BỘ ĐỀ THI LUYỆN TẬP MÔN GIẢI TÍCH

Bộ đề thi luyên tập môn giải tích- Toán cao cấp

-1- ĐỀ 11: Câu 1: Vẽ khối  giới hạn x  y  z  y , y  x  z Câu 2: Trên mặt phẳng x  y  z  tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm hai mặt phẳng x  z   y  3z   nhỏ Xét hệ: x  y     x  z    (x,y,z)=(3,-1,1)  y  3z    Điểm (3,-1,1) thuộc mặt phẳng nên tổng khoảng cách từ điểm tới hai mặt x  z   y  3z   khoảng cách nhỏ  (3n  1)! Câu 3: : Khảo sát hội tụ chuỗi số  3 n 1   n  Bài giải: a n1 3n(3n  1)(3n  2)   27 n   , chuỗi phân kỳ an (n  1) (5) n ( x  2) n Câu 4: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n n 1 (2n  1) n   Bài giải:  (5) n ( x  2) n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n =  n n 1 n 1 (2n  1) n   lim n |  n |  lim n  n  Điều kiện cần để chuỗi hội tụ x= 2  => n  5( x  2) 5( x  2)  3 5( x  2) 3  x  2  f ( x)  x3   3x ; f '( x)  x  y=2 => f ( x)  x3   x, x  (0, 2) ; => x   f   2,   Max f=13 đạt (2,-1), f =-1 đạt (0,-1) (1)n n n 1 n   Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số:  Bài giải: lim | un |  => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần n   Câu 4: Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa  n 1 Bài giải: lim n un  x  n  Để chuỗi hội tụ => x   =>  x  (2n  1)( x  3) n 3n3  n  ln n -5(1) n (2n  1) x=2 => un  (1) n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz 3n1/2 ln n 3n3  n ln n (2n  1) x=4 => un  phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 3n ln n 1/2 3n  n ln n 2 x4 3 Câu 5:Tính tích phân kép I   max  x, y dxdy D miền phẳng giới D hạn  x  4,  y  Bài giải: Trên miền D1 max(x,y)=y, miền D2 max(x,y)=x Do I   max  x, y dxdy   ydxdy   xdxdy D D1 4 x x 0 D2   dx  ydy   dx  xdy  128 Câu 6: Tính tích phân bội ba I   xdxdydz , V vật thể giới hạn V 2 2 x  y  z  0, x  y  z  Bài giải: 0    2  y  r cos    Đổi sang toạ độ trụ  z  r sin   V 0  r  x  x  2 I  d  dr 0  2   r  z  r r2   2 r rxdx   7 12 -6- Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   x3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy với S mặt S phía ngồi vật thể giới hạn x  z  y ,  y  Bài giải: Áp dụng công thức O-G: I   x3 dydz  y dxdz  z dxdy  3 ( x  y  z )dxdydz S V  z  r cos  0    2   Đổi sang toạ độ trụ:  x  r sin   V 0  r  y  y r  y    2 2 1   d  rdr  (r  y )d y   d  (r  r  )rdr   3 10 0 0 r 2 Các em đổi sang toạ độ cầu để tính tích phân ĐỀ 13 Câu 1: Tính f y' (0,1) hàm f ( x, y )   x  y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến Tương tự câu đề 12 Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z  ( x  y )e xy miền 2  x  y  Bài giải -7uv   x  2  u   Đặt  v  R y  u v  z  ue Xét f  u   ue Vậy u2 u v2 u2  ue e  v2 m in f  f  2   2e  [-2,1]  max f  f 1  e  [-2,1] max z =2e đạt (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1/2,1/2) max z =-4e4 đạt (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1)  Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số  n 1 (1)n n  (1) n Bài giải 1: Có em giải sau: (1)n n  (1) n (1)n n (1) n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n Các em nhận xét xem hay sai? Bài giải 2: un  un  Có: Vì    1 n2 n n  1   1 n n   1 n  n   1 n 1 n    1 n hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz n 1 n n  n 1 n 1   n  phân kỳ chuỗi phân n2 kỳ Câu 4: Tìm chuỗi Taylor f ( x)  chuỗi Bài giải f ( x)  Đăt u=x-1 2x  , x0  tìm miền hội tụ x  5x  2x    x  5x  x  x  2 -8- f ( x)  9      u  u  2( u  1) u  2(  u  1) u  2 n n     u    x   n       7 u n       x  1   n 0   n 0   n 0 n 0   n      n 1   x  1  n 0  Câu 5: Tính tích phân kép I   xy dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2  x  y  Bài giải Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn theo x,y miền D đối xứng qua trục ox,oy nên ta cần tính tích phân góc phần thứ I gấp lần lên  2 I   xy dxdy   d  r 3cos sin  dr  D 15 Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn  x  y   xy, z  x  y, z  ( x  0) y r(t)=sqrt(sin(2*t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 Bài giải  x  r cos    r  sin  Đổi sang toạ độ trụ:  y  r sin  Các mặt viết lại là:   z  r  cos  sin   z  z   Vì x>0 x  y     xy nên y>0   0,   2 -9-   0     Miền viết lại toạ độ trụ là: V 0  r  sin 2 0  z  r sin   cos      sin 2 V   d  o rdr  r  sin   cos  o dz  2 sin   sin   cos  d 0 Đặt t  sin   cos  sin 2   t dt  (sin   cos )d    t  1    t 1 1 V   1  t  dt 1 Đặt: t  sin u V 2   cos udu    Câu 7: Tính tích phân mặt loại I   xds với S phần mặt phẳng x  y  z  S 2 nằm hình cầu x  y  z  Bài giải Vì có tính đối xứng nên I   xds   yds   zds = S S S 2 ( x  y  z )ds   2ds = S  3 S S Hình cầu có tâm I(0,0,0) 0002 d( I , )   3 S   (22  ( ) )   3 32 Vậy I   ĐỀ 14 Câu 1: Vẽ khối  giới hạn y   x , y   x , z  0, z  x Các em tự vẽ - 10 - Câu 2: Một hộp (hình hộp chữ nhật, khơng có nắp phía trên) làm từ 12m bìa carton Tìm thể tích lớn hộp Bài giải Gọi x chiều rộng, y chiều dài, z chiều cao (m) Ta có: 2xz+2yz+xy=12 V=xyz x, y, z  Ta cần tìm MaxV: Cách 1: Xét hàm L  x, y, z   xyz    xz  yz  xy   L'x  yz    z  y    ' x  2z   1/  Ly  xz    z  x      '   y  2z  x  y   Lx  xy    x  y    xz  yz  xy  12  z      xz  yz  xy  12    Hàm có Điểm dừng P(2,2,1) Tính đạo hàm riêng cấp P ta có:  d L  P   dxdy  2dxdz  2dydz Lấy vi phân vế 2xz+2yz+xy=12 P suy ra: dx+dy+2dz=0  d L  P    dx  dy  dxdy xác định âm Vậy P điểm cực đại Và V liên tục góc phần tám thứ có điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn P: MaxV=V(P)=4 Cách 2: Thế z  xy 12  xy  12  xy vào biểu thức V: V  , 2 x  y 2 x  y V  x, y  R  xy 2 xy 12  xy  2 x y Áp dụng côsi cho số (x,y) sô (2xy,(12-xy), (12-xy)) ta được: xy xy V  xy 12  xy   2 x y 2 xy x  y Dấu “=” xảy   x  y   z 1 2 xy  12  xy xy  2(12  xy ) 4 Vậy Max V =4 đạt (2,2,1) Nhận xét: Không nghi ngờ cách hay gọn cách Nhưng em nên nhớ học GT2 cực trị max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức học vào toán thực tế Bài điển hình cho tìm max-min cho hàm biến miền không bị chặn hay  n 1 n( n  1)( n  2) Câu 3: Tính tổng S   Bài giải 11       n(n  1)(n  2)  n n  n   - 26 - Câu 2: Tìm cực trị hàm f ( x, y, z )  x  y  10 z với điều kiện x  y  z  35 Bài giải Xét L  x, y, z   x  y  10 z    x  y  z   L'x   2 x      1  '    Ly   2 y   x  1 x   P1   P2   '  Lz  10  2 z   y  3 y    z  5  z  2  x  y  z  35 d L  2  dx  dy  dz  d L  P1   d L  P2   Vậy hàm f đạt cực đại P2(1,3,5) cực tiểu P1(-1,-3,-5) n n  n  ( 1) n  Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi  Bài giải Ta có: n  (1)n n Suy chuỗi phân kỳ n ln(1  3t ) dt tìm bán kính hội tụ chuỗi t x Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint f ( x)   Bài giải Ta có:  ln(1  3t )  t  n0 f ( x)   (1)n n 0 (3t )n 1 n 1 n    (1)n x n  t n 1 n0 n  (1) 3n 1 n 1 x (n  1)2 R=1/3 theo tiêu chuẩn Cauchy  1 f ( )   (1) n hội tụ tuyệt đối n 0 (n  1) 1 Vậy bán kính hội tụ x 3 Câu 5: Tính diện tích miền phẳng giới hạn x  x  y  x, y  x 3, y  x  Bài giải - 27 y x(t)=1+cos(t) , y(t)=sin(t) x(t)=3+3cos(t) , y(t)=3sin(t) f(x)=-x f(x)=x*sqrt(3) 1 D x -1 -2 -3     x  r cos       D Đổi sang toạ độ cực:   y  r sin  2 cos   r  cos    S  D    d 6cos    rdr  2cos 28 2 34 Câu 6: Tính tích phân đường I   y dl , C cung Cycloid C x  a (t  sin t ), y  a (1  cos t ),  t  2 Bài giải y x(t)=(t-sin(t)) , y(t)=(1-cos(t)) 5 0.5 x Ta có: xt'2  yt'2  2a sin t 2 t I   y dl   a (1  cost)2 2a sin dt C 256 a  15 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   z dxdy , S mặt nửa mặt cầu S  x  1   y    z  4, z  2 - 28 - Bài giải Gọi D:  x  1   y    hình chiếu S lên mp Oxy 2   I   z dxdy      x  1   y   dxdy (Pháp vec tơ tạo với Oz góc S tù) D 2 0 2 I    d    r  rdr  8 ĐỀ 20 Câu 1: Tìm vi phân cấp hai hàm z  z ( x, y ) hàm ẩn xác định từ phương trình x  y  z  ez Bài giải Cách 1: x  y  z  ez  x  y  z  ez  1  '  z x    e z  e z   z'  y ez 1   z ' z  z '   e z x   e  xx ez 1 ez 1   ez ez  ''   z yy   d z  ez 1 ez 1   ' ez z    y  ez 1  Cách 2:            dx  dy 2 - 29 dx  dy  dz  e z dz  dz  dx  dy ez 1 d (dx  dy  dz )  d (e z dz )  d z  e z dz  e z d z  d z  e z dz e z  dx  dy  ez       ez  ez  ez 1  ez 1  Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý hàm biến làm cách Câu 2: Tìm cực trị hàm f ( x, y, z )  x  y  z với hai điều kiện x  y  z  x  y  Bài giải Xét: L  x, y, z   x  y  3z    x  y  z     x  y   L'x      x    3   3  '     1/  Ly      y    1/        L'z      P1  x   P2  x  2 x  y  z   y  5 y      x  y  29  z  7  z   d L  x, y, z   2  dx  dy  Lấy vi phân vế phương trình x  y   xdx  ydy  Suy tai P1,2: dy  dx vào ta được: d L  x, y, z     dx  dy   58  dx 25 d L  P1   Vậy f đạt cức đai P2 cực tiểu P1  d L  P2   Câu 3: Tính tổng   2n  n 1 n  n  12 Bài giải   n 1 n 2n   n  12   1   1     n 1  n n        1n 1 ( x  2)2n n 1 n  n 1 Câu 4: Tìm Miền hội tụ chuỗi luỹ thừa  Bài giải Đặt X=(x+2)2   dx  dy 2 - 30   1 n 1 n  n 1 S  n Xn    un X n n 1  n | un |   R   Tại X=1  S    1 n n  n 1 Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1] hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz n 1 Câu 5: Tính tích phân kép I   ( x  y ) dxdy , D miền phẳng giới hạn D đường astroid x  a cos3 t , y  a sin t ,  t   / , trục tọa độ Bài giải Đổi biến:  x  ar cos    y  ar sin  J a cos3  3a cos  sin  a sin  3a sin  cos   3a sin  cos    2 a sin 2   13 I   d  sin 2 ar cos3   ar sin  dr 04     a3  sin 2 cos3   sin  d  Câu 6: Tính tích phân đường loại I   ( x  y )dl , C cung bên phải đường C Lemniscate có phương trình tọa độ cực r  a cos 2 , a  Bài giải y r(t)=2sqrt(cos(2t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.2 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.2 2.4 - 31  I  r  cos  sin    r  r '2 d Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   yzdydz  zxdxdz  xydxdy , với S biên S vật thể giới hạn x  y  z  1, x  0, y  0, z  , định hướng phía Bài giải Mặt S kín nên ta dùng O-G suy tích phân khơng Ghi chú: Các em có thắt mắc mail cho Thầy: nguyenhuuhiep47@yahoo.com Đề luyện tập số Câu Tìm khai triển Taylor f ( x, y )  2x  y điểm (2,1) đến cấp x y Câu Tìm cực trị hàm z  x  y  xy  12 x  y 2 n  u   2  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số  n với un=    vn= 1   n    n n 1 v n n2 (1) n1 x n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n n 1 (3n  1) Câu Tính tích phân kép I   dxdy , D miền phẳng giới D x2  y2  2 hạn x  x  y  x, y  x ,  Câu Tính tích phân I   e C x2   xy dx   y cos y  x dy với C chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ Câu Tính I   ydx  ( z  x)dy  xdz , với C giao x  y  z  y  , chiều kim đồng C hồ theo hướng dương trục 0z  Câu Tính tích phân mặt loại I   x  y S nằm hai mặt phẳng z  0, z   dS , S phần mặt nón z  x2  y2 , Đề luyện tập số Câu Cho hàm f ( x, y )  xe xy 2 Tính d f (2,1) Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y )  ( y  x )e1 x  y2 miền D  {( x, y ) | x  y  4}  n 1  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số: a/    n2  n    n ( n2) b/ 1.3.5 (2n  1) n 1 n 1 2.4.6 ( 2n)   (1)n ( x  3)n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa  n 1 2n  ln n  Câu Tính tích phân kép I   e  x2  y2 dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2  x  y  4, y  0, y  x , Câu Tính tích phân I    x  y  dx   x  y dy , với C phần đường cong y  x  sin x , từ A(0,0) đến B( ,  ) C Câu Tìm diện tích phần mặt cầu z  R  x  y nằm hình trụ x  y  Rx Câu Tính tích phân mặt loại hai I   x 3dydz  y 3dxdz  z dxdy , với S biên vật thể giới hạn S x  y  z  4, z  x  y , phía 2 2 135 Đề luyện tập số x Câu Cho hàm f ( x, y )  (2 x  y )ln Tính d f (1,1) y + với x > 0, y > x y Câu Tìm cực trị hàm số z = xy +   7 (3n  2) (2n  1)!! n 1  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số  n!( x  4) n nn n 1  Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa  Câu Tính tích phân kép I   ( x  2) dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2 x y   1, y  Câu Tính tích phân I    x  y  dx   x  y  dy , C biên miền phẳng giới C hạn y   x , y   x , chiều kim đồng hồ Câu Tìm diện tích phần mặt z  x  y nằm hình cầu x  y  z2  2z Câu Tính I   xdS , với S phần mặt trụ x  y  nằm hai mặt phẳng z  1, z  S Đề luyện tập số Câu Cho hàm f ( x, y )  y  sin ( x  y ) Tính d f (0,0) 2 Câu Tìm cực trị hàm z  x y  12 x  y 2   8 (3n  1) n 11   9 (4n  3)  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số  (1)n ( x  1) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa  3n n 1 ( n  1)ln( n  1)  Câu Tính tích phân  x  y ln( x  y ) dxdy với D miền  x2+y2  e2 D Câu Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với h(y) vừa tìm, tính tích phân  h( y ) P( x, y )dx  h( y )Q( x, y )dy  L đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều L ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2) Câu Tìm diện tích phần mặt z  x  y  nằm hình paraboloid z  x  y Câu Tính I   x dydz  y dxdz  z dxdy , với S nửa mặt cầu x  y  z  z , phía S Đề luyện tập số  f  f (u )  u  sin u; 2 f , với  x xy u  xy  e Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )  x  12 xy  y ; x  y  25 Câu Tính 136   2n  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số  n    n 1  n 1 Câu Tính tích phân  arctg   (1) n 1 n 1 ( x  5) n n 1 (n  1) ln(n  1)  Câu Tìm miền hội tụ chuỗi: 3n  x  y dxdy với D hình tròn: x2+y2  D Câu Chứng tỏ tích phân I   e x y (1  x  y)dx  (1  x  y)dy  không phụ thuộc đường C x2 y2   từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ Tính tích phân I với C phần ellipse Câu Tìm thể tích vật thể giới hạn y   x , y  1, z  0, z  3x , lấy phần z  Câu Tính I   xdydz   y  z  dxdz  z dxdy , với S phần mặt phẳng x  y  z  nằm S hình trụ x  y  y , phía 2 Đề luyện tập số 2z (1,1) xy Câu Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 Câu Cho hàm biến z = z(x, y) = 3e x y Tính dz(1,1)   9 n n 1 (4n  3)!!  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số  Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  (1) n n 1 4 n 0 n n 1 ( x  1) n Câu Tính tích phân kép I    x  y dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2 x  y  1, y  x Câu Tính tích phân I   ( x y  x  y ) dx  ( y  x  xy ) dy , với C nửa bên phải đường 2 C 2 tròn x  y  y, chiều kim đồng hồ Câu Tính tích phân đường loại I   x  y dl , với C nửa đường tròn x  y  y C Câu Dùng cơng thức Stokes, tính I   ( x  y)dx  (2 x  z )dy  ydz , với C giao C x  y  z  x  y  z  , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z Đề luyện tập số 2z ( ,1) x Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )   x  y; x  y  Câu Cho hàm biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz( 2,1)  2n n! Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số  n n 1 n 137 Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Câu Tính tích phân  dxdy 3 x  y  n  2x  1n n 0 n  n   với D miền phẳng hữu hạn giới hạn đường x2+y2= 1(x, y  0), x2+y2=33 (x, y  ), y=x, y = x Câu Cho hàm P(x,y)= 2yexy + e x cosy, Q(x,y)= 2xexy- e x siny  số Tìm  để biểu thức Pdx + Qdy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với  vừa tìm được, tính tích phân đường  [( x, y )  y ]dx  [Q( x, y )  x ]dy (  ) đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương  (ngược chiều kim đồng hồ) Câu Tính tích phân mặt loại I   x dS , với S nửa mặt x  y  z  S Câu Dùng công thức Stokes, tính I   (3x  y )dx  (3 y  z )dy  (3 z  x )dz , với C giao C z  x  y z   y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z 2 Đề luyện tập số Câu Tìm zx' , zy' hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x  y  yz  ln z Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y )  x  y  x y  miền D  {( x, y ) | | x | 1,| y | 1}   2n  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số a/    n   2n    Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n 1 Câu Tính tích phân kép  n ( n 1) (1) ( x  2) n 3n1 b/  1.4.9 n  1.3.5 (2n  1)n!.5 n2 n 1 n n4  n2   x  y dxdy với D miền phẳng hữu hạn giới hạn đường D tròn x2 + y2 = 9, y  đường thẳng y = x, y = -x y Câu Cho hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y )  (1  x  y )e Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) Với h(x) vừa tìm, tính tích phân  h( x) P ( x, y )dx  h( x)Q( x, y )dy  L đường tròn x2 + y2 = nằm bên phải trục L tung, chiều từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3) Câu Tính I   zdxdydz , với V giới hạn x  y  z  z z  x  y  V Câu Tính tích phân mặt I   ( x  y )dydz   y  z  dxdz   z  x  dxdy , với S phần mặt S paraboloid z  x  y , bị cắt z   x , phía 2 Đề luyện tập số  21  x  y , if ( x, y )  (0, 0) Câu Tìm miền xác định miền giá trị f ( x, y )  e  3, if ( x, y )  (0, 0) 2 Câu Tìm cực trị hàm f(x, y)= x - 2xy+ 2y - 2x+ 2y +4 138 Câu Khảo sát hội tụ   u n   với u n n 1 Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa   n 0  4n      4n   ( x  3) n n ( n 1) ,  2.4.6 ( 2n).n n 4.7.10 (3n  1).n! n  2.4 n   dxdy với D miền phẳng giới hạn đường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x Câu Tính J= D đường thẳng y = x, y = Câu Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = để tích phân đường sau không phụ thuộc đường I=  h( x  y ) x( x  y )dy  y ( x  y )dx với AB cung không cắt đường x2 = y2   AB Câu Tính I   ( x  yz )dxdydz , với V giới hạn z  x  y z  x  y  V Câu Tính tích phân mặt I   xdydz   y  z  dxdz   z  y  dxdy , với S phần mặt S paraboloid x  y  z  x , phần z  , phía 2 Đề luyện tập số 10  xy , if ( x, y )  (0, 0)  Câu Tính f xy (0, 0) f ( x, y )   x  y  0, if ( x, y )  (0, 0)  // Câu Tìm cực trị hàm z  x  y  x  y  xy, x  4 2 2n  n 1  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số    n 1  2n    ( x  4) n Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa  n 1 n n  Câu Tính tích phân kép I   ( x  | y |) dxdy , D miền phẳng giới  D 2 hạn x  y  4, x    x y y 1  dx        x  y x   x  y x dy , theo đường cong C (1,1)     (2,3) Câu Tính tích phân I  khơng qua gốc O không cắt trục tung Câu I   dxdydz , với V giới hạn x  y  z  z  x  y 2 V x  y z Câu Tính tích phân mặt I    x  z dydz   y  x  dxdz   z  y  dxdy , với S phần mặt S paraboloid z  x  y nằm mặt x  z  , phía 2 Đề luyện tập số 11 Câu Vẽ khối  giới hạn x  y  z  y , y  x  z Câu Trên mặt phẳng x  y  z  tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm hai mặt phẳng x  z   y  z   nhỏ 139 (3n  1)! 3 n 1   n   Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số  (5) n ( x  2) n Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n n 1 (2n  1) n   y  x dxdy , D miền phẳng giới Câu Tính tích phân kép I   hạn 1  x  1,0  y  D Câu Tính tích phân bội ba I    y  z dxdydz , V vật thể giới hạn V 2 2 z  x  y , x  y  4, z   x  y Câu Tính tích phân mặt loại hai I   (2 x  y )dydz , với S phần mặt z  x  y bị cắt mặt S z  , phía theo hướng trục Oz Đề luyện tập số 12 f x' (1,1) Câu Tính hàm f ( x, y )    x  y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến Câu Tìm gtln, gtnn f ( x, y )  x3  y  xy miền  x  2, 1  y  (1)n n n 1 n   Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số:  (2n  1)( x  3) n  Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa  n 1 3n3  n  ln n Câu Tính tích phân kép I   max  x, y dxdy , D miền phẳng giới hạn D  x  4,  y  Câu Tính tích phân bội ba I   xdxdydz , V vật thể giới hạn V 2 2 x  y  z  0, x  y  z  Câu Tính tích phân mặt loại hai I   x3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy với S mặt phía ngồi vật thể S 2 giới hạn x  z  y ,  y  Đề luyện tập số 13 Câu Tính f y' (0,1) hàm f ( x, y )   x  y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến xy Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z  ( x  y )e miền 2  x  y   Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số  n 1 Câu Tìm chuỗi Taylor f ( x)  (1)n n  (1) n 2x  , x0  tìm miền hội tụ chuỗi x  5x  2 Câu Tính tích phân kép I   xy dxdy , D miền phẳng giới hạn  x  y  D  Câu Tính thể tích vật thể giới hạn x  y   xy, z  x  y, z  ( x  0) 140 Câu Tính tích phân mặt loại I   xds với S phần mặt phẳng x  y  z  nằm hình S 2 cầu x  y  z  Đề luyện tập số 14 Câu Vẽ khối  giới hạn y   x , y   x , z  0, z  x Câu Một hộp (hình hộp chữ nhật, khơng có nắp phía trên) làm từ 12m bìa carton Tìm thể tích lớn hộp  n 1 n( n  1)( n  2) Câu Tính tổng S   x dt Câu Tìm chuỗi Maclaurint f ( x)   tìm miền hội tụ chuỗi 1 t4 x2 y Câu Tính tích phân  y dxdy với D miền   1, x  y  16 D 2 Câu Tìm diện tích phần mặt cầu x  y  z  18 nằm hình nón x  y  z Câu Tính tích phân mặt loại I   yds , với S phần mặt trụ x  y  nằm hai mặt S phẳng z  0, z  Đề luyện tập số 15 Câu Cho f  f (3 x  y , e xy ) Tính f  f , x xy Câu Tìm điểm M hình nón z  x  y , cho MA nhỏ nhất, với A(4,2,0) 2n  n n 1  Câu Tính tổng  x3 tìm bán kính hội tụ chuỗi x 3 Câu Tính tích phân  max sin x,sin ydxdy với D miền  x   ,  y   Câu Tìm chuỗi Maclaurint hàm f ( x)  arctan D       Câu Tính tích phân đường I   y  z dx  z  x dy  x  y dz , với C giao mặt C phẳng x  y  z  mặt cầu x  y  z  ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz Câu Tính tích phân mặt loại hai I   zdxdy với S nửa mặt cầu x  y  z  , phần y  , S phía ngồi (phía theo hướng trục Oy) Đề luyện tập số 16 u 2 f Câu Cho f  f (u , v)  arctan , u  u ( x, y )  x3  y , v  v( x, y )  x  y Tính xy v Câu Cho hình hộp chữ nhật góc phần tám thứ hệ trục Oxyz, có mặt nằm mặt phẳng tọa độ đỉnh nằm mặt phẳng x  y  z  Tìm thể tích lớn (2) n n 1 n 1 n( n  2)   Câu Tính tổng    Câu Tìm chuỗi lũy thừa hàm f ( x)  ln x   x tìm bán kính hội tụ chuỗi 141  x2 y  Câu Tính tích phân kép I       dxdy , D miền phẳng giới hạn D  16  x  0, y  0, x  4sin t , y  3cos t , t   0,  / 2 Câu Tính tích phân đường I   zdx  xdy  ydz , với C giao mặt phẳng x  z  mặt C 2 cầu x  y  theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz Câu Tính tích phân mặt loại hai I   x3dydz  y 3dzdx , với S mặt nửa ellipsoid S 2 x z  y2   1, 16  z  0 Đề luyện tập số 17   f f (0, 0), (0, 0) x y Câu Cho f ( x, y )  y  ln  x y Tìm Câu Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )  e xy ; x3  y  16 (n  1) n 1   6 (2n)  Câu Tính tổng   Câu Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính    xdx ex 1 Câu Tính tích phân  sign x  y  dxdy với D  x  3,  y  2       Câu Tính tích phân đường I   y  z dx  z  x dy  x  y dz , với C giao mặt nón C y  z  x mặt cầu x  y  z  ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox .Câu Tính tích phân mặt loại hai I   x3dydz  y 3dzdx  z 3dxdy , với S mặt vật thể S 2 2 giới hạn  x  y  z  4, y  x  z Đề luyện tập số 18  x y , ( x, y )  (0, 0) 2 f 2 f 2 f 2 f  xy (0, 0), (0, 0), (0, 0), (0, 0) Câu Cho f ( x, y )   x  y Tìm 2     y x x y   x y  0, ( x, y )  (0, 0)  Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y )  x  y với điều kiện x  y  13 2 (2) n n n 1 1   5 (2n  1)  Câu Tính tổng S   Câu Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính  ln dx 1 x Câu Tìm diện tích miền phẳng giới hạn x  y  1, y  0, y  x     Câu Tính tích phân I   x3  ye xy dx  y  xe xy dy , C phần elip C x2 y   từ 16 điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ 142 Câu Tính tích phân mặt loại hai I   ( x  1)3 dydz  ydzdx  zdxdy , với S mặt nửa S 2 mặt cầu x  y  z  x, z  Đề luyện tập số 19 Câu Vẽ khối  giới hạn z   x , x  y  y, x  y  z  Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y, z )  x  y  10 z với điều kiện x  y  z  35  Câu Khảo sát hội tụ chuỗi  n n  n  ( 1) n x ln(1  3t ) Câu Tìm chuỗi Maclaurint f ( x)   dt tìm bán kính hội tụ chuỗi t Câu Tính diện tích miền phẳng giới hạn x  x  y  x, y  x 3, y  x  Câu Tính tích phân đường I   y dl , C cung Cycloid x  a(t  sin t ), y  a(1  cos t ),  t  2 C Câu Tính tích phân mặt loại hai I   z dxdy , S mặt nửa mặt cầu S  x  1   y    z  4, z  Đề luyện tập số 20 Câu Tìm vi phân cấp hai hàm z  z ( x, y ) hàm ẩn xác định từ phương trình x  y  z  e z Câu Tìm cực trị hàm f ( x, y, z )  x  y  z với hai điều kiện x  y  z  x  y   2n  Câu Tính tổng  2 n 1 n  n  1   1n 1 ( x  2)2n n 1 n  n 1 Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa  Câu Tính tích phân kép I   ( x  y ) dxdy , D miền phẳng giới D hạn đường astroid x  a cos t , y  a sin t ,  t   / , trục tọa độ Câu Tính tích phân đường loại I   ( x  y )dl , C cung bên phải đường Lemniscate có C phương trình tọa độ cực r  a cos 2 , a  Câu Tính tích phân mặt loại hai I   yzdydz  zxdxdz  xydxdy , với S biên vật thể giới hạn 2 S x  y  z  1, x  0, y  0, z  , định hướng phía 143 ... biến x nên I lần tích phân nửa bên phải miền D làm tương tự Câu 6: Tính tích phân bội ba I    y  z dxdydz , V vật thể V 2 2 giới hạn z  x  y , x  y  4, z   x  y Bài giải: : D : x2...  Câu 5: Tính tích phân kép I   xy dxdy , D miền phẳng giới hạn D 2  x  y  Bài giải Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn theo x,y miền D đối xứng qua trục ox,oy nên ta cần tính tích phân góc phần... hàm dấu tích phân thành chuỗi, tính   xdx ex 1 Bài giải Câu đạo hàm khó sau lấy tích phân khơng tính tổng lai Có phương pháp sau khơng phải khai triển maclaurint, ý tương hay không giải được,