BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 CÓ LỜI GIẢI

Bộ đề thi, bài tập môn giải tích 2 có lời giải

Đề 1:

Câu 1: Tìm khai triển Taylor của

2 ( , ) x y

Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số với u n = và v n =

= = = 2/e2 <1 => hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Các đk công thức Green thỏa

Chiều C ngược chiều quy ước

Câu 8: Tính tích phân mặt loại một  � 2 2

 phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 3

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt cầu z  R2 x2 y2 nằm trong hình trụ x2 y2  Rx.

Gọi S là phần mặt cầu z  R2  x2 y2 nằm trong hình trụ x2 y2  Rx

f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1

f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1

f’’yy= -1/y +2x/y2 => f’’yy(1,1)=1

x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1

1 4 7 (3 2) (2 1)!!

n

n n

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1

!( 4)n

n n

n x n

x= e+4: phân kỳ theo so sánh

Miền hội tụ (-e+4,e+4)

L hội tụ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 3

( 1) ( 1)

2 ( 1)ln( 1)

n n

x=-9: phân kỳ theo tc tích phân

x=7: hội tụ theo tc Leibnitz

h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó

 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

3 3

1

2 2

1

n n

n n

1

2 2

1

n n

n n

� � phân kỳ theo tc Cauchy

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi:

= = 2

=> -1/2<x-5<1/2 => 9/2<x<11/2

x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân

x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz

không phụ thuộc đường đi Tính

tích phân I với C là phần ellipse

= 18xy2+ 6xy33x2y2 = 18xy2+ 18x3y5 => = 36e

Câu 2 Khảo sát cực trị hàm số z= x 3 + y 3 + 3x 2 - 3xy +3x-3y +1

Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0

1 4 9

n

n n

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Câu 7 Tính tích phân đường loại một I=, với C là nửa trên đường tròn x2 y2  2 y.

x=rcost, y=rsint => r= 2sint

, với C là giao của x2 y2  z2 4

và x y z    0, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của C là giao của

x=-4,y=1, λ=-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)

x=4,y=-1, λ=1/2 => d2L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1

2 !n

n n

n n

Câu 7 Tính tích phân mặt loại một

z x y và z   2 2 y, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của của z x  2 y2 và z   2 2 y, n= (0,

b) => phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

Câu 6 Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e -y , Q x y ( , ) (1    x y e ) y Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx

+ h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(x) vừa tìm, tính tích phân trong đó L là nữa đường tròn x 2 + y 2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).

D =prxOyS={ (x+1)2+y2 =3}, x+1=rcosφ,y=rsinφ

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,0)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của với ,

=> hội tụ theo tc Cauchy

=> phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 6 Tìm hàm h(x 2 - y 2 ), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi

I= với AB là cung không cắt đường x 2 = y 2

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

2 1

1

n n

n n

1

n n

�� �  � � hội tụ theo tc Cauchy

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1

2

n n