BỘ ĐỀ THI LUYÊN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bộ đề thi luyện tập môn học Đại số tuyến tính

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : Cho ma trận A = +2 i −i +2 i +2 i    −1 −2   Caâu : Cho hai ma traän A =  −1 vaø B =    −3 T Tìm ma trận X thỏa I + AX = B      Câu : Giải hệ phương trình     x1 x1 x1 x1 √ z Đặt z =det( A) Tính + x2 + x2 + x2 + x2 − x3 − x3 − x3 − x3 −2 − x4 − x4 − x4 − x4    = = = = 0 0 Caâu : Trong IR3 , cho tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 + x3 y3 Tìm độ dài vécto u = ( , , −1 ) Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f ( , , ) = ( −6 , −3 , −3 ) , f( , , ) = ( , , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm tất vécto riêng f ứng với trò riêng λ1 = Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f ( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , x1 + x2 + x3 , x1 − x3 ) Tìm ma trận f sở E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Caâu : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 ) = x21 − x1 x2 + x22 dạng tắc biến đổi TRỰC GIAO Nêu rõ phép đổi biến Câu : Cho ma trận vuông thực A cấp 3, X1 , X2 , X3 ∈ IR3 vécto cột, độc lập tuyến tính Bieát A · X1 = X2 , A · X2 = X3 , A · X3 = X1 Tìm tất trò riêng vécto riêng A3 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA √ √ +6 i + i) z + = iz + ( + i) ( − i) Tính 10 z +i     1 −2     Caâu : Cho hai ma traän A =   vaø B =   1 Tìm ma trận X thỏa B + AX = I, I ma trận đơn vò cấp Câu : Cho z thỏa phương trình ( Câu : Trong IR3 , cho tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + x3 y3 Tìm khoảng cách hai vécto u = ( , , −1 ) vaø v = ( , , ) Câu :  Tìm x1     x  x    x1 sở + + + + số x2 x2 x2 x2 chiều không gian − x3 − x4 = − x3 − x4 = − x3 − x4 = − x3 − x4 = nghiệm hệ 0 0 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế  t ma trận củ  a f sở −1 E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A =     Tìm ma trận f sơ E1 = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết nhân f sinh hai vécto ( , , ) , ( , , ) vaø f ( , , ) = ( −1 , −1 , ) Tìm tất trò riêng vécto riêng ánh xạ f Câu : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 − x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 veà dạng tắc biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp) Nêu rõ phép đổi biến Câu : Cho ma trận vuông thực A cấp 2, X1 , X2 ∈ IR2 hai vécto cột, độc lập tuyến tính Bieát A · X1 = X2 , A · X2 = X1 Tìm tất trò riêng vécto riêng A100 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm Các câu lại điểm Nếu cách làm mà đáp án sai, cho điểm tùy theo mức độ √ Câu det ( A) = −5 + i = ( c o s ( π/4 + i s in π/4 ) √ √ π/4 + k2 π π/4 + k2 π z = zk = 10 c o s , k = , , , + i s in 5     −1 −2 −4 1   −1  −5  Caâu X = A−1 B T − I , A−1 =   Suy X =  −1  −3 1 −4 Câu Đưa bậc thang, giải nghiệm tổng quát X = ( α + β, −α − β, α, β) √ √ Caâu Độ dài vécto ||u|| = ( u, u) = + + + + = Câu Có nhiều cách làm Tìm f( , , ) = ( , , ) , f( , , ) = ( −1 ,  −5 , −8 ) , f ( , , ) = −1 −1 −5 −8  ( −1 , −8 , −5 ) , suy ma trận f tắc A =    −8 −5 Ứng với trò riêng λ1 = , giải hệ ( A − I) X = , ta có nghiệm X = ( α, α − β, β) T Suy tất vécto riêng f ứng với trò riêng λ1 = X = ( α, α − β, β) Caâu f ( , , ) = ( , , ) , suy [f ( , , ) ]E = ( −1 , , −4 ) T ; f ( , , ) = ( , , ) , suy [f( , , ) ]E = ( , , ) T   −1 1  T  f ( , , ) = ( , , ) , suy [f( , , ) ]E = ( , , ) Ma trận cần tìm: A =   −4 −2 Câu Ma trận dạng toàn phương: A = Chéo hóa trực giao A = P DP T , −2   √   √  5  D = , P =  −2   √ √  5 Dạng tắc cần tìm: f ( y1 , y2 ) = y12 + y22 Phép đổi biến X = P Y Câu Ta có A3 ( X1 ) = A( A( AX1 ) ) = A( AX2 ) = AX3 = X1 Suy X1 laø vécto riêng A3 ứng với trò riêng λ1 = Tương tự vécto X2 , X3 vécto riêng A3 ứng với trò riêng λ1 = Vì X1 , X2 , X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học λ1 Suy A3 có trò riêng A3 = I ðáp án ðề ñại số tuyến tính 2011 – Ca Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm, câu lại điểm Nếu cách làm đúng, đáp án sai, cho ñiểm tùy theo mức ñộ − 3i   π   π  =  cos  −  + i sin  −    −i  12   12     π   π  − + k 2π  − + k 2π      12 ⇒ 10 z = 10  cos  12  + i sin  ,k  10 10             −3 −6  3   − Câu 2: AX = I − 3B =  −9 −3  ⇒ X = A ( I − 3B ) =  −1   −3 −12 −5   −1    Câu 1: z = = 0,1, , −1 −1 −3 −6   33 −10       −9 −3  =  −16   −3 −12 −5   −10 −9      Câu 3: v − u = (1, −1, ) ⇒|| ( v − u ) ||= v − u, v − u = 25 = 1  Câu 4: Viết dạng ma trận:  7  5 −1 −2   1 −1 −2    x1 = − x4     −3 −5   0 −1 −1 −1    x2 = x4 → ⇒ −8 −13   0    x3 = −2 x4    −7 −12   0 0 0    x4 ∈ R Câu 5: Gọi P ma trận chuyển sở từ E sang E1 Tìm P ta giải hệ: 1 1 1 1  2 1     1 1 suy P =  −1  suy ma trận f sở E1 là: 1 1 1  −1 0  2 B = P −1 AP =   −6 Câu 6: Ta có: f −3 −1 −2 11  (1,1, ) = 0, f (1, 2,1) = suy (1,1,2)T (1,2,1)T VTR ứng với TR λ = f (1,1, ) = − (1,1, ) nên (1,1,0)T VTR ứng với TR λ = −1 T T T Vì vecto (1,1,2) , (1,2,1) , (1,1,0) có hạng nên:  E = (1,1, )T , (1, 2,1)T  λ =0  T  Eλ =−1 = (1,1, )  (khơng trị riêng khác nữa) Câu 7: x  32   15  f =  x1 − + x3  +  x2 + x3  − x3 2 15  15   19   x1 = y1 + y − 15 y  15 32 Phép biến ñổi:  x = y − y Dạng tắc: f = y12 + y22 − y3  2 15 15   x3 = y   x2   y1 = x1 − + x3   y2 = x2 + x3  Hoặc phép biến ñổi  15  y = x3   Câu 8: ta có: A2 X = X 1, A2 X = X nên X1,X2 vecto riêng ứng với TR λ=1 A2, X1,X2 vecto riêng ứng với TR λ=1 ma trận A100 Vì X1,X2 đltt nên A100 khơng TR khác Vây: Eλ =1 ( A100 ) = X , X ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA  Câu : Cho ma trận A =   −2 Câu : Tìm chiều  x1 +     x +  x +    x1 + Caâu : Cho nh xạ  A= −1 x2 x2 x2 x2 − − − − tuyến −1 −2 cô x3 x3 x3 x3    Tính A2010 , biết A có hai trò riêng −5 sở TRỰC − x4 − x4 − x4 − x4 CHUẨN không gian nghiệm hệ phương trình = = = = 3 tính  f : IR −→ IR , biết ma trận f sở tắc   Tìm ma trận f sở E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Caâu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t  E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } A =  ma trận củ  a f sở −1   Tìm sở số chiều kerf Câu : ChoA ma trận vuông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10 = Chứng tỏ A chéo hoá A ma trận không   Câu : Tìm m để ma trận A =  −2 −2    có ba trò riêng dương (có thể trùng nhau) m Câu : Trong hệ trục toạ độ Oxy cho đường cong ( C) có phương trình x2 +2 xy+5 y −2 Nhận dạng vẽ đường cong ( C) √ √ x+4 y = Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điể m   −2 −1 −4    −1  D =  Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 1đ) A = P DP ; P =  −1 1     1 0     2010 2010 2010 −1 −1 2010 ; D A = P D P , tính P =  =  2010 −1 −1 −3 0 Câu (1.5đ) Tìm sở tùy ý không gian nghiệm: E = {( , −1 , , ) , ( , −1 , , ) Dùng trình Gram-Schmidt đưa sở trực giao: E1 = {( , −1 , , ) , ( , , −7 , ) } Chuẩn hóa, có sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( , −1 , , ) , √ 167 ( , , −7 , ) } 0   }    Caâu (1.5đ) Có nhiều cách làm Ma trận chuyển sở từ tắc sang E là: P =     1   1 1   Ma trận ánh xạ tuyến tính sở E laø B = P −1 AP = −2 −1 −2  −3 −9 −2 T Câu 4(1.5đ) Giả sử x ∈Kerf ; [x]E = ( x1 , x2 ,  x3 ) Khiđó f ( x) = ⇔ [f( x) ]E = ⇔ A · [x]E =    −1 x1 α          x2  =   ⇔ [x]E =  −1 α  ⇔ ⇔ x = ( −1 α, α, −4 α) x3 α Dim( Kerf ) = , sở: ( , −7 , ) Câu (1.5đ) Vì A10 = nên A có trò riêng λ = (theo tính chất, λ0 TR A, 10 −1 λ10 , D ma trận nên A = TR A A chéo hóa ⇔ A = P · D · P Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực có ba trò riêng dương, suy dạng toàn phương tương ứng xác đònh dương ( hay ma trận cho xác đònh dương) Theo Sylvester, A xác đònh dương đònh thức dương ⇔ δ1 = > , δ2 = > , δ3 = det( A) = m − > ⇔ m > Câu 7(1.0đ) Xét dạng toàn phương x21 + x1 x2 + x22 có ma trận A = Chéo hóa trực 1 −1 giao ma traän A ma trận trực giao P = √ ma trận chéo D = 1 −1 1 Đường cong ( C) có ptrình hệ trục Ouv với hai véctơ sở √ , √ , √ , √ laø: 2 2 Đây đường cong ellipse Hệ trục Ouv thu từ hệ Oxy cách ( u + 16 ) + ( v + 34 ) = 11 12 o quay goùc ngược chiều kim đồng hồ ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : a/ Cho ma traän A = −3 −4 a/ Chéo hoá ma trận A b/ Áp dụng, tìm ma trận B cho B 20 = A Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t  E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A =  Tìm ma trận f sở tắc  Câu : Cho ma trận A =   −3 ma traän A −2 Câu : Tìm m để vectô X = ( , , m)   Câu : Tìm m để ma trận A =  −2 ma trận củ  a f sở −1    −3   Tìm trò riêng, sở không gian riêng T  −5  véctơ riêng ma traän A =  −3 −3 m −4 3     −2 −4   có hai trò riêng dương trò riêng âm Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f phép quay hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều kim đồng hồ góc o Tìm ánh xạ tuyến tính f Giải thích rõ Câu : Cho A ma trận vuông cấp n Chứng tỏ A khả nghòch λ = KHÔNG trò riêng A Khi A khả nghòch chứng tỏ λ trò riêng A, trò riêng A−1 λ Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 0.5đ) A = P DP −1 ; P = D= −1 −1 20 20 −1 Ta coù A = √ P · D · P Giả sử B = Q · D1 · Q , ta coù B = Q · D1 · Q = A Chọn Q = P 20 √ D1 = Vaäy ma traän B = P · D1 · P −1 20 Caâu (1.5đ) Có nhiều cách làm Gọi ma trận chuyể n sở   từ E sang tắc làP Khi ma 1 trận chuyển sở từ tắc sang E : P −1 =  1    Ma traän ánh xạ tuyến tính   −6   sở tắc B = P −1 AP = −9  −1 Câu (1.5đ) Giả sử λ0 trò riêng A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 Khi A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 · A5 · x0 = · · · = λ60 · x0 Laäp ptrình đặc trưng, tìm TR A: λ1 = , λ2 = , Cơ sở Eλ1 : {( −1 , , ) T , ( −1 , , ) T }, cuûa Eλ2 : {( , −3 , ) T } TR cuûa A6 : δ1 = , δ2 = , Cơ sở của: Eδ1 : {( −1 ,  , ) T , ( −1 , ,1 ) T }, cuû a Eδ2 :  {( , −3 , ) T }  −5 3 2      Câu (1.5đ) x VTR cuûa A ⇔ A · x = λ · x ⇔   −3   = λ ·   ⇔ m = −3 m m Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x1 + mx22 + x23 + x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 Đưa tắc biến đổi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + x2 − x3 ) + ( x3 + x2 ) + ( m − 1 ) x23 Ma trận A có TR dương, TR aâm ⇔ m < 1 Caâu (1.5ñ) f : IR2 −→ IR2 f xác đònh hoàn toàn biết ảnh sở IR2 Chọn sở tắc E = {( , ) , ( , ) } √ √ √ √ Khi f ( , ) = ( 12 , −2 ) ,f ( , ) = ( 23 , 12 ) f ( x, y) = ( x2 + y , −x2 + y2 ) Câu (1.0đ) A khả nghòch ⇔ det( A) = ⇔ λ = không TR A Giả sử λ0 TR A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = λ10 · x0 (vì λ0 = ) → đpcm ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : Trong không gian IR4 với tích vô hướng tắc, cho không gian F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 −x3 −2 x4 = & x1 +x2 −3 x3 −5 x4 = & x1 +x2 −5 x3 −8 x4 = } Tìm chiều sở TRỰC CHUẨN F Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế a f sở  t ma trận củ −1 −2   E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A =  −3  −3 Chéo hoá ánh xạ tuyến tính f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t  E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } A =  Tìm sở số chiều Imf ma trận củ  a f sở   −4 Câu : Cho A B hai ma trận đồng dạng Chứng tỏ A chéo hoá B chéo hoá  Câu : Tìm m để ma traän A =   −1  −1 m   có trò riêng âm Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( −x2 + x3 , −2 x1 + x2 + x3 , x1 − x2 + x3 ) Tìm m để véctơ x = ( , , m) véctơ riêng f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f phép đối xứng hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳng x−3 y = Tìm tất trò riêng sở không gian riêng f Giải thích rõ Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm Câu 1(1.5đ) Tìm sở tùy ý F : E = {( , −1 , , ) , ( , −1 , , ) } Duøng trình Gram-Schmidt đưa sở trực giao: E1 = {( , −1 , , ) , ( , , −7 , Chuaån hóa, có sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( , −1 , , ) , √ 167 ( , , −7 , ) }    1   Câu 2(1.5đ) Chéo hóa ma trận (1.0 ñ) A = P · D · P −1 , P =    D =  Cơ sở cần tìm B = {( , , 1 ) , ( , , ) , ( , , 1 ) } Ma trận f B D VTR A, phải đổi sang sở tắc!! )} 0    0 Caùc cột P Câu 3(1.5đ) Dim(Imf ) = r( A) = ; Im( f) =< f ( E) >=< f ( , , ) , f ( , , ) , f ( , , ) >= =< ( , , ) , ( , , ) , ( −2 , −4 , −2 ) > Cơ sở Im( f ) {( , , ) , ( , , ) ( −2 , −4 , −2 ) } Cách khác: Vì Dim(Imf ) = r( A) = , nên Im( f ) IR3 sở Im( f ) sở tắc IR3 Câu 4(1.0đ) A đồng dạng B ⇔ ∃Q : B = Q−1 · A · Q Giả sử A chéo hóa ⇔ A = P · D · P −1 −1 Khi B = Q−1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) · D · ( P −1 Q) ⇔ B = G−1 · D · G →đpcm Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x21 + mx22 + x23 + x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 Đưa tắc biến đổi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + x2 − x3 ) + ( x3 + x2 ) + ( m − ) x22 A có TR âm ⇔ m < Câu (1.5đ) x VTR f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( , , m) = λ · ( , , m) ⇔ ( −2 + m, −2 + m, m) = ( λ, λ, λm) ⇔ m = ∨ m = Câu (1.5đ).f : IR2 −→ IR2 VTR véctơ qua phép biến đổi có ảnh phương với véctơ ban đầu Các véctơ phương với véctơ phương a = ( , ) đường thẳng tất VTR tương ứng với TR λ1 = ; véctơ phương với véctơ pháp tuyến n = ( , −3 ) đường thẳng tất VTR tương ứng với λ2 = −1 Vì f axtt không gian chiều nên không VTR khác Kluận: Cơ sở Eλ1 : ( , ) Eλ2 : ( , −3 ) Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tìm tất nghiệm phương trình z + i = Câu : Trong không gian IR3 cho hai khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 + x3 = }, G = {( x1 , x2 , x3 ) |2 x1 + x2 + x3 = } Tìm chiều sở F ∩ G Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận ánh xạ tuyến tính sở −2 E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } vaø F = {( , −1 ) , ( , ) } laø A = Tìm f ( , , ) Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết f( , , ) = ( , ) ; f ( , , ) = ( , ) ; f( , , ) = ( , −1 ) Tìm sở E chiều Ker f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f ( , ) = ( −5 , −1 ) ; f( , ) = ( , ) Tìm tất trò riêng f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 thoả ∀( x1 , x2 ) ∈ IR2 : f ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 , x1 − x2 ) Tìm ma trận AE,E f cặp sở E, E, với E = {( , −1 ) , ( , ) } Câu : Trong không gian IR4 với tích vô hướng tắc cho x = ( , , , ) không gian H = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 + x2 − x3 + x4 = & x1 + x2 − x3 + x4 = } Tìm hình chiếu vuông góc prH x từ x xuống không gian H Câu : Tìm ma trận đối xứng thực A cấp (không ma trận chéo), cho A có ba trò riêng ,4 ,5 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tính det( A) 100  , với I ma trận đơn vò cấp A =   −2  −1   Câu : Trong không gian IR3 với tích vô hướng tắc cho hai không gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = } vaø G =< ( , , ) , ( , −2 , ) > Tìm chiều sở ( F ∩ G) ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR 3 , biết ma trậ n ánh xạ tuyến tính sở 2 −2  −1  E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } laø A =   −1 1 Tìm m để véctơ ( , , m) véctơ riêng f Câu : Tìm    x   x  x    x chieàu + y + y + y + y vaø + + + + z + t z − t z − t z − t sở = = = = trực chuẩn không gian nghiệm hệ 0 0 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( , ) = ( , ) ; f( , −1 ) = ( , −1 ) Tìm sở IR2 cho ma trận f sở ma trận chéo D Tìm D Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoaû ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , x1 − x2 + x3 , x1 − x2 + x3 ) Tìm ma trận A f sở E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } −1 −2 = A Caâu : Cho ma trận vuông cấp A = Tìm ma trận B cho B 2010 1 Câu : Chứng minh A ma trận vuông cấp n khả nghòch λ = không trò riêng trò riêng A−1 A Giả sử λ0 trò riêng ma trận A, chứng tỏ λ0 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút √ i2007 ( − + i) Câu : Tìm argument số phức z = ( + i) 18   Câu : Tìm ma trận X thoaû X ·  1 −1   −1   = 1 22 −1 −2    Câu : Trong IR3 cho hai không gian F = {( , , ) ; ( , , ) } vaø G = {( , , ) ; ( −1 , , ) } Tìm sở chiều không gian F ∩ G Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( , , ) = ( , , −1 ) ; f ( , , ) = ( , , ) ; f ( , , ) = ( −1 , , ) Tìm f ( x) Câu : Trực chuẩn hoá sở E = {( , , ) ; ( , , ) ; ( , , ) } IR3 Câu : Cho hai khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 − x2 − x3 = & x1 + x2 + x3 = } vaø G =< ( , , ) ; ( , , ) ; ( , , m) > Tìm m để F trực giao với G  Câu : Tìm m để λ = giá trò riêng ma trận A =   −2    m −5    3 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR −→ IR có ma trận sở tắc A =  −3 −5   −3 −6 Tìm sở (nếu có) IR3 để ma trận f sở ma trận chéo D Tìm D Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Giải phương trình z + z + z − z − = , biết z = −2 + i nghiệm Câu : Tính đònh thức ma trận A100 , biết A =   −3  Câu : Tìm m để r( A) = , bieát A =   4 −1 m −1      Câu : Trong P2 [x], cho không gian F = {p( x) | p( ) = } tích vô hướng ( p, q) = Tìm m để véctơ f ( x) = x − x + m thuộc không gian F p( x) q( x) dx ⊥ Caâu : Trong IR4 cho khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 +x3 −x4 = & x1 +3 x2 −x3 −3 x4 = } véctơ x = ( , , , ) Tìm hình chiếu vuông góc x xuống F Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t ma E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A =   Tìm ma trận B f sở tắc trận của f sở −1   −1 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( , , ) = ( , −2 , ) , f ( , , ) = ( , −2 , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm m để x = ( m, −1 , ) véctơ riêng f Câu : Đưa dạng toàn phương sau tắc BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO, nêu rõ phép biến đổi: f( x, x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút −1 + i Câu : Tính z = √ ( − i) 17 Câu : Trong IR3 , với tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , cho khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − x3 = } Tìm m để véctơ x = ( , , m) ∈ F ⊥   −3  Caâu : Tìm m để A khả nghòch, biết A =      −1   m Caâu : Trong P2 [x], cho hai khoâng gian F =< x + , x2 − > vaø G =< x2 + , x + > Tìm chiều sở F ∩ G Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( , , ) = ( , −2 , ) , f ( , , ) = ( , −2 , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm ma trận B f sở E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f IR3 E = ( , , ) ; ( , , ) , ( , , ) laø A =   : −→ −1 I R3 ,   biết ma trận f sở Tìm sở chiều Kerf Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( , ) = ( , ) ; f ( , ) = ( , ) Tìm sở B IR2 cho ma trận f B ma trận chéo Tìm ma trận chéo Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết nhân sinh ( , , ) ; ( , , ) vaø f ( , , ) = ( , , ) Tìm trò riêng sở không gian riêng Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Giải phương trình z + z − = C   Câu : Tính A2 − I, với I ma trận đơn vò cấp A =  1    −1 Câu : Trong không gian IR3 cho hai khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = } vaø G =< ( , , ) , ( , −2 , ) > Tìm chiều sở ( F ∩ G) ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR  3,  E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } laø A =  Câu : Chéo hóa ma trận A = 2 biết matrận ánh xạ tuyến tính sở −1   Tìm sở chiều Im f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoả ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 − x2 − x3 ) Tìm ma trận A f sở E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } Câu : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 ) = x21 + x1 x2 + x22 dạng tắc biến đổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi  Câu : Tìm m để λ = giá trò riêng ma trận A =   −2 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh    m −5 Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút   −3  Câu : Tìm m để det( A) =2 với A =    5   −1   m Câu : Trong không gian IR4 với tích vô hướng tắc cho không gian F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 +x3 −x4 = & x1 +x2 +2 x3 −3 x4 = & x1 +3 x2 +5 x3 −7 x4 = } Tìm số chiều sở F ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá  t  E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } A =  Tìm sở số chiều Imf ma trận của f sở −1   −1 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f( , , ) = ( , −2 , ) , f ( , , ) = ( , −2 , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm ma trận f sở tắc Câu : Đưa dạng toàn phương f ( x, x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = x21 + x23 − x1 x2 + x1 x3 − x2 x3 tắc BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO, nêu rõ phép biến đổi ( biết ma trận dạng toàn phương có trò riêng , , −4 )  Caâu : Cho ma traän A =   −4 −1 −3  −1 −1   Tìm trò riêng ma trận ( A) 10 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f ( x) = f ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 , x1 + x2 ) Tìm sở IR2 cho ma trận f sở ma trận chéo D Tìm D Câu : Chứng tỏ λ trò riêng ma trận A cấp n, λk trò riêng Ak , với ∀k ∈ N Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tính z = √ −i Câu : Giả i hệ phương trình:  z   x + y −   x + y + z  x + y    x + y − z + + + + t=0 t=0 t=0 t=0 Câu : Trong IR3 cho không gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = } vaø G =< ( , , −2 ) > Tìm sở chiều F + G Câu : Trong P2 [x] với tích vô hướng ( p, q) = p( x) q( x) dx, cho khoâng gian F = {p( x) |p( ) = & p( ) = } Tìm sở chiều F ⊥ Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , bieát f( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 + x3 , x1 − x2 , x1 + x2 − x3 ) Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f cặp sở E = {( , , ) , ( , , , ( , , ) }; F = {( , −1 ) , ( , ) } Caâu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở −1 E = {( , , ) , ( , , , ( , , ) }; F = {( , ) , ( , ) } laø A = Tìm sở chiều Kerf Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f ( , ) = ( , ) ; f ( , −1 ) = ( , −6 ) Tìm sở E (nếu có) IR2 cho ma trận f E ma trận chéo D Tìm D Câu : Tìm ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 biết f có ba trò riêng −2 , , ba véc tơ riêng ( , , ) , ( , , −1 ) , ( , , ) Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu : Tính: I = ( −1 + i) 25 √ ( − i ) 15 Caâu : Trong khoâng gian IR3 cho hai khoâng gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = } vaø G = {( x1 , x2 , x3 ) |2 x1 + x2 − x3 = } Tìm chiều sở F + G Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận ánh xạ tuyến tính sở −2 E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } vaø F = {( , ) , ( , ) } laø A = Tìm f ( , , ) Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , bieát f( , , ) = ( , ) ; f( , , ) = ( , −1 ) ; f( , , ) = ( , ) Tìm sở chiều Ker f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f( , ) = ( , −1 ) ; f( , −1 ) = ( , −3 ) Tìm tất trò riêng f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoaû ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 + x3 , x1 − x2 + x3 , x2 + x3 ) Tìm ma trận AE,E f cặp sở E, E, với E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f làphép đối xứng qua mặt phẳng x + y − z = hệ trục toạ độ Đề Các Oxyz Tìm tất véctơ riêng cuûa f  3        −2  véctơ x =  Câu : Cho ma trận A =   −3 −1 m+5 Với giá trò m x véctơ riêng A Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút   Câu : Tìm m để ma trận sau khả nghòch A =    −3 −1 0 2      m Câu : Trong không gian IR3 với tích vô hướng tắc cho hai không gian F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 +x2 +x3 = ; x1 +3 x2 − x3 = } vaø G = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 +2 x2 − x3 = } Tìm chiều sở ( F + G) ⊥ Caâu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR  3,  E = {( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } laø A =  Tìm sở chiều Ker f biết matrận ánh xạ tuyến tính sở −1   −1 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f( , , ) = ( , , ) ; f ( , , ) = ( , , −1 ) ; f( , , ) = ( , , ) Tìm f ( x) Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 − x3 , −4 x1 + x2 + x3 ; −2 x1 + x2 + x3 ) Tìm tất véctơ riêng f ứng với trò riêng λ1 =      x1 x Caâu : Giải hệ phương trình  x1    x1 + x2 + x2 + x2 + x2 + x3 + x3 + x3 + x3 − x4 − x4 − x4 − x4 = = = = −2 Câu : Tìm ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát x1 = ( , ) ; x2 = ( , ) véctơ riêng tương ứng với trò riêng λ1 = ; λ2 = Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , bieát f ( x) = ( x1 + x2 , −3 x1 − x2 ) Tìm sở IR2 cho ma trận f sở ma trận chéo D Tìm D Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh ... Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10 Môn học: Đại số tuyến tính. .. Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính. .. Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng Họ teân:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Nhoùm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ Môn học: Đại số tuyến tính