Đề ôn tập Giải tích 2z Câu1.A: Cho hàm số ẩn z = z ( x, y ) xác định phương trình x = e ( z + y + y ) Tính vi phân toàn phần dz ( x, y ) 3 Câu 2.A: Tìm số A, B, C để hàm số z = x + 3xy − y + Ax + By + C đạt cực trị điểm M (1, −1) z (1, −1) = Câu 3.A: Cho hàm số z = ln x + y + arctan Rút gọn biểu thức I = z x//2 + z y//2 y x tính d z (0,1) x− y Câu 4.A: Tìm cực trị hàm số z = xye 2x 2 Câu 5.A: Tìm cực trị hàm số z = e ( x + y − 2) 4 Câu 6.A: Tìm cực trị hàm số z = xy + x + y 2 Câu 7.A: Tìm cực trị hàm số z = xy + x + y −0,02 + (2,11)3 Câu 8.A: Tính gần số I = e Câu 9.A: z= Cho hàm số ẩn z = z ( x, y ) xác định phương trình y2 x3 sin( yz ) + xe z Tính gần giá trị z x0 = 0,98; y0 = 0,01 Câu 10.A: Cho hàm số ẩn z = z ( x, y ) xác định phương trình z = x gần giá trị z x0 = 0,99; y0 = 0,02 Câu 11.A: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số { y y + xe z Tính } 2 z = x + y − x y + miền D = ( x, y) : x + y ≤ Câu 12.A: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số { } 2 z = x + y − x − y + miền D = ( x, y ) : x + y ≤ 1 f ( x, y ) = x + xy + y 2 4 Câu 13.A: Tìm cực trị hàm số với điều kiện: x + y = Câu 14.A: Cho u ( x, y ), v( x, y ) hàm số ẩn xác định từ hệ phương trình u v x e x sin = y π ; u (1,1) = 0, v(1,1) = u x v y e cos y = Tính du (1,1), dv (1,1) Câu 15.A: Cho z ( x, y ) hàm ẩn xác định từ phương trình 1 x2 y2 z2 + + = 1, z (0,0) = 5 Tính dz (0,0) Câu 16.A: Tìm cực trị hàm số z = x y + y − 18 x − 30 y 4 Câu 17.A: Tìm cực trị hàm số z = x + y − xy + x Câu 18.A: Tìm cực trị hàm số z = e ( x + y )( x − y + 4) ur r r F = ( xy + x + y ) i + ( xy + x − y ) j Câu 1.B: Tính tích phân đường loại hàm véc tơ 2 dọc theo đường tròn x + y = với chiều ngược kim đồng hồ 3 Câu 2.B: Cho u ( x, y ) = x + y + x y Tính tích phân đường loại hàm véc tơ grad u ( x, y ) dọc theo nửa đường tròn x + y = từ điểm A( −1,0) đến điểm B(1,0) J = ∫ xdx + ydy C Câu 3.B: Tính lấy theo chiều tăng tham số t , biết đường cong C có phương trình: x = − t , 0≤t≤3 y = 2t x2 J =Ñ ∫ ( xy + x + y )dx + ( y − x + )dy C Câu 4.B: Tính lấy theo chiều ngược kim đồng hồ, biết đường cong C có phương trình: x + y = − x y Câu 5.B: Cho trường vô hướng a Chứng minh rot grad u ( x, y ) = 0, ∀xy ≠ u ( x, y ) = xy + uuuur u ( x , y ) M(1,1) OM b Tính đạo hàm hàm theo hướng xy Câu 6.B: Cho trường vô hướng u ( x, y ) = e (2 x − y ) a Chứng minh rot grad u ( x, y) = 0, ∀( x, y ) b Tính đạo hàm hàm u ( x, y ) M(1,0) theo hướng gradu (1,0) ydx − xdy I =Ñ ∫ x2 + y C Câu 7.B: Tính , theo chiều dương C trường hợp: a C không bao quanh gốc tọa độ x2 y + = b C có phương trình I = ∫ (e x sin y + sin2 x cos y ) dx +(e xcosy − sin x sin y) dy Câu 8.B: Tính L 2 đường tròn x + y = x từ điểm O(0,0) đến điểm A(2,0) 2 với cung L nửa Câu 9.B: Tính I = ∫ ( x3 + ysinx)dy + y ( cosx − y )dx L với cung L nửa đường tròn x + y = từ điểm A(2,0) đến điểm B( −2,0) ( x + y )dx + ( y − x)dy x2 + y L I =∫ Câu 10.B: Cho , a Chứng minh biểu thức dấu tích phân vi phân toàn phần hàm số u ( x, y ) miền không chứa gốc tọa độ Tìm hàm số b Tính I với L cung có phương trình y = − x từ điểm A(1,0) đến điểm B(0,1) x2 ÷dy I = ∫ x ln y dx + + ÷ y 1+ y L Câu 11.B: Cho I a Chứng minh không phụ thuộc dạng đường cong nằm phía trục hoành b Tính I với L cung có phương trình x = ln y từ điểm A(1, e) đến điểm B(0,1) Câu 12.B: Tính 2 I =Ñ ∫ yzdx − zxdy + x y dz C theo hướng ngược kim đồng hồ nhìn từ phía x + y + z = R 2 Oz x + y = R , z > 0, R > trục xuống, biết C có phương trình ur r r F ( x , y , z ) = xi + y j + k Φ Câu 13.B: Tính thông lượng trường véc tơ theo phía 2 2 phần mặt cầu: x + y + z = R , R > nằm góc phần tám thứ 2 Câu 14.B: Tính thông lượng Φ trường gradu ( x, y, z ) , biết u ( x, y , z ) = x2 + y + z 2 2 theo phía nửa mặt cầu: x + y + z = R , R > 2 Câu 15.B: Tính thông lượng Φ trường grad u ( x, y, z ) , biết u ( x, y, z ) = x y 2 theo phía mặt nón: z = R − x + y , z ≥ 0, R > I= Câu 16.B: Tính tích phân đường ∫ (y » cos x − y + x ) dx + ( x3 + y sin x)dy , với cung AB »AB nửa đường tròn x + y = từ điểm A(2;0) đến điểm B(−2;0) Câu 17.B: Tính tích phân đường I= −x −x ∫» ( x − x cos y − y e ) dx + ( x + y e + x sin y ) dy OA x + y − y = »OA x ≥ Cung xác định bởi: ; O (0;0) , A(0;2) 3 Ñ ∫ ( xy + x + y)dx + ( y − x + J= (C ) Câu 18.B: Tính tích phân x2 ) dy , với ( C ) 2 đường cong có phương trình x + y = x−2 x2 Câu 1.C: ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy x− x Cho tích phân a Thay đổi thứ tự lấy tích phân b Tính tích phân với f ( x, y ) = xy 1− 1− y Câu 2.C: ∫ dy ∫ f ( x, y )dx −y Cho tích phân a Thay đổi thứ tự lấy tích phân b Tính tích phân với f ( x, y ) = y Câu 3.C: Tính tích phân Câu 4.C: Câu 5.C: D Tính tích phân Tính tích phân Câu 6/C: Tính tích phân đường: } { I = ∫∫ ( y − x )dxdy , D = ( x, y ) x + y ≤ y , x ≤ y D { I = ∫∫ x − y dxdy , D = ( x, y) x + y ≤ 1, − x ≤ y D ( x + y )2 dxdy , D = ( x, y) ≤ x + y ≤ y y { I = ∫∫ Câu 7.C: Tính tích phân y = x2 , y = { I = ∫∫ ( x + y )dxdy , D = ( x, y ) x + y − x − y ≤ D I = ∫∫ D ( x + y ) x3 dxdy, y3 } } } D miền giới hạn x2 , y = − x, y = − x, x ≥ Câu 8.C: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn đường: x = y2, x = Câu 9.C: Tính tích phân { y2 , y= , y= x x I = ∫∫ ln( x + y ) − xy + y dxdy , D } D = ( x, y ) ≤ x + y ≤ 4, y ≤ x { } V = ( x, y ) a ≤ x + y , x + y + z ≤ R , < a < R Câu 10.C: Tính thể tích vật thể Câu 11.C: Tính thể tích vật thể giới hạn mặt cong z = x + y , z = 2( x + y ), x + y = −2 x Câu 12.C: Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x + y + x + y )dxdydz V 2 2 V miền giới hạn mặt cong x + y = a , z = 2a − x + y , z = 0, a > 4 I = ∫∫∫ ( x + y + xy )dxdydz Câu 13.C: Tính tích phân V 2 2 2 V miền giới hạn mặt x + y = a , z = 2a − ( x + y ), z = 0, a > Câu 14.C: Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz V 2 2 hạn mặt cong x + y + z = 2a , z = Câu 15.C: Tính tích phân , V miền chứa điểm (0,0, a ) giới x2 + y , a > I = ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz V , V miền chứa điểm (0,0, a ) 2 2 2 giới hạn mặt cong x + y + z = 3a , 2az = x + y , a > y ∫ dy ∫ f ( x, y )dx Câu 16.C: Cho tích phân 2− y a Đổi thứ tự lấy tích phân b Tính tích phân với f ( x, y ) = x + y Câu 17.C: Cho tích phân ∫ dx x ∫ −x f ( x , y )dy a Đổi thứ tự lấy tích phân b Tính tích phân với f ( x, y ) = x − xy 8− y 2 ∫ dy ∫ f ( x, y )dx y Câu 18.C: Cho tích phân a Đổi thứ tự lấy tích phân b Tính tích phân với f ( x, y ) = xy − x / Câu 1.D: a Tích phân phương trình: y = sin( x + y ) + sin( x − y ) b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y // + y / − y = x + sin x x( y − 1)dx + y ( x + 2) dy = y (0) = Câu 2.D: a Giải toán Cauchy: // / b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y − y = x + cosx cos xdy + y ln ydx = y (0) = e Câu 3.D: a Giải toán Cauchy: // b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y + y = x + cotx 5 xyy / + x − y = y (1) = Câu 4.D: a Giải toán Cauchy: // / x b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y + y − y = xe + ydx + ( y − x) dy = y (0) = Câu 5.D: a Giải toán Cauchy: // / x b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y + y − y = x + e cos x ( x + 1) y / + y − ( x + 1) y = y (0) = Câu 6.D: a Giải toán Cauchy: // / b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: x( x + 1) y + ( x + 2) y − y = , biết phương trình có nghiệm dạng đa thức ydx + ( x − y x ) dy = y (1) = Câu 7.D: a Giải toán Cauchy: // b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: ( x − 1) y − y = , biết phương trình có nghiệm dạng đa thức ydy + (2 y + x)dx = y (1) = Câu 8.D: a Giải toán Cauchy: // / x −x b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y + y + y = e + e y + x3 (1 + ln y ) dy + 3x (1 + y ln y )dx = y (0) = Câu 9.D: a Giải toán Cauchy: // / b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: ( x − 1) y − 2( x − 1) y + y = , biết phương trình có hai nghiệm riêng: y = 1, y = x Câu 10.D: a Tích phân phương trình sau cách tìm thừa số tích phân (2 xy + x y + y + y3 )dx + ( x + y + 1)dy = e− x y + 2y + y = +x x b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: // / Câu 11.D: a Tích phân phương trình sau cách tìm thừa số tích phân y ( xy + 1) dx + ( y − x) dy = ex y − 2y + y = + x x b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: / Câu 12.D: a Tích phân phương trình: ( x − 1)( y + y ) = y // / 2 b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y + y tan x − y cos x = cos x // phép đổi biến t = sin x Câu 13.D: a Tích phân phương trình: ( y + xy )dx = xdy 6 / // / x b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: xy + 2(1 − x ) y + ( x − 2) y = e phép đổi biến z = yx Câu 14.D: a Giải toán Cauchy: x ( y cos2 x + ln y ) dx + ( + + ysin2 x)dy = y y y (0) = b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: ( x − 1) y // − xy / + y = ( x − 1) e x , x biết phương trình tương ứng có nghiệm y = e Câu 15.D: a Tích phân phương trình sau cách tìm thừa số tích phân ( y + cosy )dx + (1 − sin y ) dy = // / −2 x b Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y + y + y = e ln x + Câu 16.D: a Tìm nghiệm phương trình vi phân: ydx + ( y + x )dy = thỏa mãn điều kiện y (0) = // / t b Bằng phép đổi biến x = e , giải phương trình vi phân: x y + xy − y = x (3ln x + 1) Câu 17.D: Giải phương trình vi phân: xy '− y − y ln x = u y= x , tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: Bằng cách đặt x y "+ x(4 − 3x) y '+ 2( x − 3x + 1) y = xe x Câu 18.D: Giải phương trình vi phân: ( y + cos y ) dx + (1 − sin y )dy = u y= 2 x x , giải pt: x y "+ x(4 − x ) y '+ 2(1 − x) y = xe Bằng cách đặt ============================ 7 ... 13.C: Tính tích phân V 2 2 2 V miền giới hạn mặt x + y = a , z = 2a − ( x + y ), z = 0, a > Câu 14.C: Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz V 2 2 hạn mặt cong x + y + z = 2a , z = Câu 15.C:... giới hạn mặt cong z = x + y , z = 2( x + y ), x + y = 2 x Câu 12. C: Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x + y + x + y )dxdydz V 2 2 V miền giới hạn mặt cong x + y = a , z = 2a − x + y , z = 0, a > 4 I = ∫∫∫... trường véc tơ theo phía 2 2 phần mặt cầu: x + y + z = R , R > nằm góc phần tám thứ 2 Câu 14.B: Tính thông lượng Φ trường gradu ( x, y, z ) , biết u ( x, y , z ) = x2 + y + z 2 2 theo phía nửa mặt