bài Đổi thứ tự lấy tích phân các tích phân sau: 2 Bài Tính các tích phân sau: cos x sin y dxdy, D là miền: x D x ,0 y y dxdy , D là miền giới hạn các đường: y x2 , x y y 3 dxdy , D là miền giới hạn các đường: y x 9, y 3x 1 dxdy , D là miền giới hạn các đường: y x 4, y x D D ln x y dxdy, D là miền giới hạn các đường: x 1, y 1, y x D 2y dy f x, y dx dx f x, y dy x y D x y dxdy, D là miền: x 1, y D x y x y D dxdy, D là miền giới hạn bởi: x y 1, x y 1, x y 3, x y f x, y dxdy, D là miền giới hạn Ellip: D 1 f x, y x x2 y a b2 czdz , x2 y2 và a2 b2 c const, a 0, b y 1 dxdy, D là miền giới hạn đường: x2 y x D 10 x y dxdy, D là miền giới hạn bởi: D a Các đường: x2 y a , x2 y 4a , b Đường hoa hồng bốn cánh: r a sin 2 , 11 a 0 a 0 x y dxdy, D là miền: x2 y x, y D 12 x y 1 dxdy, D 13 ln x D là miền: x2 y x, x2 y y y dxdy, D là miền giới hạn các đường: x2 y e2 , x2 y e4 D 14 1 D 15 x D x2 y2 x2 y dxdy, D là miền giới hạn Ellip: 16 16 y dxdy, D là miền giới hạn các đường: (9) 16 x y x, y 3x, x y 1, x y dxdy , D là miền giới hạn bởi: x2 y 2x, x2 y 4x, y x D Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x y y , x y r a cos , r b cos , b a 0 Các đường tròn: r 1, r y x , y x, y 4 r a sin 2 , a cos (phần nằm ngoài đường tròn r ) y x , y x , x y và nhịp đường Cycloid x a t sin t , y a t cos t , Bài Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: y x2 , z 0, z 5, y 3x z x2 y 1, x y 2, x 0, y 0, z z x y , z ; x y a 0,0 t 2 x2 y z 4a2 , x2 y 2ay 0, a y x, y x, x 1, z x y , z x y , nằm góc phần tám thứ x y z 1, y x, y 3x, z 0, nằm góc phần tám thứ z x2 y , z x y , y x, y 2x, x x2 y a2 , x2 z a2 , nằm góc phần tám thứ x2 y z 2z, x2 y z , z 10 z 16 x2 ,4 x y 16 và các mặt phẳng tọa độ 11 x z 0, y x , y x , z 12 z x y , z x y 13 y x2 , z 0, z y 14 z x y , z x y 15 x2 y z 2, x y z 16 z x y, z x y , nằm góc phần tám thứ 17 y x2 z , x2 y z 18 z x2 y , z 0, x2 y x, x y 2x Bài Xác định tọa độ trọng tâm phẳng đồng chất giới hạn các đường: x2 y x y 2 1, 1 y x 4, y 2 x 25 3 y x x2 , y (10) Bài Tính các tích phân: 1 zdxdydz , V là miền xác định bởi: x , x y x,0 z x2 y V z x y dxdydz , V giới hạn các mặt: x2 y x, z 0, z a, a 0 V z x y dxdydz , V giới hạn các mặt: z 0; z a x y V x2 y z 1 z x y dxdydz , V là nửa trên khối Elipxôit: a2 c V z x y dxdydz , V giới hạn các mặt: x y 1, z 0, z a, V ydxdydz , V giới hạn các mặt: y h, y x z , h 0 V Bài Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: x y z z, z x y x2 y z , h z h, h c a b2 c2 x y z 3 ; x y z 1 ; x y z 2 x2 y 2ax, x2 y 2ay và mặt z 0, z a x y z 1, y x, y 3x, z nằm góc phần tám thứ x y z a ; x y a x y , a 0 Bài Xác định tọa độ trọng tâm vật thể giới hạn các mặt: x y 1, z x2 y , x 0, y x2 y 2az, x y z 3a , z 0, a a 0 (11) Chương 4: Tích phân đường Bài Tính tích phân: I x y dx x y 2 dy , OAB là đường gấp khúc với O 0;0 , A 2;2 , B 4;0 , OAB theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Bài Tính tích phân: I y xy dx xy x dy , AB x2 y AB là cung nhỏ Ellip: 1, a 0, b , từ A( a,0) đến B (0, b) a b 1 AB là cung nhỏ đường tròn: x y 1, từ A ; đến B 0;1 2 Bài Tính tích phân (theo chiều ngược chiều kim đồng hồ): I x5 y sin x dx x y sin y dy , L L là biên tam giác ABC với A 1;1 , B 2;2 , C 1;5 L là biên tam giác ABC với A 1;1 , B 2;3 , C 5;1 L là biên miền giới hạn đường: x y x L là biên miền giới hạn đường: x y x y L là biên miền giới hạn các đường: y x , y x x2 y L là biên miền giới hạn đường: 25 Bài Tính tích phân: 3 3 dx , AB là cung nhỏ đường tròn: x2 y , từ A ; I 2 đến x 4 AB y 2 B 0,3 3 3 dx 2 A x y AB là cung nhỏ đường tròn: , từ , ; đến x4 y3 2 AB 3 B ; 2 Bài mx y dx nx y dy , với AB là đường không qua O(0,0) Cho I x2 y AB Tìm m, n để tích phân I không phụ thuộc vào đường AB y2 y y y y Tính I 1 cos dx sin cos dy , với AB là đường không cắt x x x x x AB trục Oy, từ A 1, đến B 2, I (12) Bài Tính tích phân: I y dx x dy , L là nửa trên Ellip: L x2 y 1; a 0, b , hướng L a2 b2 ngược chiều kim đồng hồ 2 I x y cos x dx ( x y ) e y dy , L là nửa trên Ellip: L x y2 1; a 0, b , hướng L ngược chiều kim đồng hồ a2 b2 I x 5sin x dx y x dy , với L: x2 y x y , hướng L L ngược chiều kim đồng hồ I x cos5 x x dx 7 x e y sin y dy , với L là biên miền D giới hạn L bởi: y 3x 1, y 3x , hướng L ngược chiều kim đồng hồ I xy x y sin x dx xy x y y dy , với L: x y x y , L hướng L ngược chiều kim đồng hồ y I y e x cos x dx 7 x sin dy , với L là đường gấp khúc nối: A(7, 4) , 4 L B (2,1) , C (9,1) , D (9, 4) hướng L từ A đến D TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (13) Chương 5: Tích phân mặt Bài Tính diện tích mặt cong: Tính diện tích phần mặt nón: z x2 y , z nằm mặt trụ: x2 y x2 y , a 0, b nằm mặt trụ: a b x y2 a2 b2 Tính diện tích phần mặt cầu: x2 y z a2 nằm mặt trụ: Tính diện tích phần mặt: z x y a2 x2 y , a 0 Tính diện tích phần mặt: z x2 y nằm mặt trụ x2 y , góc phần thứ Bài Tính tích phân: x y z 4y x z dS đó S là mặt: ; x 0, y 0, z S x y 4dS đó S là phần mặt: y z 16 giới hạn bởi: x 0, x 1, z S ( x z )dS , với S là phần mặt phẳng: x y z ; x 0, y 0, z S zdS , với S là phần mặt cầu: x2 y z nằm trên hình nón: z x y S ( x y )dS , với S là phần mặt nón: z x y nằm hình trụ: x2 y 2x S z 2 x y , với S là phần mặt trụ: nằm mặt phẳng: x dS S z 1 y ydS , với S là phần mặt nón: z x y giới hạn bởi: y x S zdS , với S là phần mặt nón: z x y nằm mặt phẳng: z S x S 10 x dS , với S là phần mặt cầu: x2 y z 4; x 0, y 0, z y xdS , với S là phần mặt trụ: x y nằm mặt phẳng: z 0, z z phía mặt nón: z x y S 11 zdS , với S là phần mặt trụ: x S (14) Bài Tính tích phân: xyzdxdy , phía dương S là phía ngoài mặt cầu xác định bởi: S x y z 1; x 0, y S x y zdxdy , phía dương S là phía ngoài mặt cầu xác định bởi: x y z ; x 0, y 0, z S xdydz dzdx xz dxdy , phía dương S là phía ngoài mặt cầu xác định bởi: x y z 1; x 0, y 0, z S x yz dxdz , phía dương S là phía ngoài mặt cầu xác định bởi: x y z ; x 0, y 0, z (2 x y )dydz (3z x )dxdy , với S là phần mặt: z x y nằm S hình trụ: x y , phía là phía dương nhìn từ hướng dương Oz xdydz , với S là phần mặt: z x y , z ; phía là phía dương nhìn S từ hướng dương Oz I ( x y)dydz ( y z )dzdx (2 x z )dxdy , với S là phần mặt nón: S z x y nằm hình trụ x2 y , phía là phía dương, nhìn từ hướng dương Oz I ( x z )dxdy , với S là biên vật thể giới hạn các mặt: z x2 y , S z , phía ngoài là phía dương I ( x y )dydz ( y z )dzdx ( z x)dxdy , với S là phần mặt nón: S z x y bị cắt mặt phẳng z , phía là phía dương, nhìn từ hướng dương Oz 10 I xdydz ydzdx ( z 1)dxdy , với S là nửa trên mặt cầu: x y z x S (phần z ), phía là phía dương 11 I xdydz ydzdx ( z 1)dxdy , với S là phần mặt: z x y nằm mặt S phẳng x z , phía là phía dương, nhìn từ hướng dương Oz 12 I ( x z )dydz ydzdx z 2dxdy , với S là phần mặt trụ: x2 y nằm S hai mặt phẳng z 0, z 1, phía ngoài là phía dương (15) 13 I ( z x 2)dxdy , với S là phần mặt cầu: x2 y z nằm góc phần S thứ nhất, phía là phía dương 14 I ( x y )dydz ( y z )dzdx z 2dxdy , với S là phần mặt cầu: S x y z nằm trên mặt nón: z x y (nhìn từ hướng dương Oz), 2 phía ngoài mặt cầu là phía dương TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm (16) Chương 6: Phương trình vi phân Bài Giải phương trình vi phân cấp 1: x x y cos dx y x cos dy y y y 2x 3y x y2 1 x y y arctan x x 1 y xy xy y x2 y5 5x x y y3 x 2x x y dy 11 x3 xy dx y x y dy 13 e y dx xe y y dy 3y2 2 x2 12 ydx x x y dy 10 y 14 xdx x y dy 15 x y 1 dx x y 3 dy 16 17 3x y y y x xy 18 xy y ln 2xy x y2 21 e x 1 y dx 1 e x dy 19 y xy y dx x y x dy y dx y 3xy y x x2 y y Bài Giải phương trình vi phân cấp 2: 1 y y y sin x y y sin x y y cos x y y 2e x x y y dx xdy , x y x y y 20 y e x x 22 y dx xy 3 dy y y (12 x)e x ex y y x e 1 y y x 2x y y xe y y e x 10 y y cos3x 11 y y e2 x 12 y y x 13 y y 3cos x x sin x 15 y 2y 2y e x sin x 17 y y y sin x cos x 14 y y x cos x 16 y y 2y x e x 18 y y xe x 3e x (17)