Bộ đề thi luyên tập môn giải tích- Toán cao cấp
-1- ĐỀ 11: Câu 1: Vẽ khối giới hạn x y z y , y x z Câu 2: Trên mặt phẳng x y z tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm hai mặt phẳng x z y 3z nhỏ Xét hệ: x y x z (x,y,z)=(3,-1,1) y 3z Điểm (3,-1,1) thuộc mặt phẳng nên tổng khoảng cách từ điểm tới hai mặt x z y 3z khoảng cách nhỏ (3n 1)! Câu 3: : Khảo sát hội tụ chuỗi số 3 n 1 n Bài giải: a n1 3n(3n 1)(3n 2) 27 n , chuỗi phân kỳ an (n 1) (5) n ( x 2) n Câu 4: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n n 1 (2n 1) n Bài giải: (5) n ( x 2) n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n = n n 1 n 1 (2n 1) n lim n | n | lim n n Điều kiện cần để chuỗi hội tụ x= 2 => n 5( x 2) 5( x 2) 3 5( x 2) 3 x 2 f ( x) x3 3x ; f '( x) x y=2 => f ( x) x3 x, x (0, 2) ; => x f 2, Max f=13 đạt (2,-1), f =-1 đạt (0,-1) (1)n n n 1 n Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số: Bài giải: lim | un | => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần n Câu 4: Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa n 1 Bài giải: lim n un x n Để chuỗi hội tụ => x => x (2n 1)( x 3) n 3n3 n ln n -5(1) n (2n 1) x=2 => un (1) n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz 3n1/2 ln n 3n3 n ln n (2n 1) x=4 => un phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 3n ln n 1/2 3n n ln n 2 x4 3 Câu 5:Tính tích phân kép I max x, y dxdy D miền phẳng giới D hạn x 4, y Bài giải: Trên miền D1 max(x,y)=y, miền D2 max(x,y)=x Do I max x, y dxdy ydxdy xdxdy D D1 4 x x 0 D2 dx ydy dx xdy 128 Câu 6: Tính tích phân bội ba I xdxdydz , V vật thể giới hạn V 2 2 x y z 0, x y z Bài giải: 0 2 y r cos Đổi sang toạ độ trụ z r sin V 0 r x x 2 I d dr 0 2 r z r r2 2 r rxdx 7 12 -6- Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I x3dydz y 3dxdz z 3dxdy với S mặt S phía ngồi vật thể giới hạn x z y , y Bài giải: Áp dụng công thức O-G: I x3 dydz y dxdz z dxdy 3 ( x y z )dxdydz S V z r cos 0 2 Đổi sang toạ độ trụ: x r sin V 0 r y y r y 2 2 1 d rdr (r y )d y d (r r )rdr 3 10 0 0 r 2 Các em đổi sang toạ độ cầu để tính tích phân ĐỀ 13 Câu 1: Tính f y' (0,1) hàm f ( x, y ) x y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến Tương tự câu đề 12 Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z ( x y )e xy miền 2 x y Bài giải -7uv x 2 u Đặt v R y u v z ue Xét f u ue Vậy u2 u v2 u2 ue e v2 m in f f 2 2e [-2,1] max f f 1 e [-2,1] max z =2e đạt (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1/2,1/2) max z =-4e4 đạt (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1) Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số n 1 (1)n n (1) n Bài giải 1: Có em giải sau: (1)n n (1) n (1)n n (1) n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n Các em nhận xét xem hay sai? Bài giải 2: un un Có: Vì 1 n2 n n 1 1 n n 1 n n 1 n 1 n 1 n hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz n 1 n n n 1 n 1 n phân kỳ chuỗi phân n2 kỳ Câu 4: Tìm chuỗi Taylor f ( x) chuỗi Bài giải f ( x) Đăt u=x-1 2x , x0 tìm miền hội tụ x 5x 2x x 5x x x 2 -8- f ( x) 9 u u 2( u 1) u 2( u 1) u 2 n n u x n 7 u n x 1 n 0 n 0 n 0 n 0 n n 1 x 1 n 0 Câu 5: Tính tích phân kép I xy dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2 x y Bài giải Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn theo x,y miền D đối xứng qua trục ox,oy nên ta cần tính tích phân góc phần thứ I gấp lần lên 2 I xy dxdy d r 3cos sin dr D 15 Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn x y xy, z x y, z ( x 0) y r(t)=sqrt(sin(2*t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 Bài giải x r cos r sin Đổi sang toạ độ trụ: y r sin Các mặt viết lại là: z r cos sin z z Vì x>0 x y xy nên y>0 0, 2 -9- 0 Miền viết lại toạ độ trụ là: V 0 r sin 2 0 z r sin cos sin 2 V d o rdr r sin cos o dz 2 sin sin cos d 0 Đặt t sin cos sin 2 t dt (sin cos )d t 1 t 1 1 V 1 t dt 1 Đặt: t sin u V 2 cos udu Câu 7: Tính tích phân mặt loại I xds với S phần mặt phẳng x y z S 2 nằm hình cầu x y z Bài giải Vì có tính đối xứng nên I xds yds zds = S S S 2 ( x y z )ds 2ds = S 3 S S Hình cầu có tâm I(0,0,0) 0002 d( I , ) 3 S (22 ( ) ) 3 32 Vậy I ĐỀ 14 Câu 1: Vẽ khối giới hạn y x , y x , z 0, z x Các em tự vẽ - 10 - Câu 2: Một hộp (hình hộp chữ nhật, khơng có nắp phía trên) làm từ 12m bìa carton Tìm thể tích lớn hộp Bài giải Gọi x chiều rộng, y chiều dài, z chiều cao (m) Ta có: 2xz+2yz+xy=12 V=xyz x, y, z Ta cần tìm MaxV: Cách 1: Xét hàm L x, y, z xyz xz yz xy L'x yz z y ' x 2z 1/ Ly xz z x ' y 2z x y Lx xy x y xz yz xy 12 z xz yz xy 12 Hàm có Điểm dừng P(2,2,1) Tính đạo hàm riêng cấp P ta có: d L P dxdy 2dxdz 2dydz Lấy vi phân vế 2xz+2yz+xy=12 P suy ra: dx+dy+2dz=0 d L P dx dy dxdy xác định âm Vậy P điểm cực đại Và V liên tục góc phần tám thứ có điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn P: MaxV=V(P)=4 Cách 2: Thế z xy 12 xy 12 xy vào biểu thức V: V , 2 x y 2 x y V x, y R xy 2 xy 12 xy 2 x y Áp dụng côsi cho số (x,y) sô (2xy,(12-xy), (12-xy)) ta được: xy xy V xy 12 xy 2 x y 2 xy x y Dấu “=” xảy x y z 1 2 xy 12 xy xy 2(12 xy ) 4 Vậy Max V =4 đạt (2,2,1) Nhận xét: Không nghi ngờ cách hay gọn cách Nhưng em nên nhớ học GT2 cực trị max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức học vào toán thực tế Bài điển hình cho tìm max-min cho hàm biến miền không bị chặn hay n 1 n( n 1)( n 2) Câu 3: Tính tổng S Bài giải 11 n(n 1)(n 2) n n n - 26 - Câu 2: Tìm cực trị hàm f ( x, y, z ) x y 10 z với điều kiện x y z 35 Bài giải Xét L x, y, z x y 10 z x y z L'x 2 x 1 ' Ly 2 y x 1 x P1 P2 ' Lz 10 2 z y 3 y z 5 z 2 x y z 35 d L 2 dx dy dz d L P1 d L P2 Vậy hàm f đạt cực đại P2(1,3,5) cực tiểu P1(-1,-3,-5) n n n ( 1) n Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi Bài giải Ta có: n (1)n n Suy chuỗi phân kỳ n ln(1 3t ) dt tìm bán kính hội tụ chuỗi t x Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint f ( x) Bài giải Ta có: ln(1 3t ) t n0 f ( x) (1)n n 0 (3t )n 1 n 1 n (1)n x n t n 1 n0 n (1) 3n 1 n 1 x (n 1)2 R=1/3 theo tiêu chuẩn Cauchy 1 f ( ) (1) n hội tụ tuyệt đối n 0 (n 1) 1 Vậy bán kính hội tụ x 3 Câu 5: Tính diện tích miền phẳng giới hạn x x y x, y x 3, y x Bài giải - 27 y x(t)=1+cos(t) , y(t)=sin(t) x(t)=3+3cos(t) , y(t)=3sin(t) f(x)=-x f(x)=x*sqrt(3) 1 D x -1 -2 -3 x r cos D Đổi sang toạ độ cực: y r sin 2 cos r cos S D d 6cos rdr 2cos 28 2 34 Câu 6: Tính tích phân đường I y dl , C cung Cycloid C x a (t sin t ), y a (1 cos t ), t 2 Bài giải y x(t)=(t-sin(t)) , y(t)=(1-cos(t)) 5 0.5 x Ta có: xt'2 yt'2 2a sin t 2 t I y dl a (1 cost)2 2a sin dt C 256 a 15 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I z dxdy , S mặt nửa mặt cầu S x 1 y z 4, z 2 - 28 - Bài giải Gọi D: x 1 y hình chiếu S lên mp Oxy 2 I z dxdy x 1 y dxdy (Pháp vec tơ tạo với Oz góc S tù) D 2 0 2 I d r rdr 8 ĐỀ 20 Câu 1: Tìm vi phân cấp hai hàm z z ( x, y ) hàm ẩn xác định từ phương trình x y z ez Bài giải Cách 1: x y z ez x y z ez 1 ' z x e z e z z' y ez 1 z ' z z ' e z x e xx ez 1 ez 1 ez ez '' z yy d z ez 1 ez 1 ' ez z y ez 1 Cách 2: dx dy 2 - 29 dx dy dz e z dz dz dx dy ez 1 d (dx dy dz ) d (e z dz ) d z e z dz e z d z d z e z dz e z dx dy ez ez ez ez 1 ez 1 Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý hàm biến làm cách Câu 2: Tìm cực trị hàm f ( x, y, z ) x y z với hai điều kiện x y z x y Bài giải Xét: L x, y, z x y 3z x y z x y L'x x 3 3 ' 1/ Ly y 1/ L'z P1 x P2 x 2 x y z y 5 y x y 29 z 7 z d L x, y, z 2 dx dy Lấy vi phân vế phương trình x y xdx ydy Suy tai P1,2: dy dx vào ta được: d L x, y, z dx dy 58 dx 25 d L P1 Vậy f đạt cức đai P2 cực tiểu P1 d L P2 Câu 3: Tính tổng 2n n 1 n n 12 Bài giải n 1 n 2n n 12 1 1 n 1 n n 1n 1 ( x 2)2n n 1 n n 1 Câu 4: Tìm Miền hội tụ chuỗi luỹ thừa Bài giải Đặt X=(x+2)2 dx dy 2 - 30 1 n 1 n n 1 S n Xn un X n n 1 n | un | R Tại X=1 S 1 n n n 1 Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1] hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz n 1 Câu 5: Tính tích phân kép I ( x y ) dxdy , D miền phẳng giới hạn D đường astroid x a cos3 t , y a sin t , t / , trục tọa độ Bài giải Đổi biến: x ar cos y ar sin J a cos3 3a cos sin a sin 3a sin cos 3a sin cos 2 a sin 2 13 I d sin 2 ar cos3 ar sin dr 04 a3 sin 2 cos3 sin d Câu 6: Tính tích phân đường loại I ( x y )dl , C cung bên phải đường C Lemniscate có phương trình tọa độ cực r a cos 2 , a Bài giải y r(t)=2sqrt(cos(2t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.2 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.2 2.4 - 31 I r cos sin r r '2 d Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I yzdydz zxdxdz xydxdy , với S biên S vật thể giới hạn x y z 1, x 0, y 0, z , định hướng phía Bài giải Mặt S kín nên ta dùng O-G suy tích phân khơng Ghi chú: Các em có thắt mắc mail cho Thầy: nguyenhuuhiep47@yahoo.com Đề luyện tập số Câu Tìm khai triển Taylor f ( x, y ) 2x y điểm (2,1) đến cấp x y Câu Tìm cực trị hàm z x y xy 12 x y 2 n u 2 Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n với un= vn= 1 n n n 1 v n n2 (1) n1 x n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n n 1 (3n 1) Câu Tính tích phân kép I dxdy , D miền phẳng giới D x2 y2 2 hạn x x y x, y x , Câu Tính tích phân I e C x2 xy dx y cos y x dy với C chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ Câu Tính I ydx ( z x)dy xdz , với C giao x y z y , chiều kim đồng C hồ theo hướng dương trục 0z Câu Tính tích phân mặt loại I x y S nằm hai mặt phẳng z 0, z dS , S phần mặt nón z x2 y2 , Đề luyện tập số Câu Cho hàm f ( x, y ) xe xy 2 Tính d f (2,1) Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) ( y x )e1 x y2 miền D {( x, y ) | x y 4} n 1 Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số: a/ n2 n n ( n2) b/ 1.3.5 (2n 1) n 1 n 1 2.4.6 ( 2n) (1)n ( x 3)n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa n 1 2n ln n Câu Tính tích phân kép I e x2 y2 dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2 x y 4, y 0, y x , Câu Tính tích phân I x y dx x y dy , với C phần đường cong y x sin x , từ A(0,0) đến B( , ) C Câu Tìm diện tích phần mặt cầu z R x y nằm hình trụ x y Rx Câu Tính tích phân mặt loại hai I x 3dydz y 3dxdz z dxdy , với S biên vật thể giới hạn S x y z 4, z x y , phía 2 2 135 Đề luyện tập số x Câu Cho hàm f ( x, y ) (2 x y )ln Tính d f (1,1) y + với x > 0, y > x y Câu Tìm cực trị hàm số z = xy + 7 (3n 2) (2n 1)!! n 1 Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n!( x 4) n nn n 1 Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa Câu Tính tích phân kép I ( x 2) dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2 x y 1, y Câu Tính tích phân I x y dx x y dy , C biên miền phẳng giới C hạn y x , y x , chiều kim đồng hồ Câu Tìm diện tích phần mặt z x y nằm hình cầu x y z2 2z Câu Tính I xdS , với S phần mặt trụ x y nằm hai mặt phẳng z 1, z S Đề luyện tập số Câu Cho hàm f ( x, y ) y sin ( x y ) Tính d f (0,0) 2 Câu Tìm cực trị hàm z x y 12 x y 2 8 (3n 1) n 11 9 (4n 3) Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số (1)n ( x 1) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa 3n n 1 ( n 1)ln( n 1) Câu Tính tích phân x y ln( x y ) dxdy với D miền x2+y2 e2 D Câu Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với h(y) vừa tìm, tính tích phân h( y ) P( x, y )dx h( y )Q( x, y )dy L đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều L ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2) Câu Tìm diện tích phần mặt z x y nằm hình paraboloid z x y Câu Tính I x dydz y dxdz z dxdy , với S nửa mặt cầu x y z z , phía S Đề luyện tập số f f (u ) u sin u; 2 f , với x xy u xy e Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) x 12 xy y ; x y 25 Câu Tính 136 2n Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n n 1 n 1 Câu Tính tích phân arctg (1) n 1 n 1 ( x 5) n n 1 (n 1) ln(n 1) Câu Tìm miền hội tụ chuỗi: 3n x y dxdy với D hình tròn: x2+y2 D Câu Chứng tỏ tích phân I e x y (1 x y)dx (1 x y)dy không phụ thuộc đường C x2 y2 từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ Tính tích phân I với C phần ellipse Câu Tìm thể tích vật thể giới hạn y x , y 1, z 0, z 3x , lấy phần z Câu Tính I xdydz y z dxdz z dxdy , với S phần mặt phẳng x y z nằm S hình trụ x y y , phía 2 Đề luyện tập số 2z (1,1) xy Câu Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 Câu Cho hàm biến z = z(x, y) = 3e x y Tính dz(1,1) 9 n n 1 (4n 3)!! Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa (1) n n 1 4 n 0 n n 1 ( x 1) n Câu Tính tích phân kép I x y dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2 x y 1, y x Câu Tính tích phân I ( x y x y ) dx ( y x xy ) dy , với C nửa bên phải đường 2 C 2 tròn x y y, chiều kim đồng hồ Câu Tính tích phân đường loại I x y dl , với C nửa đường tròn x y y C Câu Dùng cơng thức Stokes, tính I ( x y)dx (2 x z )dy ydz , với C giao C x y z x y z , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z Đề luyện tập số 2z ( ,1) x Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) x y; x y Câu Cho hàm biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz( 2,1) 2n n! Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n n 1 n 137 Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Câu Tính tích phân dxdy 3 x y n 2x 1n n 0 n n với D miền phẳng hữu hạn giới hạn đường x2+y2= 1(x, y 0), x2+y2=33 (x, y ), y=x, y = x Câu Cho hàm P(x,y)= 2yexy + e x cosy, Q(x,y)= 2xexy- e x siny số Tìm để biểu thức Pdx + Qdy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với vừa tìm được, tính tích phân đường [( x, y ) y ]dx [Q( x, y ) x ]dy ( ) đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) Câu Tính tích phân mặt loại I x dS , với S nửa mặt x y z S Câu Dùng công thức Stokes, tính I (3x y )dx (3 y z )dy (3 z x )dz , với C giao C z x y z y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z 2 Đề luyện tập số Câu Tìm zx' , zy' hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x y yz ln z Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) x y x y miền D {( x, y ) | | x | 1,| y | 1} 2n Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số a/ n 2n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n 1 Câu Tính tích phân kép n ( n 1) (1) ( x 2) n 3n1 b/ 1.4.9 n 1.3.5 (2n 1)n!.5 n2 n 1 n n4 n2 x y dxdy với D miền phẳng hữu hạn giới hạn đường D tròn x2 + y2 = 9, y đường thẳng y = x, y = -x y Câu Cho hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y ) (1 x y )e Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với h(x) vừa tìm, tính tích phân h( x) P ( x, y )dx h( x)Q( x, y )dy L đường tròn x2 + y2 = nằm bên phải trục L tung, chiều từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3) Câu Tính I zdxdydz , với V giới hạn x y z z z x y V Câu Tính tích phân mặt I ( x y )dydz y z dxdz z x dxdy , với S phần mặt S paraboloid z x y , bị cắt z x , phía 2 Đề luyện tập số 21 x y , if ( x, y ) (0, 0) Câu Tìm miền xác định miền giá trị f ( x, y ) e 3, if ( x, y ) (0, 0) 2 Câu Tìm cực trị hàm f(x, y)= x - 2xy+ 2y - 2x+ 2y +4 138 Câu Khảo sát hội tụ u n với u n n 1 Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n 0 4n 4n ( x 3) n n ( n 1) , 2.4.6 ( 2n).n n 4.7.10 (3n 1).n! n 2.4 n dxdy với D miền phẳng giới hạn đường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x Câu Tính J= D đường thẳng y = x, y = Câu Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = để tích phân đường sau không phụ thuộc đường I= h( x y ) x( x y )dy y ( x y )dx với AB cung không cắt đường x2 = y2 AB Câu Tính I ( x yz )dxdydz , với V giới hạn z x y z x y V Câu Tính tích phân mặt I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S phần mặt S paraboloid x y z x , phần z , phía 2 Đề luyện tập số 10 xy , if ( x, y ) (0, 0) Câu Tính f xy (0, 0) f ( x, y ) x y 0, if ( x, y ) (0, 0) // Câu Tìm cực trị hàm z x y x y xy, x 4 2 2n n 1 Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n 1 2n ( x 4) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa n 1 n n Câu Tính tích phân kép I ( x | y |) dxdy , D miền phẳng giới D 2 hạn x y 4, x x y y 1 dx x y x x y x dy , theo đường cong C (1,1) (2,3) Câu Tính tích phân I khơng qua gốc O không cắt trục tung Câu I dxdydz , với V giới hạn x y z z x y 2 V x y z Câu Tính tích phân mặt I x z dydz y x dxdz z y dxdy , với S phần mặt S paraboloid z x y nằm mặt x z , phía 2 Đề luyện tập số 11 Câu Vẽ khối giới hạn x y z y , y x z Câu Trên mặt phẳng x y z tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm hai mặt phẳng x z y z nhỏ 139 (3n 1)! 3 n 1 n Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số (5) n ( x 2) n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n n 1 (2n 1) n y x dxdy , D miền phẳng giới Câu Tính tích phân kép I hạn 1 x 1,0 y D Câu Tính tích phân bội ba I y z dxdydz , V vật thể giới hạn V 2 2 z x y , x y 4, z x y Câu Tính tích phân mặt loại hai I (2 x y )dydz , với S phần mặt z x y bị cắt mặt S z , phía theo hướng trục Oz Đề luyện tập số 12 f x' (1,1) Câu Tính hàm f ( x, y ) x y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) x3 y xy miền x 2, 1 y (1)n n n 1 n Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số: (2n 1)( x 3) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa n 1 3n3 n ln n Câu Tính tích phân kép I max x, y dxdy , D miền phẳng giới hạn D x 4, y Câu Tính tích phân bội ba I xdxdydz , V vật thể giới hạn V 2 2 x y z 0, x y z Câu Tính tích phân mặt loại hai I x3dydz y 3dxdz z 3dxdy với S mặt phía ngồi vật thể S 2 giới hạn x z y , y Đề luyện tập số 13 Câu Tính f y' (0,1) hàm f ( x, y ) x y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến xy Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z ( x y )e miền 2 x y Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n 1 Câu Tìm chuỗi Taylor f ( x) (1)n n (1) n 2x , x0 tìm miền hội tụ chuỗi x 5x 2 Câu Tính tích phân kép I xy dxdy , D miền phẳng giới hạn x y D Câu Tính thể tích vật thể giới hạn x y xy, z x y, z ( x 0) 140 Câu Tính tích phân mặt loại I xds với S phần mặt phẳng x y z nằm hình S 2 cầu x y z Đề luyện tập số 14 Câu Vẽ khối giới hạn y x , y x , z 0, z x Câu Một hộp (hình hộp chữ nhật, khơng có nắp phía trên) làm từ 12m bìa carton Tìm thể tích lớn hộp n 1 n( n 1)( n 2) Câu Tính tổng S x dt Câu Tìm chuỗi Maclaurint f ( x) tìm miền hội tụ chuỗi 1 t4 x2 y Câu Tính tích phân y dxdy với D miền 1, x y 16 D 2 Câu Tìm diện tích phần mặt cầu x y z 18 nằm hình nón x y z Câu Tính tích phân mặt loại I yds , với S phần mặt trụ x y nằm hai mặt S phẳng z 0, z Đề luyện tập số 15 Câu Cho f f (3 x y , e xy ) Tính f f , x xy Câu Tìm điểm M hình nón z x y , cho MA nhỏ nhất, với A(4,2,0) 2n n n 1 Câu Tính tổng x3 tìm bán kính hội tụ chuỗi x 3 Câu Tính tích phân max sin x,sin ydxdy với D miền x , y Câu Tìm chuỗi Maclaurint hàm f ( x) arctan D Câu Tính tích phân đường I y z dx z x dy x y dz , với C giao mặt C phẳng x y z mặt cầu x y z ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz Câu Tính tích phân mặt loại hai I zdxdy với S nửa mặt cầu x y z , phần y , S phía ngồi (phía theo hướng trục Oy) Đề luyện tập số 16 u 2 f Câu Cho f f (u , v) arctan , u u ( x, y ) x3 y , v v( x, y ) x y Tính xy v Câu Cho hình hộp chữ nhật góc phần tám thứ hệ trục Oxyz, có mặt nằm mặt phẳng tọa độ đỉnh nằm mặt phẳng x y z Tìm thể tích lớn (2) n n 1 n 1 n( n 2) Câu Tính tổng Câu Tìm chuỗi lũy thừa hàm f ( x) ln x x tìm bán kính hội tụ chuỗi 141 x2 y Câu Tính tích phân kép I dxdy , D miền phẳng giới hạn D 16 x 0, y 0, x 4sin t , y 3cos t , t 0, / 2 Câu Tính tích phân đường I zdx xdy ydz , với C giao mặt phẳng x z mặt C 2 cầu x y theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz Câu Tính tích phân mặt loại hai I x3dydz y 3dzdx , với S mặt nửa ellipsoid S 2 x z y2 1, 16 z 0 Đề luyện tập số 17 f f (0, 0), (0, 0) x y Câu Cho f ( x, y ) y ln x y Tìm Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) e xy ; x3 y 16 (n 1) n 1 6 (2n) Câu Tính tổng Câu Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính xdx ex 1 Câu Tính tích phân sign x y dxdy với D x 3, y 2 Câu Tính tích phân đường I y z dx z x dy x y dz , với C giao mặt nón C y z x mặt cầu x y z ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox .Câu Tính tích phân mặt loại hai I x3dydz y 3dzdx z 3dxdy , với S mặt vật thể S 2 2 giới hạn x y z 4, y x z Đề luyện tập số 18 x y , ( x, y ) (0, 0) 2 f 2 f 2 f 2 f xy (0, 0), (0, 0), (0, 0), (0, 0) Câu Cho f ( x, y ) x y Tìm 2 y x x y x y 0, ( x, y ) (0, 0) Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y ) x y với điều kiện x y 13 2 (2) n n n 1 1 5 (2n 1) Câu Tính tổng S Câu Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính ln dx 1 x Câu Tìm diện tích miền phẳng giới hạn x y 1, y 0, y x Câu Tính tích phân I x3 ye xy dx y xe xy dy , C phần elip C x2 y từ 16 điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ 142 Câu Tính tích phân mặt loại hai I ( x 1)3 dydz ydzdx zdxdy , với S mặt nửa S 2 mặt cầu x y z x, z Đề luyện tập số 19 Câu Vẽ khối giới hạn z x , x y y, x y z Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y, z ) x y 10 z với điều kiện x y z 35 Câu Khảo sát hội tụ chuỗi n n n ( 1) n x ln(1 3t ) Câu Tìm chuỗi Maclaurint f ( x) dt tìm bán kính hội tụ chuỗi t Câu Tính diện tích miền phẳng giới hạn x x y x, y x 3, y x Câu Tính tích phân đường I y dl , C cung Cycloid x a(t sin t ), y a(1 cos t ), t 2 C Câu Tính tích phân mặt loại hai I z dxdy , S mặt nửa mặt cầu S x 1 y z 4, z Đề luyện tập số 20 Câu Tìm vi phân cấp hai hàm z z ( x, y ) hàm ẩn xác định từ phương trình x y z e z Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y, z ) x y z với hai điều kiện x y z x y 2n Câu Tính tổng 2 n 1 n n 1 1n 1 ( x 2)2n n 1 n n 1 Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa Câu Tính tích phân kép I ( x y ) dxdy , D miền phẳng giới D hạn đường astroid x a cos t , y a sin t , t / , trục tọa độ Câu Tính tích phân đường loại I ( x y )dl , C cung bên phải đường Lemniscate có C phương trình tọa độ cực r a cos 2 , a Câu Tính tích phân mặt loại hai I yzdydz zxdxdz xydxdy , với S biên vật thể giới hạn 2 S x y z 1, x 0, y 0, z , định hướng phía 143 ... biến x nên I lần tích phân nửa bên phải miền D làm tương tự Câu 6: Tính tích phân bội ba I y z dxdydz , V vật thể V 2 2 giới hạn z x y , x y 4, z x y Bài giải: : D : x2... Câu 5: Tính tích phân kép I xy dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2 x y Bài giải Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn theo x,y miền D đối xứng qua trục ox,oy nên ta cần tính tích phân góc phần... hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính xdx ex 1 Bài giải Câu đạo hàm khó sau lấy tích phân khơng tính tổng lai Có phương pháp sau khơng phải khai triển maclaurint, ý tương hay không giải được,