Một số bài tập phần tấm vỏ - môn đàn hồi ứng dung
Bài Tấm chữ nhật tựa đơn chòu áp lực thủy tónh ∂4w ∂4w ∂ w q ( x, y ) Phương trình vi phân: + 2 + = D ∂x ∂x ∂y ∂y (1) nπ y mπ x sin a b m =1 n =1 ∞ ∞ mπx nπy sin Khai trieån q theo chuoãi Fourier: q( x, y ) = ∑∑ q mn sin a b m =1 n =1 ∞ ∞ Choïn hàm chuyển vò theo Navier: w = ∑ ∑ Amn sin mπx nπy = q ( x, y ) sin sin dxdy ∫ ∫ ab 0 a b (2) (3) a b Từ suy q mn (4) Để xác đònh Amn, ta (3) (2) vào (1) Sau biến đổi ta có: 2 ⎧⎪ ⎡⎛ mπ ⎞ mπx nπy ⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎤ q mn ⎫⎪ sin =0 ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥− ⎨ Amn ⎢⎜ ⎬ sin ∑∑ a a b b D a b ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m =1 n =1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ∞ ∞ Vì phương trình với x, y nên số hạng chuỗi phải 0: ⎛ m2 n2 Amnπ ⎜⎜ + b ⎝a ⎞ q ⎟⎟ − mn = D ⎠ Amn = a b abπ D ⎛ m n ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ b ⎠ ⎝a ∫ ∫ q( x, y) sin( 0 (5) mπx nπy ) sin( )dxdy a b Do chòu tải trọng phân bố dạng tam giác nên: q ( x , y ) = Thay (7) vào (6) ta tìm Amn = − 4q π D ⎛ m2 n2 ⎜⎜ + b ⎝a ⎞ ⎟⎟ ⎠ [(sin(mπ ) − mπ cos(mπ ))(cos(nπ ) − 1)] Do ta tìm hàm chuyển vò cuối cuøng w( x, y ) = − 4q ∞ ∞ ∑∑ π D m =1 n =1 ⎛ m n ⎜⎜ + b ⎝a Nhận xét: ⎞ ⎟⎟ ⎠ [(sin(mπ ) − mπ cos(mπ ))(cos(nπ ) − 1)] sin (6) q0 x a (7) (8) mπx nπy sin a b Nếu lấy m = n =1, kết theo nghiệm Navier thu đối xứng Tuy nhiên toán không đối xứng chòu tác dụng tải trọng phân bố dạng tam giác, nên kết không tốt, mặt dù chuyển vò cực đại có sai số chuỗi hội tụ nhanh Nếu lấy m = n = 3, kết theo nghiệm Navier thu hợp lý Bởi phía chòu tải trọng lớn chuyển vò phải lớn Mặt khác kết gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) BÀI TẬP - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔN G TỰA ĐƠN CHỊU ÁP LỰC THỦY TĨNH-NGHIỆM NAVIER VÀ PTHH -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 NAVIER - m=n=1 -8 NAVIER - m=n=3 -9 SAP2000 - 8x8 BAØI TẬP - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG NGÀM CẠNH VÀ TỰA CẠNH - CHỊU ÁP LỰC THỦY TĨNH - NGHIỆM LEVY VÀ PTHH -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 LEVY - m=1 -3.5 -4 -4.5 LEVY - m=3 SAP2000 - 8x8 Bài Tấm biên tựa (cạnh b) biên ngàm (cạnh a) chòu tác dụng tải trọng phân bố dạng tam giác theo cạnh a (áp lực thủy tónh) Có thể phân tích sau: Tấm biên tựa chòu tác dụng tải trọng trọng phân bố dạng tam giác theo cạnh a (áp lực thủy tónh), chọn hàm chuyển vò theo nghiệm Levy w1 Tấm biên tựa chòu tác dụng môment phân bố cạnh song song trục x Bài toán dạng đối xứng, nên chọn nghiệm đối xứng Chọn hàm chuyển vò theo nghiệm Levy w2 Do ban đầu ngàm nên w1 w2 phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc góc xoay biên ngàm thực phải không, tức là: dw1 dw =− dy dy Tại biên y = ± b w = w1 + w2 ø hàm chuyển vò cuối Thực tính toán kết cuối sau: q0 a 2(−1) m +1 mπy mπx mπx (−1) m +1 [2 + α m th(α m )] sin( )− ) sin( ) w= ch( ∑ 5 5 a a D m π m a π m ch(α m ) ( −1) m +1 mπy mπy mπx ( ) sin( ) sh a a π m ch (α m ) a + q0 a (−1) m+1 mπx [αm − th(αm )(1 + αmth(αm )] ⎛ mπy mπy mπy ⎞ sin( ) )− )⎟ sh( ⎜αmth(αm )ch( ∑ 5 D m π m ch(αm ) a [αm − th(αm )(−1 + αmth(αm )] ⎝ a a a ⎠ Nhận xét: Nếu lấy m = n =1, kết nghiệm theo Levy thu đối xứng Tuy nhiên toán không đối xứng chòu tác dụng tải trọng phân bố dạng tam giác, nên kết không tốt, mặt dù chuyển vò cực đại có sai số chuỗi hội tụ nhanh Nếu lấy m = n = 3, kết nghiệm theo Levy thu hợp lý Bởi phía chòu tải trọng lớn chuyển vò phải lớn Mặt khác kết gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) Bài Tấm biên tựa biên ngàm (cạnh a) chòu tác dụng tải trọng phân bố dạng tam giác theo cạnh a (áp lực thủy tónh) phân tích sau: Tấm biên tựa chòu tác dụng tải trọng trọng phân bố dạng tam giác theo cạnh a (áp lực thủy tónh), chọn hàm chuyển vò theo nghiệm Levy w1 Tấm biên tựa chòu tác dụng môment phân bố cạnh song song trục x Bài toán dạng tổng quát, phải phân thành nghiệm đối xứng phản xứng Chọn hàm chuyển vò theo nghiệm Levy w2 Phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc góc xoay biên ngàm thực phải không Tức là: Tại biên dw1 dw =− dy dy y=± b Và hàm chuyển vò cuối w = w1 + w2 ø Thực tính toán kết cuối sau: q0a4 2(−1)m+1 mπx (−1)m+1[2 +αmth(αm )] mπy mπx (−1)m+1 mπy mπy mπx ) sin( ) sh( w= sin( ) − )sin( ) + 5 ch( ∑ 5 5 a a D m πm a a a π m ch(αm ) a π m ch(αm ) q0 a − D [αm − th(αm )(1 + α mth(α m )] (−1) m+1 mπx sin( ) ∑ 5 a [αmth (α m ) − th(α m ) + α mcth2 (α m ) − cth(α m ) − 2α m ] m π m mπy mπy mπy mπy mπy mπy ⎞ ⎛ )− sh( ) αmcth(α m )sh( )− ch( )⎟ ⎜ α mth(α m )ch( a a a + a a a ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ch(α m ) sh(α m ) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ BÀI TẬP - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG NGÀM CẠNH VÀ TỰA CẠNH - CHỊU ÁP LỰC THỦY TĨNH - NGHIỆM LEVYVÀ PTHH 0 -1 -2 -3 -4 -5 LEVY - m=1 LEVY - m=3 -6 SAP2000 - 8x8 CHƯƠNG Bài Tấm chữ nhật biên tựa đơn, chòu tải trọng phân bố Dùng phương pháp Ritz tìm chuyển vò ∞ ∞ mπx nπy sin Chọn hàm chuyển vò sau: w( x, y ) = ∑∑ C mn sin a b m =1 n =1 a b ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ Thế biến dạng U = D ∫ ∫ ⎜⎜ + ⎟⎟ dxdy 0 ⎝ ∂x ∂y ⎠ a b Coâng ngoại lực A = ∫ ∫ qwdxdy 0 Thế toàn phần ∏= U − A Dùng nguyên lý Lagrange, tham số Cmn xác đònh dựa vào điều kiện dừng biến dạng toàn phaàn: C12 = C 21 = C 22 = C11 = 16a b q Dπ (a + b ) Hàm chuyển vò cuối cuøng w= 16a b q πx πy sin sin 2 a b Dπ ( a + b ) Nhận xét: Nếu lấy m = n =2, kết nghiệm theo Ritz thu tương đối gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) - sai số lớn 2.3% BÀ I TẬ P - CHUYỂ N VỊ TẤ M VUÔ NG TỰ A ĐƠN CHỊU TẢ I PHÂ N BỐ ĐỀ U - NGHIỆ M RITZ VÀ PTHH 0 -0.5 -1 -1.5 -2 RITZ - m=n=2 SAP2000 - 8x8 -2.5 Baøi SAP2000 - 16x16 SAP2000 - 32x32 Tấm chữ nhật biên ngàm, chòu tải trọng phân bố Chọn hàm chuyển vò sau: ∞ ∞ w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos m =1 n =1 a b ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ U = D ∫ ∫ ⎜⎜ + ⎟⎟ dxdy 0 ⎝ ∂x ∂y ⎠ Thế biến dạng tấm: Công ngoại lực: a b A = ∫ ∫ qwdxdy 2mπx 2nπy )(1 − cos ) a b Thế toàn phần ∏= U − A 0 Dùng nguyên lý Lagrange, tham số Cmn xác đònh: a b q (5027b a + 760b a 10 + 5027b a + 760b10 a + 7146b a + 80b12 + 80a 12 ) C11 = Dπ (17965b a 12 + 3000b a 14 + 400a 16 + 45662b a + 35100b10 a + 17965b 12 a + 3000b14 a + 400b16 + 35100b a 10 ) C12 = a b q(302b a + 40b a 10 + 557b a + 80b 10 a + 624b a + 80b 12 + 5a 12 ) Dπ (17965b a 12 + 3000b a 14 + 400a 16 + 45662b a + 35100b10 a + 17965b12 a + 3000b 14 a + 400b 16 + 35100b a 10 ) C 21 a b q (557b a + 280b a 10 + 302b a + 40b10 a + 624b a + 5b12 + 80a 12 ) = Dπ (17965b a 12 + 3000b a 14 + 400a 16 + 45662b a + 35100b10 a + 17965b12 a + 3000b14 a + 400b16 + 35100b a 10 ) C 22 = a b q(1487b a + 520b a 10 + 1487b a + 520b 10 a + 546b a + 80b12 + 80a 12 ) 64 Dπ (17965b a 12 + 3000b a 14 + 400a 16 + 45662b a + 35100b10 a + 17965b12 a + 3000b 14 a + 400b16 + 35100b a 10 ) BAØ I TẬP - CHUYỂ N VỊ TẤ M VUÔ N G NGÀ M CHỊU TẢ I PHÂ N BỐ ĐỀU - NGHIỆM RITZ VÀ PTHH 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 RITZ - m=n=2 -0.6 SAP2000 - 8x8 -0.7 -0.8 SAP2000 - 16x16 SAP2000 - 32x32 Nhận xét: Nếu lấy m = n =2, kết nghiệm theo Ritz thu tương đối gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) - sai số lớn 3.1% Bài Tấm chữ nhật biên ngàm( cạnh b) biên khớp ( cạnh a), chòu tải trọng phân bố Dùng phương pháp Ritz tìm chuyển vò Chọn hàm chuyển vò sau: ∞ ∞ w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos m =1 n =1 Thế biến dạng tấm: ⎛ ∂ w ∂2w ⎞ D ∫ ∫ ⎜⎜ + ⎟⎟ dxdy 0 ⎝ ∂x ∂y ⎠ a b U = nπy 2mπx ) sin a b a b Công ngoại lực: A = ∫ ∫ qwdxdy 0 Thế toàn phần: ∏= U − A Dùng nguyên lý Lagrange, tham số Cmn xác đònh dựa vào điều kiện dừng biến dạng toàn phần: C12 = C 22 = C11 = 8a b q(32a b + a + 256b 4) Dπ (120b a + 2560b a + 1072b a + 5a + 1096b ) C 21 = 8a b q (8a b + a + 16b 4) Dπ (120b a + 2560b a + 1072b a + 5a + 1096b ) Hàm chuyển vò cuối 2 w( x, y ) = ∑∑ C mn (1 − cos m =1 n =1 nπy 2mπx ) sin a b BÀI TẬP - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG NGÀM CẠN H VÀ TỰA CẠN H - CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU - NGHIỆM RITZ VÀ PTHH 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 RITZ - m=n=2 SA P2000 - 8x8 SA P2000 - 16x16 -1.2 Nhận xét: Nếu lấy m = n =2, kết nghiệm theo Ritz thu gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) - sai số lớn 1.3% Nhận xét chung: - Độ hội tụ phương pháp phần tử hữu hạn nhanh Chia lưới 8x8 phần tử chia lưới 32x32 phần tử cho kết gần Với chòu tải trọng thay đổi việc chia lưới thô đảm bảo độ xác cần thiết - Nghiệm chuỗi dạng giải tích theo Navier Levy cho kết tốt độ hội tụ nhanh, nhiên lấy số hạng đối xứng nên không phản ánh thực tế toán - Độ xác phương pháp Ritz phụ thuộc nhiều vào độ dài chuỗi hàm chuyển vò Các tập 4, 5, có giải thử lấy m = n = kết xác, m = n =2 kết tương đối xác ...BÀI TẬP - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔN G TỰA ĐƠN CHỊU ÁP LỰC THỦY TĨNH-NGHIỆM NAVIER VÀ PTHH -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 NAVIER - m=n=1 -8 NAVIER - m=n=3 -9 SAP2000 - 8x8 BÀI TẬP - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG... sh(α m ) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ BÀI TẬP - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG NGÀM CẠNH VÀ TỰA CẠNH - CHỊU ÁP LỰC THỦY TĨNH - NGHIỆM LEVYVÀ PTHH 0 -1 -2 -3 -4 -5 LEVY - m=1 LEVY - m=3 -6 SAP2000 - 8x8 CHƯƠNG Bài Tấm chữ nhật biên... nghiệm theo Levy thu hợp lý Bởi phía chòu tải trọng lớn chuyển vò phải lớn Mặt khác kết gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) Bài Tấm biên tựa biên ngàm (cạnh a) chòu tác dụng tải